ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T14:00:11Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet11.jpg]]

'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet22.jpg]]

'''Задача № 7'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
[[Изображение:otvet3.jpg]]

'''Задача № 8'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
[[Изображение:otvet4.jpg]]
----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Файл:Otvet22.jpg

2008-11-13T13:56:59Z

Искатели ID 249:

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:56:13Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet11.jpg]]

'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet2.jpg]]

'''Задача № 7'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
[[Изображение:otvet3.jpg]]

'''Задача № 8'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
[[Изображение:otvet4.jpg]]
----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Файл:Otvet11.jpg

2008-11-13T13:53:10Z

Искатели ID 249:

Файл:Otvet4.jpg

2008-11-13T13:51:54Z

Искатели ID 249:

Файл:Otvet3.jpg

2008-11-13T13:46:03Z

Искатели ID 249:

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:39:36Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet2.jpg]]

'''Задача № 7'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
[[Изображение:otvet3.jpg]]

'''Задача № 8'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
[[Изображение:otvet4.jpg]]
----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:35:55Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]
'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet2.jpg]]
'''Задача № 7'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
[[Изображение:otvet3.jpg]]
'''Задача № 8'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
[[Изображение:otvet4.jpg]]
----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:14:46Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet2.jpg]]

'''Задача № 7'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
[[Изображение:otvet3.jpg]]

'''Задача № 8'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
[[Изображение:otvet4.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:07:08Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

'''Задача № 6'''

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
[[Изображение:otvet2.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:04:38Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T13:02:39Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

'''Задача № 6'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:02, 13 ноября 2008 (UZT)

Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?

[[Изображение:otvet2.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T12:57:42Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T12:48:51Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:Otvet1.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T12:34:39Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:otvet1.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-11-13T12:26:36Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
'''''Решение'''''Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение

недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров.
Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у.
Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189
Решив это уравнение, находим у = 1/12
Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54
гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54
откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''
[[Изображение:Z212.jpg|thumb|left]]
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

'''Задача № 5'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)

Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
[[Изображение:Ответ1.jpg]]

----

--[[Участник:Интнграл ID 233]]
Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого
На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру?
Решение:
1/15 -производительность 1 трубы;
1/24 - производительность 2 трубы;
13/120 - производительность обеих труб;
1/120 - производительность дырки;
13/120-1/120=1/10 - производительность
1:1/10=10 минут.
Ответ: бочка будет полна в 10 минут.
--[[Участник:ОМОН ID 230]]
Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского
Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена.
Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек.
--[[Участник:ЭВРИКА ID 228]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84.
Решение:
84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени.
--[[Участник:КУБ ID 234]]
ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100.
Решение:
2х^3+14 1//4=100;
х=7/2

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T13:16:24Z

Искатели ID 249: /* Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_089 "Экстремумы" ==
Во время обучещего тура мы разбились на несколько команд, каждой команде выдали по несколько задач, все задчи оказались очень интересными, как и следовало ожидать.Урок прошел очень интересно и мы узнали несколько новых способов решений задач.

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Тема обучающего тура была « Решение сюжетных задач».

Наша команда с руководителем разобрала присланный материал по обучающему туру. После чего мы решили несколько задач обучающего тура, и они заинтересовали нас. Мы разошлись по своим классам и стали решать задачи со своими одноклассниками.

Но прежде чем решать задачи, нужно знать теорию. Поэтому, при повторном сборе команды, решили выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решениях сюжетных задач, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных решений и сравнить их со своими. Бокова Анна – командир придумала презентацию « Решение сюжетных задач» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала о решении сюжетных задач. Презентация с рефератом были представлены в 8-9 классах на индивидуальных занятиях по математике.

Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась. Ребята из 1 «В» принесли нам задачи. Они подумали, что мы немножко «заболели», и нам очень нужно решить большое количество задач, чтобы выздороветь. Наверно в этом классе чей-то брат или сестра учится. Мы подумали, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задачи брали домой.

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" ==
Руководитель: Яковлека Татьяна Викторовна.

