ТолВИКИ - Вклад участника [ru]

Обсуждение:Семинар ДООМ: Использование проблемных задач на уроках математики.

2008-11-23T08:46:30Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая, Рыскалкина Наталья Васильевна, просмотрела вашу работу «Использование проблемных задач на уроках математики». Предложенные задачи могут существовать в разработке урока по моему мнению как «украшение». Но создать проблемную ситуацию – побудить учащихся «принять проблему», «прочувствовать» потребность её решения, просто предложив ее не возможно.

ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 08:35, 23 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Наталья Васильевна! Подбор задач интересен сам по себе. Хотелось бы понять проблему каждой задачи . Удачи Вам.Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:46, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Использование графиков при решении текстовых задач

2008-11-23T08:42:18Z

Bookworm ID 213:

Текстовые задачи очень часто рациональнее решать графически, но в школе, упор делается на алгебраический способ решения. Ученикам важно показать арифметический и графический способы, у ученика должна быть возможность выброра наиболее быстрого и менее трудоемкого пути решения. На ЕГЭ, когда на текстовую задачу времени 1-2 минуты, конечно удобно воспользоваться более кратким и наглядным решением.
Ваша разработка мне понравилась.

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:57, 19 ноября 2008 (UZT)
----

Людмила Михайловна!
Здорово, что Вы предложили графический способ решения задач на равномерное движение. Решение таких задач можно использовать при проведении интегрированных уроков: математика - физика. При решении таких задач учащиеся видят практическую направленность математики, связь с другими предметами.
--[[Участник:Рыскалкина Наталья Васильевна|Рыскалкина Наталья Васильевна]] 00:05, 23 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Людмила Михайловна! Учащиеся должны знать различные способы решения задач , в том числе и графический. Этот способ нелегко усваивается учащимися .Но поле решения текстовых задач расширяется. Особенно интересно было познакомиться с графическим решением задачи о математике со шляпой . Всего хорошего. Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:37, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Использование графиков при решении текстовых задач

2008-11-23T08:37:24Z

Bookworm ID 213:

Текстовые задачи очень часто рациональнее решать графически, но в школе, упор делается на алгебраический способ решения. Ученикам важно показать арифметический и графический способы, у ученика должна быть возможность выброра наиболее быстрого и менее трудоемкого пути решения. На ЕГЭ, когда на текстовую задачу времени 1-2 минуты, конечно удобно воспользоваться более кратким и наглядным решением.
Ваша разработка мне понравилась.

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:57, 19 ноября 2008 (UZT)
----

Людмила Михайловна!
Здорово, что Вы предложили графический способ решения задач на равномерное движение. Решение таких задач можно использовать при проведении интегрированных уроков: математика - физика. При решении таких задач учащиеся видят практическую направленность математики, связь с другими предметами.
--[[Участник:Рыскалкина Наталья Васильевна|Рыскалкина Наталья Васильевна]] 00:05, 23 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Людмила Ивановна! Учащиеся должны знать различные способы решения задач , в том числе и графический. Этот способ нелегко усваивается учащимися .Но поле решения текстовых задач расширяется. Особенно интересно было познакомиться с графическим решением задачи о математике со шляпой . Всего хорошего. Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:37, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Методика работы над условием задачи

2008-11-23T08:27:37Z

Bookworm ID 213:

Ответив на вопросы, поставленные вами, при подготовке к уроку, учитель сможет подготовить прекрасный урок математики

"Какую учебную цель преследует данная задача?

 Какие элементы математического образования имеются в виду?

 Необходима ли именно эта задача?

 Почему такие, а не другие конкретные величины взяты в задаче?

 Почему выбрана такая именно фабула задачи?

 Почему взяты такие, а не другие числовые данные?

 Отвечают ли числовые данные реальной обстановке, в которой могла бы возникнуть аналогичная задача?

 Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна, естественна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения, чем именно?

 Сможет ли учащийся самостоятельно решить данную задачу? Что он для этого должен знать, помнить, уметь, представлять себе? Если учащийся не сможет этого сделать, о чем будет свидетельствовать этот факт?

 Чем и в какой мере ему может и должен помочь учитель?

 Как эта задача связана с предшествующей и последующей учебной работой учащегося? И т. д."

Желаю успехов. ID-224

--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:23, 15 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая Любовь Ивановна! С удовольствием прочитала Вашу статью о методике работы над условием задачи. Вы четко выделили этапы решения задач, виды схем записи задач. Меня заинтересовали требования к учащимся для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи . Буду использовать в своей работе. Требования при построении чертежа также можно рекомендовать моим ученикам.Удачи Вам!
Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:26, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Методика работы над условием задачи

2008-11-23T08:26:34Z

Bookworm ID 213:

Ответив на вопросы, поставленные вами, при подготовке к уроку, учитель сможет подготовить прекрасный урок математики

"Какую учебную цель преследует данная задача?

 Какие элементы математического образования имеются в виду?

 Необходима ли именно эта задача?

 Почему такие, а не другие конкретные величины взяты в задаче?

 Почему выбрана такая именно фабула задачи?

