ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-31T13:52:48Z

Пифагор ID 220:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.

'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?

'''Решение:''' Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

'''Решение:''' Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

'''Решение:'''Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей

'''Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).''' Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

'''Решение:''' Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

'''Решение: '''
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

----

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-31T13:44:27Z

Пифагор ID 220:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365
Решение: 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

'''Задача 6. Продажа кур.'''
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
'''Задача 7. (старинная народная задача). Доплата''':
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен
100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
'''Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).'''
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
'''Задача 10. (Лошадь и мул).'''
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
'''Задача 11. (Птицы у реки).'''
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время.
Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

----
'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку

'''''Решение.''''' Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?

'''''Решение'''''
1) оставить 3 пинты вина в среднем.
2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон.
3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
'''''Решение'''''
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
'''''Решение'''''
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.

'''''Задача великого французского математика Безу.'''''По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стрелок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показывает 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положение, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
'''''Решение'''''
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток
8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.
О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?
'''''Решение'''''
Кант определил время следующим образом.
1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов).
2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при вы¬ходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколь¬ко времени он оставался в доме Шмидта (В часов).
3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
'''''Решение'''''
Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимал¬ся всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказал¬ся на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей.
О т в е т: 20 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
----

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №31. Задача Ньютона'''

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч,
скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км.
Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

'''Задача №32'''
Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

'''Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.'''

'''Задача №33.'''

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

'''Задача №34.'''

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №35.'''

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

'''Задача №36.'''

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:34, 27 октября 2008 (UZT)

----

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие:
Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

----

Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни

Условие:
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?

Решение:

Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:

5 : 2 = 2,5 (дирх.)

Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:

2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)

Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:

8 : 0,25 = 2 (дирх.)

Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:

2 * 3 = 6 (дирх.)

Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца.
--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)

----
Задача Эйнштейна
А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.

1. Есть 5 домов каждый разного цвета.
2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности.
3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

Подсказки:
Англичанин живет в красном доме
Швед держит собаку
Датчанин пьет чай
Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения)
Жилец зеленого дома пьет кофе
Человек, который курит Pall Mall, держит птицу
Жилец из среднего дома пьет молоко
Жилец из желтого дома курит Dunhill
Норвежец живет в первом доме
Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку
Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill
Курильщик сигарет Winfield пьет пиво
Норвежец живет около голубого дома
Немец курит Rothmans
Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду

Это всё, что необходимо для решения задачи.

Ответ: Хозяин рыбы - немец.--[[Участник:Гимназисты ID 201|Гимназисты]] 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
----

'''[[Участник:Искатели ID_249|Искатели ID_249]] 17:34, 28 октября 2008 (UZT)'''

'''Задача № 1'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?

РЕШЕНИЕ:

В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.

''Ответ:'' Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.

'''Задача № 2'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:54, 28 октября 2008 (UZT)

Медведь

в кашолке плюшки нёс.

И на лесной опушке

Он половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело. Он ускорил шаг.

И на крыльце избушки

Он снова пол остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кашолкою , увы,

Он в дом вошёл уныло…

Хочу чтоб мне сказали вы,
А сколько плюшек было?

РЕШЕНИЕ:

На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.

''Ответ:'' 7 плюшек.

'''Задача № 3'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?

РЕШЕНИЕ:

Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.

''Ответ:'' хозяйка сварила 27 картофелин.

'''Задача № 4'''--[[Участник:Искатели ID 249|Искатели ID 249]] 18:58, 28 октября 2008 (UZT)

Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?

РЕШЕНИЕ:

Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.

''Ответ:'' у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.

----

== [[Участник:Истина_ID_218]] ==

=== Старинные китайские задачи ===

'''Задача о похищении риса.'''
Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение. 
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой. 
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком. 
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской. 

19х+1 = 17y+14+12z 
19x = 12z 
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t 
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14) 

x = 168 
y = 187 
z = 266

Похитили: 
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го. 
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го. 

'''Задача о глубине озера.''' 
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.

'''Задача о прямоугольном треугольнике.''' 
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 
a+b+c = p; 
a^2+b^2 = c^2; 
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем: 
(a+b)^2 = 4s+c^2 
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим: 
c = (p^2-4s)/2p 
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения: 
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

'''Задача о городе, обнесенном круговой стеной.''' 
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города. 
--[[Участник:Истина ID 218|Истина ID 218]] 20:24, 27 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:54, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом?
Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей.
След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей.
Ответ: 2000 рублей.

Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов.
Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:52, 28 октября 2008 (UZT)

----

== ''Участник:'''Максимум ID-251''''' ==

1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?
Ответ: Летели одна за другой три утки

2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов
ЗАДАЧА
Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.
ВОПРОС: на сколько обманули продавца?
''Ответ:'' Рассуждаем:
доходы продавца: 25р от мальчика
расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р)
итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р
Можно рассуждать и по другому:
соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать.
Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)

3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
''Ответ:'' Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате.
Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю?
''Ответ:'' Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.

5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину?
''Ответ:'' За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.

6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?
''Ответ:'' Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.

7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель":
Однажды нес пастух куда-то молоко,
Да так ужасно далеко,
Что уж назад не возвpащался.
Читатель! Он тебе не попадался?
И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно:
ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь?
Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом:
Будет ли путь бесконечным?
Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.

8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты?
''Ответ:'' Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.

9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку:
КОРОВА - 2
ОВЦА - 2
СВИНЬЯ - 3
СОБАКА - 3
КОШКА - 3
УТКА - 3
КУКУШКА - 4
ЛОШАДЬ - 5
ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?
''Ответ:'' 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)
''Ответ:'' Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.
Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?
''Ответ:'' Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?
Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.
''Ответ:'' Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 16:44, 28 октября 2008 (UZT)

----
[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.'''

Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.

Решение.

Геометрическая прогрессия:

1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.

Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)

(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16

Ответ. 16 ран.

'''Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.'''

«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение.

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6,
5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d.
2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
----

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Крестьянин и чёрт''

Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".

Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.

Сколько же у крестьянина было денег сначала?

''Решение''

Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.

Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.

''Ответ'': 21 копейка.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 01:43, 29 октября 2008 (UZT)

---------------------------------

[[Участник:Борей_ID_238]]

1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание.
«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном.
ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)

2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».

Решение:

1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.

2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек

3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.

--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 12:40, 29 октября 2008 (UZT)

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-31T12:37:46Z

Пифагор ID 220: /* Команда ID_220 "Введите название команды" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_089 "Экстремумы" ==
Во время обучещего тура мы разбились на несколько команд, каждой команде выдали по несколько задач, все задчи оказались очень интересными, как и следовало ожидать.Урок прошел очень интересно и мы узнали несколько новых способов решений задач.

== Команда ID_201 "ГИМНАЗИСТЫ" ==
'''Команда "Гимназисты"''' в полном составе знакомилась с задачами обучающего тура. Нас 10 человек, мы работали в группах по 2 человека. Решили взять первые 20 задач, распределили их дети между собой следующим образом:

I группа (Володин Александр, Онучкина Мария) - № 1, 17

II группа (Лещинский Михаил, Кузичева Анна) - № 2, 15

III группа (Ржанов Антон, Ивченко Валерия) - № 3, 10

IV группа ('''Кувардин Евгений''', Котлова Анастасия) - № 4, 12

V группа (Баннов Илья, Карева Инна) - № 5, 9

Первые (№ 1 - 5) решили быстро, используя старые знания, составлением уравнений. Следующие оказались труднее - пришлось обратиться за помощью к источникам по математике.
После размещения решений задач обучающего тура было интересно узнать новые методы решения
----

----

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Волшебники города формул" ==
Наша команда обучающий тур провела в форме игры "Кто быстрее".
Получив задания, каждый из нас поспешил их правильно решить.
Самым быстрым и успешным оказался Валев Илья.
Нам очень понравились задачи на проценты.
Самыми сложными для нас оказались задачи №13, 22, 27, 28, 29, 30, 31, потому что мы еще не умеем так решать.
Самыми простыми 2, 3, 16.
[[Изображение:Wolschebniki_1.JPG|50%]]
[[Изображение:Wolschebniki_2.JPG]]
[[Изображение:Wolschebniki_4.JPG]]
[[Изображение:Wolschebniki_5.JPG]]
[[Изображение:Wolschebniki_7.JPG]]
[[Изображение:Wolschebniki_8.JPG]]

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Задачник" ==
Обучающий тур в нашей команде прошел очень интересно. Сначала наша "могучая четверка" совместными усилиями прорешала все полученные задачи. Огромную роль в этом сыграл наш учитель математики, которая помогла нам не только с теоретическим материалом, но и с фактическим решением задач. Когда все ответы были найдены, мы решили провести внутреклассную олимпиаду, наш преподаватель не пожалел своего бесценного урока и помог нам в ее проведении. Наша команда, выше упомянутая "могучая четверка", была в качестве жюри. По итогам олимпиады были выявлены самые умные, с которыми позднее мы обсудили задачи и их решения. Наиболее интересными и в то же время сложными для нас оказались задачи на движение, легко решались задачи на проценты. Мы узнали много новых способов решений, которые пригодятся в решении текстовых задач ЕГЭ в блоке В (задание 9). Свой вклад внес и учитель информатики, который распечатал и разместил итоги внутреклассной олимпиады на школьной информационной доске.

