ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-16T12:18:55Z

МАКСИМУМ: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==
--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задачи из папируса Ахмеса'''

''У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?''

Решение:
Лиц -7
Кошек – 7*7=49
Мышей – 49*7=343
Колосьев – 343*7=2401
Ячмень – 2401*7=16807
Вся сумма равна 19607

''Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.''

Решение:
10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.

'''Задачи Вавилона'''

'''Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)'''

''Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?''

Решение:
Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата

'''Задачи Древней Греции'''

'''Задача «Суд Париса»'''Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса…
Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство.
Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

''Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?''

Решение
Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно.
Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно.
Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь.
Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.

'''Задача Дидоны'''
''В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?''

Решение
Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача о школе Пифагора'''
''Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?''

Решение:
½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.

'''Задача о статуе Минервы'''
Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.
''Я — изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов — обет,
Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?''

Решение:
½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.

'''Задача о музах'''
По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы:
Евтерпа — богиня-покровительница музыки;
Клио — истории;
Талия — комедии;
Мельпомена — трагедии;
Терпсихора — танцев и хорового пения;
Эрато — поэзии;
Полимния — лирической поэзии;
Урания — астрономии;
Каллиопа — эпоса и красноречия.
Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви

''Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?''

Решение:
1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840,
1 - 715/840=125/840,
Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500.
Если обозначить за х все яблоки, то получается, что
500/х=125/840
Х=3360
Значит, у Эрота было 3360 яблок.

'''Задача о грациях'''
Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях.
''Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?''

Решение:
Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

'''Задача Евклида'''
''Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.''

Решение:
Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5

'''Задачи Герона Александрийского'''
''Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?''

Решение:
Производительность первого – 1
Производительность второго – 1/2
Производительность третьего – 1/3
Производительность четвертого – 1/4
Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12
Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25

'''Древнеримская задача (II в.)''' ''Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение?''
Решение:
Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.

'''Задача о Диофанте из Палатинской антологии'''
''Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.''

Решение:
Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х
75/84х+9=х, х=84

'''Задачи Древнего Китая'''

'''Задача из «Математики в девяти книгах»'''
''Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.''

Решение:
Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай.
Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75

'''Задача Чжан Дюцзяня''' ''1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.''
Решение:
Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят.
Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта:
Первый: х=0, у=25, с=75
Второй: х=4, у=18, с=78
Третий: х=3,у=11, с=81
Четвертый: х=12, у=4, с=84

'''Задачи Древней Индии'''

'''Задача-легенда (начало н. э.)'''
Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.

''В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?''

Решение:
[[Изображение:Wolschebniki_48.jpg]]

'''Задачи стран Ислама'''

'''Задача из легенды «История Морадбальса»''' ''Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?''

Решение:
10*2*2*2*2=160

'''Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)'''
''Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?''

Решение:
Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений:
У-1=(Х+1)/3
Х-1=У+1
Получаем, х=5 и у=3

--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] --[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] 17:39, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Логические задачи 19 века.'''
Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец?
Ответ:

Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель?
Ответ:

[['''--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]''']]



'''Задача № 1'''

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город.
Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.

Решение.

Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.

'''Задача №2'''

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
- Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
- Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга …
Наконец один воскликнул
- На мне чёрный!
Как он догадался?

Решение.

Мудрец рассуждал так:
«Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».

'''Задача №3'''

Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.

Решение.

Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь.
7/2=3,5
3,5+0,5=4
7-4=3
3/2=1,5
1,5+0,5=2
3-2=1
Это вполне согласуется с условием задачи.

'''Задача 4'''

Дележ верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?

Решение:
Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.

'''Задача 5'''

Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее:
-Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.

--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

Решение.
Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9.
Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.

'''Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.

'''Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?

Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста.
Ответ: велосипедист приедет раньше.

'''Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг.
Ответ: похудел.

'''Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?

Решение.
Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95.
Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480
Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.

'''Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог.
Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!».
Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.

Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский

'''Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?

Решение:
Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.

'''Задача №111 Мартина Гарднера(США)'''
В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Решение.

Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

'''Задача №112 Мартина Гарднера(США)'''Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение.

Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.
К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х.
Ответ:1760 м.

'''Задача №113 Мартина Гарднера(США)'''
Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.
Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

Решение.

Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу».
Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

Участник:Плюс-ID_298:

1. Задача о грациях.
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y
x=12y

Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Решение:
Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров,
=800 ливров,
=400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.

Задача 3. Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев.
Сколько всего?
Решение:
7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256
Ответ: 137256
Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет?
Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему
x2+y2 = z2
xz = y2
xy = 10

Решение:
Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения .
Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения .
Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид ,
или .
Решая это уравнения как квадратное относительно , получим .
Следовательно,
.
Ответ: .

Задача 5. Вечеринка.
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?

Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:

1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами
2-я, Ольга, » с 6+2 »
3-я, Вера, » с 6+3 »
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Х-я, Нина, » с 6+х »

Имеем уравнение: ,
откуда х=7,
а следовательно, число танцоров – 20–7=13.

Ответ: 13 танцоров.

Задача 6. морская разведка.
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:
Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140,
Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.

Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

Решение:
Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4
Число «54» означает 5х+4.
Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100.
Ответ: «84»=100.

Задача 8. на велодроме.
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?

Решение:
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем:
х+у= 17, х –у =1,
откуда х=9,у=8(метров в секунду).

Задача 9. рукопожатия.
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?

Решение:
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, .
Откуда .
Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Ответ: в заседании участвовало 12 человек.

Задача 10
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Решение:
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
222 ,222 ,22 ,22
Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222,
Преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 .
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Задача 11.
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
Решение:
Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов.
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 14:22, 16 ноября 2008 (UZT)
МАКСИМУМ ID_266

 Задача индийского математика Магавиры

О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

решение:C1+C2+C3+C4+C5=(1+1)5-C0=31

 Задача индийского математика Шридхары

Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей?

решение:Х1+Х2+Х3+Х4+
Х5+Х6=(1+1)6-Х0=63

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-16T12:08:36Z

МАКСИМУМ: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==
--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задачи из папируса Ахмеса'''

''У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?''

Решение:
Лиц -7
Кошек – 7*7=49
Мышей – 49*7=343
Колосьев – 343*7=2401
Ячмень – 2401*7=16807
Вся сумма равна 19607

''Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.''

Решение:
10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.

'''Задачи Вавилона'''

'''Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)'''

''Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?''

Решение:
Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата

'''Задачи Древней Греции'''

'''Задача «Суд Париса»'''Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса…
Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство.
Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

''Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?''

Решение
Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно.
Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно.
Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь.
Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.

'''Задача Дидоны'''
''В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?''

Решение
Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача о школе Пифагора'''
''Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?''

Решение:
½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.

'''Задача о статуе Минервы'''
Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.
''Я — изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов — обет,
Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?''

Решение:
½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.

'''Задача о музах'''
По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы:
Евтерпа — богиня-покровительница музыки;
Клио — истории;
Талия — комедии;
Мельпомена — трагедии;
Терпсихора — танцев и хорового пения;
Эрато — поэзии;
Полимния — лирической поэзии;
Урания — астрономии;
Каллиопа — эпоса и красноречия.
Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви

''Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?''

Решение:
1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840,
1 - 715/840=125/840,
Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500.
Если обозначить за х все яблоки, то получается, что
500/х=125/840
Х=3360
Значит, у Эрота было 3360 яблок.

'''Задача о грациях'''
Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях.
''Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?''

Решение:
Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

'''Задача Евклида'''
''Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.''

Решение:
Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5

'''Задачи Герона Александрийского'''
''Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?''

Решение:
Производительность первого – 1
Производительность второго – 1/2
Производительность третьего – 1/3
Производительность четвертого – 1/4
Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12
Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25

'''Древнеримская задача (II в.)''' ''Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение?''
Решение:
Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.

'''Задача о Диофанте из Палатинской антологии'''
''Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.''

Решение:
Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х
75/84х+9=х, х=84

'''Задачи Древнего Китая'''

'''Задача из «Математики в девяти книгах»'''
''Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.''

Решение:
Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай.
Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75

'''Задача Чжан Дюцзяня''' ''1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.''
Решение:
Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят.
Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта:
Первый: х=0, у=25, с=75
Второй: х=4, у=18, с=78
Третий: х=3,у=11, с=81
Четвертый: х=12, у=4, с=84

'''Задачи Древней Индии'''

'''Задача-легенда (начало н. э.)'''
Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.

''В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?''

Решение:
[[Изображение:Wolschebniki_48.jpg]]

'''Задачи стран Ислама'''

'''Задача из легенды «История Морадбальса»''' ''Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?''

Решение:
10*2*2*2*2=160

'''Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)'''
''Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?''

Решение:
Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений:
У-1=(Х+1)/3
Х-1=У+1
Получаем, х=5 и у=3

--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] --[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] 17:39, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Логические задачи 19 века.'''
Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец?
Ответ:

Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель?
Ответ:

[['''--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]''']]



'''Задача № 1'''

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город.
Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.

Решение.

Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.

'''Задача №2'''

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
- Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
- Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга …
Наконец один воскликнул
- На мне чёрный!
Как он догадался?

Решение.

Мудрец рассуждал так:
«Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».

'''Задача №3'''

Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.

Решение.

Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь.
7/2=3,5
3,5+0,5=4
7-4=3
3/2=1,5
1,5+0,5=2
3-2=1
Это вполне согласуется с условием задачи.

'''Задача 4'''

Дележ верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?

Решение:
Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.

'''Задача 5'''

Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее:
-Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.

--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

Решение.
Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9.
Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.

'''Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.

'''Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?

Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста.
Ответ: велосипедист приедет раньше.

'''Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг.
Ответ: похудел.

'''Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?

Решение.
Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95.
Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480
Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.

'''Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог.
Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!».
Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.

Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский

'''Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?

Решение:
Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.

'''Задача №111 Мартина Гарднера(США)'''
В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Решение.

Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

'''Задача №112 Мартина Гарднера(США)'''Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение.

Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.
К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х.
Ответ:1760 м.

'''Задача №113 Мартина Гарднера(США)'''
Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.
Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

Решение.

Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу».
Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

Участник:Плюс-ID_298:

1. Задача о грациях.
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y
x=12y

Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Решение:
Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров,
=800 ливров,
=400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.

Задача 3. Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев.
Сколько всего?
Решение:
7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256
Ответ: 137256
Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет?
Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему
x2+y2 = z2
xz = y2
xy = 10

Решение:
Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения .
Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения .
Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид ,
или .
Решая это уравнения как квадратное относительно , получим .
Следовательно,
.
Ответ: .

Задача 5. Вечеринка.
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?

Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:

1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами
2-я, Ольга, » с 6+2 »
3-я, Вера, » с 6+3 »
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Х-я, Нина, » с 6+х »

Имеем уравнение: ,
откуда х=7,
а следовательно, число танцоров – 20–7=13.

Ответ: 13 танцоров.

Задача 6. морская разведка.
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:
Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140,
Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.

Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

Решение:
Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4
Число «54» означает 5х+4.
Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100.
Ответ: «84»=100.

Задача 8. на велодроме.
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?

Решение:
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем:
х+у= 17, х –у =1,
откуда х=9,у=8(метров в секунду).

Задача 9. рукопожатия.
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?

Решение:
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, .
Откуда .
Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Ответ: в заседании участвовало 12 человек.

Задача 10
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Решение:
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
222 ,222 ,22 ,22
Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222,
Преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 .
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Задача 11.
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
Решение:
Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов.
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 14:22, 16 ноября 2008 (UZT)
МАКСИМУМ ID_266

 Задача индийского математика Магавиры

О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

решение:C1+C2+C3+C4+C5=(1+1)5-C0=31

 Задача индийского математика Шридхары

Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей?

color="bruwn">решение:Х1+Х2+Х3+Х4+Х5+Х6=(1+1)6-Х0=63
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-16T11:57:34Z

МАКСИМУМ: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==
--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задачи из папируса Ахмеса'''

''У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?''

Решение:
Лиц -7
Кошек – 7*7=49
Мышей – 49*7=343
Колосьев – 343*7=2401
Ячмень – 2401*7=16807
Вся сумма равна 19607

''Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.''

Решение:
10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.

'''Задачи Вавилона'''

'''Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)'''

''Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?''

Решение:
Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата

'''Задачи Древней Греции'''

'''Задача «Суд Париса»'''Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса…
Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство.
Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

''Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?''

Решение
Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно.
Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно.
Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь.
Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.

'''Задача Дидоны'''
''В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?''

Решение
Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача о школе Пифагора'''
''Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?''

Решение:
½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.

'''Задача о статуе Минервы'''
Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.
''Я — изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов — обет,
Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?''

Решение:
½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.

'''Задача о музах'''
По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы:
Евтерпа — богиня-покровительница музыки;
Клио — истории;
Талия — комедии;
Мельпомена — трагедии;
Терпсихора — танцев и хорового пения;
Эрато — поэзии;
Полимния — лирической поэзии;
Урания — астрономии;
Каллиопа — эпоса и красноречия.
Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви

''Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?''

Решение:
1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840,
1 - 715/840=125/840,
Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500.
Если обозначить за х все яблоки, то получается, что
500/х=125/840
Х=3360
Значит, у Эрота было 3360 яблок.

'''Задача о грациях'''
Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях.
''Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?''

Решение:
Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

'''Задача Евклида'''
''Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.''

Решение:
Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5

'''Задачи Герона Александрийского'''
''Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?''

Решение:
Производительность первого – 1
Производительность второго – 1/2
Производительность третьего – 1/3
Производительность четвертого – 1/4
Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12
Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25

'''Древнеримская задача (II в.)''' ''Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение?''
Решение:
Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.

'''Задача о Диофанте из Палатинской антологии'''
''Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.''

Решение:
Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х
75/84х+9=х, х=84

'''Задачи Древнего Китая'''

'''Задача из «Математики в девяти книгах»'''
''Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.''

Решение:
Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай.
Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75

'''Задача Чжан Дюцзяня''' ''1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.''
Решение:
Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят.
Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта:
Первый: х=0, у=25, с=75
Второй: х=4, у=18, с=78
Третий: х=3,у=11, с=81
Четвертый: х=12, у=4, с=84

'''Задачи Древней Индии'''

'''Задача-легенда (начало н. э.)'''
Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.

''В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?''

Решение:
[[Изображение:Wolschebniki_48.jpg]]

'''Задачи стран Ислама'''

'''Задача из легенды «История Морадбальса»''' ''Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?''

Решение:
10*2*2*2*2=160

'''Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)'''
''Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?''

Решение:
Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений:
У-1=(Х+1)/3
Х-1=У+1
Получаем, х=5 и у=3

--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] --[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] 17:39, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Логические задачи 19 века.'''
Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец?
Ответ:

Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель?
Ответ:

[['''--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]''']]



'''Задача № 1'''

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город.
Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.

Решение.

Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.

'''Задача №2'''

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
- Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
- Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга …
Наконец один воскликнул
- На мне чёрный!
Как он догадался?

Решение.

Мудрец рассуждал так:
«Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».

'''Задача №3'''

Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.

Решение.

Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь.
7/2=3,5
3,5+0,5=4
7-4=3
3/2=1,5
1,5+0,5=2
3-2=1
Это вполне согласуется с условием задачи.

'''Задача 4'''

Дележ верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?

Решение:
Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.

'''Задача 5'''

Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее:
-Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.

--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

Решение.
Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9.
Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.

'''Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.

'''Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?

Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста.
Ответ: велосипедист приедет раньше.

'''Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг.
Ответ: похудел.

'''Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?

Решение.
Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95.
Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480
Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.

'''Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог.
Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!».
Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.

Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский

'''Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?

Решение:
Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.

'''Задача №111 Мартина Гарднера(США)'''
В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Решение.

Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

'''Задача №112 Мартина Гарднера(США)'''Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение.

Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.
К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х.
Ответ:1760 м.

'''Задача №113 Мартина Гарднера(США)'''
Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.
Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

Решение.

Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу».
Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

Участник:Плюс-ID_298:

1. Задача о грациях.
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y
x=12y

Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Решение:
Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров,
=800 ливров,
=400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.

Задача 3. Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев.
Сколько всего?
Решение:
7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256
Ответ: 137256
Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет?
Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему
x2+y2 = z2
xz = y2
xy = 10

Решение:
Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения .
Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения .
Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид ,
или .
Решая это уравнения как квадратное относительно , получим .
Следовательно,
.
Ответ: .

Задача 5. Вечеринка.
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?

Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:

1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами
2-я, Ольга, » с 6+2 »
3-я, Вера, » с 6+3 »
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Х-я, Нина, » с 6+х »

Имеем уравнение: ,
откуда х=7,
а следовательно, число танцоров – 20–7=13.

Ответ: 13 танцоров.

Задача 6. морская разведка.
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:
Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140,
Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.

Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

Решение:
Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4
Число «54» означает 5х+4.
Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100.
Ответ: «84»=100.

Задача 8. на велодроме.
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?

Решение:
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем:
х+у= 17, х –у =1,
откуда х=9,у=8(метров в секунду).

Задача 9. рукопожатия.
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?

Решение:
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, .
Откуда .
Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Ответ: в заседании участвовало 12 человек.

Задача 10
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Решение:
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
222 ,222 ,22 ,22
Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222,
Преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 .
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Задача 11.
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
Решение:
Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов.
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 14:22, 16 ноября 2008 (UZT)
МАКСИМУМ ID_266

 Задача индийского математика Магавиры

О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

решение:C1+C2+C3+C4+C5=(1+1)5-C0=31

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-16T11:51:38Z

МАКСИМУМ: /* Задачи участников ДООМ */

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==
--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задачи из папируса Ахмеса'''

''У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?''

Решение:
Лиц -7
Кошек – 7*7=49
Мышей – 49*7=343
Колосьев – 343*7=2401
Ячмень – 2401*7=16807
Вся сумма равна 19607

''Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.''

Решение:
10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.

'''Задачи Вавилона'''

'''Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)'''

''Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?''

Решение:
Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата

'''Задачи Древней Греции'''

'''Задача «Суд Париса»'''Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса…
Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство.
Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

''Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?''

Решение
Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно.
Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно.
Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь.
Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.

'''Задача Дидоны'''
''В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?''

Решение
Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача о школе Пифагора'''
''Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?''

Решение:
½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.

'''Задача о статуе Минервы'''
Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.
''Я — изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов — обет,
Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?''

Решение:
½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.