 Почему взяты такие, а не другие числовые данные?

 Отвечают ли числовые данные реальной обстановке, в которой могла бы возникнуть аналогичная задача?

 Интересна ли фабула задачи для учащихся, увлекательна, естественна ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения, чем именно?

 Сможет ли учащийся самостоятельно решить данную задачу? Что он для этого должен знать, помнить, уметь, представлять себе? Если учащийся не сможет этого сделать, о чем будет свидетельствовать этот факт?

 Чем и в какой мере ему может и должен помочь учитель?

 Как эта задача связана с предшествующей и последующей учебной работой учащегося? И т. д."

Желаю успехов. ID-224

--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:23, 15 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая Любовь Ивановна! С удовольствием прочитала Вашу статью о методике работы над условием задачи. Вы четко выделили этапы решения задач, виды схем записи задач. Меня заинтересовали требования к учащимся для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи . Буду использовать в своей работе. Требования при построении чертежа также можно рекомендовать моим ученикам.Удачи Вам!стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:26, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ"Инсценированные задачи"

2008-11-23T08:05:08Z

Bookworm ID 213:

Здравствуйте! Инсценированные задачи способствуют приобщению к миру задач казалось бы даже самых "безнадежных" в смысле изучения предмета учеников. Развивается интерес, есть возможность повысить свою самооценку. Спасибо, обязательно воспользуюсь вашей разработкой.

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:36, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Баулина Елена Владимировна, просмотрела ваш материал на тему "Инсценированные задачи».я в своей работе не использую театральные представления, но считаю это недостатком а не преимуществом. В ближайшее время на теме решение логических задач использую данную разработку как сценарий к действию. Особых костюмов это представление не требует это преимущество.

ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:35, 22 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Елена Владимировна! Инсценированные задачи оживляют процесс обучения математике, побуждают учащихся к творчеству. Учащиеся ищут нестандартный и оригинальный подход к решению задач. Прослеживается связь математики с практической деятельностью . В своей работе также использую инсценированные задачи. Всего хорошего. Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:05, 23 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Комбинаторика

2008-11-22T12:35:23Z

Bookworm ID 213: Новая: Уважаемая Наталия Дмитриевна! Прочитала Вашу статью. Познавательно для учащихся! Этот материал новый...

Уважаемая Наталия Дмитриевна! Прочитала Вашу статью. Познавательно для учащихся! Этот материал новый для учителей! Было интересно с ним познакомиться.--Стрельцова М.В.[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:35, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Геометрия вокруг нас

2008-11-22T12:30:45Z

Bookworm ID 213:

Замечательная презентация к исследовательской работе. Ученики какого класса принимали участие в работе? Сформулирована проблема и пути решения. Молодцы!

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 00:05, 17 ноября 2008 (UZT)
----

Лариса Вячеславовна, отвечаю на Ваш вопрос. Над данной работой работала смешанная группа учащихся 6-9 кл. Целью было показать, как именно геометрия может быть применима для решения практических задач. Конечно младшие ребята (6 -7 класс) еще не изучали данного материала, но с удовольствием предлагали свои идеи, и довольно таки хорошие (например идея с фотографией).--[[Участник:Иейник Наталия Дмитриевна|Иейник Наталия Дмитриевна]] 18:47, 19 ноября 2008 (UZT)

Очень яркая презентация! Спасибо.--[[Участник:Тютерева Валентина|Тютерева Валентина]] 19:21, 20 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Наталия Дмитриевна! Прекрасная презентация! Ученики-молодцы. Помогают Вам.Удачи Вам!Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:30, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Задачи на действия с десятичными дробями

2008-11-22T12:14:10Z

Bookworm ID 213:

Очень хороший урок! А главное, показано, что на любом уроке можно найти место сюжетной задаче. Ваша задача: "Два совершенно незнакомых друг с другом человека зашли в разное время в кулинарию и купили там одну и ту же вареную курицу. Первому покупателю досталась левая половина курицы, которая была тяжелее правой, доставшейся второму, на 50,2 граммов. Второй покупатель принес свою половину курицы домой и встал вместе с нею на напольные весы, которые показали на 1499,8 грамм больше, чем обычно. Узнайте, сколько весила вся курица до того, как две ее половины разлучились навеки?"

ID 224 --[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 10:15, 16 ноября 2008 (UZT)
----

Спасибо за ценную разработку интересного урока. Думаю, ученики будут рады, им всегда интересно, когда на уроке используются компьютер, проектор, презентация. Задания представлены с ответами, что делает самопроверку или работу в парах более результативной. Наглядность - всегда большой "плюс" на уроке! --[[Участник:Тютерева Валентина|Тютерева Валентина]] 22:39, 20 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна!Урок понравился .Очень наглядно и интересно!Удачи Вам!
Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:14, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Задачи со сказками

2008-11-22T12:09:49Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая Ирина Анатольевна. Ваша идея со сказками нам очень понравилась, и мы решили по ней провести внеклассное мероприятие среди 5-х классов. Единственное пожелание к данной презентации - это более наглядное оформление задач. 