Решение задач обучающего тура проходило по группам. Каждая группа получила методические материалы, задания обучающего тура и список информационных ресурсов. Затем в каждой группе произошло распределение обязаностей: каждый готовил один из теоретических вопросов и за "круглым столом" происходило изучение теории по данным вопросам. Капитан команды координировал работу всех групп. Технический консультант организовал работу по поиску информации, оказывал помощь при работе с Internet, занимался рассылкой почты.
Самые младшие участники охотно принялись за решение и хотя не всё получалось, но "глазки горели". Они работали под руководством консультанта и обращались к учителю, но нечасто.
Основную нагрузку взяли на себя старшеклассники (9-10 классы). Они решали задачи и работали самостоятельно. В группах происходило обсуждение решений задач.
Получив от учителя правильные ответы, "Искатели" проверили прорешанные задания, нашли свои ошибки, ещё раз пересмотрели и пришли к окончательному выводу.
Итог работы подведён на мини-конференции, где были названы фамилии самых активных участников, которые с большим интересом брались за выполнение заданий (как в среднем, так и в старшем звене).
Задания были интересны, занимательны, увлекательны, что заставило ребят подойти к решению задач очень серьёзно, добросовестно, некоторые так увлеклись, что им хотелось продолжить работу.

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами '''4, 10, 16, 20, 25.'''Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами '''13, 19, 28, 29, 33, 34''' вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету

Анна Михайловна обеспечила группы следующей литературой:
* Бабинская И.Л. "Задачи математических олимпиад" +
* Баврин И.И, Фрибус Е.А. "Старинные задачи", "Занимательные задачи по математике" +
* Клименко Д.В. "Задачи по математике для любознательных" +
* Лихтарников Л.М. "Задачи мудрецов" +
* Германович П.Ю. "Сборник задач по математике на сообразительность" +

Оксана Валентиновна обеспечила доступ к интернет ресурсам: +
* Мастер - класс «Методические приёмы в педагогической технологии…» +
festival.1september.ru/articles/500147/
* http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399 -сайт «МАТЕМАТИКА.ШКОЛА.БУДУЩЕЕ»;
* http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904 - статья «Как научится решать задачи»,

Капитаны самостоятельно организовали группы и смогли заинтересовать участников в решении этих слажных, но интересных задач.

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T13:15:34Z

Искатели ID 249: /* Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" */

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T13:12:47Z

Искатели ID 249: /* Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" */

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T13:11:25Z

Искатели ID 249: /* Команда ID_249 "Введите название команды" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_089 "Экстремумы" ==
Во время обучещего тура мы разбились на несколько команд, каждой команде выдали по несколько задач, все задчи оказались очень интересными, как и следовало ожидать.Урок прошел очень интересно и мы узнали несколько новых способов решений задач.

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Тема обучающего тура была « Решение сюжетных задач».

Наша команда с руководителем разобрала присланный материал по обучающему туру. После чего мы решили несколько задач обучающего тура, и они заинтересовали нас. Мы разошлись по своим классам и стали решать задачи со своими одноклассниками.

Но прежде чем решать задачи, нужно знать теорию. Поэтому, при повторном сборе команды, решили выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решениях сюжетных задач, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных решений и сравнить их со своими. Бокова Анна – командир придумала презентацию « Решение сюжетных задач» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала о решении сюжетных задач. Презентация с рефератом были представлены в 8-9 классах на индивидуальных занятиях по математике.

Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась. Ребята из 1 «В» принесли нам задачи. Они подумали, что мы немножко «заболели», и нам очень нужно решить большое количество задач, чтобы выздороветь. Наверно в этом классе чей-то брат или сестра учится. Мы подумали, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задачи брали домой.

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" ==
Команда: "Искатели", id 026.
Руководитель: Яковлека Татьяна Викторовна.

Решение задач обучающего тура проходило по группам. Каждая группа получила методические материалы, задания обучающего тура и список информационных ресурсов. Затем в каждой группе произошло распределение обязаностей: каждый готовил один из теоретических вопросов и за "круглым столом" происходило изучение теории по данным вопросам. Капитан команды координировал работу всех групп. Технический консультант организовал работу по поиску информации, оказывал помощь при работе с Internet, занимался рассылкой почты.
Самые младшие участники охотно принялись за решение и хотя не всё получалось, но "глазки горели". Они работали под руководством консультанта и обращались к учителю, но нечасто.
Основную нагрузку взяли на себя старшеклассники (9-10 классы). Они решали задачи и работали самостоятельно. В группах происходило обсуждение решений задач.
Получив от учителя правильные ответы, "Искатели" проверили прорешанные задания, нашли свои ошибки, ещё раз пересмотрели и пришли к окончательному выводу.
Итог работы подведён на мини-конференции, где были названы фамилии самых активных участников, которые с большим интересом брались за выполнение заданий (как в среднем, так и в старшем звене).
Задания были интересны, занимательны, увлекательны, что заставило ребят подойти к решению задач очень серьёзно, добросовестно, некоторые так увлеклись, что им хотелось продолжить работу.