== Команда ID_210 "КЮМ" ==

1. Команда была разбита на подгруппы (по классам), выбраны капитаны команд.

2. Каждый член команды индивидуально выполнял задания обучающего тура. Через неделю участники сдали выполненные работы своему руководителю. После проверки работ состоялось обсуждение решения задач. И определились лидеры в каждой подгруппе.

3. Справочники по математике, Интернет. Более полезными оказались справочники по математике.

4. Все задачи были очень сложными.

5. Капитаны каждой подгруппы выполняли роли консультантов по решению задач и организаторов.

6. Учитель Михайленко Лидия Лукинична выполняла роль организатора, консультанта, контролера.

7. Технический консультант Антонова Мария Альбертовна помогала нам размещать информацию на страницах ТОЛВИКИ и работать в Интернет.

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Великолепная восьмерка" ==

[[Изображение:212 об2.JPG|thumb|left]]В нашей школе прошел обучающий тур ДООМ. Его темой было “Решение сюжетных задач».
Наша команда с руководителем разобрала присланный материал. После чего мы решили несколько задач. Они нас заинтересовали. Мы стали разбирать их на переменах и после уроков вместе с одноклассниками. Но наши друзья испытывали трудности в теоретическом обосновании. Поэтому, при повторном сборе команды, мы подумали, что нужно выступить в 6-9 классах с рефератами о методах решения заданий, а на индивидуальных занятиях решать задачи из обучающего тура с последующем разбором присланных ответов и сравнить их со своими.

Бокова Анна – командир, придумала [[Медиа: сюжет212.ppt|презентацию]] « Сюжетные задачи и их решения» и в Интернете нашла еще много дополнительного материала по данной теме. Презентацию с ее рефератом были представлены в 9 классах на индивидуальных занятиях по математике. Косков Михаил, Теселкин Сергей, Филиппова Дарья помогали Анне в составлении презентации выступили со своими работами в 6-тых и в 8-х классах. Бурдиков Леонид и Осипов Дмитрий выступили со своей работой в 7 классах.

[[Изображение:212 об1.JPG|thumb|left]]Самое трудное было конечно решать задачи, но это было и самое интересное не только для команды, но и для их одноклассников. Даже начальная школа подключилась.
Ребята из 1 «В» принесли нам задачники Г. Остера и М. Беденко. Дело в том, что в 1 «В» учится брат одного из участников ДООМ. Он то и поделился дома, что в школе проходит дистанционная олимпиада, и в рамках этой олимпиады проходит конкурс «Великие исторические сюжетные задачи». Мальчишка поделился с этой информацией в своем классе и они отыскали для нас две замечательные книги Г. Остера «Задачник» и
М. Беденко «Задачи».

Мы думаем, что и родители, наверно, тоже включились в процесс решения потому, что с индивидуальных занятий по математике мы многие задания брали домой.
Действительно сюжетные задачи разбирать куда интереснее, чем обычные текстовые. Ведь параллельно узнаешь еще много чего интересного.

<center>Сюжетные задачи –

Это интересно и весело.

В сюжетных задачах

Есть сказка и быт.

Их в школе решали

Все вместе мы.

Все были при деле,

Никто не забыт.

Теорию мы вместе разбирали.

И хотим организаторам ДООМ сказать:

«Спасибо за обученье, что Вы прислали!

Хотим решать, решать, решать». </center>

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Новое поколение" ==

Обучающий тур проходил в школе под руководством учителя ИКТ Малышевой С.В.
Команде было дано задание, капитан команды распределил задание между участниками, поработав над заданием самостоятельно, команда собралась в полном составе для обсуждения всех решений. Основным источником для решения заданий стали книги и, как ни странно, родители. Так же помощь оказали ребята школы, кто не входил в команду. Это стало своеобразным «клубом по интересам», никто никого не уговаривал, но обсуждение заданий стало очень «заразительным» примером, подключались все новые и новые ребята.
Общим решением было выяснено, что задания № 12, 9 стали самыми интересными,
задания № 35, 15- самыми трудными, ну а самым легким было задание № 7.
У нас получилось так, что есть не один, а два капитана команды, так как это стали две сестры- близняшки Катя и Настя Жданович. Целеустремленность этих девчонок заразила всю команду, подключив ребят из других классов и даже родителей. Но очень обидно, что ни один учитель математики не захотел помочь нашей команде. У всех нашлись срочные дела. Это даже, в какой-то мере закалило команду. Штабом всех обсуждений стал кабинет информатики, участие учителей в этом этапе было только лишь в лице технического консультанта, учителя информатики Малышевой Светланы Владимировны.
Отношение всех остальных учителей удивило своим «прохладным» настроением.
В довершение ко всем бедам- началась смена программного обеспечения в нашем единственном кабинете информатики, да ещё и двух недельное отсутствие Интернета.
Но ни смотря ни на какие трудности,задания нам очень понравились.
Ведь чем труднее и тернистее путь к достижениям, тем он ценнее для нас.
Команда «Новое поколение».

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Сталкера задач" ==

В нашей команде учащиеся 7б класса. Мы с нетерпением ждали задания обучающего тура, т.к. впервые принимаем участие в этом проекте. После того, как познакомились с заданиями, мы решили поработать с ними дома, а потом обменяться своими идеями. Задания были очень интересными. Не каждое можно решить с ходу. 
Задачи № 2, 3, 5, 7, 9 были нам знакомы. Их мы раньше решали на дополнительных занятиях по математике. Задачи № 1,4,10, 11, 25, 27, 32, 33, 34, 35 решили быстро, а с остальными пришлось попотеть. 
Мозговым центром в команде стал Данусевич Евгений. Он решил большинство задач, а потом объяснял их всему классу.
Подопленова Аня, Спириденко Саша, Дудин Степа провели "Час занимательных задач" в 5-х классах. Рассказали им о проекте ДООМ. 
В общем, время пролетело быстро и незаметно. Когда получили решения задач обучающего тура, мы были рады, что многие задания выполнили верно, а в некоторых не до конца продумали ход. 
В целом получилось неплохо.

== Команда ID_220 "Пифагор" ==
Команда "Пифагор" в этой олимпиаде стремилась всеми силами соотвнетствовать уровню великого математика, в честь которого названа.
Участники тщательно готовились к этому серьезному испытанию: разбирали аналогичные задания в течение длительного времени. И вот долгожданный момент настал...
Все собрались в школьном кабинете математики, горя желанием попробовать свои силы в решении сложнейших заданий. Мы не могли не оценить тот практический опыт, который получили при выполнении обучающих заданий. Он поможет нам через 3 года, когда настанет момент сдачи итогового экзамена по предмету в форме ЕГЭ, от которого будет зависеть наше будущее.
По форме и содержанию задания были столь интересны, разнообразны, нестандартны, что ребята не могли не задействовать при их решении как можно большее количество учащихся восьмой параллели.Сразу же возникли творческие группы по видам задач,центром которых стали: Казанцева Настя, Чайковский Виктор, Кригер Дмитрий. Они смогли силой своего желания сплотить около себя единомышленников.
Надеемся, что решенные задачи обучающего тура помогут нам добиться успеха в конкурсном туре.
И мы в очередной раз убедились в правоте высказывания М.В. Ломоносова: "Математику уж за тем учить надо, что она ум в порядок приводит".

== Команда ID_221 "Федерация Тайн" ==

Так как наша команда состоит из ребят 7,8 и 10 класса, то члены команды в своем классе (с помощью учителя) организовали мини-команды классов. В каждом классе прошли свои мероприятия, в котором были свои «изюминки».

Рапортует 7А класс! В 7А сначала было занятие по теории, потом занятие по решению задач. Причем, мы решали не только те задачи, которые приготовила Марина Владимировна Лесных, но и те, которые нашли ребята. И самое интересное- у нас была домашняя олимпиада с привлечением родителей. Некоторым папам и мамам (привлекли даже дедушку) так понравились задачи, что они ждут новых задач.

Рапортует 8А класс! В нашем классе отлично прошел этап сбора материала. Столько задач было найдено! Кто-то «залез» в Интернет, кто открыл справочник. В общем - только разбирайся! Интересно было решать задачи.

Рапортует 10Б класс! Во время каникул мы собирались командой с нашим руководителем Мариной Владимировной для обсуждения решений задач. А затем была проведена олимпиада.

Мобилизовав все свои знания и умения, мы ждем конкурсные задачи.

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!

Кроме рекомендуемой литературы мы ещё ознакомились с:

1. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров "Забавная арифметика", М., "Наука", 1991.

2. Г.И. Глейзер "История математики в школе", М., Просвещение, 1981.

3. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка", М., Дрофа, 2006.