--[[Участник:Пенкина Любовь Ивановна|Пенкина Любовь Ивановна]] 16:50, 28 октября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна, я согласна с вами, что данную прзентацию можно использовать как на уроке математики, так и для внеклассной работы по предмету, задачи со сказочным содержанием развивают у учащихся познавательный интерес к предмету, накапливают определенный запас математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в основном курсе

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 10:07, 16 ноября 2008 (UZT)
----

Здравствуйте, Ирина Анатольевна! Я бы, в ваших слайдах, добавила картинки, рисунки и тогда они были бы более яркими и интересными.--[[Участник:Тютерева Валентина|Тютерева Валентина]] 22:55, 20 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна!Было интересно познакомиться с Вашей презентацией. Задачи со сказками всегда увлекают учащихся, переносят их в детство.Удачи Вам! Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:09, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Задачи со сказками

2008-11-22T12:09:20Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая Ирина Анатольевна. Ваша идея со сказками нам очень понравилась, и мы решили по ней провести внеклассное мероприятие среди 5-х классов. Единственное пожелание к данной презентации - это более наглядное оформление задач. 

--[[Участник:Пенкина Любовь Ивановна|Пенкина Любовь Ивановна]] 16:50, 28 октября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна, я согласна с вами, что данную прзентацию можно использовать как на уроке математики, так и для внеклассной работы по предмету, задачи со сказочным содержанием развивают у учащихся познавательный интерес к предмету, накапливают определенный запас математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в основном курсе

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 10:07, 16 ноября 2008 (UZT)
----

Здравствуйте, Ирина Анатольевна! Я бы, в ваших слайдах, добавила картинки, рисунки и тогда они были бы более яркими и интересными.--[[Участник:Тютерева Валентина|Тютерева Валентина]] 22:55, 20 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Ирина Анатольевна!Было интересно познакомиться с Вашей презентацией. Задачи со сказками всегда увлекают учащихся, переносят их в детство.Удачи Вам! Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:09, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Самостоятельное исследование Города Красноярского края в задачах.

2008-11-22T12:01:40Z

Bookworm ID 213:

Ирина Анатольевна, здравствуйте! Познакомилась с вашей работой. Мне мало, что понятно. Материала очень много. Задачи неудобно читать, например, 2.2 Задача. Далее Решение Боготол. Что это? Исторической справки много, но предложения односложные. Наверное, можно было бы этот материал разбить на более мелкие. Тогда он был бы более востребован в практической деятельности. Но некоторым материалом можно воспользоваться. Спасибо. --[[Участник:Вохминцева Галина|Вохминцева Галина]] 00:33, 6 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна! В ходе исследования в вашей статье собран богатейший краеведческий материал, который несомненно вызывает у учащихся чувство гордости за свой родной край. Замечательно, что составлен сборник краеведческих задач.

Рыскалкина Наталия Васильевна --[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 00:43, 9 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Ирина Анатольевна! Вы затронули тему, которая мне не дает покоя давно. В свое время я познакомилась с книгой "История Московского Кремля в задачах" и мысль изучить с ребятами историю родного Дмитрова и составить по изученному материалу сборник очень медленно,но воплощается в жизнь. Возникает проблема - задачи получаются "тяжелыми" не в смысле их решения, а, именно, структуры. Кроме того, задачи необходимо систематизировать не только по изучаемому объекту, но и по математическим разделам и классам. Работа огромная! Успехов Вам!

ID-224
--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 09:51, 16 ноября 2008 (UZT)
----

Уважаемая Ирина Анатольевна! С огромным удовольствием познакомилась с Вашими трудами. Прекрасно! Так много разработано практического материала. За целый курс математики 6 класса. Современна и актуальна тема , которую Вы выбрали. Учителя математики крайне редко обращаются к национально-региональному компоненту! Проведена большая исследовательская работа ! Региональный компонент вкраплен буквально в каждую тему математики 6 класса: от отрицательных чисел до решения уравнений. Вы данными задачами убедили всех учащихся и их родителей о пользе обучения математике. Не забыли и исторические моменты. Задачи интересны и тем, что связаны с современной действительностью , с сегодняшним днем. Они заставляют учеников не проходить мимо обыденных фактов, мимо окружающего мира . Заставляют учащихся любить свой Край и бережно относиться к национальной культуре.
Молодец! Приятно было с Вами познакомиться.! Эта тема меня очень затронула.Стрельцова М.В.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:01, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Урок- игра "Турнир Эрудитов" 5-7 класс

2008-11-22T11:45:04Z

Bookworm ID 213:

Спасибо за Вашу замечательную разработку! Обязательно воспользуюсь. Интересна и схема проведения, и удачно подобраны задачи.

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:48, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая Людмила Викторовна! Очень интересная форма проведения урока «Турнир Эрудитов». Работа по группам вносит разнообразие в проведение уроков математики. Сплачивает коллектив. Задачи , в основном нестандартные, активизируют мыслительную деятельность учащихся. Неожиданное начало урока аккумулирует внимание учащихся на цель урока. Я рекомендовала бы такой занимательный урок проводить в 5 классах , в 7 классах данный турнир можно провести и на занятиях математического кружка .Удачи Вам.--Стрельцова М.В.[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:23, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Упрощение выражений" (5 класс)

2008-11-22T11:44:11Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая Марина Владимировна!