'''Задача о музах'''
По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы:
Евтерпа — богиня-покровительница музыки;
Клио — истории;
Талия — комедии;
Мельпомена — трагедии;
Терпсихора — танцев и хорового пения;
Эрато — поэзии;
Полимния — лирической поэзии;
Урания — астрономии;
Каллиопа — эпоса и красноречия.
Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви

''Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?''

Решение:
1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840,
1 - 715/840=125/840,
Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500.
Если обозначить за х все яблоки, то получается, что
500/х=125/840
Х=3360
Значит, у Эрота было 3360 яблок.

'''Задача о грациях'''
Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях.
''Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?''

Решение:
Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

'''Задача Евклида'''
''Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.''

Решение:
Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5

'''Задачи Герона Александрийского'''
''Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?''

Решение:
Производительность первого – 1
Производительность второго – 1/2
Производительность третьего – 1/3
Производительность четвертого – 1/4
Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12
Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25

'''Древнеримская задача (II в.)''' ''Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение?''
Решение:
Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.

'''Задача о Диофанте из Палатинской антологии'''
''Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.''

Решение:
Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х
75/84х+9=х, х=84

'''Задачи Древнего Китая'''

'''Задача из «Математики в девяти книгах»'''
''Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.''

Решение:
Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай.
Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75

'''Задача Чжан Дюцзяня''' ''1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.''
Решение:
Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят.
Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта:
Первый: х=0, у=25, с=75
Второй: х=4, у=18, с=78
Третий: х=3,у=11, с=81
Четвертый: х=12, у=4, с=84

'''Задачи Древней Индии'''

'''Задача-легенда (начало н. э.)'''
Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.

''В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?''

Решение:
[[Изображение:Wolschebniki_48.jpg]]

'''Задачи стран Ислама'''

'''Задача из легенды «История Морадбальса»''' ''Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?''

Решение:
10*2*2*2*2=160

'''Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)'''
''Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?''

Решение:
Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений:
У-1=(Х+1)/3
Х-1=У+1
Получаем, х=5 и у=3

--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] --[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] 17:39, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Логические задачи 19 века.'''
Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец?
Ответ:

Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель?
Ответ:

[['''--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]''']]



'''Задача № 1'''

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город.
Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.

Решение.

Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.

'''Задача №2'''

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
- Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
- Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга …
Наконец один воскликнул
- На мне чёрный!
Как он догадался?

Решение.

Мудрец рассуждал так:
«Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».

'''Задача №3'''

Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.

Решение.

Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь.
7/2=3,5
3,5+0,5=4
7-4=3
3/2=1,5
1,5+0,5=2
3-2=1
Это вполне согласуется с условием задачи.

'''Задача 4'''

Дележ верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?

Решение:
Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.

'''Задача 5'''

Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее:
-Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.

--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

Решение.
Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9.
Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.

'''Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.

'''Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?

Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста.
Ответ: велосипедист приедет раньше.

'''Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг.
Ответ: похудел.

'''Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?

Решение.
Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95.
Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480
Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.

'''Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог.
Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!».
Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.

Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский

'''Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?

Решение:
Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.

'''Задача №111 Мартина Гарднера(США)'''
В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Решение.

Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

'''Задача №112 Мартина Гарднера(США)'''Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение.

Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.
К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х.
Ответ:1760 м.

'''Задача №113 Мартина Гарднера(США)'''
Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.
Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

Решение.

Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу».
Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

Участник:Плюс-ID_298:

1. Задача о грациях.
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y
x=12y

Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Решение:
Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров,
=800 ливров,
=400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.

Задача 3. Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев.
Сколько всего?
Решение:
7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256
Ответ: 137256
Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет?
Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему
x2+y2 = z2
xz = y2
xy = 10

Решение:
Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения .
Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения .
Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид ,
или .
Решая это уравнения как квадратное относительно , получим .
Следовательно,
.
Ответ: .

Задача 5. Вечеринка.
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?

Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:

1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами
2-я, Ольга, » с 6+2 »
3-я, Вера, » с 6+3 »
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Х-я, Нина, » с 6+х »

Имеем уравнение: ,
откуда х=7,
а следовательно, число танцоров – 20–7=13.

Ответ: 13 танцоров.

Задача 6. морская разведка.
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:
Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140,
Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.

Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

Решение:
Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4
Число «54» означает 5х+4.
Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100.
Ответ: «84»=100.

Задача 8. на велодроме.
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?

Решение:
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем:
х+у= 17, х –у =1,
откуда х=9,у=8(метров в секунду).

Задача 9. рукопожатия.
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?

Решение:
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, .
Откуда .
Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Ответ: в заседании участвовало 12 человек.

Задача 10
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Решение:
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
222 ,222 ,22 ,22
Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222,
Преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 .
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Задача 11.
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
Решение:
Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов.
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 14:22, 16 ноября 2008 (UZT)
МАКСИМУМ

 Задача индийского математика Магавиры

О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

решение:

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 3

2008-11-11T12:51:26Z

МАКСИМУМ:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №19 Задача Герона Александрийского'''

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼.
Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12.
Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

'''Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)'''

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

'''Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи''' Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения:
n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

'''Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)'''

'''Задача №22 Смекалистый слуга'''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

'''Задача №23 «Богатство»'''

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе.
Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

'''Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

'''Задача №25 Три бочки'''

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)
----

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)
Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века).
Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было?
Решение:
3 сукно – X аршин
2 сукно – x+9 аршин
1 сукно – 2x+21 аршин
Составим уравнение:
4x+30=106
Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого).
Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег.
Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение:
x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100
Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого.
Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача.
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек.
Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?
Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение:
40=х+х+6
Получим, что х=17.
Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7.
Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у
В результате подбора получим, что х=5, а у =43.
Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал?
Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение:
(((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х
Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни.
Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму.
Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно?
Решение.
Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов.
Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов.
Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают?
За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы.
Итого будет выкопано 2,5 ямы.
Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
Ответ.
Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

 МОЗГИ ID 215 

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка.

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой.

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол.

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем.

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--[[Участник:МОЗГИ 215|МОЗГИ 215]] 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Старинные задачи на переливания'''

'''Задача №26 Четыре бочки.'''

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого.
Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

'''Задача №27 Сколько останется воды?'''

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

'''Задача №28 Можно ли отлить половину сока?'''

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.
Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока.
После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1).
Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство:
99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1)
Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

'''Задача №29 О сплаве серебра'''

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение.
x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы.
Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)

 [[Участник:Решарики ID_284]]

'''''Задачи Льюиса Кэрролла'''''.


'''1. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки?'''

Ответ По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года.

'''2. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.'''

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за 1/4 часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за 1/3, часа, а спускаясь с горы, - за 1/6 часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит 1/2 часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль - в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на, преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы. немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3 1/2 часа - это время, которое не больше чем на 1/2 часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Ответ 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

'''3.Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?'''

Ответ 19 поездов.

'''4. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?'''

Ответ Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник - 8.

'''5. Расположить 24 поросенка в четырех свинарниках так, чтобы при обходе свинарников по кругу числе поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем свинарнике.'''

Ответ В первом свинарнике должно находится 8 поросят, во втором - 10 и в четвертом - 6. Ничего не должно находиться в третьем свинарнике: он должен быть пуст. Совершаем контрольный обход свинарников. Десять ближе к 10, чем 8. Что может быть ближе к 10, чем 10? Ничто! Но именно "ничто" и находится в третьем свинарнике. Шесть ближе к 10, чем 0 (арифметический псевдоним "ничего"), 8 ближе к 10, чем 6. Условия задачи выполнены.

'''6. В начале года у каждого из братьев A и B было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?'''

Ответ В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

'''7. Лоло успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими вяжет 2. Зузу успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?'''

Ответ Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) Мими, 2) Лоло, 3) 3узу.

'''8.Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?'''

Ответ 15 и 18 лет.

'''9. ''Задача, приписываемая Л. Эйлеру''


'''Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. и восьмую часть остатка; следующий – 2000р и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.'''

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предыдущий сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000*7=49000р.
Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

'''''Задачи из книги Я. И. Перельмана «Живая математика»'''''


'''10. ''Кто больше?'''''

'''Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взади вперед по тротуару. кто насчитал больше прохожих?'''

Решение: Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

'''11. ''Железнодорожные билеты.'''''

'''Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я сижу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?'''

Решение: На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т.е. на 24 пункта. значит, разных билетов надо напечатать 25*24 = 600 образцов.

'''12. ''В коммунальной кухне.'''''

'''Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный , у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны он поделить между собой эту плату?'''

Решение: Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за палено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80*3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп. , и цена одного полена 30 коп.

Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сам воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то следовательно отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

'''13. ''Зарплата.'''''

'''Моя заработная плата за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. как велика моя зарплата без сверхурочных?'''

Решение: Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200р., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250руб. прибавим 200р., то должно составиться две зарплаты. Но 250+200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб, т.е. 25.
ответ: основная зарплата 225 руб, сверхурочные 25 руб.

'''14. ''Чета Ивановых.'''''

'''Сколько лет Иванову и его жене? Восемнадцать лет назад , в год женитьбы, он был ровно втрое старше своей жены. Теперь он вдвое старше своей жены.'''