4. А.В. Фарков "Математические кружки в школе", М., Айрис-пресс, 2006.

Там мы нашли много сюжетных задач и рекомендаций к решениям этих задач.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Совокупность "жареных семечек" ==

20 октября. Вся команда в сборе. Необходим четкий план действий.
Долго спорили... Окончательное решение все же приняли:
<gallery>
Изображение:426.jpg|Совещание
Изображение:427.jpg|Что же делать?
</gallery>

1) Каждому самостоятельно изучить пособие по решению сюжетных задач.

2)Подготовить презентацию «Методы решения текстовых задач».

3) Провести конференцию в 5-х, 6-х классах по решению задач арифметическим способом.

4) Устроить в школе конкурс «Старинные задачи».

5) Внутри команды провести математический бой по задачам, предназначенным для самостоятельного решения.

6) Провести математическую регату для 8-10-х классов «Формула текста».

7) Оформить отчет о проделанной работе.

Как ребята справились с первым пунктом плана, останется на их совести и коснется их знаний. Но, все дружно говорили спасибо организаторам за замечательное методическое руководство. Особо понравился раздел, касающийся геометрического способа решения задач.

Мы учимся по учебным пособиям Никольского, и надо отметить, что арифметический, алгебраический и геометрический методы решения нам знакомы, мы пользовались ими при решении. Но в вашем пособии замечательно систематизирован материал, что нам очень понравилось.

Презентацию «Методы решения текстовых задач» готовили Аня и Сережа.

Первый прогон сделали на уроке алгебры.

Презентация получилась очень приличной. Рассмотрены задачи на проценты, движение, задачи на смеси и сплавы, старинные задачи. К некоторым задачам приведено несколько способов решения.

Работу ребят мы оценили на отлично!

Затем нам предстояло провести конференцию в 5-6 классах по решению задач арифметическим способом.

С помощью нашего руководителя подготовили список интересных задач. Подобрали задачи на части, пропорциональное деление, на нахождение неизвестных слагаемых через сумму и разность.

Несколько слайдов из презентации Ани и Сергея пришлись очень кстати. Конференция прошла хорошо. Ребята задавали много вопросов. Придумывали задачи, решали. В подготовке и проведении конференции принимала работу вся команда. В конце конференции мы объявили конкурс «Старинная задача».

'''Фоторепортаж с конференции'''
<gallery>
Изображение:430.jpg|
Изображение:432.jpg|
Изображение:478.jpg|
</gallery>

К 26.10.08г. мы уже были теоретически подкованы, рвались в бой.

== «И грянул бой…» ==

В воскресенье прошел математический бой по решению текстовых задач.

Наш руководитель предложила провести его внутри команды для того, чтобы мы своими силами подготовили регату для других учащихся гимназии.

Две команды по 4 человека (не все могут в выходной решать задачи!) получили на два часа 9 задач. Затем команды заняли свои исходные позиции.

Конкурс капитанов выиграл Стас, что позволило его команде сделать первый вызов на самую сложную задачу, команда противников отказывается и…

В результате двухчасовых боев победила команда Стаса! Главная цель боя достигнута! Детально разобраны девять задач! Кстати, лучшие аппоненты оказались в первой команде!

Остальные задачи для самостоятельного решения взяты домой в качестве «домашнего задания»

Подбором задач, а так же «беспристрастным судейством» занималась Лариса Вячеславовна.

'''Фоторепортаж с поля матбоя'''

<gallery>
Изображение:465.jpg|Бой в разгаре
Изображение:456.jpg|1 команда
Изображение:452.jpg|2 команда
Изображение:Stas.jpg|Как же тебя убедить???
</gallery>

30.10.08г, т.е. сегодня, мы провели МАТЕМАТИЧЕСКУЮ РЕГАТУ «Формула текста».

Участвовать в ней были приглашены команды из 8 «А» класса (2команды), 8 «Э» класса (1 команда), 9 «А» (2 команды), 10 «А» (1 команда), итого 6 команд по 4-ре человека.

Регата проходила в три раунда, в каждом раунде по три задачи. На первый раунд отводилось 10 минут, на второй -15 минут, на третий раунд- 20 минут (самые сложные задачи). Каждая решенная задача приносила команде 10 баллов. После каждого раунда шел разбор задач представителями нашей команды и одновременно проверка.

«А судьи кто?» И судьи - мы!

На регату были выставлены задачи матбоя.

В результате «тяжелейших боев» победу одержала команда 9 «А» класса №1 (по секрету, в ней оказалось два победителя районной олимпиады по математике прошлых лет , они же победители школьного этапа в нынешнем учебном году). На втором месте команда 10 «А» класса.

Все команды получили брошюру «Сюжетные задачи» в подарок, а команды, занявшие 1-е и 2-е место – торт!

'''Фоторепортаж с математической регаты'''
<gallery>
Изображение:438.jpg|идет 1-й раунд
Изображение:485.jpg|разбор задач
Изображение:487.jpg|разбор задач
Изображение:484.jpg|2-й раунд
Изображение:469.jpg|3-й раунд
Изображение:486.jpg|работает жюри
Изображение:492.jpg|Итоговая таблица
Изображение:490.jpg|Ура! Мы победили!
</gallery>

О роли каждого члена команды и руководителя в обучающем туре, мы рассказали.

Роль нашего координатора, Сергея Борисовича, надеемся, будет оценена компетентным жюри (после 17 ноября) в 30 баллов в копилку команды. Он занят написанием статьи к семинару ДООМ.

Вклад капитана – это наша дружная работа.

Какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать?

Задачи хороши все. Удивительно, но задача « Экологи запротестовали…» вызвала на регате у многих команд затруднения. Ребята не смогли провести аналогию с «задачами про огурцы».

Итак, обучающий тур закончен, систематизированы знания, приобретены навыки в решении задач.

Мы рвемся в новый бой!
--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 19:05, 30 октября 2008 (UZT)
----

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Сапоги Шварца" ==

Обучающий тур в нашей школе был организован и проведен следующим образом:

1. Предварительно учитель математики, Белькова Анна Алексеевна, провела урок в пятых классах по теме "Сюжетные задачи".

2. Затем была проведена внутришкольная олимпиада по математике среди учеников пятых классов, где им были предложены задачи обучающего тура, полученные от организаторов олимпиады.

3. Результаты проведенной олимпиады были вывешены на школьном стенде.

[[Изображение:sapogi_tur1.jpg]]

Руководитель команды, Белькова Анна Алексеевна, в рамках обучающего тура познакомила учащихся пятых классов с понятием "сюжетная задача", с этапами решения задач, а также методами и правилами, которые используются при решении сюжетных задач.

Технический консультант, Бельков Дмитрий Николаевич, помог нам красиво оформить результаты проделанной работы, а также грамоты для победителей внутришкольной олимпиады.

По итогам проделанной работы был сделан вывод, что сюжетные задачи решать очень интересно. Однако знаний, умений и навыков, которыми мы обладаем, было недостаточно, чтобы решить все задачи, которые были перед нами поставлены. Наиболее легкой для нас оказалась задача №34 про гусят и утят. Также не вызвала труда задача №14 на совместную работу двух землекопов. Наиболее интересной для нас оказалась задача №21 про кенгуру и кенгуренка. Самой сложной для нас оказалась задача №16 про храбрых витязей и кузнецов.

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас и мы дома решили или хотя бы попробовали решить эти задачи. Принесли на следующий день их нашему руководителю, и она назначила время встречи нашей группы, мы пришли а она проанализируя наши решения, помогала нам в решении всех задач, и только 3 из них мы не смогли решить самостоятельно, нос помощью Светланы Александровны, решили их. Это было в субботу, а в воскресенье мы пошли в наш Омский ТЮЗ НА СПЕКТАКЛЬ"ПУТЕШЕСТВИЕ ПРОФЕССОРА ТАРАНТОГИ". Вот так замечательно прошел наш обучающий тур.[[Изображение:S6300854.JPG]]
И мы с большим нетерпением ждем задачи конкурсного этапа.

== Команда ID_228 "ЭВРИКА" ==
Работу над задачами обучающего тура начали еще в сентябре на кружке "Эврика", где прошли процент и комбинаторику. С получением ваших задач, дома самостоятельно пробовали решить задачи (по 2 задачи каждый участник). затем мы собрались на кружок и провели совместную работу н6ад задачами. И затем презентовали проделанную работу на собрании нашей команды. Капитан команды не только раздавал задания, но и участвовал в решении вместе со всей командой. учитель математики с разными группами не только решала задачи, но и искала методы и решения задач.Дополнительной литературой мы не пользовались. Нои конечно наш несменный сетевой координатор помогает нам работать в Вики.
Ждем самой олимпиады с большим нетерпением.

