ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-04T05:17:39Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* 8. Домашнее задание: */

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.

[[Изображение:graf1.jpg|thumb]]

Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на поставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возникают затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсуждению полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математического исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»

[[Изображение:graf2.jpg]]

Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)

[[Изображение:graf4.jpg]]

Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.

[[Изображение:graf3.jpg]]

Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.

[[Изображение:graf5.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

[[Изображение:graf6.jpg]]

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-04T05:16:48Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* 6. Решение задач по теме (3 мин) */

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-04T05:14:22Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) */

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.

[[Изображение:graf1.jpg|thumb]]

Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на поставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возникают затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсуждению полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математического исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»

[[Изображение:graf2.jpg]]

Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)

[[Изображение:graf4.jpg]]

Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
[[Изображение:graf2.jpg]]
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.
[[Изображение:graf3.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-04T05:13:49Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* 4. Математическое исследование (10 мин) */

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.

[[Изображение:graf1.jpg|thumb]]

Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на поставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возникают затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсуждению полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»

[[Изображение:graf2.jpg]]

Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)

[[Изображение:graf4.jpg]]

Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
[[Изображение:graf2.jpg]]
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.
[[Изображение:graf3.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-04T05:11:04Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* 2. Историческая справка (5 мин) */

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.

[[Изображение:graf1.jpg|thumb]]

Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»

[[Изображение:graf2.jpg]]

Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)

[[Изображение:graf4.jpg]]

Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
[[Изображение:graf2.jpg]]
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.
[[Изображение:graf3.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Участник:Шувалова Юлия Григорьевна

2007-12-04T05:09:53Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

[[Изображение:Шувалова Ю.Г.jpg|thumb|Шувалова Юлия Григорьевна]]

Место жительства: город Тольятти

Место работы: МОУ школа № 10 с углублённым изучением математики.

Должность: учитель математики.

Увлечения:вязание,ешение задач повышенной сложности.

[[Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"]]

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-03T09:57:23Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.
[[Изображение:graf1.jpg]]
Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»

[[Изображение:graf2.jpg]]

Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)

[[Изображение:graf4.jpg]]

Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
[[Изображение:graf2.jpg]]
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.
[[Изображение:graf3.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-03T09:55:52Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.[[Изображение:graf1.jpg]]
Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь ''теорией графов.''

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4–5 человек. Каждая группа получает задание (Приложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

== 5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин) ==

a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.

b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.

c) Определения и выводы записываются в тетради.

''В тетради'':

'''ОПРЕДЕЛЕНИЕ:''' Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.

'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»
[[Изображение:graf2.jpg]]
Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?

''Решение:'' У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изготовить каркас куба.

''Решение задач по карточке заданий'' (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)[[Изображение:graf4.jpg]]
Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.[[Изображение:graf2.jpg]]
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.[[Изображение:graf3.jpg]]

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-03T09:50:09Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''

== 1. Организационный момент ==

Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

== 2. Историческая справка (5 мин) ==

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Кали-нинград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.
Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь теорией графов.

== 3. Актуализация знаний (3–5 мин) ==

Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:

1 Что называют графом?

2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?

3 Что называют ребром графа, вершиной графа?

4 Что называют степенью вершины графа?

5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

== 4. Математическое исследование (10 мин) ==

Класс делится на группы по 4¬–5 человек. Каждая группа получает задание (При-ложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин)
a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.
b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.
c) Определения и выводы записываются в тетради.

В тетради:

ОПРРЕДЕЛЕНИЕ: Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.

'''ВЫВОД 1''': Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.

'''ВЫВОД 2''': Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.
'''ВЫВОД 3''': Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

== 6. Решение задач по теме (3 мин) ==

Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»
Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?
Решение: У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изго-товить каркас куба.
Решение задач по карточке заданий (5 мин)

''Задача 1.'' Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)
Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.

''Задача 2.'' Уникурсальные фигуры:

а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.

== 7. Итоги урока ==

Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?

Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.

Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?

Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсальным?

Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?

== 8. Домашнее задание: ==

1. Задача №2 (д, е, ж, з)

2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?

3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-03T09:46:55Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

'''Цель занятия:'''

ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа;

выявить, проведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа;

сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.