решение: Решим задачу помощью несложного уравнения. Если жене х лет, что мужу 2х лет. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х-18. при этом известного, что муж был тогд в три раза старше жены:
3(х-18) = 2х-18,

3х-64 = 2х – 18,

х=36.

Т.е. жене теперь 26, а мужу 72.

Ответ: Иванову 72 года, а его жене 36 лет.

'''15. ''Плащ, шляпа и галоши.'''''

'''Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе стоят на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.'''

Решение: Есл вместо плаща, шляпы и галош куплено только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т.е. на 120 рублей. Т.е. две пары галош стоят 140 – 120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары – 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140-10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. рассуждаем , как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130-90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы – 20 руб. тогда плащ стоил 140 – 10 – 20 = 110 руб.
Итак, стоимость вещей: галоши- 10руб, шляпа – 20 руб., плащ – 110 руб.

'''16. ''Перелет.''

'''Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1ч 20 мин. обратный перелет он совершает за 80 мин.'''

'''Как вы это объясните?'''

Решение: 80 мин = 1 час 20 мин. Т.е. Перелет от города В до города А занимает столько же времени, что и перелет от города А до города В.

'''17. ''Денежные подарки.''

'''Двое отцов подарили сыновьям деньги. один дал своему сыну 150 руб., другой своему – 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?'''

Решение: разгадка заключается в том, Что один из сыновей является отцом другого, т.е. в задаче участвуют дедушка, отец и сын. Дедушка дал сыну 150 рублей, а тот, в свою очередь, дал своему сыну 100р. (т.е. внуку дедушки). Если сложить их капиталы, то получим 150 р.

'''18.'' Две шашки.'''''

'''На пустую шашечную доску надо поместить две шашки – белую и черную. Сколько различных положений могут они занимать на доске?'''

Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое – либо из прочих 63 полей. Отсюда общее число различных двух шашек на доске : 64*63= 4032.
ответ: 4032 способа.

'''19. ''Пауки и жуки.'''''

'''Пионер собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги.'''
'''Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?'''

Решение: Учтем, что у паука - 8 ног, а у жука - 6 ног.Можно предположить, что в коробке были только паука, 8 штук. тогда всех ног оказалось бы 8*8=64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сджелать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

Ответ: в коробке 3 паука и 5 жуков. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 02:46, 26 октября 2008 (SAMST)
----
 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
[[Участник:Совокупность "Архимеды"ID-232]]
ЗАДАЧА ИЗ РАССКАЗА А.П.Чехова "Репетитор"
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил и того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное -3 рубля?
Решение: условия задачи приводят к системе:
5х+3у=540;
х+у=138, откуда
х=63(аршин синего сукна);
у=75(аршин черного сукна.
[[Участник:Совокупность "Эрудиты"ID-227]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Путем устных вычислений найти быстро результат выражения:
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365;
Решение:
Приведенное выражение, состовляющее "Задачу Рачинского", запечетлено на классной доске в картине художника Н.П. Багданова-Бельского"Устный счет" на картине также изображен Рачинский с группой учеников, решаюших приведенный устный пример.
Устное решение примера основано на свойстве:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
Так как
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2;
100+121+144=169+196;
365=365.
то
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=(2*365)/365=2.

--[[Участник:МАКСИМУМ|МАКСИМУМ]] 15:59, 11 ноября 2008 (UZT)

 '''МАКСИМУМ'''

'''Задача №1'''

'''Награда изобретателю шахмат (древняя легенда).'''

"Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т. д. Сколько зёрен должен отдать царь изобретателю?

'''Решение'''
Это оказалось невозможно, так как , столько зёрен не нашлось во всём мире!

На первую клетку - 2 зерна, на 2 - 4 зерна, на 3 - 8 зёрен и т. д. На 64 - 18446744073709551616 ( 264 )

'''Задача №2'''

'''Задача ирландского учёного монаха Алкуина'''

За сколько прыжков гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и приближается к нему на 9 футов? ( Фут - мера длины, приблизительно равная длине ступни человека. Фут в разных странах имеет различную величину).

'''Решение'''

150:(9-7)= 75 прыжков
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 3

2008-11-11T12:48:55Z

МАКСИМУМ:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №19 Задача Герона Александрийского'''

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼.
Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12.
Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

'''Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)'''

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

'''Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи''' Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения:
n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

'''Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)'''

'''Задача №22 Смекалистый слуга'''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

'''Задача №23 «Богатство»'''

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе.
Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

'''Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

'''Задача №25 Три бочки'''

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)
----

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)
Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века).
Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было?
Решение:
3 сукно – X аршин
2 сукно – x+9 аршин
1 сукно – 2x+21 аршин
Составим уравнение:
4x+30=106
Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого).
Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег.
Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение:
x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100
Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого.
Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача.
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек.
Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?
Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение:
40=х+х+6
Получим, что х=17.
Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7.
Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у
В результате подбора получим, что х=5, а у =43.
Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал?
Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение:
(((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х
Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни.
Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму.
Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно?
Решение.
Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов.
Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов.
Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают?
За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы.
Итого будет выкопано 2,5 ямы.
Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
Ответ.
Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

 МОЗГИ ID 215 

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка.

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой.

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол.

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем.

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--[[Участник:МОЗГИ 215|МОЗГИ 215]] 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Старинные задачи на переливания'''

'''Задача №26 Четыре бочки.'''

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого.
Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

'''Задача №27 Сколько останется воды?'''

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

'''Задача №28 Можно ли отлить половину сока?'''

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.
Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока.
После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1).
Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство:
99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1)
Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

'''Задача №29 О сплаве серебра'''

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение.
x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы.
Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)

 [[Участник:Решарики ID_284]]

'''''Задачи Льюиса Кэрролла'''''.


'''1. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки?'''

Ответ По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года.

'''2. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.'''

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за 1/4 часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за 1/3, часа, а спускаясь с горы, - за 1/6 часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит 1/2 часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль - в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на, преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы. немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3 1/2 часа - это время, которое не больше чем на 1/2 часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Ответ 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

'''3.Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?'''

Ответ 19 поездов.

'''4. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?'''

Ответ Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник - 8.

'''5. Расположить 24 поросенка в четырех свинарниках так, чтобы при обходе свинарников по кругу числе поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем свинарнике.'''

Ответ В первом свинарнике должно находится 8 поросят, во втором - 10 и в четвертом - 6. Ничего не должно находиться в третьем свинарнике: он должен быть пуст. Совершаем контрольный обход свинарников. Десять ближе к 10, чем 8. Что может быть ближе к 10, чем 10? Ничто! Но именно "ничто" и находится в третьем свинарнике. Шесть ближе к 10, чем 0 (арифметический псевдоним "ничего"), 8 ближе к 10, чем 6. Условия задачи выполнены.

'''6. В начале года у каждого из братьев A и B было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?'''

Ответ В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

'''7. Лоло успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими вяжет 2. Зузу успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?'''

Ответ Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) Мими, 2) Лоло, 3) 3узу.

'''8.Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?'''

Ответ 15 и 18 лет.

'''9. ''Задача, приписываемая Л. Эйлеру''


'''Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. и восьмую часть остатка; следующий – 2000р и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.'''

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предыдущий сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000*7=49000р.
Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

'''''Задачи из книги Я. И. Перельмана «Живая математика»'''''


'''10. ''Кто больше?'''''

'''Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взади вперед по тротуару. кто насчитал больше прохожих?'''

Решение: Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

'''11. ''Железнодорожные билеты.'''''

'''Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я сижу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?'''

Решение: На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т.е. на 24 пункта. значит, разных билетов надо напечатать 25*24 = 600 образцов.

'''12. ''В коммунальной кухне.'''''

'''Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный , у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны он поделить между собой эту плату?'''

Решение: Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за палено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80*3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп. , и цена одного полена 30 коп.

Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сам воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то следовательно отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

'''13. ''Зарплата.'''''

'''Моя заработная плата за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. как велика моя зарплата без сверхурочных?'''

Решение: Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200р., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250руб. прибавим 200р., то должно составиться две зарплаты. Но 250+200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб, т.е. 25.
ответ: основная зарплата 225 руб, сверхурочные 25 руб.

'''14. ''Чета Ивановых.'''''

'''Сколько лет Иванову и его жене? Восемнадцать лет назад , в год женитьбы, он был ровно втрое старше своей жены. Теперь он вдвое старше своей жены.'''

решение: Решим задачу помощью несложного уравнения. Если жене х лет, что мужу 2х лет. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х-18. при этом известного, что муж был тогд в три раза старше жены:
3(х-18) = 2х-18,

3х-64 = 2х – 18,

х=36.

Т.е. жене теперь 26, а мужу 72.

Ответ: Иванову 72 года, а его жене 36 лет.

'''15. ''Плащ, шляпа и галоши.'''''

'''Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе стоят на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.'''

Решение: Есл вместо плаща, шляпы и галош куплено только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т.е. на 120 рублей. Т.е. две пары галош стоят 140 – 120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары – 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140-10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. рассуждаем , как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130-90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы – 20 руб. тогда плащ стоил 140 – 10 – 20 = 110 руб.
Итак, стоимость вещей: галоши- 10руб, шляпа – 20 руб., плащ – 110 руб.