== Команда ID_229 "Свет" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на занятиях математического кружка повторили основные понятия, элементы математической логики. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии кружка решали однотипные задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял команды для групп и указывал решения. Учитель математики на каждом занятии кружка работала с разными группами и принимала участие в отстаивании решения.
Наиболее трудными нам показалась задача №4, а легкой №14, интерес вызвало решение задачи №21. На занятиях в группах использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_230 "ОМОН" ==
Команда
«ОМОН»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 118» города Омска представляет отчет о проделанной работе:

Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 9– х классов, так как участники команды из разных классов. Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Пресс – конференция» и «Урок – эстафета».
«Пресс – конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медио – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить вопросы:
1. проценты, простые и сложные;
2. графы;
3. некоторые способы решения логических задач;
4. смеси и сплавы.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся на экзаменах.
«Урок – эстафета»
На этом уроке классы разбились на группы по 4, 5 человек, обязательно в группе должен быть участник команды, который заранее изучал материал и прорешал некоторые задачи. Учащиеся состязались в решении задач обучающего тура не только между командами, но и класс против класса. При решении задач надо было уложиться во время, а также выделить самые трудные, самые легкие задачи, самые интересные. Вот, что получилось:
класс 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
91
92
- самая интересная - самая легкая - самая трудная
Затем классы менялись решениями и обсуждали, чей способ решения лучше, компактнее или оригинальнее.

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Архимеды" ==
Работу над задачами обучающего тура мы начали с анализа тем, к которым относятся предложенные задачи, затем на внеурочных занятиях повторили основные понятия. Команды разбились на 3 группы по 2 человека и на следующем занятии решали эти задачи, обмениваясь ответами, если надо решениями. Командир команды распределял задачи для групп. Учитель математики на каждом занятии работала с разными группами и пнаправляла участников.
Наиболее трудными нам показались задачи №13,22,29 а легкой №5, интерес вызвало решение задачи №30. На занятиях использовались учебники Сканави, Шарыгина и Гальперина.

== Команда ID_233 "Интеграл" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 11– х классов, так как участники команды из разных классов. Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятие и назвали его: «Математическая конференция». Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медио – материалы.

== Команда ID_234 "КУБ" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил на параллели 10– х классов, так как участники команды из разных классов параллели 10-х . Этой теме мы решили посвятить внеклассные мероприятия и назвали их: «Математическая конференция».
Присланные Вами задачи, а также материал из дополнительных источников, мы разделили на блоки. Эти блоки готовили для выступлений перед классом, участники команды рассказывали теоретический материал каждый в своем классе. Наши выступления были очень красочными, наглядными, поучительными, так как мы использовали плакаты, рисунки, медиа – материалы.
Мы заранее вспомнили и постарались в интересной форме осветить все вопросы затронутые в задачах.
Этот урок был полезен для нас, так как мы вспомнили много способов решения, которые быть может пригодятся нам в дальнейшем.

== Команда ID_235 "ПОБЕДА" ==
Всем добрый день!
Спешим поделиться впечатлениями о проведении обучающего тура в нашей команде.
В рамках проведения недели предметных олимпиад учащимся 5 - 11х классов были предложены задачи обучающего тура.
Участники ДООМ выступали в роли экспертов. Для этого ребятам было необходимо ознакомиться с теоретическим материалом, приготовленным оргаизаторами ДООМ, самим решить множество задач. Ребята выбрали 30 задач из предложенных для 5-7 классов и 35 задач из предложенных для 8-11 класса. Для участников внутришкольной олимпиады они отобрали на их взгляд самые интересные 15 задач, также был проведен конкурс на самое оригинальное решение, самое лаконичное. Учитель математики активно принимал участие в работе жюри.

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Erudity" ==

Как проходил обучающий тур в команде.

С чего мы начали?
Сначала на общих занятиях мы изучили теорию. Познакомились со способами решений задач. Оказывается интересно решать задачи на проценты. Не всегда вникаем в задачи на движение, упуская какой-то момент, а он является важным.

Понять суть задач иногда приходилось в споре. А еще мы привлекли своих одноклассников, и не обошлось без помощи учителей математики.

Потом были получены задачи. Каждый получил задачи на дом и приступил к решению. Через неделю мы сели на семинар по обсуждению решенных задач.

Наша команда из разных возрастов, поэтому старшим было интересно разбирать решение задач младших школьников. А они потрудились на славу! Правда нам пришлось помочь им решить задачи №29, №27, №22.

А к решению задач второго уровня мы подошли так: пригласили своих одноклассников 10-а класса на олимпиаду. Пришло правда немного человек, ведь далеко не все любят математику. Решили задачи, разбив их на группы. Олимпиада длилась 2 часа. Через день мы собрались, чтобы обсудить решения и сравнить наши решения с высланными организаторами. Мы разобрали задачи № 16, №22, №33, №40.

В нкашей работе помогали не только наш руководитель Галина Сергеевна, но и учителя математики школы. Большое им за это спасибо!

Литература, которой мы пользовались, кроме высланной методички:

#М.К.Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко Конкурсные задачи по математике, Москва, «Наука», 1992
#Алгебра 9 класс Предпрофильная подготовка итоговая аттестация -2006, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Ростов-на-Дону, 2005

== Команда ID_245 "Смешарики" ==

[[Изображение:P1010026.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010024.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010030.JPG|thumb]]
[[Изображение:P1010015.JPG|thumb]]

Сюжетные задачи очень занятны, некоторые были легки, а многие слишком сложные, поэтому могли в них разобраться используя готовые решения или подсказки...

Как только наша команда получила обучающие задачки командир команды при помощи руководителей Деминой Т.В. и Гурилевой Л.В. собрали команду на совещание. Там мы сделали примерный план работы с задачами:

1)Команду разделили на группы(группы состояли из 2-3 человек).

2)Разделили задачи между группами и каждая группа привлекла учащихся из своих классов для разбора и решения задач.Разобрали по 7-8 задач из каждой группы.

3)Подведение итогов учащиеся решили провести в виде игры "Круглый стол Знатоков" ,где были предложены остальные задачи, которые решали ребята с большим интересом, потому что были условия похожие на жизненные, были "вкусные" задачи, задачи с сказочным сюжетом. По окончании игры была проведена фотовыставка нашей работы.

Учащимся среднего звена (5-8кл) больше всего понравились задачи про Нью-Васюковскую биржу (№5), дружину храбрых витязей (№16), про банановую республику (№29),утят и гусят (№34),их они первыми выбирали для решения, так как условия этих задач не похоже на те, что которые есть в учебнике. . Очень помогло, что для многих задач есть подсказки.
Более старшим учащимся больше понравились про банк (№2, 15, 37), про «любимый» сотовый телефон (№12) и Али-Бабу(№24). Так-же все с удовольствием решали задачи про Вини-Пуха и Пяточка, уничтожающих запасы ослика Иа-Иа (№17) и Остапа Бендера с Кисой Воробъянинова, делящих выручку от продажи слонов. Для решения этих задач учащиеся даже сначало делали рисунки, а уж потом решали их.
Однако одиннацатоклассники с удовольствием решали задачи и для 5-7 классов, особенно на сплавы, проценты и движение (№ 3, 5,9,13, 22, 35), так как эти задачи есть в заданиях ЕГЭ. Эти задачи даже рассматривались на уроках во всех одиннадцатых классах.

== Команда ID_246 "два+пять" ==
Руководитель: Егорова Светлана Викторовна

Уважаемые организаторы проекта!
Мы, команда «Два + пять», провели обучающий тур в виде аукциона. Каждый член команды получил полный набор задач (для учащихся 8-11 классов) и в течение недели их решали. Вчера мы провели аукцион. А проходил он так: нам предлагалась задача и указывалась ее минимальная стоимость ( деньги у нас были из игры «Менеджер» и определенную сумму в начале игры выдали каждому участнику), если ученик решил задачу он начинал торги за право показать свое решение. Если решение было верным, заявленная сумма шла на счет ученика, если же – нет, то эта сумма учеником вносилась в классную копилку. Аукцион проходил весело и интересно. Мы успели рассмотреть достаточно много задач, хотя и не все решили правильно, но в ходе обсуждения мы все-таки вышли на правильное решение. Задачи нам понравились, несмотря на то, что некоторые задачи мы не сами решили, а разобрали готовое решение. Мы считаем, что это тоже очень полезно. Спасибо за интересную подборку задач!!!
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Здравствуйте! Здравствуйте! Здравствуйте!
Вас приветствует команда «Русичи». Обучающий тур мы проводили в два этапа. Первый этап – игра «Самый умный». Учитель нам предлагал задачу, на решение которой отводилось 5-10 минут. Тот, кто быстрее всех справлялся, показывал свое решение на доске. Так как мы еще в 5 классе, не все задачи из предложенных в первом туре мы можем решить, поэтому учитель предлагал только те, которые были нам по силам. Второй этап – домашняя олимпиада. Оставшиеся задачи нам предложили попытаться решить дома. Учитель предложил нам воспользоваться помощью родителей или старших братьев и сестер. Так что мы решали некоторые задачи целой семьей. Кстати, родителям тоже понравилось решать эти задачи.
Будем с нетерпением ждать следующий тур.
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "ИСКАТЕЛИ" ==
Руководитель: Яковлека Татьяна Викторовна.