Мне не очень понятно, почему именно "Упрощение выражений" (5 класс)? Хорошая идея для проведения работы - разноуровневые карточки. Примеры заданий - сюжетные задачи. Применять можно не только на уроке "Упрощение выражений"

D=224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 08:39, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, ознакомилась с материалом «Упрощение выражений в 5 классе». Я тоже использую на уроках дифференцированное обучение с применением уровневых карточек, но использую более не раздражающие цвета – зеленый, голубой, розовый. Мне кажется, психологически важно в этом возрасте быть спокойным. Кроме этого я задаю одинаковое количество задач в карточке, не снижая достоинств карточки за три балла. Ведь для некоторых учеников это предел. Задачи сформулированы и адаптированы к жизни. Следовательно, они хороши в использовании. Особенно понравились задачи о бронзе и цукатах.

ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:29, 22 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Марина Владимировна! Рассмотренная Вами идея актуальна .В обучении математики важен дифференцированный подход к учащимся , и особенно важен выбор задач на определенную оценку самим учеником. Это дисциплинирует учащихся, дает возможность роста ученика. В своей работе я ещё предлагаю учащимся переходить с низкого уровня на более высокий . Всего хорошего!--Стрельцова М.В.[[Участник:.Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:25, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Упрощение выражений" (5 класс)

2008-11-22T11:43:25Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая Марина Владимировна!

Мне не очень понятно, почему именно "Упрощение выражений" (5 класс)? Хорошая идея для проведения работы - разноуровневые карточки. Примеры заданий - сюжетные задачи. Применять можно не только на уроке "Упрощение выражений"

D=224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 08:39, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, ознакомилась с материалом «Упрощение выражений в 5 классе». Я тоже использую на уроках дифференцированное обучение с применением уровневых карточек, но использую более не раздражающие цвета – зеленый, голубой, розовый. Мне кажется, психологически важно в этом возрасте быть спокойным. Кроме этого я задаю одинаковое количество задач в карточке, не снижая достоинств карточки за три балла. Ведь для некоторых учеников это предел. Задачи сформулированы и адаптированы к жизни. Следовательно, они хороши в использовании. Особенно понравились задачи о бронзе и цукатах.

ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:29, 22 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Марина Владимировна! Рассмотренная Вами идея актуальна .В обучении математики важен дифференцированный подход к учащимся , и особенно важен выбор задач на определенную оценку самим учеником. Это дисциплинирует учащихся, дает возможность роста ученика. В своей работе я ещё предлагаю учащимся переходить с низкого уровня на более высокий . Всего хорошего!--[[Участник:Стрельцова М.В.Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:25, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Готовимся к ЕГЭ"

2008-11-22T11:42:07Z

Bookworm ID 213:

Задания в ЕГЭ (задачи на проценты)решили подкорректировать, "приблизить к жизни", а сам экзамен пока оставляют в том же формате. А жаль, т.к. уровень знаний студентов - первокурсников падает, одна из причин - ЕГЭ. "Натаскивая на ЕГЭ", мы порой опускаем очень важное, наш выпускник разучился думать, он ищет для решения задачи нужный шаблон! И чуть условие отличается от привычного...пропасть!
Это-мысли вслух. А за напоминание - спасибо!

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 21:11, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, просмотрела ваш материал "Готовимся к ЕГЭ". Увлеклась участием в ДООМ-е но ваша работа напомнила о ЕГЭ, до этого демонстрационный материал за 2009 год не видела, после просмотрела и убедилась в необходимом подборе задач хотя бы на одну из них. Они носят разнообразный экономический характер – распродажа, штрафы и зарплата (все они явно связаны с жизнью и современностью).
ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:28, 22 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Марина Владимировна! Спасибо за напоминание о новой версии ЕГЭ по математике в 2009 г. Вы предоставили информацию оперативно. В ЕГЭ по математике мало сюжетных задач, к сожалению. Дети с удовольствием их решают , если они связаны с практической деятельностью человека .Всего хорошего.--Стрельцова М.В.[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:37, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Готовимся к ЕГЭ"

2008-11-22T11:41:32Z

Bookworm ID 213:

Задания в ЕГЭ (задачи на проценты)решили подкорректировать, "приблизить к жизни", а сам экзамен пока оставляют в том же формате. А жаль, т.к. уровень знаний студентов - первокурсников падает, одна из причин - ЕГЭ. "Натаскивая на ЕГЭ", мы порой опускаем очень важное, наш выпускник разучился думать, он ищет для решения задачи нужный шаблон! И чуть условие отличается от привычного...пропасть!
Это-мысли вслух. А за напоминание - спасибо!

