ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-06T12:08:01Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''
'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Индусская задача(перевод Лебедева В.И., Автора книги "Кто изобрел алгебру?")

ЗАДАЧА

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

РЕШЕНИЕ

Если общая численность стаи x, то

''(x/8)''2 + 12 = x

откуда

''x''1 = 48, ''x''2 = 16.

ОТВЕТ

Задача имеет два положительных решения: в стае могло быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.

'''Задача греческого математика Митродора'''.Царская корона имеет массу 60 мин (1 мина=100 драхм=1/60 таланта) и отлита из сплава золота, меди, свинца и железа. На золото и медь приходится 3/4, на золото и свинец - 2/3, на золото и железо - 3/5 массы короны. Сколько мин золота, меди, свинца и железа в царской короне?

'''''Решение''''':Предположим, что на отливку короны пошло x мин золота, y мин меди, z мин свинца и f мин железа. Тогда x+y+z+f=60,(1). x+y=2/3*60=40,(2). x+z=3/4*60=45,(3). x+f=3/5*60=36,(4). Складывая уравнения (2),(3),(4), получаем 3x+y+z+f=121, вычитая из последнего уравнения уравнение (1), находим 2x=61,x=30,5. Значит y=9,5 z=14,5 f=5,5.Итак, 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 14,5 мин свинца и 5,5 мин железа.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-06T11:53:33Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Индусская задача(перевод Лебедева В.И., Автора книги "Кто изобрел алгебру?")

ЗАДАЧА

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

РЕШЕНИЕ

Если общая численность стаи x, то

''(x/8)''2 + 12 = x

откуда

''x''1 = 48, ''x''2 = 16.

ОТВЕТ

Задача имеет два положительных решения: в стае могло быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.
[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-06T11:44:20Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Индусская задача(перевод Лебедева В.И., Автора книги "Кто изобрел алгебру?")

ЗАДАЧА

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

РЕШЕНИЕ

Если общая численность стаи x, то

''(x/8)''2 + 12 = x

откуда

''x''1 = 48, ''x''2 = 16.

ОТВЕТ

Задача имеет два положительных решения: в стае могло быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.
[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-06T11:42:41Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Индусская задача(перевод Лебедева В.И., Автора книги "Кто изобрел алгебру?")

ЗАДАЧА

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

РЕШЕНИЕ

Если общая численность стаи x, то

''(x/8)''2 + 12 = x

откуда

''x''1 = 48, ''x''2 = 16.

ОТВЕТ

Задача имеет два положительных решения: в стае могло быть или 48 обезьян, или 16. Оба ответа вполне удовлетворяют задаче.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T16:03:59Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 6]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Integral ID 274|Integral ID 274]] 12:03, 5 ноября 2008
'''Задача:'''В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.
'''Решение:'''
Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна.
Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов.
Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

== '''''Участник: Дети Пифагора ID 269''''' ==

'''
'' Русские задачи из книг, изданных в 18 веке
(После арифметики Л.Ф. Магницкого)''
'''

'''Задача:'' "С чем иностранка к россам привезена?"''
'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

'''Решение:'''

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

'''Ответ:''' "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

'''Задача:'' "Смекалистый слуга"'''''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья".
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

'''Решение:'''

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

'''Ответ:''' годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

'''Задача:'' "Веселый человек"'''''

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

'''Решение:'''

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

'''Ответ:''' копейки и 3 полушки.

'''Задача:'' "Полтабуна и пол-лошади"'''''

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

'''Решение:'''

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей.
Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

'''Ответ:''' первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

'''

'''Задача:'' "Обмен зайцев на кур"''''''''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

'''Решение:'''

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

'''Ответ:''' 18 кур и 12 зайцев.

== Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==

'''Задача №39'''

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)
----

Материал из ТолВИКИ.
Перейти к: навигация, поиск

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).'''Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

'''Решение:''' Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

'''Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).'''Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

'''Решение''':10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи.
[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''
'''Задача Сридхары(Индия).'''Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд, привлечённая ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчёл.

'''Решение''':Задача приводит к уравнению x/5+x/3+3*(x/3-x/5)+1=x. Решая это уравнение, получим x=15. Всего было 15 пчёл.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь.

'''Решение''': Человек выпевает в день 1/14 кади, а вместе с женою - 1/10 кади. Следовательно, жена выпивает в день 1/10-1/14=1/35 кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

'''Задача из рассказа А.П.Чехова "Репетитор".''' Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

'''Решение''': Решение сводится к системе уравнений 5x+3y=540, x+y=138. Получаем: x=63, y=75.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: "Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет." Спрашиваются лета каждого.

'''Решение''': так как в настоящий момент возраст дочери составляет 2/5 от возраста отца, а 4 года тому назад он составлял 1/3 настоящего возраста отца, то эти 4 года равны 2/5-1/3=1/15 возраста отца. Поэтому возраст отца равен 4*15=60 лет, возраст дочери 60*2/5=24 года.

'''Задача французского математика Жака Озанама.''' Трое хотят купить домза 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

'''Решение''': 1/2+1/3+1/4=13/12 составляет 26 000. Отсюда, 1/12 составляет 2 000. Следовательно, первый даст 12 000, второй - 8000, а третий - 6 000 ливров.
[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:58, 5 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T16:01:37Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 6]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Integral ID 274|Integral ID 274]] 12:03, 5 ноября 2008
'''Задача:'''В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.
'''Решение:'''
Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна.
Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов.
Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

== '''''Участник: Дети Пифагора ID 269''''' ==

'''
'' Русские задачи из книг, изданных в 18 веке
(После арифметики Л.Ф. Магницкого)''
'''

'''Задача:'' "С чем иностранка к россам привезена?"''
'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

'''Решение:'''

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

'''Ответ:''' "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

'''Задача:'' "Смекалистый слуга"'''''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья".
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

'''Решение:'''

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

'''Ответ:''' годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

'''Задача:'' "Веселый человек"'''''

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

'''Решение:'''

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

'''Ответ:''' копейки и 3 полушки.

'''Задача:'' "Полтабуна и пол-лошади"'''''

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

'''Решение:'''

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей.
Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

'''Ответ:''' первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

'''

'''Задача:'' "Обмен зайцев на кур"''''''''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

'''Решение:'''

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

'''Ответ:''' 18 кур и 12 зайцев.

== Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==

'''Задача №39'''

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)
----

Материал из ТолВИКИ.
Перейти к: навигация, поиск

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).'''Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

'''Решение:''' Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

'''Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).'''Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

'''Решение''':10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи.[[Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''
'''Задача Сридхары(Индия).'''Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд, привлечённая ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчёл.

'''Решение''':Задача приводит к уравнению x/5+x/3+3*(x/3-x/5)+1=x. Решая это уравнение, получим x=15. Всего было 15 пчёл.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь.

'''Решение''': Человек выпевает в день 1/14 кади, а вместе с женою - 1/10 кади. Следовательно, жена выпивает в день 1/10-1/14=1/35 кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

'''Задача из рассказа А.П.Чехова "Репетитор".''' Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

'''Решение''': Решение сводится к системе уравнений 5x+3y=540, x+y=138. Получаем: x=63, y=75.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: "Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет." Спрашиваются лета каждого.