Решение задач обучающего тура проходило по группам. Каждая группа получила методические материалы, задания обучающего тура и список информационных ресурсов. Затем в каждой группе произошло распределение обязаностей: каждый готовил один из теоретических вопросов и за "круглым столом" происходило изучение теории по данным вопросам. Капитан команды координировал работу всех групп. Технический консультант организовал работу по поиску информации, оказывал помощь при работе с Internet, занимался рассылкой почты.
Самые младшие участники охотно принялись за решение и хотя не всё получалось, но "глазки горели". Они работали под руководством консультанта и обращались к учителю, но нечасто.
Основную нагрузку взяли на себя старшеклассники (9-10 классы). Они решали задачи и работали самостоятельно. В группах происходило обсуждение решений задач.
Получив от учителя правильные ответы, "Искатели" проверили прорешанные задания, нашли свои ошибки, ещё раз пересмотрели и пришли к окончательному выводу.
Итог работы подведён на мини-конференции, где были названы фамилии самых активных участников, которые с большим интересом брались за выполнение заданий (как в среднем, так и в старшем звене).
Задания были интересны, занимательны, увлекательны, что заставило ребят подойти к решению задач очень серьёзно, добросовестно, некоторые так увлеклись, что им хотелось продолжить работу.

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==

 <div style="background-color: MistyRose">Получив перечень задач по обучающему туру, мы с огромным энтузиазмом приступили к выполнению заданий. В процессе, нам открывались всё новые и новые пути решения и способы нахождения результата. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Изначально мы решили распределить обязанности между участниками команды. Мы выбрали ответственного за выполнение работы, после чего, собрали нашу команду и взялись за поиск ответов. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:По ходу работы, самыми сложными для нас оказались задания для участников ВУЗов. Мы долго думали, искали правильные решения, много трудились и всё-таки достигли желаемого результата, конечно не без помощи учителей, специализированных сайтов и литературы. Затем мы провели викторину между девятыми параллелями, в итоге которой выявились наиболее способные в области математики ученики. </div>
<div style="background-color: MistyRose">:Нам очень понравилось принимать участие в данном туре, и мы с нетерпением ждём следующих заданий! </div>


== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Товарищество" ==

Обучающий тур олимпиады проходил в виде игры '''«Счастливый случай».''' Было очень интересно! Между всеми членами команды были распределены задания (вытаскивали номер задачи, которую будут решать). Каждому достались разного рода задачи.

Источники:
*Различные энциклопедии
*Знания родителей
*Интернет
*Книги типа «Занимательная математика»

Оказывается, знания родителей оказались для большинства самыми полезными и полными.

Самое '''легкое''' – нарисовать, не отрывая руки, звезду. Самое '''интересное''' – С Винни-Пухом и Пятачком, найти один выход и один вход в лабиринте. Самые '''трудные''' (скорее, нелюбимые) – задачи с процентами.

Капитан Морозова Лиза и «мозговой центр» Корпан Александр постоянно информировали членов команды о предстоящей работе, были координаторами в решениях задач, предоставляли требуемую литературу. Решали задачи все члены команды. Учитель Елисеева Любовь Васильевна консультировала в сложных случаях. Технический консультант Озеркова Ирина Александровна получала задания и отправляла отчет.

Постигая все задачи,
Мы вступаем на дорогу,
На которой познаются
Тайны жизни понемногу.
Но не каждому природа
Разгадать себя позволит.
Терпеливому «народу»
Мир познаний дверь откроет.
Ставить правильно вопросы
Нас всегда задачи учат.
А не верящий в победу,
Ответ верный не получит.

== Команда ID_266 "МАКСИМУМ" ==
Наша команда в очередной раз приветствует участников и организаторов конкурса. Мы спешим поделиться с вами своими впечатлениями об обучающем туре. Наш руководитель команды - Анна Михайловна - учитель математики, предложила замечательную идею: провести конкурс "Задачки решать, как орешки щелкать" со всеми учащимися 7-х классов. Каждый член команды "МАКСИМУМ" в своём классе создал мини-группу. Участники этих групп в течении недели решали "Сюжетные задачи". Итогом конкурса стал "круглый стол", на котором капитаны команд мини-групп защищали выбранные способы решения задач. В ходе обсуждения были сделаны следующие выводы:
* Самыми интересными были избраны задачи под номерами '''4, 10, 16, 20, 25.'''Решив задачу №4 мы узнали, что тугрики используют в Монголии, а кроны являются денежными единицами многих европейских стран. Учитель информатики Оксана Валентиновна помогла нам найти эту информацию в интернете.
* Задачи под номерами '''13, 19, 28, 29, 33, 34''' вызвали у большинства участников наибольшие затруднения.
* Очень бы хотелось в наших учебниках по математике видеть как можно больше таких задач, потому что они не только заставляют считать, но и вызывают большой интерес к предмету

Анна Михайловна обеспечила группы следующей литературой:
* Бабинская И.Л. "Задачи математических олимпиад" +
* Баврин И.И, Фрибус Е.А. "Старинные задачи", "Занимательные задачи по математике" +
* Клименко Д.В. "Задачи по математике для любознательных" +
* Лихтарников Л.М. "Задачи мудрецов" +
* Германович П.Ю. "Сборник задач по математике на сообразительность" +

Оксана Валентиновна обеспечила доступ к интернет ресурсам: +
* Мастер - класс «Методические приёмы в педагогической технологии…» +
festival.1september.ru/articles/500147/
* http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399 -сайт «МАТЕМАТИКА.ШКОЛА.БУДУЩЕЕ»;
* http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904 - статья «Как научится решать задачи»,

Капитаны самостоятельно организовали группы и смогли заинтересовать участников в решении этих слажных, но интересных задач.

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Дилемма" ==

После получения методических рекомендаций и текстов задач обучающего тура, члены команды внимательно ознакомились с текстами задач и объективно оценили свои возможности. Сначала каждый участник команды попытался самостоятельно решить предложенные задачи, а потом команда собралась снова вместе и подвела итоги проделанной работы. Трудные задачи попытались решить все вместе. Настроение у всех было приподнятое! Очень хотелось поделиться приобретенными знаниями. И мы решили повторить прошлогодний опыт и с помощью координатора команды подготовили и провели внеклассные мероприятия по решению сюжетных задач. В 5Г классе был проведен математический КВН "Мистер X". Класс был разбит на три команды, которым были предложены увлекательные задачи. Ребята пели, рисовали и просто с удовольствием решали задачи.
В 8Г классе был проведен брейнринг "Старинные задачи". Ребята пытались решить старинные задачи Вавилона, Индии, Китая, Греции и Египта.
Члены команды пережили незабываемые мгновения и надеемся доставили много радости участникам конкурсов!

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Аксио_МЫ!!!" ==

== <center>Мы рады снова вас приветствовать!</center>==

[[Изображение:Аксио_Мы.jpg |thumb|center| МЫ!!!]]
Сейчас мы бы хотели вам рассказать, что происходило с нами за последние недели.

Сначала, мы долго ждали пока до нас дойдут задачи.А когда мы их получили, то сильно удивились!
<gallery>
Изображение:Удивились.jpg |Ждали!
Изображение:Удивились2.jpg |Удивились!
</gallery>

!Нам конечно же хотелось сделать так!
Но пришлось делать так!
<gallery>
Изображение:Нам_хотелось.jpg |Хотелось сделать так!
Изображение:Пришлось.jpg |ПРишлось сделать так!
</gallery>

<center>А теперь серьёзно!</center>
20 октября мы получили задачи и решили, что встретимся через неделю и обсудим получившиеся решения.
Так и сделали, только встретились не в понедельник, а во вторник -28 октября! Следует заметить, что мы разделились на команды: 6 и 7 классы, 8 и 9 классы. Ребята из 10 класса нас покинули! !

Провели семинар (это слово нам подсказали учителя)по решению задач!

После данного заседания,Восьмиклассники решили порешать задачи из "младшей группы". Им они очень понравились! А вот шестиклассники, прочитав задачи из "старшей группы" не смогли их решить! Удивительно, правда!?

Скажем честно, что не все задачи оказались нам по плечу! А некоторые даже вызвали серьёзные затруднения! но мы не отчаиваемся и надеемся, что удача будет на нашей стороне! 

<center>Мы желаем соперникам большой удачи и верных мыслей в нужное время!</center>

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Integral" ==
Обучающий тур в нашей команде проходил так:
#Каждый из членов нашей команды получил задачи для самостоятельного решения.
#Каждый забрал задачи домой, чтобы попробовать их решить самостоятельно или с помощью родителей.
#Мы собрались с нашим руководителем.
#Разделились на две команды.
#Обсудили полученные решения.
#Представили решения задач.
В спорах рождалась истина. Помогли вовремя присланные ответы.

Руководитель умело управлял действиями нашей команды. Капатан - решал вопросы, смягчал конфликты. Технический консультант помогал с внесением и размещением информации в компьютер.