'''Ход урока:'''
1. Организационный момент
Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

2. Историческая справка (5 мин)

Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Кали-нинград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.
Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь теорией графов.

3. Актуализация знаний (3–5 мин)
Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:
1 Что называют графом?
2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?
3 Что называют ребром графа, вершиной графа?
4 Что называют степенью вершины графа?
5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

4. Математическое исследование (10 мин)
Класс делится на группы по 4¬–5 человек. Каждая группа получает задание (При-ложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин)
a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.
b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.
c) Определения и выводы записываются в тетради.

В тетради:
ОПРРЕДЕЛЕНИЕ: Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.
ВЫВОД 1: Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.
ВЫВОД 2: Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.
ВЫВОД 3: Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

6. Решение задач по теме (3 мин)
Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»
Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?
Решение: У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изго-товить каркас куба.
Решение задач по карточке заданий (5 мин)
Задача 1. Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)
Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.

Задача 2. Уникурсальные фигуры:
а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.
7. Итоги урока
Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?
Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.
Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?
Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?
Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсаль-ным?
Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?
8. Домашнее задание:
1. Задача №2 (д, е, ж, з)
2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?
3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Файл:Graf12.jpg

2007-12-03T09:44:05Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf11.jpg

2007-12-03T09:43:35Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf10.jpg

2007-12-03T09:42:57Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf9.jpg

2007-12-03T09:42:20Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf8.jpg

2007-12-03T09:41:54Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf7.jpg

2007-12-03T09:41:33Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf6.jpg

2007-12-03T09:41:08Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf5.jpg

2007-12-03T09:40:51Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf4.jpg

2007-12-03T09:40:34Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf3.jpg

2007-12-03T09:39:43Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf2.jpg

2007-12-03T09:39:12Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Файл:Graf1.jpg

2007-12-03T09:38:51Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"

2007-12-03T09:17:56Z

Шувалова Юлия Григорьевна: Новая: Цель занятия: ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа; выявить, про-ведя математическое исслед...

Цель занятия: ввести понятие уникурсального (эйлерова) графа; выявить, про-ведя математическое исследование, закономерности между возможностью нарисовать граф одним росчерком и степенями вершин графа; сформировать умения определять является ли граф уникурсальным.
Ход урока:
1. Организационный момент
Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос «Можно ли не ломая про-волоки изготовить каркас куба?».

2. Историческая справка (5 мин)
Теория графов один из немногих разделов математики, год рождения которого можно указать достаточно точно. Первая работа, положившая начало этой теории, опубликована в 1736 г (хотя сам термин «граф» появился несколько позднее). А дело было так.
В XVIII веке на реке Прегель, протекавшей по городу Кенигсберг (ныне Кали-нинград), было построено 7 мостов. Эти мосты связывали берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1). Излюбленным занятием жителей города в воскресные дни были прогулки по набережной и мостам. Однажды один из жителей города заинтересовался, можно ли пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Одна-ко найти решение этой задачи он не смог, более того, ее не удалось решить никому из жителей города.
Задачей заинтересовались математики разных стран, и вот в 1736 году было найдено решение. Оно принадлежало известному швейцарскому ученому Леонарду Эйлеру, который почти всю жизнь проработал и Петербургской Академии наук, где добился блестящих успехов в математике, физике и астрономии. Решив эту задачу о кенигсбергских мостах, он указал общий метод решения аналогичных задач. Идеи, использованные Эйлером, явились фундаментом теории, называемой теперь теорией графов.

3. Актуализация знаний (3–5 мин)
Предложить ученикам ответить на следующие вопросы по ранее рассмотренным темам:
1 Что называют графом?
2 Кто и в каком году впервые ввел термин «граф»?
3 Что называют ребром графа, вершиной графа?
4 Что называют степенью вершины графа?
5 Какие вершины графа называют четными, какие нечетными?

4. Математическое исследование (10 мин)
Класс делится на группы по 4¬–5 человек. Каждая группа получает задание (При-ложение №1). Учитель принимает активное участие в процессе поиска ответов на по-ставленные вопросы, помогает группам, координирует работу групп и, если возника-ют затруднения у некоторых групп, привлекает все группы к совместному обсужде-нию полученных результатов.