'''Решение''': так как в настоящий момент возраст дочери составляет 2/5 от возраста отца, а 4 года тому назад он составлял 1/3 настоящего возраста отца, то эти 4 года равны 2/5-1/3=1/15 возраста отца. Поэтому возраст отца равен 4*15=60 лет, возраст дочери 60*2/5=24 года.

'''Задача французского математика Жака Озанама.''' Трое хотят купить домза 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

'''Решение''': 1/2+1/3+1/4=13/12 составляет 26 000. Отсюда, 1/12 составляет 2 000. Следовательно, первый даст 12 000, второй - 8000, а третий - 6 000 ливров.[[Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:58, 5 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T15:59:52Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 6]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Integral ID 274|Integral ID 274]] 12:03, 5 ноября 2008
'''Задача:'''В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.
'''Решение:'''
Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна.
Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов.
Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

== '''''Участник: Дети Пифагора ID 269''''' ==

'''
'' Русские задачи из книг, изданных в 18 веке
(После арифметики Л.Ф. Магницкого)''
'''

'''Задача:'' "С чем иностранка к россам привезена?"''
'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

'''Решение:'''

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

'''Ответ:''' "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

'''Задача:'' "Смекалистый слуга"'''''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья".
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

'''Решение:'''

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

'''Ответ:''' годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

'''Задача:'' "Веселый человек"'''''

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

'''Решение:'''

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

'''Ответ:''' копейки и 3 полушки.

'''Задача:'' "Полтабуна и пол-лошади"'''''

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

'''Решение:'''

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей.
Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

'''Ответ:''' первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

'''

'''Задача:'' "Обмен зайцев на кур"''''''''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

'''Решение:'''

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

'''Ответ:''' 18 кур и 12 зайцев.

== Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==

'''Задача №39'''

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)
----

Материал из ТолВИКИ.
Перейти к: навигация, поиск

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).'''Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

'''Решение:''' Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

'''Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).'''Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

'''Решение''':10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи.[[Участник:команда Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''
'''Задача Сридхары(Индия).'''Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд, привлечённая ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчёл.

'''Решение''':Задача приводит к уравнению x/5+x/3+3*(x/3-x/5)+1=x. Решая это уравнение, получим x=15. Всего было 15 пчёл.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь.

'''Решение''': Человек выпевает в день 1/14 кади, а вместе с женою - 1/10 кади. Следовательно, жена выпивает в день 1/10-1/14=1/35 кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

'''Задача из рассказа А.П.Чехова "Репетитор".''' Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

'''Решение''': Решение сводится к системе уравнений 5x+3y=540, x+y=138. Получаем: x=63, y=75.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: "Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет." Спрашиваются лета каждого.

'''Решение''': так как в настоящий момент возраст дочери составляет 2/5 от возраста отца, а 4 года тому назад он составлял 1/3 настоящего возраста отца, то эти 4 года равны 2/5-1/3=1/15 возраста отца. Поэтому возраст отца равен 4*15=60 лет, возраст дочери 60*2/5=24 года.

'''Задача французского математика Жака Озанама.''' Трое хотят купить домза 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

'''Решение''': 1/2+1/3+1/4=13/12 составляет 26 000. Отсюда, 1/12 составляет 2 000. Следовательно, первый даст 12 000, второй - 8000, а третий - 6 000 ливров.[[Участник: Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:58, 5 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T15:58:12Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 6]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Integral ID 274|Integral ID 274]] 12:03, 5 ноября 2008
'''Задача:'''В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.
'''Решение:'''
Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна.
Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов.
Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

== '''''Участник: Дети Пифагора ID 269''''' ==

'''
'' Русские задачи из книг, изданных в 18 веке
(После арифметики Л.Ф. Магницкого)''
'''

'''Задача:'' "С чем иностранка к россам привезена?"''
'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

'''Решение:'''

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

'''Ответ:''' "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

'''Задача:'' "Смекалистый слуга"'''''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья".
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

'''Решение:'''

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

'''Ответ:''' годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

'''Задача:'' "Веселый человек"'''''

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

'''Решение:'''

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

'''Ответ:''' копейки и 3 полушки.

'''Задача:'' "Полтабуна и пол-лошади"'''''

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

'''Решение:'''

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей.
Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

'''Ответ:''' первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

'''

'''Задача:'' "Обмен зайцев на кур"''''''''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

'''Решение:'''

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

'''Ответ:''' 18 кур и 12 зайцев.

== Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==

'''Задача №39'''

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)
----

Материал из ТолВИКИ.
Перейти к: навигация, поиск

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).'''Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

'''Решение:''' Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

'''Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).'''Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

'''Решение''':10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи.[[Участник:команда Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''
'''Задача Сридхары(Индия).'''Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд, привлечённая ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчёл.

'''Решение''':Задача приводит к уравнению x/5+x/3+3*(x/3-x/5)+1=x. Решая это уравнение, получим x=15. Всего было 15 пчёл.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь.

'''Решение''': Человек выпевает в день 1/14 кади, а вместе с женою - 1/10 кади. Следовательно, жена выпивает в день 1/10-1/14=1/35 кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

'''Задача из рассказа А.П.Чехова "Репетитор".''' Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

'''Решение''': Решение сводится к системе уравнений 5x+3y=540, x+y=138. Получаем: x=63, y=75.

'''Задача из "Арифметики" Магницкого'''. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: "Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет." Спрашиваются лета каждого.

'''Решение''': так как в настоящий момент возраст дочери составляет 2/5 от возраста отца, а 4 года тому назад он составлял 1/3 настоящего возраста отца, то эти 4 года равны 2/5-1/3=1/15 возраста отца. Поэтому возраст отца равен 4*15=60 лет, возраст дочери 60*2/5=24 года.

'''Задача французского математика Жака Озанама.''' Трое хотят купить домза 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

'''Решение''': 1/2+1/3+1/4=13/12 составляет 26 000. Отсюда, 1/12 составляет 2 000. Следовательно, первый даст 12 000, второй - 8000, а третий - 6 000 ливров.[[команда: Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:58, 5 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T14:16:09Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

 Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 6]]'''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Integral ID 274|Integral ID 274]] 12:03, 5 ноября 2008
'''Задача:'''В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.
'''Решение:'''
Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна.
Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов.
Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

== '''''Участник: Дети Пифагора ID 269''''' ==

'''
'' Русские задачи из книг, изданных в 18 веке
(После арифметики Л.Ф. Магницкого)''
'''

'''Задача:'' "С чем иностранка к россам привезена?"''
'''

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

'''Решение:'''

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

'''Ответ:''' "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

'''Задача:'' "Смекалистый слуга"'''''

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья".
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

'''Решение:'''

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

'''Ответ:''' годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

'''Задача:'' "Веселый человек"'''''

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

'''Решение:'''

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

'''Ответ:''' копейки и 3 полушки.

'''Задача:'' "Полтабуна и пол-лошади"'''''

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

'''Решение:'''

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей.
Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

'''Ответ:''' первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

'''

'''Задача:'' "Обмен зайцев на кур"''''''''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

'''Решение:'''

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

'''Ответ:''' 18 кур и 12 зайцев.

== Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==

'''Задача №39'''

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)
----

Материал из ТолВИКИ.
Перейти к: навигация, поиск

'''Команда:Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).'''Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

'''Решение:''' Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

'''Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).'''Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

'''Решение''':10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи.[[Участник:команда Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T14:14:01Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-11-05T14:05:36Z

Шоу "модель":

Рефлексия обучающего тура ДООМ Формула текста

2008-10-29T17:15:57Z

Шоу "модель": /* Команда ID_278 "Введите название команды" */

__NOTOC__
[[:Категория:Проект ДООМ - 2008-2009|Вернуться на главную страницу проекта]]

Ребята вспомните, как проходил обучающий тур в вашей команде, что вам понравилось, а что нет. Свои впечатления оставьте на этой странице. Для этого выполните следующие действия:
# Нажмите ссылку '''[править]''' напротив названия своей команды и в поле визуального редактора впишите название своей команды и свой текс рефлексии.
# Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Внимание!'''

При написании отчета можно кратко описать:

* как проходил обучающий тур в вашей команде (школе);
* как были распределены обязанности между членами команды, и каким образом они были выполнены;
* какие источники информации были использованы, и какие из них, на ваш взгляд, оказались более полезными и полными;
* какое задание было самым трудным, какое легким, над каким было интереснее всего работать;
* какова была роль лидера (капитана) команды;
* какую роль сыграл руководитель команды (учитель математики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* какую роль сыграл технический консультант (учитель информатики) в организации работы в рамках обучающего тура;
* и т.п.

'''Ответы на вопросы обучающего тура командам никуда отправлять не нужно!'''

----

== Команда ID_201 "Введите название команды" ==

== Команда ID_202 "Введите название команды" ==

== Команда ID_203 "Введите название команды" ==

== Команда ID_205 "МаГмА" ==
Обучающий тур в нашей школе проходил следующим образом:
#члены команды были поделены на группы 7кл. 8кл. 9кл. Действовали по принципу: «Разберись сам и научи другого». Ребята на уроках математики в своих параллелях познакомили сверстников с предложенными способами решения сюжетных задач.
#всем желающим учащимся школы были предложены задачи обучающего тура в виде олимпиады по математике.
#была выпущена газета с итогами проделанной работы.

<gallery>
Изображение:газета.jpg|Газета
Изображение:олимпиада.jpg|Олимпиада
Изображение:разберись.jpg|Разберись сам
Изображение:научи.jpg|Научи другого
</gallery>

У нас возникли трудности с задачей на банковский процент. задача №9(уровень 1) №2 (уровень 2) №15 (уровень 3)

При решении задач наши руководители [[Участник:Сударева Наталья Аркадиевна]] и
[[Участник: Арешина Зинаида Стефановна]] предложили нам воспользоваться литературой:

*Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.
*Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.
*Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

Все эти книги нам очень помогли.

Наши руководители нам организовать учащихся школы по параллелям, провели олимпиады для желающих.
Технический консультант проекта [[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна]] помогала оформлять газету и консультировала нас при подготовке отчета о проделанной работе.

 '''Желаем всем успехов!'''


== Команда ID_206 "Введите название команды" ==

== Команда ID_207 "Введите название команды" ==

== Команда ID_208 "Мозговиты" ==
Задачи обучающего тура были предложены для самостоятельного решения учащимся 8,8,11 классов.
Наибелее трудные и интересные задачи решали все вместе в команде с помощью учебника
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры". Наиболее легкими показались задачи №№ 2,8,
а трудными - №№ 13, 21. Наибольший интерес вызвала задача № 24 про золото Али-бабы.В обучающем туре участвовали
все классы учителя математики Плотниковой М.В.

== Команда ID_209 "Введите название команды" ==

== Команда ID_210 "Введите название команды" ==

== Команда ID_211 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_212 "Введите название команды" ==

== Команда ID_213 "BOOKWORM" ==
В период с 17 октября по 30 октября 2008 года у нас:

* Руководитель команды Стрельцоа М.В. распредеила нас по темам:
# Сигаев Сергей - алгебраический метод
# Новиков Арсений - способы решения (приведение к единице, способ обратности,исключение переменных)
# Шевченко Рома - способы решения (пропорциональное решение, задачи на проценты, на смеси и сплавы)
# Автаева Юлия - терминология
# Ватаманюк Дима - геометрический метод
# Бобылев Влад - арифметические задачи

* После самостоятельного изучения своего раздела состоялась защита и презентация каждой темы команде.

* Был проведен турнир "Математические барьеры" среди учащихся 7-8 классов.

* При подготовки к защите каждый из нас воспользовался предложенным списком литературы (спасибо! очень интересные сайты), заглянули в учебники по математике, воспользовались задачами обучающего тура двух уровней. На первый взгляд задачи нам показались простыми, но в процессе решения и поиска задач по теме доклада выяснилось, что задачи намного интересней и сложней. И это здорово! Спасибо!

== Команда ID_214 "Введите название команды" ==

== Команда ID_215 "Введите название команды" ==

== Команда ID_216 "Введите название команды" ==

== Команда ID_217 "Введите название команды" ==

== Команда ID_218 "Введите название команды" ==

== Команда ID_219 "Введите название команды" ==

== Команда ID_220 "Введите название команды" ==

== Команда ID_221 "Введите название команды" ==

== Команда ID_222 "Модные переменные" ==
'''Обучающий тур''' в нашей школе начался с изучениятого теоретического материала. Особенное спасибо за тот теоретический материал, который был выслан организаторами ДООМ. Конечно, со многими моментами мы уже были знакомы, что-то почерпнули из учебников и книг, но в этом материале оказалось собрано очень многое и сразу. Особенное внимание привлекли несерьёзные "правила"!

Затем у нас на математическом кружке, который ведёт Холина Елена Евгеньевна, прошло соревнование между командами, в которые входили и участники команды ДООМ. Для этого соревнования была выбрана только часть задач, а остальные задачи участники команды "Модные переменные" выбрали для индивидуального решения: каждый выбрал те задачи, которые ему были наиболее интересны.

[[Изображение:VTORAIA.jpg]] [[Изображение:PERVAIA.jpg]] [[Изображение:TRETIA.jpg]]

Потом был устроен обмен мнениями и решениями. Девочки предлагали свои решения и отстаивали свою точку зрения. Особенно активное участие принимали Ксенофонтова София, Холина Юлия, Шишканова Елена и Рядовая Мария.

И конечным этапом было выступление девочек со своими решениями на уроках математики (их ведёт Холина Елена Евгеньевна) в тех классах, где они обучаются (это 5 классов).

Трудно сказать какое именно задание оказалось самым лёгким, самой трудной оказалась задача № 9, т.к. мы не были знакомы со сложными процентами. Самой весёлой нам показалась задача о Карлсоне, самой трудоёмкой для нас оказалась задача № 4( о денежных единицах). Большие "дебаты" были при решении задачи о сенаторе( № 10 ), т.к. каждый старался предложить именно свой вариант решения. Много рассуждали и спорили над задачей №18, и посочувствовали собаке Найде!