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 21:11, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, просмотрела ваш материал "Готовимся к ЕГЭ". Увлеклась участием в ДООМ-е но ваша работа напомнила о ЕГЭ, до этого демонстрационный материал за 2009 год не видела, после просмотрела и убедилась в необходимом подборе задач хотя бы на одну из них. Они носят разнообразный экономический характер – распродажа, штрафы и зарплата (все они явно связаны с жизнью и современностью).
ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:28, 22 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Марина Владимировна! Спасибо за напоминание о новой версии ЕГЭ по математике в 2009 г. Вы предоставили информацию оперативно. В ЕГЭ по математике мало сюжетных задач, к сожалению. Дети с удовольствием их решают , если они связаны с практической деятельностью человека .Всего хорошего.--Стрельцова М.В.[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:37, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Урок математики "Проценты" 6 класс

2008-11-22T11:39:50Z

Bookworm ID 213:

Здравствуйте! Очень хороший урок! Воспитание на уроке да еще с процентами! Грамотная подборка задач. Понизился процент "курильщиков"?

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 09:36, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Здравствуйте, Елена Александровна. В конспекте вашего урока очень много полезного материала о вреде курения, который мы использовали на внеклассном мероприятии.Конспект урока оформлен в виде очень трудном для восприятия, хотя подобран очень хороший и интересный материал.
Участник:Смешарики ID-245
--[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|Демина Т.В. и Гурилева Л.В]] --[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|ДиГ]] 13:58, 21 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Елена Александровна! Один урок о вреде курения с цифрами « на руках» принес , я думаю, вашим ученикам больше пользы , чем вся антиникотиновая пропаганда в нашей стране или ее отсутствие. Все задачи подобраны по теме урока для активизации мыслительной деятельности учащихся. Своей цели методически грамотный урок достиг. Задачи урока( образовательные, развивающие и воспитательные выполнены).Учащиеся задумались о здоровом образе жизни. Прекрасный урок ! Спасибо!--Стрельцова М.В.[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:39, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Урок математики "Проценты" 6 класс

2008-11-22T11:39:16Z

Bookworm ID 213:

Здравствуйте! Очень хороший урок! Воспитание на уроке да еще с процентами! Грамотная подборка задач. Понизился процент "курильщиков"?

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 09:36, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Здравствуйте, Елена Александровна. В конспекте вашего урока очень много полезного материала о вреде курения, который мы использовали на внеклассном мероприятии.Конспект урока оформлен в виде очень трудном для восприятия, хотя подобран очень хороший и интересный материал.
Участник:Смешарики ID-245
--[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|Демина Т.В. и Гурилева Л.В]] --[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|ДиГ]] 13:58, 21 ноября 2008 (UZT)

Уважаемая Елена Александровна! Один урок о вреде курения с цифрами « на руках» принес , я думаю, вашим ученикам больше пользы , чем вся антиникотиновая пропаганда в нашей стране или ее отсутствие. Все задачи подобраны по теме урока для активизации мыслительной деятельности учащихся. Своей цели методически грамотный урок достиг. Задачи урока( образовательные, развивающие и воспитательные выполнены).Учащиеся задумались о здоровом образе жизни. Прекрасный урок ! Спасибо!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:39, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Урок математики "Проценты" 6 класс

2008-11-22T11:38:08Z

Bookworm ID 213:

Здравствуйте! Очень хороший урок! Воспитание на уроке да еще с процентами! Грамотная подборка задач. Понизился процент "курильщиков"?

ID-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 09:36, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Здравствуйте, Елена Александровна. В конспекте вашего урока очень много полезного материала о вреде курения, который мы использовали на внеклассном мероприятии.Конспект урока оформлен в виде очень трудном для восприятия, хотя подобран очень хороший и интересный материал.
Участник:Смешарики ID-245
--[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|Демина Т.В. и Гурилева Л.В]] --[[Участник:Демина Т.В. и Гурилева Л.В.|ДиГ]] 13:58, 21 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Елена Александровна! Один урок о вреде курения с цифрами « на руках» принес , я думаю, вашим ученикам больше пользы , чем вся антиникотиновая пропаганда в нашей стране или ее отсутствие. Все задачи подобраны по теме урока для активизации мыслительной деятельности учащихся. Своей цели методически грамотный урок достиг. Задачи урока( образовательные, развивающие и воспитательные выполнены).Учащиеся задумались о здоровом образе жизни. Прекрасный урок ! Спасибо!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:38, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Готовимся к ЕГЭ"

2008-11-22T10:38:48Z

Bookworm ID 213:

Задания в ЕГЭ (задачи на проценты)решили подкорректировать, "приблизить к жизни", а сам экзамен пока оставляют в том же формате. А жаль, т.к. уровень знаний студентов - первокурсников падает, одна из причин - ЕГЭ. "Натаскивая на ЕГЭ", мы порой опускаем очень важное, наш выпускник разучился думать, он ищет для решения задачи нужный шаблон! И чуть условие отличается от привычного...пропасть!
Это-мысли вслух. А за напоминание - спасибо!