Мы пользовались литературой:
#Д.В.Клименченко "Задачи по математике для любознательных". Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. - Москва, Просвещение. 1992.
#А.В.Фарков "Учимся решать олимпиадные задачи".Геометрия. 5-11 классы. – Москва, Айрис-пресс, 2006.
#Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин "Математическая шкатулка". - Москва, Дрофа, 2006.

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Лада - Вектор" ==

В нашем лицее обучающий тур проходил в виде соревнования - <tt>«АВТОРАЛЛИ». </tt>

В нём приняли участие учащиеся 7 "А", 7"Б", 7"В" классов. В каждом классе были выбраны капитаны, а участники проекта ДООМ были назначены штурманами . Все полученные задачи были разделены на три части. Учитель математики Рыскалкина Наталия Васильевна дала старт командам 20 октября.
В «Пробном заезде» команды отвечали на теоретические вопросы, связанные с сюжетными задачами.

<gallery>
Изображение:Ralli_1.jpg

Изображение:Ralli_5.jpg

Изображение:Ralli 8.jpg
</gallery>

21 октября в «1-м заезде» команды решали задачи с 1 по 12.

22 октября во «2-м заезде» - с 13 по 24.

23 октября в «3-м заезде» - с 25 по 35.

Командиры отвечали за получение и сдачу решений задач в срок, привлекали к работе всех желающих. Штурманы активно помогали классу в трудных ситуациях, а порой и самостоятельно решали задачи. В результате всех «заездов» определились победители среди команд и лучшие «гонщики» в параллели.
Локальный координатор проверяла решения и начисляла баллы в километрах на каждом «заезде».

27 октября команды успешно финишировали.

«Финиш» был проведён в форме круглого стола, на котором подвели '''''итоги всех "заездов".'''''

[[Изображение: Итоги_Авторалли.jpg|thumb|Итоги "АВТОРАЛЛИ" ]]

[[Изображение: Штурманы_7-А.jpg |thumb| Штурманы 7 "А" класса]]

1место у 7 «А». «Пробег» этой команды - 1775 км.

2 место у команды 7 «В». Её пробег - 1245 км.

3 место занял 7 «Б» с результатом – 475км.

'''''Лучшие "гонщики":'''''

1место – Ткаченко Оксана (500км).

2 место – Шпилевой Дмитрий (475 км).

3 место – Кузнецов Сергей ( 350 км).

На "финише" команды определили:

- самые трудные задачи (№13,29),

- самые лёгкие (№23,26),

- самые интересные (№ 4,10,15).

Сравнили свои решения с решениями, которые были присланы из ДООМ. Оказалось, что наши ученики решили некоторые задачи другим способом.

Задача №34 (Решил: Шпилевой Дима)

Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусёнок?

Решение.

Пусть утёнок весит х кг, тогда гусёнок х + 100 (т. к. 2кг 500г – 2кг 400г = 100(г) на столько гусёнок тяжелей утёнка)

100 г = 0,1 кг

По условию задачи составим уравнение:

3х + 4х + 0,4 = 2,5

7х = 2,5  0,4

7х = 2,1

х = 0,3 0,3 = 300 (г) весит утёнок.
300 + 100 = 400 (г) весит гусёнок

Ответ: 400 (г) весит гусёнок.

Задача № 23 (Решила: Ткаченко Оксана)

Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат  40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?

Решение.

За 5 мин путь брата: 1/40 * 5 = 1/8

За 10мин путь брата: 1/40 * 10 = 1/4

За 15мин путь брата: 1/40 *15=15/40=3/8

За 20мин путь брата: 1/40*20=1/2

За 5мин мой путь: 1/30*5=1/6

За 10мин мой путь: 1/30*10=1/3

За 15мин мой путь: 1/30*15=1/2

Пусть, пройденный мной и братом до встречи  одинаков и равен 1/2 пути от дома до школы. Этот путь я прохожу за 15 мин., а мой брат на 5мин. больше, т.е. за 20 мин. Это соответствует условию задачи.

Ответ: через 15 мин. Я догоню брата.

[[Изображение:Задача1.JPG]]

Задача №28 (Решила Славкина Валерия)

Леша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир(в доме один подъезд). Номер этажа Леши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Леши? Ответ обоснуйте.

Пусть х - номер квартиры Иры, тогда квартира Леши находится из выражения х*9, так как на этаже 9 квартир.
Попробуем подбором определить номер квартиры Иры, а затем и Леши.
Если х=16 , то х*9=144 вычитаем 329- 16=313
т.к 313>144 – не подходит

Если х=28 , то х*9=252 вычитаем 329- 28=301
т.к 301>252 – не подходит, значит еще выше

Если х=31 , то х*9=279 вычитаем 329- 31=298
т.к 298 >279 – не подходит, значит еще выше

Если х=33 , то х*9=297 вычитаем 329- 33=296
т.к 296<279 – меньше на 1, значит эта квартира одна из 9 на 33 этаже, таким образом Лешина квартира имеет номер 296, а номер квартиры Иры – 33.
Леша живет на 33 этаже.

Задача № 33. (Кузнецов Сергей)

Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 пирамид. Сколько было больших пирамид?

Решение:

Пусть больших пирамидок – x , тогда маленьких пирамидок (20 - x).Известно,что в больших пирамидках по 7 колец , а в маленьких по 5 колец , и всего 128 колец.
Тогда:

7x + 5 × (20 – x) = 128

7x + 100 – 5x = 128

7x – 5x = 128 – 100

2x = 28

x = 28 ÷ 2

x = 14

Ответ: больших пирамидок было – 14 штук.

''В работе команд была использована литература:''

1. Гусев В.А., Комбаров А.П. " Математическая разминка". Москва. "Просвещение" 2005г.

2. А.В. Фарков " Готовимся к олимпиадам по математике". Москва. "Экзамен". 2007г.

3. А.В. Фарков " Математические кружки в школе". Москва. Айрис-пресс. 2008г.

4. А.В. Шевкин "Текстовые задачи". Москва."Просвещение". 1997г.

Технический руководитель помогал организовывать «заезды», оформлял итоги работы в школе и в интернете.

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Решарики" ==

''Здравcтвуйте! Ну вот и закончился обучающий тур! Как мы его провели? Он проходил у нас в несколько этапов. Сначала на уроках математики мы вспомнили методы решения текстовых задач и получили задания, высланные организаторами ДООМ. Нам было предложено решить несколько задач. К сожалению, задач, которые под силу решить пятиклассникам, оказалось не так уж много. В основном нам поддались задачи на проценты и на движение. В это же время мы занимались поиском старинных задач. Это оказалось очень увлекательным занятием. Оказывается существует столько старых интересных задач! В какой-то момент стало понятно, что вся команда разбилась на небольшие группки по интересам. Например, Глеб,Андрей, Вика и Вова решали задачи на проценты, а вот Оля, Женя и Худобаш с удовольствием решали задачи на движение. Антон, Аяз и Адилбек как орешки щелкали задачи на смекалку. Когда мы решили достаточное количество задач, учительница предложила нам провести семинар. С такой формой урока мы столкнулись впервые. Но оказалось, что это очень увлекательно. Для этого занятия Ольга Сергеевна приготовила презентацию. На экран выводилось условие задачи (а если того требовало условие, то и рисунок). Мы предлагали свои решения задач. Каждое решение обсуждалось, появлялись какие - то новые идеи. Оказалось, что некоторые задачи можно решить двумя - тремя способами. Генератором самых необычных способов решения задач был Кистенев Глеб. После того, как у нас уже не оставалось новых идей, мы могли просмотреть решение задачи, предложенное оганизаторами ДООМ. Таким образом, мы могли сразу исправить свои ошибки или убедиться в правильности нашего решения. Занятие прошло очень плодотворно. Мы решили множество задач, пообщались со всеми членами нашей команды (мы же из разных классов) и узнали, что урок, проводимый в форме семинара (тем более с применением презентации) может быть очень интересным.

''Конечно, на протяжении обучающего этапа нам помогла Ирина Владимировна. Она объяснила как в интернете искать информацию и какими сайтами лучше воспользоваться для поиска старинных задач.''

''Все члены команды принимали активное участие в решении задач и сейчас нам сложно выделить кого-то одного.''

''Теперь мы можем сказать, что готовы к остальным конкурсам проекта!''

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "СУММА" ==
Обучающий тур проходил в нашем классе, так как все участники команды - ученики нашего класса.

Сначала каждый ученик получил по 1-2-3 задачи для решения их дома. Выбор был своюодный и пожеланию. На нескольких уроках математики каждый, кто справился с заданием, рассказывал о своих решениях. Руководителькоманды предварительно проверила правильность решения.

Но не все задачи были решены. Тогда был предпринят "мозговой штурм": класс разбился на 5 групп и каждая группа попробовала общими усилиями решить проблему.
Одна голова - хорошо, а пять - лучше. Были решены еще несколько задач.