Обучающий тур оказался "прикольным"!
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 21:15, 29 октября 2008 (UZT)

== Команда ID_223 "ПРОСТОМОСК" ==
Руководитель команды разбил участников проекта на группы. Каждой группой были подготовлены сообщения по темам: "Задачи на движения", "Задачи на совместную работу", "задачи на проценты", "задачи на сплавы" и "задачи, встречающиеся в ЕГЭ". Было проведено 5 семинарских
занятий, на которых выступила каждая группа с отчетом о проделанной работе. Были подготовлены отдельные учащиеся 10-ого класса, которые будут проводить дополнительные занятия по обучению решению сюжетных задач на каникулах для желающих ребят с 5-ого по 8-й классы. Работаем над созданием сайта "Решение сюжетных задач".
Не все одинаково добросовестно отнеслись к выполненю заданий. Руководители групп пытались активизировать процесс решения задач, учитель математики оказывал консультативную помощь в группах.
Большое спасибо руководителям проекта за отличный подбор материала обучающего тура, который послужил основой для решения предложенных задач.
Перечень, указанной литературы оказался более чем достаточен и другими источниками мы не пользовались.
Наибольшую трудность вызвали задачи на сплавы.

== Команда ID_224 "Введите название команды" ==

== Команда ID_225 "Введите название команды" ==

== Команда ID_226 "Введите название команды" ==

== Команда ID_227 "Эрудиты" ==
Получив задачи обучающего тура, наш руководитель команды разделил задачи на 6 частей и дал решать каждому из нас

== Команда ID_228 "Введите название команды" ==

== Команда ID_229 "Введите название команды" ==

== Команда ID_230 "Введите название команды" ==

== Команда ID_231 "Введите название команды" ==

== Команда ID_232 "Введите название команды" ==

== Команда ID_233 "Введите название команды" ==

== Команда ID_234 "Введите название команды" ==

== Команда ID_235 "Введите название команды" ==

== Команда ID_236 "Аб-солютики" ==

Обучающий тур в нашей школе прошел как обычно, в данный промежуток времени с 17 октября по 27 октября 2008 года проведена декада по математике «Лучший задачник».
Обязанности в команде были распределены Ольга и Оксана оформили стенд с заданиями тура и дополнительными интеллектуальными заданиями по математике. Олег, Иван и Анна стали заниматься пропагандисткой деятельностью по классам 17 – 19 октября.
Следующая работа основывалась на работе команд классов. Работа интеллектуального марафона начата. Из 35 заданий обучающего тура для 5 – 7 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (5 класс - 10 заданий, 6 класс – 10 заданий, 7 класс – 10 заданий). Из 42 заданий обучающего тура для 8 – 11 классов были отобраны 30 заданий и разделены каждому классу 10 заданий (8 класс - 10 заданий, 9 класс – 10 заданий, 11 класс – 10 заданий). За каждое верно выполненное задание 5 баллов, а за задание другого класса 8 баллов.
24 октября сдача выполненных заданий. 25 октября подведение итогов и проведения математического вечера «Лучший задачник».
Итоги таковы победителем в среднем звене стал 6 класс, в старшем звене 9 класс. Особого затруднения вызвали задачи на отношения, на теорию вероятности, самые интересные задачи о НЬЮ – Васюковской валютной бирже(№4), о Древнем Риме (№10), о маме – кенгуру (№19) 5 – 7 класс, о игре – стрелялке (№10), О Вини – Пухе (№17) – 8 – 11 класс.
Больше всего использовали дополнительную литературу наших учителей математики и библиотеки, а также Интернет. Капитан и наш координатор являлись нашими вдохновителями в проведении всех мероприятий. Особое спасибо нашему консультанту – учителю информатики, так как без него мы бы не справились со сложной структурой вашего сайта.

== Команда ID_237 "Введите название команды" ==

== Команда ID_238 "Введите название команды" ==

== Команда ID_239 "Введите название команды" ==

== Команда ID_240 "Введите название команды" ==

== Команда ID_241 "Введите название команды" ==

== Команда ID_242 "Введите название команды" ==

== Команда ID_243 "Введите название команды" ==

== Команда ID_244 "Введите название команды" ==

== Команда ID_245 "Введите название команды" ==

== Команда ID_246 "Введите название команды" ==

== Команда ID_247 "Введите название команды" ==

== Команда ID_248 "ЗВЕЗДА" ==

== Команда ID_249 "Введите название команды" ==

== Команда ID_251 "Введите название команды" ==

== Команда ID_252 "Введите название команды" ==

== Команда ID_253 "Введите название команды" ==

== Команда ID_254 "Введите название команды" ==

== Команда ID_255 "Введите название команды" ==

== Команда ID_256 "Введите название команды" ==

== Команда ID_257 "Введите название команды" ==

== Команда ID_258 "Введите название команды" ==

== Команда ID_259 "Введите название команды" ==

== Команда ID_260 "АЛГОРИТМ" ==
Наша команда «Алгоритм» приняла участие в математическом конкурсе «Доом…» Наш отчет о проделанной работе:

Первый этап.
Собрали команду, выбрали капитана.

Второй этап.
Придумали приветствие, которое отражает характеры участников нашей команды.

Третий этап.
Сочинили девиз, с которым мы хотели бы идти в течении всего конкурса.

Четвертый этап.
Изучили странички наших соперников. Оценили их по достоинству и оставили свои комментарии.

Пятый этап.
Решили данные задачи. Некоторые их них давались с легкостью, а некоторые с трудом.

== Команда ID_261 "РИТМ" ==
Получив обучающий тур, мы решили разделить материал. Каждый из нас разбирал свой тип задач, а потом объяснял другим участникам команды. Затем, мы решали несколько задач каждого типа для тренировки. Самыми трудными оказались задачи для учащихся ВУЗов, но мы с ними справились. Капитан команды организовал встречи всех участников олимпиады. Руководитель команды помогла нам с решением особо сложных заданий и предоставила нам источники информации. Технический консультант помогла нам в создании веб – страницы. Обучающий тур нас очень увлек. Нам понравилось решать нестандартные задачи, которых нет в школьном курсе. Мы с НЕТЕРПЕНИЕМ ждем продолжения олимпиады.