5. Обсуждение полученных результатов (7–10 мин)
a) Каждая группа делится полученными результатами в процессе математическо-го исследования.
b) Выводы обсуждаются под руководством учителя по каждому пункту работы.
c) Определения и выводы записываются в тетради.

В тетради:
ОПРРЕДЕЛЕНИЕ: Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникур-сальным.
ВЫВОД 1: Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение можно начать в любой вершине и закончить его в той же вершине.
ВЫВОД 2: Если граф имеет только две нечетные вершины, то его можно на-чертить одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги), при этом движение на-чать нужно в одной нечетной вершине, а закончить в другой.
ВЫВОД 3: Граф с более чес двумя нечетными вершинами нельзя начертить од-ним росчерком.

6. Решение задач по теме (3 мин)
Рассмотрим ответ на вопрос нашего занятия: «Дан кусок проволоки 120 см. Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба с ребром 10 см?»
Этот вопрос можно сформулировать по-другому: Можно ли нарисовать граф, состоящий из вершин и ребер куба, одним росчерком? Является ли данный граф уникурсальным?
Решение: У куба (графа) 8 вершин и 12 ребер. Т.к. 12.10=120 см, то длины про-волоки хватит на каркас куба, но степень каждой вершины нечетная (третья). Значит, граф не является уникурсальным. Ответ на наш вопрос – нельзя таким образом изго-товить каркас куба.
Решение задач по карточке заданий (5 мин)
Задача 1. Граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах (все вершины нечетные)
Уберем один мост, как показано на рисунке, и получим все четные вершины, кроме двух. Значит, граф уникурсальный и можно обойти все ребра по одному разу, начав движение в одной нечетной вершине и закончив в другой нечетной вершине.
Добавим один мост, как показано на рисунке. Рассуждения аналогичные.

Задача 2. Уникурсальные фигуры:
а, б, в, г, ж, к, м, р, т – все вершины четные,
л, о, с – только две вершины нечетные.
7. Итоги урока
Вопрос 1 Какой граф называют эйлеровым?
Вопрос 2 Дайте другое название эйлерова графа.
Вопрос 3 Можно ли нарисовать граф с четными вершинами одним росчерком?
Вопрос 4 Является ли граф с двумя нечерными вершинами уникурсальным?
Вопрос 5 Является ли граф с тремя и более нечерными вершинами уникурсаль-ным?
Вопрос 6 В каком случае можно нарисовать граф одним росчерком, начиная и заканчивая движение в одной вершине (в разных вершинах)?
8. Домашнее задание:
1. Задача №2 (д, е, ж, з)
2. Если граф нельзя нарисовать одним росчерком, то какое минимальное число росчерков существует, которыми этот граф можно нарисовать?
3. Рассмотреть на примере кенигсбергских мостов, куба и графа на рисунке

Участник:Шувалова Юлия Григорьевна

2007-12-03T09:16:41Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

[[Изображение:Шувалова Ю.Г.jpg|thumb|Шувалова Юлия Григорьевна]]

Место жительства: город Тольятти

Место работы: МОУ школа № 10 с углублённым изучением математики.

Должность: учитель математики.

Увлечения:

[[Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"]]

Участник:Шувалова Юлия Григорьевна

2007-12-03T09:13:51Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

Участник:Шувалова Юлия Григорьевна

2007-12-03T09:12:58Z

Шувалова Юлия Григорьевна:

[[Изображение:Шувалова Ю.Г.jpg]]

Место жительства: город Тольятти

Место работы: МОУ школа № 10 с углублённым изучением математики.

Должность: учитель математики.

Увлечения:

Участник:Шувалова Юлия Григорьевна

2007-12-03T09:04:45Z

Шувалова Юлия Григорьевна: Новая: Изображение:Шувалова Ю.Г..jpg Место жительства: город Тольятти Место работы: МОУ школа № 10 с углублё...

[[Изображение:Шувалова Ю.Г..jpg]]

Место жительства: город Тольятти

Место работы: МОУ школа № 10 с углублённым изучением математики.

Должность: учитель математики.

Увлечения:

Дистанционный методический семинар ДООМ

2007-12-03T09:00:20Z

Шувалова Юлия Григорьевна: /* Участники семинара */

'''Уважаемые педагоги, локальные координаторы команд-участниц ДООМ'''! Отдельные заявки на участие в семинаре «Теория графов в школьном курсе математики и информатики» присылать не нужно.