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 21:11, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, просмотрела ваш материал "Готовимся к ЕГЭ". Увлеклась участием в ДООМ-е но ваша работа напомнила о ЕГЭ, до этого демонстрационный материал за 2009 год не видела, после просмотрела и убедилась в необходимом подборе задач хотя бы на одну из них. Они носят разнообразный экономический характер – распродажа, штрафы и зарплата (все они явно связаны с жизнью и современностью).
ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:28, 22 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Марина Владимировна! Спасибо за напоминание о новой версии ЕГЭ по математике в 2009 г. Вы предоставили информацию оперативно. В ЕГЭ по математике мало сюжетных задач, к сожалению. Дети с удовольствием их решают , если они связаны с практической деятельностью человека .Всего хорошего.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:37, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Готовимся к ЕГЭ"

2008-11-22T10:37:25Z

Bookworm ID 213:

Задания в ЕГЭ (задачи на проценты)решили подкорректировать, "приблизить к жизни", а сам экзамен пока оставляют в том же формате. А жаль, т.к. уровень знаний студентов - первокурсников падает, одна из причин - ЕГЭ. "Натаскивая на ЕГЭ", мы порой опускаем очень важное, наш выпускник разучился думать, он ищет для решения задачи нужный шаблон! И чуть условие отличается от привычного...пропасть!
Это-мысли вслух. А за напоминание - спасибо!

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 21:11, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, просмотрела ваш материал "Готовимся к ЕГЭ". Увлеклась участием в ДООМ-е но ваша работа напомнила о ЕГЭ, до этого демонстрационный материал за 2009 год не видела, после просмотрела и убедилась в необходимом подборе задач хотя бы на одну из них. Они носят разнообразный экономический характер – распродажа, штрафы и зарплата (все они явно связаны с жизнью и современностью).
ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:28, 22 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Марина Владимировна! Спасибо за напоминание о новой версии ЕГЭ по математике в 2009 г. Вы предоставили информацию оперативно. В ЕГЭ по математике мало сюжетных задач, к сожалению. Дети с удовольствием их решают , если они связаны с практической деятельностью человека .Всего хорошего.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:37, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ: "Упрощение выражений" (5 класс)

2008-11-22T10:25:34Z

Bookworm ID 213:

Уважаемая Марина Владимировна!

Мне не очень понятно, почему именно "Упрощение выражений" (5 класс)? Хорошая идея для проведения работы - разноуровневые карточки. Примеры заданий - сюжетные задачи. Применять можно не только на уроке "Упрощение выражений"

D=224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 08:39, 16 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая, Лесных Марина Владимировна, ознакомилась с материалом «Упрощение выражений в 5 классе». Я тоже использую на уроках дифференцированное обучение с применением уровневых карточек, но использую более не раздражающие цвета – зеленый, голубой, розовый. Мне кажется, психологически важно в этом возрасте быть спокойным. Кроме этого я задаю одинаковое количество задач в карточке, не снижая достоинств карточки за три балла. Ведь для некоторых учеников это предел. Задачи сформулированы и адаптированы к жизни. Следовательно, они хороши в использовании. Особенно понравились задачи о бронзе и цукатах.

ID-236--[[Участник:Маклецова И.А.|Маклецова И.А.]] 06:29, 22 ноября 2008 (UZT)
Уважаемая Марина Владимировна! Рассмотренная Вами идея актуальна .В обучении математики важен дифференцированный подход к учащимся , и особенно важен выбор задач на определенную оценку самим учеником. Это дисциплинирует учащихся, дает возможность роста ученика. В своей работе я ещё предлагаю учащимся переходить с низкого уровня на более высокий . Всего хорошего!--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:25, 22 ноября 2008 (UZT)

Обсуждение:Семинар ДООМ Урок- игра "Турнир Эрудитов" 5-7 класс

2008-11-22T09:23:56Z

Bookworm ID 213:

Спасибо за Вашу замечательную разработку! Обязательно воспользуюсь. Интересна и схема проведения, и удачно подобраны задачи.

D-224--[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:48, 19 ноября 2008 (UZT)
----
Уважаемая Людмила Викторовна! Очень интересная форма проведения урока «Турнир Эрудитов». Работа по группам вносит разнообразие в проведение уроков математики. Сплачивает коллектив. Задачи , в основном нестандартные, активизируют мыслительную деятельность учащихся. Неожиданное начало урока аккумулирует внимание учащихся на цель урока. Я рекомендовала бы такой занимательный урок проводить в 5 классах , в 7 классах данный турнир можно провести и на занятиях математического кружка .Удачи Вам.--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:23, 22 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-17T12:40:58Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==
--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задачи из папируса Ахмеса'''

''У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?''

Решение:
Лиц -7
Кошек – 7*7=49
Мышей – 49*7=343
Колосьев – 343*7=2401
Ячмень – 2401*7=16807
Вся сумма равна 19607

''Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.''

Решение:
10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.

'''Задачи Вавилона'''

'''Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)'''

''Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?''

Решение:
Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата

'''Задачи Древней Греции'''

'''Задача «Суд Париса»'''Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса…
Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство.
Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.

''Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения.
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?''

Решение
Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно.
Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно.
Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь.
Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.

'''Задача Дидоны'''
''В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?''

Решение
Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача о школе Пифагора'''
''Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?''