Отчет подготовлен трудолюбивыми учениками 10 и 11 классов команды «РИТМ»

== Команда ID_262 "Введите название команды" ==

== Команда ID_264 "Введите название команды" ==

== Команда ID_265 "Введите название команды" ==

== Команда ID_266 "Введите название команды" ==

== Команда ID_267 "Введите название команды" ==

== Команда ID_268 "Введите название команды" ==

== Команда ID_269 "Введите название команды" ==

== Команда ID_270 "Введите название команды" ==

== Команда ID_271 "Введите название команды" ==

== Команда ID_272 "Введите название команды" ==

== Команда ID_273 "Введите название команды" ==

== Команда ID_274 "Введите название команды" ==

== Команда ID_275 "Введите название команды" ==

== Команда ID_276 "Введите название команды" ==

== Команда ID_277 "Введите название команды" ==

== Команда ID_278 "Шоу "модель" ==
С 17 по 30 октября в нашей школе проходил обучающий тур математической олимпиады ДООМ. На первом этапе мы всей командой под руководством наших учителей Мантровой М.Н. и Самородовой Е.Н. изучили методические рекомендации для решения сюжетных задач. Очень интересный и полезный материал. На втором этапе этого тура все задачи были вывешаны в кабинетах математики. Любой ученик имел возможность выбрать себе задачу по силам и решить её. На третьем этапе в школе состоялся аукцион решённых задач. На этом аукционе ребята защищали и отстаивали свои решения. Отвечали на вопросы друг друга, обосновывали тот или иной способ решения. Многие из них подготовили даже электронные презентации, в которых рассматривали решения многих задач. Это мероприятие прошло интересно и с большой пользой для всех. Некоторые задачи вызвали затруднения. Поэтому наши педагоги разобрали с нами их решения на факультативах. Мы оформили копилку решённых задач у себя в школе. Каждый участник команды в специальном альбоме на своей странице записал решения тех задач, которые он решил. Надеемся, что эта копилка будет помогать учащимся при подготовке к олимпиадам. Использовали при решении задач литературу из предложенного вами перечня, за него вам отдельное спасибо. Технический консультант помогал нам размещать информацию на нашем школьном портале.
Желаем всем участникам успехов!

== Команда ID_279 "Введите название команды" ==

== Команда ID_280 "Введите название команды" ==

== Команда ID_281 "Введите название команды" ==

== Команда ID_282 "Введите название команды" ==

== Команда ID_283 "Введите название команды" ==

== Команда ID_284 "Введите название команды" ==

== Команда ID_285 "Введите название команды" ==

== Команда ID_286 "Введите название команды" ==

== Команда ID_287 "Введите название команды" ==

== Команда ID_288 "Введите название команды" ==

== Команда ID_289 "Введите название команды" ==

== Команда ID_290 "ТЕКСТиК" ==

== Команда ID_291 "Введите название команды" ==

== Команда ID_292 "Введите название команды" ==

== Команда ID_293 "Введите название команды" ==

== Команда ID_294 "Введите название команды" ==

== Команда ID_295 "Введите название команды" ==

Нам очень понравилось решать сюжетные задачи(над некотороми мы очень долго ломали голову, например над 30) и поэтому наш руководитель – Пичугина Тамара Николаевна решила провести математический турнир,
в котором участвовали команды из нашей параллели и дала всем командам домашнее задание. Каждая команда должна была объяснить суть метода, который им достался в результате жеребьёвки.
1 тур:
Проверка домашнего задания.
Критерии оценивания:
10 баллов – объяснение отличное, основная масса учеников поняла суть метода;
5 баллов – в объяснение есть недочеты, не все поняли суть метода.
3 балла – в объяснение много недочетов, не все поняли суть метода.

Вычитание или прибавление балла (например можно поставить 6, 7, 8, 9 баллов) идет на усмотрение учителя. Также за оригинальность объяснения добавлялось 4балла.
2 тур:
Проводится математическая регата, состоящая из нескольких туров. Отдельный тур – отдельный метод решения сюжетных задач. Баллы начисляются в зависимости от количества решенных задач, а так же объяснения решения.

Так же в ходе проведения турнира мы задействовали интерактивные доски для облегчения объяснения ребятами их методов решения (оформлять помогал учитель информатики), а так же на них показывались некоторые задачи.

Победители были награждены призами. Так же для всех участников было устроено чаепитие.

Фотогаллерея:
[[Изображение:4ghy.jpg]]

== Команда ID_296 "Введите название команды" ==

== Команда ID_297 "Введите название команды" ==

== Команда ID_298 "Введите название команды" ==

== Команда ID_299 "Введите название команды" ==

== Команда ID_300 "Великолепная восьмерка" ==



Обучающий тур в нашей команде проходил под девизом:

''' «Тяжело в учении – легко в решение!»'''

Перед началом проведения обучающего тура ДООМ «Формула текста» с ребятами была проведена беседа.

Руководитель кратко рассказал участникам олимпиады о сюжетных задачах и их роли в обучении математике по плану:

1.Классификация текстовых задач по методам (арифметический, алгебраический, геометрический) и способам решения (способ приведения к единице, способ обратности, способ исключения неизвестных, способ пропорционального деления).

2.Основные этапы решения математической задачи.

*Осмысление текста задачи и анализ её содержания;

*Осуществление поиска решения и составление плана решения;

*Реализация плана решения;

*Анализ полученного решения.

3.Шуточная реклама «Семи правил» решения задач. ( представили ученицы 9 класса).

Далее вся работа пошла следующим образом.

'''1 этап.'''

После получения заданий обучающего тура поступило предложение разбить команду на 2 группы. Между членами групп задачи тоже были распределены соответственно возрасту. У каждой группы были выбраны консультанты, в чьи обязанности входило помогать капитану и руководителю команды в процессе решения и разбора задач. Задачи ребята сначала решали самостоятельно, затем обменивались мнениями по поводу их решения в группах. Самые трудные задачи решали сообща.

'''2 этап.'''

Все задачи решены и разобраны. Хочется рассказать одноклассникам о своей работе. Как это лучше сделать? Все задумались… И тогда поступила умная мысль от капитана: а давайте сделаем презентацию: «Калейдоскоп интересных задач». Так мы сможем и рассказать и показать всем друзьям, какие бывают задачи и какие интересные и разнообразные способы и методы их решения существуют.
Идея всем понравилась и для её осуществления каждый член команды решил представить по две наиболее понравившиеся ему задачи с решениями и соответствующими условию рисунками.

'''3 этап.'''

В рамках предметной недели День математики был на это раз проведен с использованием материала ДООМ.
Вся работа отражалась на сайте нашей команды[http://vel-vosmerka.narod.ru/obuchenie.html]

Спасибо координатору сетевой работы Баулиной Е.В. за технически грамотное и своевременное размещение наших материалов на сайтах команды и проекта ДООМ 2008-2009.

'''Литература '''

1.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989;

2.Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. – 5-е изд., М.: Айрис-пресс, 2006;

3.Заболотнева Н.В. Олимпиадные задания по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся. Волгоград. Учитель. 2006 г.

4.Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи.Геометрия. 5-11 классы. – М.: Айрис-пресс, 2006;

5.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. М., Просвещение. 1990 г.

6.Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. М. Просвещение. 1992 г.

7.Колягина Ю.М. Поисковые задачи по математике (4-5 классы). М. Просвещение. 1979 г.

8.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. Книга для учителя. Из опыта работы (в сельских районах). М. Просвещение.1990 г.

9.Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 7 класса средней школы. М. Просвещение. 1993 г.

10.Ковалева С.П. Олимпиадные задания по математике. 9 класс. Волгоград. Учитель. 2005 г.

11.Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. М. Наука. 1986 г.

12.Кордемский Б.А. Математическая смекалка. Изд. 3-е. М. государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г.



[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-29T16:17:54Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 26. Задача Л. Кэррола: Узелок 4. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 131/2 фунтов, третий и четвертый 111/2 фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и четвертого мешков: второй мешок весит 61/2 фунтов, четвертый - 41/2.Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 51/2 фунтов 31/2 фунта.
Ответ: 51/2 , 61/2, 7, 41/2 и 31/2 фунта.