'''16. ''Перелет.''

'''Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1ч 20 мин. обратный перелет он совершает за 80 мин.'''

'''Как вы это объясните?'''

Решение: 80 мин = 1 час 20 мин. Т.е. Перелет от города В до города А занимает столько же времени, что и перелет от города А до города В.

'''17. ''Денежные подарки.''

'''Двое отцов подарили сыновьям деньги. один дал своему сыну 150 руб., другой своему – 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?'''

Решение: разгадка заключается в том, Что один из сыновей является отцом другого, т.е. в задаче участвуют дедушка, отец и сын. Дедушка дал сыну 150 рублей, а тот, в свою очередь, дал своему сыну 100р. (т.е. внуку дедушки). Если сложить их капиталы, то получим 150 р.

'''18.'' Две шашки.'''''

'''На пустую шашечную доску надо поместить две шашки – белую и черную. Сколько различных положений могут они занимать на доске?'''

Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое – либо из прочих 63 полей. Отсюда общее число различных двух шашек на доске : 64*63= 4032.
ответ: 4032 способа.

'''19. ''Пауки и жуки.'''''

'''Пионер собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги.'''
'''Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?'''

Решение: Учтем, что у паука - 8 ног, а у жука - 6 ног.Можно предположить, что в коробке были только паука, 8 штук. тогда всех ног оказалось бы 8*8=64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сджелать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

Ответ: в коробке 3 паука и 5 жуков. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 02:46, 26 октября 2008 (SAMST)
----
 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
[[Участник:Совокупность "Архимеды"ID-232]]
ЗАДАЧА ИЗ РАССКАЗА А.П.Чехова "Репетитор"
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил и того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное -3 рубля?
Решение: условия задачи приводят к системе:
5х+3у=540;
х+у=138, откуда
х=63(аршин синего сукна);
у=75(аршин черного сукна.
[[Участник:Совокупность "Эрудиты"ID-227]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Путем устных вычислений найти быстро результат выражения:
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365;
Решение:
Приведенное выражение, состовляющее "Задачу Рачинского", запечетлено на классной доске в картине художника Н.П. Багданова-Бельского"Устный счет" на картине также изображен Рачинский с группой учеников, решаюших приведенный устный пример.
Устное решение примера основано на свойстве:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
Так как
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2;
100+121+144=169+196;
365=365.
то
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=(2*365)/365=2.

--[[Участник:МАКСИМУМ|МАКСИМУМ]] 15:59, 11 ноября 2008 (UZT)

 '''МАКСИМУМ'''

'''Задача №1'''

'''Награда изобретателю шахмат (древняя легенда).'''

"Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т. д. Сколько зёрен должен отдать царь изобретателю?

'''Решение'''
Это оказалось невозможно, так как , столько зёрен не нашлось во всём мире!

На первую клетку - 2 зерна, на 2 - 4 зерна, на 3 - 8 зёрен и т. д. На 64 - 18446744073709551616 ( 264 )

'''Задача №2'''

За сколько прыжков гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и приближается к нему на 9 футов? ( Фут - мера длины, приблизительно равная длине ступни человека. Фут в разных странах имеет различную величину).

'''Решение'''

150:(9-7)= 75 прыжков
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 3

2008-11-11T11:14:28Z

МАКСИМУМ:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №19 Задача Герона Александрийского'''

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼.
Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12.
Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

'''Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)'''

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

'''Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи''' Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения:
n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

'''Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)'''

'''Задача №22 Смекалистый слуга'''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

'''Задача №23 «Богатство»'''

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе.
Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

'''Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

'''Задача №25 Три бочки'''

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)
----

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)
Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века).
Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было?
Решение:
3 сукно – X аршин
2 сукно – x+9 аршин
1 сукно – 2x+21 аршин
Составим уравнение:
4x+30=106
Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого).
Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег.
Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение:
x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100
Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого.
Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача.
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек.
Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?
Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение:
40=х+х+6
Получим, что х=17.
Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7.
Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у
В результате подбора получим, что х=5, а у =43.
Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал?
Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение:
(((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х
Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни.
Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму.
Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно?
Решение.
Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов.
Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов.
Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают?
За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы.
Итого будет выкопано 2,5 ямы.
Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
Ответ.
Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

 МОЗГИ ID 215 

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка.

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой.

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол.

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем.

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--[[Участник:МОЗГИ 215|МОЗГИ 215]] 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Старинные задачи на переливания'''

'''Задача №26 Четыре бочки.'''

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого.
Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

'''Задача №27 Сколько останется воды?'''

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

'''Задача №28 Можно ли отлить половину сока?'''

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.
Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока.
После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1).
Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство:
99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1)
Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

'''Задача №29 О сплаве серебра'''

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение.
x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы.
Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)

 [[Участник:Решарики ID_284]]

'''''Задачи Льюиса Кэрролла'''''.


'''1. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки?'''

Ответ По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года.

'''2. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.'''

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за 1/4 часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за 1/3, часа, а спускаясь с горы, - за 1/6 часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит 1/2 часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль - в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на, преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы. немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3 1/2 часа - это время, которое не больше чем на 1/2 часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Ответ 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

'''3.Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?'''

Ответ 19 поездов.

'''4. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?'''

Ответ Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник - 8.

'''5. Расположить 24 поросенка в четырех свинарниках так, чтобы при обходе свинарников по кругу числе поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем свинарнике.'''

Ответ В первом свинарнике должно находится 8 поросят, во втором - 10 и в четвертом - 6. Ничего не должно находиться в третьем свинарнике: он должен быть пуст. Совершаем контрольный обход свинарников. Десять ближе к 10, чем 8. Что может быть ближе к 10, чем 10? Ничто! Но именно "ничто" и находится в третьем свинарнике. Шесть ближе к 10, чем 0 (арифметический псевдоним "ничего"), 8 ближе к 10, чем 6. Условия задачи выполнены.

'''6. В начале года у каждого из братьев A и B было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?'''

Ответ В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

'''7. Лоло успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими вяжет 2. Зузу успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?'''

Ответ Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) Мими, 2) Лоло, 3) 3узу.

'''8.Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?'''

Ответ 15 и 18 лет.

'''9. ''Задача, приписываемая Л. Эйлеру''


'''Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. и восьмую часть остатка; следующий – 2000р и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.'''

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предыдущий сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000*7=49000р.
Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

'''''Задачи из книги Я. И. Перельмана «Живая математика»'''''


'''10. ''Кто больше?'''''

'''Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взади вперед по тротуару. кто насчитал больше прохожих?'''

Решение: Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

'''11. ''Железнодорожные билеты.'''''

'''Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я сижу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?'''

Решение: На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т.е. на 24 пункта. значит, разных билетов надо напечатать 25*24 = 600 образцов.

'''12. ''В коммунальной кухне.'''''

'''Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный , у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны он поделить между собой эту плату?'''

Решение: Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за палено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80*3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп. , и цена одного полена 30 коп.

Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сам воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то следовательно отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

'''13. ''Зарплата.'''''

'''Моя заработная плата за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. как велика моя зарплата без сверхурочных?'''

Решение: Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200р., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250руб. прибавим 200р., то должно составиться две зарплаты. Но 250+200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб, т.е. 25.
ответ: основная зарплата 225 руб, сверхурочные 25 руб.

'''14. ''Чета Ивановых.'''''

'''Сколько лет Иванову и его жене? Восемнадцать лет назад , в год женитьбы, он был ровно втрое старше своей жены. Теперь он вдвое старше своей жены.'''

решение: Решим задачу помощью несложного уравнения. Если жене х лет, что мужу 2х лет. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х-18. при этом известного, что муж был тогд в три раза старше жены:
3(х-18) = 2х-18,

3х-64 = 2х – 18,

х=36.

Т.е. жене теперь 26, а мужу 72.

Ответ: Иванову 72 года, а его жене 36 лет.

'''15. ''Плащ, шляпа и галоши.'''''

'''Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе стоят на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.'''

Решение: Есл вместо плаща, шляпы и галош куплено только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т.е. на 120 рублей. Т.е. две пары галош стоят 140 – 120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары – 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140-10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. рассуждаем , как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130-90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы – 20 руб. тогда плащ стоил 140 – 10 – 20 = 110 руб.
Итак, стоимость вещей: галоши- 10руб, шляпа – 20 руб., плащ – 110 руб.

'''16. ''Перелет.''

'''Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1ч 20 мин. обратный перелет он совершает за 80 мин.'''

'''Как вы это объясните?'''

Решение: 80 мин = 1 час 20 мин. Т.е. Перелет от города В до города А занимает столько же времени, что и перелет от города А до города В.

'''17. ''Денежные подарки.''

'''Двое отцов подарили сыновьям деньги. один дал своему сыну 150 руб., другой своему – 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?'''

Решение: разгадка заключается в том, Что один из сыновей является отцом другого, т.е. в задаче участвуют дедушка, отец и сын. Дедушка дал сыну 150 рублей, а тот, в свою очередь, дал своему сыну 100р. (т.е. внуку дедушки). Если сложить их капиталы, то получим 150 р.

'''18.'' Две шашки.'''''