Решение:
½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.

'''Задача о статуе Минервы'''
Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.
''Я — изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов — обет,
Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?''

Решение:
½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.

'''Задача о музах'''
По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы:
Евтерпа — богиня-покровительница музыки;
Клио — истории;
Талия — комедии;
Мельпомена — трагедии;
Терпсихора — танцев и хорового пения;
Эрато — поэзии;
Полимния — лирической поэзии;
Урания — астрономии;
Каллиопа — эпоса и красноречия.
Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви

''Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз.
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,—
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла
Терпсихора.
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.
Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?''

Решение:
1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840,
1 - 715/840=125/840,
Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500.
Если обозначить за х все яблоки, то получается, что
500/х=125/840
Х=3360
Значит, у Эрота было 3360 яблок.

'''Задача о грациях'''
Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях.
''Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?''

Решение:
Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

'''Задача Евклида'''
''Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.''

Решение:
Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5

'''Задачи Герона Александрийского'''
''Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?''

Решение:
Производительность первого – 1
Производительность второго – 1/2
Производительность третьего – 1/3
Производительность четвертого – 1/4
Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12
Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25

'''Древнеримская задача (II в.)''' ''Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение?''
Решение:
Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.

'''Задача о Диофанте из Палатинской антологии'''
''Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.''

Решение:
Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х
75/84х+9=х, х=84

'''Задачи Древнего Китая'''

'''Задача из «Математики в девяти книгах»'''
''Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.''

Решение:
Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай.
Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75

'''Задача Чжан Дюцзяня''' ''1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.''
Решение:
Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят.
Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта:
Первый: х=0, у=25, с=75
Второй: х=4, у=18, с=78
Третий: х=3,у=11, с=81
Четвертый: х=12, у=4, с=84

'''Задачи Древней Индии'''

'''Задача-легенда (начало н. э.)'''
Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.

''В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?''

Решение:
[[Изображение:Wolschebniki_48.jpg]]

'''Задачи стран Ислама'''

'''Задача из легенды «История Морадбальса»''' ''Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?''

Решение:
10*2*2*2*2=160

'''Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я)'''
''Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?''

Решение:
Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений:
У-1=(Х+1)/3
Х-1=У+1
Получаем, х=5 и у=3

--[[Участник:Волшебники города формул ID 207|Волшебники города формул ID 207]] 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] --[[Участник:ТЕКСТиК ID 290|ТЕКСТиК ID 290]] 17:39, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Логические задачи 19 века.'''
Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец?
Ответ:

Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель?
Ответ:

[['''--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]''']]



'''Задача № 1'''

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город.
Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.

Решение.

Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.

'''Задача №2'''

Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность.
- Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза!
С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки.
- Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым.
Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга …
Наконец один воскликнул
- На мне чёрный!
Как он догадался?

Решение.

Мудрец рассуждал так:
«Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».

'''Задача №3'''

Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.

Решение.

Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь.
7/2=3,5
3,5+0,5=4
7-4=3
3/2=1,5
1,5+0,5=2
3-2=1
Это вполне согласуется с условием задачи.

'''Задача 4'''

Дележ верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?

Решение:
Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.

'''Задача 5'''

Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее:
-Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.

--[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.

Решение.
Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9.
Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.

'''Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.

'''Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?

Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста.
Ответ: велосипедист приедет раньше.

'''Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг.
Ответ: похудел.

'''Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?

Решение.
Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95.
Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480
Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.

'''Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог.
Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!».
Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.

Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский

'''Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?

Решение:
Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.

'''Задача №111 Мартина Гарднера(США)'''
В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Решение.

Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.

'''Задача №112 Мартина Гарднера(США)'''Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

Решение.

Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит.
К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х.
Ответ:1760 м.

'''Задача №113 Мартина Гарднера(США)'''
Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет.
Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?

Решение.

Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу».
Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)

Участник:Плюс-ID_298:

1. Задача о грациях.
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y
x=12y

Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый?
Решение:
Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров,
=800 ливров,
=400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.

Задача 3. Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей,
На каждом костыле по 7 сучков,
На каждом сучке по 7 кошелей,
В каждом кошеле по 7 пирогов,
В каждом пироге по 7 воробьев.
Сколько всего?
Решение:
7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256
Ответ: 137256
Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет?
Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему
x2+y2 = z2
xz = y2
xy = 10

Решение:
Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения .
Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения .
Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид ,
или .
Решая это уравнения как квадратное относительно , получим .
Следовательно,
.
Ответ: .

Задача 5. Вечеринка.
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?

Решение:
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:

1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами
2-я, Ольга, » с 6+2 »
3-я, Вера, » с 6+3 »
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Х-я, Нина, » с 6+х »

Имеем уравнение: ,
откуда х=7,
а следовательно, число танцоров – 20–7=13.

Ответ: 13 танцоров.

Задача 6. морская разведка.
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.

Решение:
Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140,
Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.

Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.

Решение:
Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4
Число «54» означает 5х+4.
Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100.
Ответ: «84»=100.

Задача 8. на велодроме.
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?

Решение:
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем:
х+у= 17, х –у =1,
откуда х=9,у=8(метров в секунду).