Задача №27. Задача Л. Кэррола: Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z.
Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов.
Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Задача № 28. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 30: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-29T16:06:39Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 26. Задача Л. Кэррола: Узелок 4. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 131/2 фунтов, третий и четвертый 111/2 фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и четвертого мешков: второй мешок весит 61/2 фунтов, четвертый - 41/2.Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 51/2 фунтов 31/2 фунта.
Ответ: 51/2 , 61/2, 7, 41/2 и 31/2 фунта.

Задача №27. Задача Л. Кэррола: Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z.
Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов.
Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Задача № 28. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 30: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-29T15:56:27Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 26. Задача Л. Кэррола: Узелок 4. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 131/2 фунтов, третий и четвертый 111/2 фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и четвертого мешков: второй мешок весит 61/2 фунтов, четвертый - 41/2.Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 51/2 фунтов 31/2 фунта.
Ответ: 51/2 , 61/2, 7, 41/2 и 31/2 фунта.

Задача №27. Задача Л. Кэррола: Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z.
Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов.
Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Задача № 28. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 30: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-29T15:55:30Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 26. Задача Л. Кэррола: Узелок 4. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 131/2 фунтов, третий и четвертый 111/2 фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок.
Решение: Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и четвертого мешков: второй мешок весит 61/2 фунтов, четвертый - 41/2.Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 51/2 фунтов 31/2 фунта.
Ответ: 51/2 , 61/2, 7, 41/2 и 31/2 фунта.

Задача №27. Задача Л. Кэррола: Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z.
Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов.
Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Задача № 28. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 30: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.
[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач

2008-10-29T15:17:39Z

Шоу "модель":

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.

10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: 2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = 2/3 (12 – x),
2/5x = 8- 2/3 x,
2/5x + 2/3 x =8,
16/15x =8,
x = 8*15/16 ,
x = 15/2 ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.

Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта (3,5 раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = 3,5 x копейки. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + 3,5x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
(33*32-24*11)/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, делённый на100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.
С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило
26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания

Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики
партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества
и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Решение:

Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро
Х+12,5Х=30

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Решение:
Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп
Х+1/6Х=443/4

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Решение:
Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х
1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Решение:
2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)

.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-27T15:04:27Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцати¬пятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
Задача 9. Задача великого французского математика Безу.
По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стре¬лок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показыва¬ет 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положе¬ние, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких фи¬лософов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поста¬вить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размерен¬ным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 4

2008-10-27T15:02:45Z

Шоу "модель":

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----

[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224]]

'''Задача № 30. Крестьяне и картофель'''

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Пифагор ID 220|"Пифагор ID 220"]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
365
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение
равно 2.
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера):
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х)
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) :
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь.
Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n.
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
(m- n) x+10n=35
(m- n) y +16n=35
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
(m- n) (z - x) +16n=0
(m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n
(m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5
или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда
x = z+8 t
y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям
(m- n) x+10 n=35
(m- n) y +16 n=35
(m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:
Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.
В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен
100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.
Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).
Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:
Купец имел некоторую сумму денег. х
В первый год он истратил 100 фунтов. х-100
К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3
В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3
и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9
В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9
После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27
капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х
Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).
Условие задачи Решение
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать
могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х
Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6
Двенадцатая часть протекла еще жизни-
покрылся пухом его подбородок. Х:12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7
Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5
Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
дал на земле по сравненью с отцом. Х:2
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант? Х= 84
Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул).
«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:
У+1=2(х-1)
У-1=х+1
Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки).
У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

----
[[Участник:Решарики ID_284]]

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

'''1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?'''

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

'''2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?'''

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120,
х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120,
3х + 30 = 120,
3х = 90,
Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

'''3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?'''

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

'''4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).'''

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

'''5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?'''

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --[[Участник:Решарики ID 284|Решарики ID 284]] 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212'''''

'''''Задача Л.Н. Толстого.'''''
Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцати¬пятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей.
Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пауссона.'''''
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Пифагора'''''
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Старинная задача.'''''
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
Задача 9. Задача великого французского математика Безу.
По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается.
Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Ньютона о быках.'''''
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Перестановка часовых стрелок'''''
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стре¬лок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показыва¬ет 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положе¬ние, тоже возможное на пра¬вильных часах?
— Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.
И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»
Как же решается эта задача?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Старинная восточная притча.''''' «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача, приписываемая Л. Эйлеру'''''
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).
Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Задача Кант и часы.''''' Один из крупнейших немецких фи¬лософов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет.
Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поста¬вить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размерен¬ным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов.
Откуда Кант мог знать точное время?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»'''''В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача
Роскошно липа расцвела.
Под ней червяк завелся малый,
Да вверх пополз во всю он мочь
-Четыре локтя делал в ночь,
Но днем сослепу полз обратно
Он на два локтя аккуратно.
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты.
--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Дэдвудский экспресс'''''
Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор.
Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди!
Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого.
Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут.
Каковы размеры двух ящиков?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

'''''Сватовство сиамского короля'''''Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей».
Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

'''ID_278'''

#'''Задача Герона Александрийского.''' Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

#'''Бхаскара II.'''Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

[[Участник:команда Шоу"модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач

2008-10-27T14:35:16Z

Шоу "модель":

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.

10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: 2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = 2/3 (12 – x),
2/5x = 8- 2/3 x,
2/5x + 2/3 x =8,
16/15x =8,
x = 8*15/16 ,
x = 15/2 ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.

Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта (3,5 раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = 3,5 x копейки. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + 3,5x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, делённый на100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.
С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило
26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания

Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики
партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества
и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Решение:

Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро
Х+12,5Х=30

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Решение:
Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп
Х+1/6Х=443/4

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Решение:
Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х
1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Решение:
2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)

.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач

2008-10-26T13:02:08Z

Шоу "модель":

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''

----
<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

'''Команда ШОУ «Модель»
ID_278'''

'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

''Решение:''

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение:
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
2у² - 9у – 18 = 0,
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение:
По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.

5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение:
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
3х + 2у + z = 36,
2х + 3у + z = 34,
Х + 2у + 3z = 26,
Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ .
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.

6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение:
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2.
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение:
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
200х = у², (1)
5х = у. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем
200х = 25х²,
200 = 25х,
х = 8. ____
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.

8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3

И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.

9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.

10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение:
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
где n и a – некоторые целые числа.
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
При n =5 х = 301,
При n =12 х = 721,
При n =19 х = 1141 и т.д.
Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.

11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение:
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
х² + (10 – х)² = 58
х1 = 7
х2 = 3.
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского.
На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x,
x + x =8,
x =8,
x = 8 ,
x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.

13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение:
X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5;
x = 1,5.
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.

14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение:
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века.
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса.
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----

== Великолепная восьмерка ID-300 ==

<big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big>

'''1 задача'''

''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

'''2 задача'''

''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

'''3 задача'''

''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

<big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big>

'''1 задача'''

''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

'''2 задача'''

''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

'''3 задача'''

''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

'''4 задача'''

''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

'''5 задача'''

''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

'''6 задача'''

''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

<big>Индусские задачи из Бхасхары</big>

'''1 задача'''

''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''

Решение

Пусть х м - глубина пруда.