== Как стать Участником семинара ==

'''I. Руководители команд (локальные координаторы) должны зарегистрироваться в ТолВики под своим реальным именем (для не зарегистрировавшихся ранее). Для этого нужно:

* В верхнем правом углу любой страницы нажать ссылку '''Представиться системе'''.
* На вопрос "Вы ещё не зарегистрировались?" кликнуть '''Создать учётную запись'''.
* В появившихся формах введите Имя участника – то имя, под которым вы будете отображаться на сайте (желательно в формате - Фамилия Имя Отчество), пароль - сочетание знаков, которое необходимо для каждого последующего входа в систему.
* Заполните также поле '''Ваше настоящее имя'''. Это будет способствовать комфортному общению и сделает более удобной работу участников.

<center>[[Изображение:Reg_lk_doom.jpg]] <br>
Рис. 1.
</center>

* Затем нажмите '''Зарегистрировать нового участника'''.
* Заполните (не обязательно) '''Личную страницу участника''' методического семинара (см. пример [[Участник:Васильева Александра|Васильева Александра]]).

'''II. Создать статью Семинар ДООМ YYY (где YYY название (тема) статьи). Для этого:

* Введите в окно '''Поиск''' в левой части экрана на странице ТолВики '''имя статьи''', которую Вы хотите написать, и нажмите кнопку '''Перейти'''. Внимание! Название статьи обязательно должно начинаться со слов «'''Семинар ДООМ'''». Если такая статья уже есть, то система предложит Вам ее для чтения и правки (если это не Ваша статья, измените название статьи, создаваемой Вами, и повторите действия, начиная с п. II.).
* Если такой статьи еще нет, то появится ссылка '''Создать страницу''', окрашенная в красный цвет.
* Нажав ссылку, Вы окажетесь в окне редактирования будущей статьи. В верхней части окна редактирования будет надпись с названием вашей статьи: '''Редактирование:Название статьи'''. Внимание! Ваша статья уже названа, и поэтому не нужно еще раз писать название внутри статьи.
* В окне редактирования поместите Вашу статью. Внимание! В начале статьи под ее названием '''обязательно укажите автора и Идентификационный номер команды'''. (Если '''Личная страница участника''', полученная при регистрации, была Вами заполнена, сделайте на нее ссылку с имени автора (например, <nowiki>[[Участник:Васильева Александра]]</nowiki>), а с '''Личной страницы участника''' ссылку на статью (т.е. на Личной странице, поместить запись <nowiki>[[Семинар ДООМ YYY]]</nowiki>, где YYY – название (тема) статьи)).
* Нажмите кнопку '''Предварительный просмотр'''. Экран будет разделен на два окна. В одном окне отображается текст в том виде, как он будет выглядеть на сайте, а второе окно – это окно редактирования. Вносите изменения во втором окне, нажимая периодически кнопку Предварительный просмотр, в первом - отслеживайте внесённые правки.
* '''Обязательно''' в конце статьи следует указать в двойных квадратных скобках (через двоеточие, без пробелов) одну или несколько категорий, в которых разместится Ваша статья. Например, '''[[Категория:Проект ДООМ]]'''.
* Статья будет считаться незаконченной, если в ней отсутствуют внутренние и внешние ссылки.
* Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.
* Для перехода в режим правки нажмите вверху вкладку «'''Править'''».

'''III. Разместите на сайте проекта ДООМ в разделе «Дистанционный методический семинар» внутреннюю ссылку на свою статью в следующем формате: ФИО автора, (Идентификационный номер команды), название статьи (если Вы являетесь автором нескольких статей, просто перечислите их). Для этого нужно:

* Нажать на ссылку [править] в разделе "Участники семинара".

<center>[[Изображение:Prav_sem_doom.jpg]]<br>
Рис. 2.</center>

* Записать ФИО автора, затем название статьи в двойных квадратных скобках (например, Васильева Александра Сергеевна, 777, <nowiki>[[Семинар ДООМ YYY]]</nowiki>).
* Нажать Записать страницу.
* Если название статьи будет красного цвета, значит, Вы сделали что-то неправильно. Проверьте себя, внесите исправления и повторите попытку.