Легкими были задачи, которые соответствовали задачам учебника, а трудные - это задачи на проценты. Интереснее было решать те задачи, сюжет которых мы встречали в своей жизни.

Капитан команды Тимур помогал организовать группы, составил отчет об обучающем туре.
Технический консультант помогал отправить информацию, напоминал о сроках выполнения задания

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Плюс" ==

Так как в нашей команде всего пять человек, то к решению задач обущающего тура, мы привлекли несколько человек своего класса. Задания поделии, получилось у каждого по 6 задач. Распределили следующим образом:
*Глазов Данил решает № 1, 8, 15, 22, 29, 36.
*Глазов Сергей - № 2, 9, 16, 23, 30, 37.
*Жабина Таисия - № 3, 10, 17, 24, 31, 38.
*Давыдова Полина - № 4, 11, 18, 25, 32, 39.
*Еранов Владислав - №5, 12, 19, 26, 33, 40.
*Жиряков Антон (помощник) - № 6, 13, 20, 27, 34, 41.
*Визгалин Дмитрий (помощник) - № 7, 14, 21, 28, 35, 42.

Задания мы обдумывали и решали 4 дня. Далее, мы собрались все вместе и представили друг другу решения своих задач. Конечно, мы не все и не всё решили! Задачи оказались для нас сложными и интересными! Во многом при решении задач нам помог наш учитель и теоритический материал, который прислали организаторы олимпиады. Мы узнали некоторые новые для нас способы и методы решения сюжетных задач. Очень понравились задачи 10, 17, 19 и 24. Интересно было считать проценты в банке и скорость бега учительницы!
Спасибо за присланные решения, мы смогли увидеть свои недочеты и проработать решение наиболее трудных задач и задач, которые не решили сами. Надеемся, что подготовились к основному конкурсу. Желаем себе и всем участникам справляться со всеми новыми заданиями!
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 22:42, 30 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель [[Участник:Сухачева Татьяна]] кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы [[Участник:Баулина Елена Владимировна]] за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-27T11:43:47Z

Пифагор ID 220:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-27T11:38:49Z

Пифагор ID 220:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур:
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16 n=0
(m- n) (z - y) +10 n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T12:32:39Z

Пифагор ID 220:

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x,
x + x =8,
x =8,
x = 8 ,
x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)

.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T12:29:04Z

Пифагор ID 220:

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x,
x + x =8,
x =8,
x = 8 ,
x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Бокал вина

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)

.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T11:52:05Z

Пифагор ID 220:

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x,
x + x =8,
x =8,
x = 8 ,
x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Бокал вина
Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разре¬шить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бу¬тылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел при¬сутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте пре¬ступления — он тайком наливал из бочонка вино, кото¬рое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее на¬ше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бо¬чонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой суме¬ет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епити-мью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес на¬казанья за свое прискорбное прегрешение».
Загадка крестоносцев.
Однажды в гостях у мо¬нахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подхо¬дила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.
Кошки монастыря святого Эдмондсбери.
— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а
Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)
.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]

или
откуда имеем 65356=2 и х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Файл:Form1.jpg

2008-10-24T11:47:42Z

Пифагор ID 220:

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T09:59:13Z

Пифагор ID 220:

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----

Уважаемые участники олимпиады!

Весьма и весьма похвально ваше желание заработать наибольшее количество баллов и победить!
НО! Давайте соревноваться честно!

Наши претензии:

Во-первых, по условиям конкурса сроки размещения задач с 24 октября по 17 ноября. Никто не говорил, что можно размещать работы раньше.

Во-вторых, размещение условий задач без решения (никто не сомневается - решение вы разместите, но – потом…) мы считаем «забиванием места» и воспринимаем такую позицию некорректной по отношению к другим участникам.

Итак, учитывая произошедшее и вышесказанное, мы, организаторы решили:

1. Очистить страницу.

2. Установить жесткие сроки проведения блиц-конкурса: с 11.00 (моск. время) 24 октября до 21.00 (моск. время) 17 ноября 2008 г.

3. Проявить беспрецедентную доброту и великодушие - провинившиеся команды (уже успевшие поместить задачи на страницу) штрафными баллами не наказывать, несмотря на то, что очень хочется.

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x,
x + x =8,
x =8,
x = 8 ,
x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Бокал вина
Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разре¬шить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бу¬тылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел при¬сутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте пре¬ступления — он тайком наливал из бочонка вино, кото¬рое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее на¬ше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бо¬чонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой суме¬ет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епити-мью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес на¬казанья за свое прискорбное прегрешение».
Загадка крестоносцев.
Однажды в гостях у мо¬нахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подхо¬дила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.
Кошки монастыря святого Эдмондсбери.
— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а
Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)
.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:
--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение 65535=1+2+2+2+...+2

или
откуда имеем 65356=2 и х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Обсуждение:Копилка знаменитых задач

2008-10-24T07:03:05Z

Пифагор ID 220:

Задачи уже можно размещать? или все же подождать до 24.10?

И где размещать решение?

--[[Участник:Коннова Елена|Коннова Елена]] 17:09, 20 октября 2008 (SAMST)
--[[Участник:Ревтова Людмила Михайловна|Ревтова Людмила Михайловна]] 11:40, 24 октября 2008 (Пифагор ID 220)
1.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:
"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение 65535=1+2+2+2+...+2
или
откуда имеем 65356=2 и х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.
2.

Обсуждение участника:STALKER ID 203

2008-10-20T09:15:04Z

Пифагор ID 220:

Удачи Вам! Пороверим наши силы в игре! --[[участник:Пираты северных морей ID 239|Пираты северных морей ID 239]] 14:30, 15 октября 2008 (SAMST)

Желаем Вам успехов и побед, название хорошей игры - нам нравится, но можно было бы объяснить выбор названия команды, а в остальном - всё положительно! --[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 14:26, 16 октября 2008 (SAMST)

Эмблема просто класс!!! Только хотелось бы побольше информации о себе. (надо знать своих соперников) =) --[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 10:03, 18 октября 2008 (SAMST)

Удачно совместили фото и эмблему команды. Удачи!--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID_220]] 14:15, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Пираты северных морей ID 239

2008-10-17T10:58:52Z

Пифагор ID 220:

Привет команда "Пираты северных морей", незабудте одеваться потеплее уходя в новое плаванье.--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 13:49, 13 октября 2008 (SAMST)

У вас прикольная страничка! --[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 14:20, 15 октября 2008 (SAMST)

нам нравится, что у Вас есть эмблма. Сделано очень ярко и позитивно.
--[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 14:16, 16 октября 2008 (SAMST)

== Большой привет от Аксио _М!!! ==

== Вставили фотки!==
Заходите!
Большое спасибо за приветствие!!!!
МЫ!!!

Молодцы! Очень оригинально, весело, увлекательно. Мы как-будто посмотрели захватывающий фильм. С нетерпением ждем следующей серии. И, конечно, удачи!--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID_220]] 15:58, 17 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Аб солютики ID 236

2008-10-17T10:47:40Z

Пифагор ID 220:

== ID_298: ==

Классное оригинальное фото команды! Супер! Только немного не понятно обращение к соперникам, не понятно - это стихотворение?
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 00:11, 14 октября 2008 (SAMST)

Мы просмотрели вашу страницу.Нам очень понравилось.--[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:51, 15 октября 2008 (SAMST)

Здравствуйте, "Аб солютики". Нам понравилось представление команды, особенно фото, только презентация частично не соответствует техническим требованиям. Успехов вам!--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID_220]] 15:47, 17 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Аб солютики ID 236

2008-10-17T10:46:52Z

Пифагор ID 220:

Обсуждение участника:ID 229 Свет

2008-10-17T10:25:41Z

Пифагор ID 220:

Сразу прослеживается связь С участником ID_228 Эврика. Нет фото команды. Не интересно. Кто учитель? Какая школа? Город?
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 18:10, 13 октября 2008 (SAMST)

"Немного" малавато!!! Удачи!!!--[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:38, 15 октября 2008 (SAMST)

Уважаемая команда "Свет" нам очень понравился ваш девиз.Но больше мы отметить ничего не можем.
Мы уверены,что вы еще сможете себя проявить. Удачи.--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID_220]] 15:25, 17 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Random ID 217

2008-10-17T10:13:43Z

Пифагор ID 220:

Здравствуйте. Мы - команда из школы 109 г. Трёхгорного Челябинской области 8 "А" класса. Наша команда состоит из четырёх человек: Полозов Максим, Сусев Сергей, Киреева Валентина, Лимонов Алексей.Уроки по алгебре и геометрии нашему классу преподаёт Ершова Надежда Витальевна. Наш класс считается одним из лучших в школе.

Приветствие очень скромное и мало говорящее о вашей команде.