'''2 задача'''

''На две партии разбившись ''

''Забавлялись обезьяны. ''

''Часть восьмая их в квадрате ''

''В роще весело резвилась, ''

''Криком радостным двенадцать ''

''Воздух свежий оглашали. ''

''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''

''Обезьян там было в роще?''

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

<big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big>

'''Задача'''

''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

<big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big>

'''Задача'''

''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. 

<big>Старинные задачи</big>

'''1 задача'''

''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

'''2 задача'''

''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

'''3 задача'''

''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

'''4 задача'''

''Роскошнолипа расцветала''

''Под ней червяк завелся малый.''

''Да вверх пополз во всю он мочь -''

''Четыре локтя делал в ночь.''

''Но днем со слепу поз обратно''

''Он на два локтя аккуратно''

''Трудился наш червяк отважный,''

''И вот итог работы важной,''

''Награда девяти ночей:''

''Он на верхушке липы сей.''

''- Теперь, мой друг, поведай ты,''

''Какой та липа высоты?''

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

'''5 задача'''

''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

'''6 задача'''

''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

'''7 задача. (задача Бируни)'''

''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

'''7 задача (Китай II век)'''

''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

'''8 задача'''

''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''

''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

<big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big>

'''1 задача'''

''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

'''2 задача'''

''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

'''3 задача'''

''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]] 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)

----

----
== Смешарики ID 245 ==

<big>Задачи древнего востока: </big>
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)

Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение:
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
(2/3)*(1/3)х=70
(2/9)х=70
х = 315
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»

Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
У – 1 = (x+y)/3
И, кроме того,
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
3у – 3 = 2у + 2
У = 5, х = 5 + 2 = 7
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.

Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
Решение:
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.

Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение:
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.

Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение:
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
Х + 2х + 6х + 24х = 132
3х = 132
Х = 4
Ответ: 4 монеты.

Задача № 6.

<big>Древнеиндийская задача:</big>

Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:
Алгебраический способ.
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
x = 15

Способ подбора.
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
Ответ: было 15 пчел.

Задача № 7

<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
Х = 28
Ответ: 28 учеников.

Задача № 8.

<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение:
Примем объем бассейна за 1.
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
12х + 6х + 4х + 3 = 12
25х = 12
Х = 12/25
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.

Задача № 9.

<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение:
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
Х + 1 = 2(х – 3)
Х = 7
Груз мула равен 7, груз осла равен
Х – 2 = 5
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.

Задача №10

<big>Древнеримская задача</big>(II век)

Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.

Задача №11

<big>Суд Париса</big>

Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:

Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)

Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.

Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
2x + 0,5x + 0,15x = 99
2,75x = 99
X = 36

Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека;
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
Умножим обе части уравнения на 12
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
47x + 1800
x = 38*14/47

Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
4x - 48 – 24
4x – 72
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
8x -144 – 24 = 0
8x = 168
x = 21
Ответ: У него была 21 коп.

Задача 15

<big>Жизнь Диофанта</big>

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение:
Алгебраический способ
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
х=84
Способ подбора
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Задача 16

<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину всей жертвы,
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
А девять – все завершивших талантов –
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение:
Алгебраичеический способ
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
х=40
Ответ: 40 талантов золота.

Задача 17

<big>Задача о Музах</big>

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
Четверть взяла Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
Тридцать плодов утащила Полигимния.
Сотня и двадцать взяты Уратией,
Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
Решение:
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
х=3360
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.

<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>

-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

----
Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
Получаем, что:
15=х
Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
59-3,5=55,5
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
55,5:37/6=9ч
Скорость В умножить на время:
9*8/3=24м
Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
Решение:
Черное сукно – х аршин
Синее сукно – y аршин
Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63.
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай)
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
Решение:
Кролики – х
Фазаны – y
Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
Решение:
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
Мужчины – х
Женщины – y
Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80.
Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0

Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Длина – а ладоней
Ширина – b ладоней
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
Решение:
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Значит, в классе 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
Решение:
Всего – 204 гульдена
Первый – х гульдена
Второй – 4х гульдена
Третий – 12х гульдена
Составим и решим уравнение:
х+4х+12х=204
17х=204
х=12
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
Решение:
В венке – х цветков
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
Посвящены Сурье – 1/6х цветков
Посвящены Бхавани – 1/4х цветков
Почитаемому праведнику – 6 цветков
Составим и решим уравнение:
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
Решая уравнение, получаем х = 120
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
Ответ: 120 цветков
Задача № 13. Жизнь Диофанта
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына, коему рок
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение:
Возраст Диофанта – х
Прекрасное детство – х/6
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
Бездетный брак – х/7
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
Прожил сын – х/2
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
Решая уравнение, получаем х=84
Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
Решение:
х – число дней. Составим уравнение:
(х-1)/6+3=х/5
Решив уравнение, получим, что х=85.
Ответ: 85 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214
'''Великие математики'''

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.

ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.

Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?

Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.

Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)

Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.

Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20;
20 – 8 =12;
12 * 12=144;
144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21;
21 * 7 = 147;
От 147 берем 4/7 = 84;
84:3=28.
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

'''МОЗГИ'''

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, делённый на100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.
С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило
26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания

Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9.

Математические задачи из книги:

«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики
партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества
и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Решение:

Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро
Х+12,5Х=30

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.

Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Решение:
Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп
Х+1/6Х=443/4

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.

Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 933/4 коп.

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Решение:
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
1.5*1/6*71,12=11/4
1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Решение:
Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х
1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Решение:
2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

__________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.

--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)

.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

<big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big>

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:58:46Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:56:59Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:56:06Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:55:00Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:48:18Z

Шоу "модель":

Копилка знаменитых задач

2008-10-24T08:46:18Z

Шоу "модель":

Участник:Шоу "модель"

2008-10-20T16:27:54Z

Шоу "модель": Новая: Неплохо. Но нет соответствия теме "Формула текста". Желаем успехов.--Участник:Шоу "модель" ID 278--~~~~

Неплохо. Но нет соответствия теме "Формула текста". Желаем успехов.--[[Участник:Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 21:27, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:СУММА ID 292

2008-10-20T11:28:55Z

Шоу "модель":

Здравствуйте ребята.

Неправильное указание категории приводит к потери вашей визитки. Исправьте допущенную ошибку.
В противном случаи команде будет начислены штрафные баллы.