'''На пустую шашечную доску надо поместить две шашки – белую и черную. Сколько различных положений могут они занимать на доске?'''

Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое – либо из прочих 63 полей. Отсюда общее число различных двух шашек на доске : 64*63= 4032.
ответ: 4032 способа.

'''19. ''Пауки и жуки.'''''

'''Пионер собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги.'''
'''Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?'''

Решение: Учтем, что у паука - 8 ног, а у жука - 6 ног.Можно предположить, что в коробке были только паука, 8 штук. тогда всех ног оказалось бы 8*8=64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сджелать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

Ответ: в коробке 3 паука и 5 жуков. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 02:46, 26 октября 2008 (SAMST)
----
 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
[[Участник:Совокупность "Архимеды"ID-232]]
ЗАДАЧА ИЗ РАССКАЗА А.П.Чехова "Репетитор"
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил и того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное -3 рубля?
Решение: условия задачи приводят к системе:
5х+3у=540;
х+у=138, откуда
х=63(аршин синего сукна);
у=75(аршин черного сукна.
[[Участник:Совокупность "Эрудиты"ID-227]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Путем устных вычислений найти быстро результат выражения:
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365;
Решение:
Приведенное выражение, состовляющее "Задачу Рачинского", запечетлено на классной доске в картине художника Н.П. Багданова-Бельского"Устный счет" на картине также изображен Рачинский с группой учеников, решаюших приведенный устный пример.
Устное решение примера основано на свойстве:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
Так как
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2;
100+121+144=169+196;
365=365.
то
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=(2*365)/365=2.

--[[Участник:МАКСИМУМ|МАКСИМУМ]] 15:59, 11 ноября 2008 (UZT)

 '''МАКСИМУМ'''

'''Задача №1'''

'''Награда изобретателю шахмат (древняя легенда).'''

"Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т. д. Сколько зёрен должен отдать царь изобретателю?

'''Решение'''
Это оказалось невозможно, так как , столько зёрен не нашлось во всём мире!

На первую клетку - 2 зерна, на 2 - 4 зерна, на 3 - 8 зёрен и т. д. На 64 - 18446744073709551616 ( 264 )

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 3

2008-11-11T11:11:45Z

МАКСИМУМ:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №19 Задача Герона Александрийского'''

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼.
Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12.
Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

'''Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)'''

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

'''Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи''' Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения:
n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

'''Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)'''

'''Задача №22 Смекалистый слуга'''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

'''Задача №23 «Богатство»'''

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе.
Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

'''Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

'''Задача №25 Три бочки'''

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)
----

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)
Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века).
Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было?
Решение:
3 сукно – X аршин
2 сукно – x+9 аршин
1 сукно – 2x+21 аршин
Составим уравнение:
4x+30=106
Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого).
Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег.
Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение:
x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100
Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого.
Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача.
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек.
Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?
Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение:
40=х+х+6
Получим, что х=17.
Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7.
Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у
В результате подбора получим, что х=5, а у =43.
Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал?
Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение:
(((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х
Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни.
Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму.
Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно?
Решение.
Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов.
Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов.
Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают?
За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы.
Итого будет выкопано 2,5 ямы.
Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
Ответ.
Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

 МОЗГИ ID 215 

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка.

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой.

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол.

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем.

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--[[Участник:МОЗГИ 215|МОЗГИ 215]] 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Старинные задачи на переливания'''

'''Задача №26 Четыре бочки.'''

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого.
Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

'''Задача №27 Сколько останется воды?'''

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

'''Задача №28 Можно ли отлить половину сока?'''

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.
Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока.
После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1).
Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство:
99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1)
Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

'''Задача №29 О сплаве серебра'''

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение.
x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы.
Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)

 [[Участник:Решарики ID_284]]

'''''Задачи Льюиса Кэрролла'''''.


'''1. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки?'''

Ответ По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года.

'''2. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.'''

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за 1/4 часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за 1/3, часа, а спускаясь с горы, - за 1/6 часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит 1/2 часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль - в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на, преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы. немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3 1/2 часа - это время, которое не больше чем на 1/2 часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Ответ 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

'''3.Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?'''

Ответ 19 поездов.

'''4. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?'''

Ответ Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник - 8.

'''5. Расположить 24 поросенка в четырех свинарниках так, чтобы при обходе свинарников по кругу числе поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем свинарнике.'''

Ответ В первом свинарнике должно находится 8 поросят, во втором - 10 и в четвертом - 6. Ничего не должно находиться в третьем свинарнике: он должен быть пуст. Совершаем контрольный обход свинарников. Десять ближе к 10, чем 8. Что может быть ближе к 10, чем 10? Ничто! Но именно "ничто" и находится в третьем свинарнике. Шесть ближе к 10, чем 0 (арифметический псевдоним "ничего"), 8 ближе к 10, чем 6. Условия задачи выполнены.

'''6. В начале года у каждого из братьев A и B было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?'''

Ответ В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

'''7. Лоло успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими вяжет 2. Зузу успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?'''

Ответ Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) Мими, 2) Лоло, 3) 3узу.

'''8.Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?'''

Ответ 15 и 18 лет.

'''9. ''Задача, приписываемая Л. Эйлеру''


'''Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. и восьмую часть остатка; следующий – 2000р и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.'''

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предыдущий сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000*7=49000р.
Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

'''''Задачи из книги Я. И. Перельмана «Живая математика»'''''


'''10. ''Кто больше?'''''

'''Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взади вперед по тротуару. кто насчитал больше прохожих?'''

Решение: Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

'''11. ''Железнодорожные билеты.'''''

'''Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я сижу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?'''

Решение: На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т.е. на 24 пункта. значит, разных билетов надо напечатать 25*24 = 600 образцов.

'''12. ''В коммунальной кухне.'''''

'''Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный , у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны он поделить между собой эту плату?'''

Решение: Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за палено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80*3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп. , и цена одного полена 30 коп.

Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сам воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то следовательно отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

'''13. ''Зарплата.'''''

'''Моя заработная плата за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. как велика моя зарплата без сверхурочных?'''

Решение: Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200р., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250руб. прибавим 200р., то должно составиться две зарплаты. Но 250+200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб, т.е. 25.
ответ: основная зарплата 225 руб, сверхурочные 25 руб.

'''14. ''Чета Ивановых.'''''

'''Сколько лет Иванову и его жене? Восемнадцать лет назад , в год женитьбы, он был ровно втрое старше своей жены. Теперь он вдвое старше своей жены.'''

решение: Решим задачу помощью несложного уравнения. Если жене х лет, что мужу 2х лет. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х-18. при этом известного, что муж был тогд в три раза старше жены:
3(х-18) = 2х-18,

3х-64 = 2х – 18,

х=36.

Т.е. жене теперь 26, а мужу 72.

Ответ: Иванову 72 года, а его жене 36 лет.

'''15. ''Плащ, шляпа и галоши.'''''

'''Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе стоят на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.'''

Решение: Есл вместо плаща, шляпы и галош куплено только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т.е. на 120 рублей. Т.е. две пары галош стоят 140 – 120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары – 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140-10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. рассуждаем , как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130-90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы – 20 руб. тогда плащ стоил 140 – 10 – 20 = 110 руб.
Итак, стоимость вещей: галоши- 10руб, шляпа – 20 руб., плащ – 110 руб.

'''16. ''Перелет.''

'''Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1ч 20 мин. обратный перелет он совершает за 80 мин.'''

'''Как вы это объясните?'''

Решение: 80 мин = 1 час 20 мин. Т.е. Перелет от города В до города А занимает столько же времени, что и перелет от города А до города В.

'''17. ''Денежные подарки.''

'''Двое отцов подарили сыновьям деньги. один дал своему сыну 150 руб., другой своему – 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?'''

Решение: разгадка заключается в том, Что один из сыновей является отцом другого, т.е. в задаче участвуют дедушка, отец и сын. Дедушка дал сыну 150 рублей, а тот, в свою очередь, дал своему сыну 100р. (т.е. внуку дедушки). Если сложить их капиталы, то получим 150 р.

'''18.'' Две шашки.'''''

'''На пустую шашечную доску надо поместить две шашки – белую и черную. Сколько различных положений могут они занимать на доске?'''

Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое – либо из прочих 63 полей. Отсюда общее число различных двух шашек на доске : 64*63= 4032.
ответ: 4032 способа.

'''19. ''Пауки и жуки.'''''

'''Пионер собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги.'''
'''Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?'''

Решение: Учтем, что у паука - 8 ног, а у жука - 6 ног.Можно предположить, что в коробке были только паука, 8 штук. тогда всех ног оказалось бы 8*8=64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сджелать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

Ответ: в коробке 3 паука и 5 жуков. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 02:46, 26 октября 2008 (SAMST)
----
 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
[[Участник:Совокупность "Архимеды"ID-232]]
ЗАДАЧА ИЗ РАССКАЗА А.П.Чехова "Репетитор"
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил и того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное -3 рубля?
Решение: условия задачи приводят к системе:
5х+3у=540;
х+у=138, откуда
х=63(аршин синего сукна);
у=75(аршин черного сукна.
[[Участник:Совокупность "Эрудиты"ID-227]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Путем устных вычислений найти быстро результат выражения:
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365;
Решение:
Приведенное выражение, состовляющее "Задачу Рачинского", запечетлено на классной доске в картине художника Н.П. Багданова-Бельского"Устный счет" на картине также изображен Рачинский с группой учеников, решаюших приведенный устный пример.
Устное решение примера основано на свойстве:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
Так как
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2;
100+121+144=169+196;
365=365.
то
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=(2*365)/365=2.