'''Внимание!'''
Свои отзывы, комментарии и реплики на статьи других участников семинара нужно оставлять на странице обсуждаемой статьи во вкладке '''«Обсуждение».''' Для этого:
* Откройте статью, заинтересовавшую вас (на сайте проекта ДООМ в разделе «Дистанционный методический семинар»), затем вкладку '''«Обсуждение», «Править»''' и впишите нужный текст.
* Нажмите кнопку '''«Ваша подпись и момент времени»''' на панели визуального редактора, чтобы подписать свою работу.
* Нажмите кнопку '''Записать страницу'''.

'''Не забывайте''' представляться при работе в ТолВики. Для этого нужно выполнять следующие действия:
* В правом верхнем углу экрана выбрать ссылку [[Служебная:Userlogin|Представиться системе]].
* В окнах "Ваше имя участника" и "Ваш пароль" ввести логин и пароль, выбранные при регистрации.
* Щелкнуть по кнопке "Представиться системе".

== Участники семинара ==

# [[Участник:Пенкина Любовь Ивановна|Пенкина Любовь Ивановна]],005,[[Семинар ДООМ. Знакомство с графами (5 класс)]]
# [[Участник:Иванова Елена|Иванова Елена Андреевна]], 025,[[Семинар ДООМ "Электронный обучающий ресурс"]]
# [[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]], 061,[[Семинар ДООМ: Первая встреча с графом.]],[[Семинар ДООМ Решение вероятностных задач с помощью построения «древа» исходов.]]
# [[Участник:Октысюк Ульяна Святославовна|Октысюк Ульяна Святославовна]], 069, [[Семинар ДООМ урок математики "Графы"]]
# [[Участник:Янина Ирина Владимировна|Янина Ирина Владимировна]], 053, [[Семинар ДООМ. Решение комбинаторных задач с помощью графов]], [[Семинар ДООМ. Сетевой график]]
# [[Участник:Круглова Валентина Николаевна|Круглова Валентина Николаевна]], 006, [[Семинар ДООМ "Игра ЧТО? ГДЕ? КОГДА?"]]
# [[Участник:Хазова Людмила Модестовна|Хазова Людмила Модестовна]], [[Участник:Многогранник 041|041]], [[Семинар ДООМ. Использование графов при решении задач]], [[Семинар ДООМ. Решение комбинаторных задач]], [[Семинар ДООМ. Графы при решении задач]]
# [[Участник:Лесных Марина Владимировна|Лесных Марина Владимировна]], [[Участник:Следопыт 071|071]],[[Участник:Метеор 027|027]], [[Семинар ДООМ. Впечатление о проекте]]
# [[Участник:Коннова Елена|Коннова Елена Генриевна]],[[Участник:Альтаир 062|062]], [[Участник:Форсаж 063|063]], [[Семинар ДООМ Некоторые уточнения для лучшего взаимопонимания]], [[Семинар ДООМ Элективный курс Графы]], [[Семинар ДООМ Материалы для курса Графы]]
# [[Участник:Егорчева Светлана Валентиновна|Егорчева Светлана Валентиновна]],022,[[Семинар ДООМ "Основы графики Паскаля"]]
# [[Участник:Невзорова Марина Евгеньевна|Невзорова Марина Евгеньевна]],002,[[Семинар ДООМ Уникурсальные кривые (фигуры)]]
# [[Участник:Болонина Людмила Александровна|Болонина Людмила Александровна]],022,[[Семинар ДООМ "Из опыта изучения элементов теории графов."]],022,[[Семинар ДООМ "Применение графов к решению логических задач."]]
# [[Участник:Трифонова Валентина Артемьевна|Трифонова Валентина Артемьевна]],022,[[Семинар ДООМ "Основные понятия теории графов."]]
# [[Участник:Шувалова Юлия Григорьевна|Шувалова Юлия Григорьевна]],[[Участник:Львы_40|040]],[[Семинар ДООМ "Можно ли не ломая проволоки изготовить каркас куба?"]]

[[Категория:Проект ДООМ]]