С уважением, организаторы олимпиады.
e-mail: doom@mec.tgl.ru

Оригинально, своеобразно и интересно! Желаем удачи!--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:44, 15 октября 2008 (SAMST)

Удачи!!!!!!!!!!!!! =)--[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 14:01, 15 октября 2008 (SAMST)

Прекрасный девиз, желаем драйва!.--[[Участник:Пираты северных морей ID 239|Пираты северных морей ID 239]] 14:40, 15 октября 2008 (SAMST)

Понравилось оригинальное название команды, а также девиз и пожелание соперникам. Ни пуха, ни пера! --[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкер]] 14:13, 17 октября 2008 (SAMST)

Спасибо вашей команде за оригинальность и неповторимость. Успеха!!!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 10:31, 18 октября 2008 (SAMST)

Всё было органично и оригинально!Удачи во всём!!! --[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 13:29, 18 октября 2008 (SAMST)

Девиз классный! Пожеланий соперникам маловато.Везенья вам!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:28, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Максимум ID 251

2008-10-20T11:22:18Z

Шоу "модель":

Интересно и весело! Желаем творческих успехов!--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:42, 15 октября 2008 (SAMST)

Удачи во всём --[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 14:06, 15 октября 2008 (SAMST)

Девиз неплохой, А ФОТОГРАФИЮ МОЖНО БЫ И ПОЧЁТЧЕ. --[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 14:16, 16 октября 2008 (SAMST)

Интересно было познакомиться с вами и читать ваши стихи. От всей души желаем вам успехов в соревновании. --[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкер]] 14:08, 17 октября 2008 (SAMST)

Хорошие стихи о команде! Спасибо за пожелание! Удачи вам!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:49, 18 октября 2008 (SAMST)

Желаем удачи, успехов в придачу!!! --[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 13:34, 18 октября 2008 (SAMST)

Здорово! Желаем вам также хорошо решать задачи, как вы пишите стихи. Успехов вам!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:22, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Сталкера задач ID 219

2008-10-20T11:15:17Z

Шоу "модель":

оригинально, но слишком самоуверенно! Желаем удачи на пути к победе!--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:46, 15 октября 2008 (SAMST)

Мы просмотрели вашу страницу.Нам очень понравилось. --[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:53, 15 октября 2008 (SAMST)

Молодцы! Удачи в "ловле" задач. Главное не переоценить себя и недооценить противников. Пусть победит сильнейший--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:54, 17 октября 2008 (SAMST)

Всё супер! Очень позновательно и интересно. --[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 13:29, 18 октября 2008 (SAMST)

Привет! Нам понравилась ваша визитка! Хорошо обдуманное название... Желаем вам удачи!--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:20, 19 октября 2008 (SAMST)

Привет! Нам очень понравилось название вашей команды и его толкование. Здорово! Так держать!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:15, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Erudity ID 244

2008-10-20T11:10:46Z

Шоу "модель":

Мы просмотрели вашу страницу.Нам очень понравилось, но фото не хватает!!! --[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:36, 15 октября 2008 (SAMST)

Нам понравилась ваша страница, но мы не нашли соответствия теме. Желаем всего наилучшего. --[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкер]] 14:39, 17 октября 2008 (SAMST)

Очень интересно было читать, но почему только информация о Ксюше, а об остальных нет? В следущий раз пишите или обо всех, или не пишите совсем. --[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:19, 17 октября 2008 (SAMST)

Было очень позновательно! продолжайте в том же духе! --[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 13:29, 18 октября 2008 (SAMST)

Неплохо. Но нет соответствия теме "Формула текста". Желаем успехов!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:10, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение файла:Suma.jpg

2008-10-20T10:35:12Z

Шоу "модель": Новая: Привет Омску от тольяттинцев. Хотелось бы больше узнать про вас из визитки. Удачи вам в конкурсе!--[[Уча...

Привет Омску от тольяттинцев. Хотелось бы больше узнать про вас из визитки. Удачи вам в конкурсе!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 15:35, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Команда Х ID 237

2008-10-20T10:31:20Z

Шоу "модель":

Желаем вам удачи и всего самого хорошего.--[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:59, 15 октября 2008 (SAMST)

Весёлый девиз. Очень оригинально представили фото о себе. Успеха вам! --[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:56, 18 октября 2008 (SAMST)

Желаем удачи, успехов в придачу!!!--[[Участник:Борей ID 238|Борей ID 238]] 13:47, 18 октября 2008 (SAMST)

Прикольный девиз. На фотографии хотелось бы увидеть фото команды, а не диаграмму, хотя диаграмма - необычно! Желаем успехов!!!!!!! Команда Erudity ID 244--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:40, 20 октября 2008 (SAMST)

Девиз классный. Кроме оригинальной диаграммы хотелось бы увидеть и фото. Всего вам хорошего.--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 15:31, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение файла:Erudity-ID 244 1.jpg

2008-10-20T10:25:32Z

Шоу "модель": Новая: Здравствуйте, земляки! Просто здорово! Молодцы! Побед вам и успехов!--Участник: Шоу "модель" ID 278--~~~~

Здравствуйте, земляки! Просто здорово! Молодцы! Побед вам и успехов!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 15:25, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение файла:Max251.JPG

2008-10-20T10:17:46Z

Шоу "модель": Новая: Здравствуйте, соперники! Очень понравилось ваше представление. Здорово! Думаем, что вы также хорошо р...

Здравствуйте, соперники! Очень понравилось ваше представление. Здорово! Думаем, что вы также хорошо решаете задачи, как пишите стихи. Удачи вам!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]] 15:13, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение файла:CIMG4858.JPG

2008-10-20T10:10:41Z

Шоу "модель": Новая: Привет землякам! Ваша визитка нам понравилась. Интересно выбрано название команды и его толкование. У...

Привет землякам! Ваша визитка нам понравилась. Интересно выбрано название команды и его толкование. Успехов вам!--[[Участник: Шоу "модель" ID 278]]15:07 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Два+пять id 246

2008-10-20T10:01:58Z

Шоу "модель":

Интересное представление, но оформление должно быть несколько другим. Желаем удачи на пути к победе!--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:48, 15 октября 2008 (SAMST)

Хотим вам пожелать удачи и достойных соперников, чтоб игра была интересная --[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 13:57, 15 октября 2008 (SAMST)

Почему то нет ни фотографии, ни девиза, ни рассказа о себе. Почему?.. --[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:52, 18 октября 2008 (SAMST)

Очень мало написали о себе. Хотелось бы увидеть фотографию.В адрес соперников можно было пожелать больше. Пусть число 7 принесёт вам удачу.--[[Участник:Шоу "модель" ID 278]] 14:58, 20 октября 2008 (SAMST)

Обсуждение участника:Борей ID 238

2008-10-20T09:54:54Z

Шоу "модель":

Четко, оригинально, ярко, интересно! Очень понравилось! Желаем удачи!
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 00:24, 14 октября 2008 (SAMST)
Интересно, доброжелательно! Всем удачи!--[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 13:38, 15 октября 2008 (SAMST)

Красивая страничка и классная эмблема желаем удачи--[[Участник:Respect ID 262|Respect ID 262]] 14:15, 15 октября 2008 (SAMST)

Интересно почитать о команде. Красивая страничка. Желаем удачи нашим соперникам. Команда Erudit --[[Участник:Erudity ID 244|Диана Н.]] 17:37, 15 октября 2008 (SAMST)

Приятно было с вами познакомиться и узнать о вашем родном крае. Желаем удачи и красивых задач. --[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкер]] 14:03, 17 октября 2008 (SAMST)

Спасибо вашей команде за оригинальную визитку!!! Очень понравились ваше представление команды. Желаем вам удачи!!!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:28, 18 октября 2008 (SAMST)

Очень понравилась ваша эмблема. Интересны пожелания соперникам. Желаем вам удачи!--[[ Участник: Шоу "модель" ID 278]] 14:51, 20 октября 2008 (SAMST)