--[[Участник:МАКСИМУМ|МАКСИМУМ]] 15:59, 11 ноября 2008 (UZT)

 '''МАКСИМУМ'''

'''Задача №1'''

'''Награда изобретателю шахмат (древняя легенда).'''

"Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т. д. Сколько зёрен должен отдать царь изобретателю?
'''Решение'''
Это оказалось невозможно, так как , столько зёрен не нашлось во всём мире!

На первую клетку - 2 зерна, на 2 - 4 зерна, на 3 - 8 зёрен и т. д. На 64 - 18446744073709551616 ( 2 )

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 3

2008-11-11T10:59:55Z

МАКСИМУМ:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №19 Задача Герона Александрийского'''

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼.
Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12.
Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

'''Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)'''

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

'''Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи''' Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения:
n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

'''Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)'''

'''Задача №22 Смекалистый слуга'''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

'''Задача №23 «Богатство»'''

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе.
Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

'''Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

'''Задача №25 Три бочки'''

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)
----

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)
Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века).
Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было?
Решение:
3 сукно – X аршин
2 сукно – x+9 аршин
1 сукно – 2x+21 аршин
Составим уравнение:
4x+30=106
Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого).
Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег.
Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение:
x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100
Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого.
Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача.
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек.
Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?
Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение:
40=х+х+6
Получим, что х=17.
Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7.
Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у
В результате подбора получим, что х=5, а у =43.
Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал?
Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение:
(((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х
Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни.
Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму.
Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно?
Решение.
Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов.
Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов.
Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают?
За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы.
Итого будет выкопано 2,5 ямы.
Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
Ответ.
Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

 МОЗГИ ID 215 

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка.

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой.

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол.

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем.

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки.
Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--[[Участник:МОЗГИ 215|МОЗГИ 215]] 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Старинные задачи на переливания'''

'''Задача №26 Четыре бочки.'''

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого.
Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

'''Задача №27 Сколько останется воды?'''

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

'''Задача №28 Можно ли отлить половину сока?'''

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.
Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока.
После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1).
Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство:
99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1)
Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

'''Задача №29 О сплаве серебра'''

Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?

Решение.
x - количество серебра 11-й пробы, у - количество серебра 14-й пробы.
Серебра в х - 11/96*х фунтов, серебра в y - 14/96*y фунтов. В 1-м фунте серебра 12-й пробы - 12/96 фунтов. Значит,

х+y=1 и 11/96*х + 14/96*y =12/96,

11х + 14y = 12 , 11x + 14(1-x)=12, 3x=2, x=2/3фунта, y = 1/3 фунта

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)

 [[Участник:Решарики ID_284]]

'''''Задачи Льюиса Кэрролла'''''.


'''1. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки?'''

Ответ По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года.

'''2. Два путешественника выходят из гостиницы в 3 часа дня и возвращаются в нее в 9 часов вечера. Маршрут их проходит то по ровному месту, то в гору, то под гору. По ровному месту путешественники идут со скоростью 4 мили в час, в гору — со скоростью 3 мили в час и под гору — со скоростью 6 миль в час. Найти расстояние, пройденное путешественниками с момента выхода из гостиницы до момента возвращения, а также (с точностью до получаса) момент восхождения на вершину горы.'''

Решение. Одну милю пути по ровной местности путешественники проходят за 1/4 часа. Поднимаясь в гору, они преодолевают одну милю за 1/3, часа, а спускаясь с горы, - за 1/6 часа. Следовательно, на то, чтобы пройти туда и обратно одну милю, независимо от того, пролегает ли их путь по долине или по склону горы, у наших путешественников всегда уходит 1/2 часа. Таким образом, за 6 часов (с 3 до 9) они прошли 12 миль в одну сторону и 12 миль - в другую. Если бы 12 миль почти целиком проходили по местности без подъемов и спусков, то у наших путешественников на, преодоление их ушло немногим больше 3 часов. Если путь в 12 миль почти все время шел в гору, на него ушло бы. немногим меньше 4 часов. Следовательно, 3 1/2 часа - это время, которое не больше чем на 1/2 часа отличается от времени, прошедшего с момента выхода из гостиницы до подъема на вершину. Поскольку путешественники вышли из гостиницы в 3 часа дня, они достигли вершины горы в 6 часов 30 минут (время дано с точностью до получаса).

Ответ 24 мили; 6 часов 30 минут вечера.

'''3.Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, — через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?'''

Ответ 19 поездов.

'''4. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше, но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретится каждому путешественнику?'''

Ответ Путешественник, следующий восточным поездом, встретит 12 поездов, его напарник - 8.

'''5. Расположить 24 поросенка в четырех свинарниках так, чтобы при обходе свинарников по кругу числе поросят в очередном свинарнике неизменно оказывалось ближе к 10, чем число поросят в предыдущем свинарнике.'''

Ответ В первом свинарнике должно находится 8 поросят, во втором - 10 и в четвертом - 6. Ничего не должно находиться в третьем свинарнике: он должен быть пуст. Совершаем контрольный обход свинарников. Десять ближе к 10, чем 8. Что может быть ближе к 10, чем 10? Ничто! Но именно "ничто" и находится в третьем свинарнике. Шесть ближе к 10, чем 0 (арифметический псевдоним "ничего"), 8 ближе к 10, чем 6. Условия задачи выполнены.

'''6. В начале года у каждого из братьев A и B было по 1000 фунтов стерлингов. Через год братья в своем письме губернатору Кговджни уведомляют его, что в день отправления письма они, как никогда, близки к 60000 фунтов стерлингов. Каким образом им это удалось?'''

Ответ В день отправления письма братья впервые решили прогуляться близ Английского банка, в подвалах которого хранилась указанная сумма.

'''7. Лоло успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими вяжет 2. Зузу успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло — как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивать одинаково?'''

Ответ Места на конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) Мими, 2) Лоло, 3) 3узу.

'''8.Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?'''

Ответ 15 и 18 лет.

'''9. ''Задача, приписываемая Л. Эйлеру''


'''Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил такое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000р. и восьмую часть остатка; следующий – 2000р и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000р. и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.'''

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000р. Из него предыдущий сын получил восьмую часть, равную 1000р., а остальные 7000р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 7000*7=49000р.
Ответ: 7 сыновей; завещано 49000р.

'''''Задачи из книги Я. И. Перельмана «Живая математика»'''''


'''10. ''Кто больше?'''''

'''Двое считали в течение часа всех, кто проходил мимо них по тротуару. Один стоял у ворот дома, другой прохаживался взади вперед по тротуару. кто насчитал больше прохожих?'''

Решение: Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, а тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных людей.

'''11. ''Железнодорожные билеты.'''''

'''Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, - начала участница игры. - Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я сижу на дороге с 25 станциями. Сколько же различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?'''

Решение: На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т.е. на 24 пункта. значит, разных билетов надо напечатать 25*24 = 600 образцов.

'''12. ''В коммунальной кухне.'''''

'''Жилица Тройкина положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина - 5 поленьев. Жилец Бестопливный , у которого не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 80 копеек. Как должны он поделить между собой эту плату?'''

Решение: Нельзя считать, как многие делают, что 80 коп. уплачено за 8 поленьев, по 10 коп. за палено. Деньги эти уплачены за третью часть от 8 поленьев, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 поленьев оценены были в 80*3 = 240 коп., т.е. в 2р.40коп. , и цена одного полена 30 коп.

Теперь можно сосчитать, что Пятеркиной за ее 5 поленьев следует заплатить 150 коп.; но она сам воспользовалась плитой на 80 копеек; значит ей остается заполучить еще 150-80 = 70 (коп.). Тройкина за свои 3 полена должна получить 90 копеек; а если вычесть 80 копеек, причитавшиеся с нее за пользование плитой, то следовательно отдать ей нужно будет только 10 коп.

Ответ: Пятеркина должна получить 70 коп., Тройкина – 10 коп.

'''13. ''Зарплата.'''''

'''Моя заработная плата за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. как велика моя зарплата без сверхурочных?'''

Решение: Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200р., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250руб. прибавим 200р., то должно составиться две зарплаты. Но 250+200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб, т.е. 25.
ответ: основная зарплата 225 руб, сверхурочные 25 руб.

'''14. ''Чета Ивановых.'''''

'''Сколько лет Иванову и его жене? Восемнадцать лет назад , в год женитьбы, он был ровно втрое старше своей жены. Теперь он вдвое старше своей жены.'''

решение: Решим задачу помощью несложного уравнения. Если жене х лет, что мужу 2х лет. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х – 18, жене х-18. при этом известного, что муж был тогд в три раза старше жены:
3(х-18) = 2х-18,

3х-64 = 2х – 18,

х=36.