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами '''4, 10, 16, 20, 25.'''Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами '''13, 19, 28, 29, 33, 34''' вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету

Анна Михайловна обеспечила группы следующей литературой:
* Бабинская И.Л. "Задачи математических олимпиад" +
* Баврин И.И, Фрибус Е.А. "Старинные задачи", "Занимательные задачи по математике" +
* Клименко Д.В. "Задачи по математике для любознательных" +
* Лихтарников Л.М. "Задачи мудрецов" +
* Германович П.Ю. "Сборник задач по математике на сообразительность" +

Оксана Валентиновна обеспечила доступ к интернет ресурсам: +
* Мастер - класс «Методические приёмы в педагогической технологии…» +
festival.1september.ru/articles/500147/
* http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399 -сайт «МАТЕМАТИКА.ШКОЛА.БУДУЩЕЕ»;
* http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904 - статья «Как научится решать задачи»,

Капитаны самостоятельно организовали группы и смогли заинтересовать участников в решении этих слажных, но интересных задач.

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-28T13:58:23Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

----

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

[[Участник:'''Максимум ID-251''']]

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-28T13:54:40Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

[[Участник:'''Максимум ID-251''']]

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-28T13:48:18Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''
Задача № 1
Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

----
Задача № 2

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:48, 28 октября 2008 (UZT)Задача № 3
Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся , было 8+4=12 картофелин.<br
• 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся , было 12+6=18 картофелин.<br
• 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся , было 18+9=27 картофелин.<br
Ответ: хозяйка сварила 27 картофелин.<br

--Задача № 4--
Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей.<br
• Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей.<br
• Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей.<br
• Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.<br
Ответ: у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.<br

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

[[Участник:'''Максимум ID-251''']]

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-28T13:40:26Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)

Задача № 1
Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:
• В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок.
• Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока.<br
• Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями.<br Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока.<br
• Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.
Ответ: Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.<br

--Задача № 2--

Медведь<br
в кашолке плюшки нёс.<br
И на лесной опушке<br
Он половину плюшек съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.<br
И под «ку-ку» кукушки<br
Вновь половину плюшек съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br
Стемнело. Он ускорил шаг.<br
И на крыльце избушки<br
Он снова пол остатка съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br

С пустой кашолкою , увы,<br
Он в дом вошёл уныло…<br
Хочу чтоб мне сказали вы,<br
А сколько плюшек было?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.<br
• Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки.<br
• На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, всего было 7 плюшек.<br
Ответ: 7 плюшек.<br

--Задача № 3--
Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся , было 8+4=12 картофелин.<br
• 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся , было 12+6=18 картофелин.<br
• 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся , было 18+9=27 картофелин.<br
Ответ: хозяйка сварила 27 картофелин.<br

--Задача № 4--
Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей.<br
• Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей.<br
• Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей.<br
• Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.<br
Ответ: у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.<br

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

[[Участник:'''Максимум ID-251''']]

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-28T13:37:30Z

Искатели ID 249: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)
--Задача № 1--
Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок.<br
• Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока.<br
• Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями.<br Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока.<br
• Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.
Ответ: Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.<br

--Задача № 2--

Медведь<br
в кашолке плюшки нёс.<br
И на лесной опушке<br
Он половину плюшек съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.<br
И под «ку-ку» кукушки<br
Вновь половину плюшек съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br
Стемнело. Он ускорил шаг.<br
И на крыльце избушки<br
Он снова пол остатка съел<br
И плюс ещё полплюшки.<br

С пустой кашолкою , увы,<br
Он в дом вошёл уныло…<br
Хочу чтоб мне сказали вы,<br
А сколько плюшек было?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.<br
• Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки.<br
• На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, всего было 7 плюшек.<br
Ответ: 7 плюшек.<br

--Задача № 3--
Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся , было 8+4=12 картофелин.<br
• 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся , было 12+6=18 картофелин.<br
• 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся , было 18+9=27 картофелин.<br
Ответ: хозяйка сварила 27 картофелин.<br

--Задача № 4--
Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?<br
РЕШЕНИЕ:<br
• Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей.<br
• Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей.<br
• Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей.<br
• Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.<br
Ответ: у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.<br

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

[[Участник:'''Максимум ID-251''']]

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]