 Соответствие теме ДООМ "Формула текста" – мы думаем, что этот пункт мала выполним, возможно, в названии команды кроется секрет, но он так для нас и остался секретом.
 Подача текста в стихотворной или другой оригинальной форме – оригинальности в подаче нет, простое описание фактов о себе.
 Оригинальность оформления и завершённость работы (стиль) – в своем роде работа закончена так и не начавшись.
 Соответствие языковым нормам (орфография, пунктуация, культура речи) - есть.
 Соответствие техническим требованиям - нет.
 Наличие фото - нет.
--[[Участник:Аб солютики ID 236|Аб солютики ID 236]] 04:59, 16 октября 2008 (SAMST)

Здравствуйте. Мы считаем,что ваша визитка не соответствует критериям по которым она должна оцениваться. Но это еще первый конкурс, мы уверены, что в дальнейшем вы в полной мере проявите себя. Желаем удачи.--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID_220]] 15:13, 17 октября 2008 (SAMST)

Участник:Пифагор ID 220

2008-10-09T08:12:36Z

Пифагор ID 220:

[[Изображение:220.jpg|thumb|Логотип]]
[[Изображение:220a.jpg|thumb|Фото команды]]
'''Девиз команды:'''

 Вперед, друзья – романтики,
на праздник математики! 

'''Город:''' Тольятти
'''Образовательное учреждение:''' МОУ школа № 90

'''Руководители команды:''' Ревтова Людмила Михайловна,
Шижгина Олеся Александровна

'''E-mail команды:''' shoa_80@mail.ru

'''Состав команды:'''
# Беляев Ильсур
# Шаталин Андрей
# Чудинов Дмитрий
# Болотников Сергей
# Казанцева Анастасия
# Погодаева Юлия
# Ларионов Виталий
# Гумбурашвили Евгений
# Чайковский Виктор
# Силивоненко Дарья
# Кригер Дмитрий

'''О команде:'''

 Если вы, друзья, решили, 
Что попали в древний свет, 
Вырубать нас не спешите – 
Вас бодрить даем обет! 
А канал наш – Пифагор! 
Он известен с древних пор! 
Теоремы все докажем, 
И историю расскажем: 
Вот наш президент – Сережа. 
Нет мозгов его дороже. 
Мы, Виталик и Андрей, 
Шлем вам всем большой привет. 
Женя – наш художник славный. 
Он у нас в эмблеме главный. 
Юля и Даша – гордость наша! 
Учатся только на пять. 
Их девиз: «Хочу все знать!» 
Настя – наш организатор, 
А Ильсур – детерминатор. 
Димы – первый и второй – 
За редакторов гурьбой! 
Витя – главный консультант… 
Ждем победный результат! 

'''Пожелание соперникам:'''

 А соперникам – привет! 
Чтим и ценим ваш совет. 
Ведь соперники у нас 
Все умны, красноречивы, 
Мы же только в первый раз 
Проверяем наши силы. 
Пусть ум наш путеводною звездой 
Нам светит в мире математики суровой, 
А наука – верный рулевой – 
Нас встретит с теоремой Пифагора новой! 

'''Пожелание жюри:'''

 Кто в жюри сегодня судит? 
Все – достойнейшие люди, 
Объективны и честны, 
Неподкупны и умны. 
А жюри уж, без сомненья, 
Примет мудрое решенье. 
Пусть сильнейший победит, 
Эрудицией сразит. 

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Участник:Пифагор ID 220

2008-10-09T07:57:59Z

Пифагор ID 220:

[[Изображение:220.jpg|thumb|Логотип]]
[[Изображение:220a.jpg|thumb|Фото команды]]
'''Девиз команды:'''

 Вперед, друзья – романтики,
на праздник математики! 

'''Город:''' Тольятти
'''Образовательное учреждение:''' МОУ школа № 90

'''Руководители команды:''' Ревтова Людмила Михайловна,
Шижгина Олеся Александровна

'''E-mail команды:''' shoa_80@mail.ru

'''Состав команды:'''
# Беляев Ильсур
# Шаталин Андрей
# Чудинов Дмитрий
# Болотников Сергей
# Казанцева Анастасия
# Погодаева Юлия
# Ларионов Виталий
# Гумбурашвили Евгений
# Чайковский Виктор
# Силивоненко Дарья
# Кригер Дмитрий

'''О команде:'''

Если вы, друзья, решили, 
Что попали в древний свет, 
Вырубать нас не спешите – 
Вас бодрить даем обет! 
А канал наш – Пифагор! 
Он известен с древних пор! 
Теоремы все докажем, 
И историю расскажем: 
Вот наш президент – Сережа. 
Нет мозгов его дороже. 
Мы, Виталик и Андрей, 
Шлем вам всем большой привет. 
Женя – наш художник славный. 
Он у нас в эмблеме главный. 
Юля и Даша – гордость наша! 
Учатся только на пять. 
Их девиз: «Хочу все знать!» 
Настя – наш организатор, 
А Ильсур – детерминатор. 
Димы – первый и второй – 
За редакторов гурьбой! 
Витя – главный консультант… 
Ждем победный результат! 

'''Пожелание соперникам:'''

 А соперникам – привет! 
Чтим и ценим ваш совет. 
Ведь соперники у нас 
Все умны, красноречивы, 
Мы же только в первый раз 
Проверяем наши силы. 
Пусть ум наш путеводною звездой 
Нам светит в мире математики суровой, 
А наука – верный рулевой – 
Нас встретит с теоремой Пифагора новой! 

'''Пожелание жюри:'''

Кто в жюри сегодня судит? 
Все – достойнейшие люди, 
Объективны и честны, 
Неподкупны и умны. 
А жюри уж, без сомненья, 
Примет мудрое решенье. 
Пусть сильнейший победит, 
Эрудицией сразит. 

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Файл:220a.jpg

2008-10-09T07:54:52Z

Пифагор ID 220: фото

фото

Файл:220.jpg

2008-10-09T07:49:16Z

Пифагор ID 220: эмблема

эмблема

Участник:Пифагор ID 220

2008-10-09T07:01:24Z

Пифагор ID 220:

[[Изображение:Children.jpg|thumb|Фото команды]]

'''Девиз команды:'''

 Вперед, друзья – романтики,
на праздник математики! 

'''Город:''' Тольятти
'''Образовательное учреждение:''' МОУ школа № 90

'''Руководитель команды:''' Ревтова Людмила Михайловна,
Шижгина Олеся Александровна

'''E-mail команды:''' shoa_80@mail.ru

'''Состав команды:'''
# Беляев Ильсур
# Шаталин Андрей
# Чудинов Дмитрий
# Болотников Сергей
# Казанцева Анастасия
# Погодаева Юлия
# Ларионов Виталий
# Гумбурашвили Евгений
# Чайковский Виктор
# Силивоненко Дарья
# Кригер Дмитрий

'''О команде:'''

Если вы, друзья, решили, 
Что попали в древний свет, 
Вырубать нас не спешите – 
Вас бодрить даем обет! 
А канал наш – Пифагор! 
Он известен с древних пор! 
Теоремы все докажем, 
И историю расскажем: 
Вот наш президент – Сережа. 
Нет мозгов его дороже. 
Мы, Виталик и Андрей, 
Шлем вам всем большой привет. 
Женя – наш художник славный. 
Он у нас в эмблеме главный. 
Юля и Даша – гордость наша! 
Учатся только на пять. 
Их девиз: «Хочу все знать!» 
Настя – наш организатор, 
А Ильсур – детерминатор. 
Димы – первый и второй – 
За редакторов гурьбой! 
Витя – главный консультант… 
Ждем победный результат! 

'''Пожелание соперникам:'''

 А соперникам – привет! 
Чтим и ценим ваш совет. 
Ведь соперники у нас 
Все умны, красноречивы, 
Мы же только в первый раз 
Проверяем наши силы. 
Пусть ум наш путеводною звездой 
Нам светит в мире математики суровой, 
А наука – верный рулевой – 
Нас встретит с теоремой Пифагора новой! 

'''Пожелание жюри:'''

Кто в жюри сегодня судит? 
Все – достойнейшие люди, 
Объективны и честны, 
Неподкупны и умны. 
А жюри уж, без сомненья, 
Примет мудрое решенье. 
Пусть сильнейший победит, 
Эрудицией сразит. 

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Участник:Пифагор ID 220

2008-10-09T06:29:34Z

Пифагор ID 220: Новая: {{subst:Шаблон:Страница участника проекта}}

[[Изображение:Children.jpg|thumb|Фото команды]]

'''Девиз команды:'''

Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст

'''Город:''' Текст

'''Образовательное учреждение:''' Текст Текст Текст

'''Руководитель команды:''' Текст Текст Текст

'''E-mail команды:''' Текст Текст Текст

'''Сайт команды:''' (если есть)

'''Состав команды:'''
# Текст Текст Текст
# Текст Текст Текст
# Текст Текст Текст
# Текст Текст Текст

'''О команде:'''

Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст

'''Пожелание соперникам:'''

Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст
Текст Текст Текст Текст Текст Текст Текст

[[Категория:ВВЕДИТЕ НАЗВАНИЕ ПРОЕКТА в котором принимает участие ваша команда]]