Т.е. жене теперь 26, а мужу 72.

Ответ: Иванову 72 года, а его жене 36 лет.

'''15. ''Плащ, шляпа и галоши.'''''

'''Некто купил плащ, шляпу и галоши и заплатил за все 140 руб. плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе стоят на 120 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности? Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.'''

Решение: Есл вместо плаща, шляпы и галош куплено только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т.е. на 120 рублей. Т.е. две пары галош стоят 140 – 120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары – 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140-10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. рассуждаем , как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, две шляпы стоят 130-90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы – 20 руб. тогда плащ стоил 140 – 10 – 20 = 110 руб.
Итак, стоимость вещей: галоши- 10руб, шляпа – 20 руб., плащ – 110 руб.

'''16. ''Перелет.''

'''Самолет покрывает расстояние от города А до города В за 1ч 20 мин. обратный перелет он совершает за 80 мин.'''

'''Как вы это объясните?'''

Решение: 80 мин = 1 час 20 мин. Т.е. Перелет от города В до города А занимает столько же времени, что и перелет от города А до города В.

'''17. ''Денежные подарки.''

'''Двое отцов подарили сыновьям деньги. один дал своему сыну 150 руб., другой своему – 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?'''

Решение: разгадка заключается в том, Что один из сыновей является отцом другого, т.е. в задаче участвуют дедушка, отец и сын. Дедушка дал сыну 150 рублей, а тот, в свою очередь, дал своему сыну 100р. (т.е. внуку дедушки). Если сложить их капиталы, то получим 150 р.

'''18.'' Две шашки.'''''

'''На пустую шашечную доску надо поместить две шашки – белую и черную. Сколько различных положений могут они занимать на доске?'''

Решение: Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т.е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое – либо из прочих 63 полей. Отсюда общее число различных двух шашек на доске : 64*63= 4032.
ответ: 4032 способа.

'''19. ''Пауки и жуки.'''''

'''Пионер собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги.'''
'''Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?'''

Решение: Учтем, что у паука - 8 ног, а у жука - 6 ног.Можно предположить, что в коробке были только паука, 8 штук. тогда всех ног оказалось бы 8*8=64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сджелать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

Ответ: в коробке 3 паука и 5 жуков. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 02:46, 26 октября 2008 (SAMST)
----
 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 4]]'''
[[Участник:Совокупность "Архимеды"ID-232]]
ЗАДАЧА ИЗ РАССКАЗА А.П.Чехова "Репетитор"
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил и того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное -3 рубля?
Решение: условия задачи приводят к системе:
5х+3у=540;
х+у=138, откуда
х=63(аршин синего сукна);
у=75(аршин черного сукна.
[[Участник:Совокупность "Эрудиты"ID-227]]
ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО
Путем устных вычислений найти быстро результат выражения:
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365;
Решение:
Приведенное выражение, состовляющее "Задачу Рачинского", запечетлено на классной доске в картине художника Н.П. Багданова-Бельского"Устный счет" на картине также изображен Рачинский с группой учеников, решаюших приведенный устный пример.
Устное решение примера основано на свойстве:
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
Так как
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2;
100+121+144=169+196;
365=365.
то
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=(2*365)/365=2.

--[[Участник:МАКСИМУМ|МАКСИМУМ]] 15:59, 11 ноября 2008 (UZT)
 '''МАКСИМУМ'''
'''Задача №1'''
'''Награда изобретателю шахмат (древняя легенда).'''
"Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сеша) и предложил, чтобы он выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т. д. Сколько зёрен должен отдать царь изобретателю?
'''Решение'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T12:31:30Z

МАКСИМУМ: /* Команда ID_266 "МАКСИМУМ" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_089 "Экстремумы" ==
Во время обучещего тура мы разбились на несколько команд, каждой команде выдали по несколько задач, все задчи оказались очень интересными, как и следовало ожидать.Урок прошел очень интересно и мы узнали несколько новых способов решений задач.

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Тема обучающего тура была « Решение сюжетных задач».

Наша команда с руководителем разобрала присланный материал по обучающему туру. После чего мы решили несколько задач обучающего тура, и они заинтересовали нас. Мы разошлись по своим классам и стали решать задачи со своими одноклассниками.

Но прежде чем решать задачи, нужно знать теорию. Поэтому, при повторном сборе команды, решили выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решениях сюжетных задач, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных решений и сравнить их со своими. Бокова Анна – командир придумала презентацию « Решение сюжетных задач» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала о решении сюжетных задач. Презентация с рефератом были представлены в 8-9 классах на индивидуальных занятиях по математике.

Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась. Ребята из 1 «В» принесли нам задачи. Они подумали, что мы немножко «заболели», и нам очень нужно решить большое количество задач, чтобы выздороветь. Наверно в этом классе чей-то брат или сестра учится. Мы подумали, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задачи брали домой.

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "Введите название команды" ==

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами '''4, 10, 16, 20, 25.'''Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами '''13, 19, 28, 29, 33, 34''' вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету

Анна Михайловна обеспечила группы следующей литературой:
* Бабинская И.Л. "Задачи математических олимпиад" +
* Баврин И.И, Фрибус Е.А. "Старинные задачи", "Занимательные задачи по математике" +
* Клименко Д.В. "Задачи по математике для любознательных" +
* Лихтарников Л.М. "Задачи мудрецов" +
* Германович П.Ю. "Сборник задач по математике на сообразительность" +

Оксана Валентиновна обеспечила доступ к интернет ресурсам: +
* Мастер - класс «Методические приёмы в педагогической технологии…» +
festival.1september.ru/articles/500147/
* http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399 -сайт «МАТЕМАТИКА.ШКОЛА.БУДУЩЕЕ»;
* http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904 - статья «Как научится решать задачи»,

Капитаны самостоятельно организовали группы и смогли заинтересовать участников в решении этих слажных, но интересных задач.

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T12:25:58Z

МАКСИМУМ: /* Команда ID_266 "МАКСИМУМ" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_089 "Экстремумы" ==
Во время обучещего тура мы разбились на несколько команд, каждой команде выдали по несколько задач, все задчи оказались очень интересными, как и следовало ожидать.Урок прошел очень интересно и мы узнали несколько новых способов решений задач.

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Тема обучающего тура была « Решение сюжетных задач».

Наша команда с руководителем разобрала присланный материал по обучающему туру. После чего мы решили несколько задач обучающего тура, и они заинтересовали нас. Мы разошлись по своим классам и стали решать задачи со своими одноклассниками.

Но прежде чем решать задачи, нужно знать теорию. Поэтому, при повторном сборе команды, решили выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решениях сюжетных задач, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных решений и сравнить их со своими. Бокова Анна – командир придумала презентацию « Решение сюжетных задач» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала о решении сюжетных задач. Презентация с рефератом были представлены в 8-9 классах на индивидуальных занятиях по математике.

Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась. Ребята из 1 «В» принесли нам задачи. Они подумали, что мы немножко «заболели», и нам очень нужно решить большое количество задач, чтобы выздороветь. Наверно в этом классе чей-то брат или сестра учится. Мы подумали, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задачи брали домой.

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "Введите название команды" ==

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами 4, 10, 16, 20, 25.
Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами 13, 19, 28, 29, 33, 34 вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету

Анна Михайловна обеспечила группы следующей литературой: + * Наши руководители
- * Бабинская И.Л. "Задачи математических олимпиад" +
- * Баврин И.И, Фрибус Е.А. "Старинные задачи", "Занимательные задачи по математике" +
- * Клименко Д.В. "Задачи по математике для любознательных" +
- * Лихтарников Л.М. "Задачи мудрецов" +
- * Германович П.Ю. "Сборник задач по математике на сообразительность" +
-
Оксана Валентиновна обеспечила доступ к интернет ресурсам: +
- * Мастер - класс «Методические приёмы в педагогической технологии…» +
- festival.1september.ru/articles/500147/

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-30T11:54:22Z

МАКСИМУМ: /* Команда ID_266 "Введите название команды" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Тема обучающего тура была « Решение сюжетных задач».

Наша команда с руководителем разобрала присланный материал по обучающему туру. После чего мы решили несколько задач обучающего тура, и они заинтересовали нас. Мы разошлись по своим классам и стали решать задачи со своими одноклассниками.

Но прежде чем решать задачи, нужно знать теорию. Поэтому, при повторном сборе команды, решили выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решениях сюжетных задач, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных решений и сравнить их со своими. Бокова Анна – командир придумала презентацию « Решение сюжетных задач» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала о решении сюжетных задач. Презентация с рефератом были представлены в 8-9 классах на индивидуальных занятиях по математике.

Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась. Ребята из 1 «В» принесли нам задачи. Они подумали, что мы немножко «заболели», и нам очень нужно решить большое количество задач, чтобы выздороветь. Наверно в этом классе чей-то брат или сестра учится. Мы подумали, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задачи брали домой.

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "Введите название команды" ==

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами 4, 10, 16, 20, 25.
Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами 13, 19, 28, 29, 33, 34 вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету
* Наши руководители

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]