Задача 9. рукопожатия.
Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?

Решение:
Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, .
Откуда .
Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек.
Ответ: в заседании участвовало 12 человек.

Задача 10
При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?
Решение:
Возможны 8 комбинаций:
2222, 2222, 2222, 2222,
222 ,222 ,22 ,22
Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222,
Преобразуем второе из них:
2222 = 222•11 = = 48411.
Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22
Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей
222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4)
последний – явно наибольший.
Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 .
Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.

Задача 11.
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
Решение:
Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов.
--[[Участник:Плюс ID 298|8Б]] 14:22, 16 ноября 2008 (UZT)
МАКСИМУМ ID_266

 Задача индийского математика Магавиры

О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

решение:C1+C2+C3+C4+C5=(1+1)5-C0=31

 Задача индийского математика Шридхары

Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей?

решение:Х1+Х2+Х3+Х4+
Х5+Х6=(1+1)6-Х0=63

[[Участник:Дилемма ID_270]]

'''Задачи Л.Н. Толстого'''

В рассказе Л.Н. Толстого "Много ли человеку земли нужно?" крестьянину отводилось столько земли, сколько он успевал обежать в течение одного дня. По какому контуру ему выгоднее бежать: по квадратному, шестиугольному(правильный шестиугольник) или по кругу?

Решение: При равенстве периметров этих фигур наибольшую площадь имеет круг.

'''Задача Пуассона'''

Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда, один в 8, а другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд в 8 пинт.

'''Решение'''

Приводим один из вариантов решения:

12 8 5

4 8 0

4 3 4

9 3 0

9 0 3

1 8 3

1 6 5

6 6 0

[[Участник:Весёлые умницы ID_296]]

'''1. ЗАДАЧА ВАВИЛОНА'''

Для определения площади че¬тырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противопо¬ложных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь.

Решение. Согласно условию задачи, площадь четырехугольника
где a, b и с, d — две пары противоположных сторон. Эта формула будет точной для прямоугольника. Действитель¬но, для прямоугольника а = b; с = d; S= ac.

'''2. ЗАДАЧА ИЗ МОСКОВСКОГО ПАПИРУСА'''

Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верх¬него 2.

Решение. Египтяне решали эту задачу по формуле Vус.пир.= h/3(a2+ab+b2), где h- высота пирамиды, a и b - соответственно нижнее и верхнее основание. Ответ объем равен 56.

'''3. ЗАДАЧА АРХИМЕДА (автором задачи является величайший математик, фи¬зик всех времен Архимед Сиракузский (287-212 гг. до и. э.). Задача взята из трактата Архимеда «Леммы».).'''

Если круг описан около квадрата, а другой в него вписан, то описанный круг по площади вдвое больше впи¬санного.

Решение. Sопис. =πR2; Sвпис. =πr2; ; ;
где а — сторона квадрата. Тогда
Sопис. =(πа2): 2; Sвпис. =(πа2):4;
Следовательно, Sопис. = 2Sвпис.. что и требовалось доказать.

'''4. ЗАЧА ДИОФАНТА'''

Найти два числа, отношение которых 3, а отноше¬ние суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Решение. Вопрос сводится к решению системы уравнений ; . После возведения в квадрат первого равенства получим = 9
или, прибавив по единице к левой и правой частям равенства, найдем, что
= 10, откуда x2 + y2 = 10 y2.
Тогда второе равенство системы можно представить так: или 10y2=5(x+y). Имея в виду, что х =y (согласно первому равенству си¬стемы), получим 10y2 = 5(3y + y); 10 y2 = 20у, откуда у = 2. Следовательно, х = 6.

'''5. ЗАДАЧА ДИОФАНТА'''

Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе — 27, а суммы второго с третьим на пер¬вое — 32.

Решение. Вопрос сводится к решению системы
(х + у)z= 35; (у + z)у = 27; (у + z )х = 32.
Вычитая второе уравнение из первого, находим
хz — ху = 8.
Складывая полученное уравнение с третьим, будем иметь
xz = 20.
Но тогда ху =12 и уz = 15. Умножая хz = 20 на уz = 15, получаем
xуz2 = 20 •15 или 12z2 = 20 • 15, откуда z= 5. Следовательно, х = 4, у = 3.

'''6. ЗАДАЧА МЕТРОДОРА (о жизни Метродора ничего не изве¬стно, даже нет сведении о времени его рождении и смерти. В историю математики он вошел как автор интересных задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборнике и имели большое распространение).'''

Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим — перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли, в прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение. Условие задачи приводит к уравнению

решая которое, получим х = 84. Следовательно, Диофант умер 84 лет.

'''7. ЗАДАЧА АРИАБХАТЫ (задача взята из трактата «Ариабхатиам» известного индийского математика конца V - начала VI в. Ариабхаты).'''

Два светила находятся на данном расстоянии (d) друг от друга, движутся одно к другому с данными ско¬ростями (v1, v2). Определить точку их встречи.

Решение. Обозначим через х путь, пройденный до встречи одним светилом, тогда время, необходимое ему для про¬хождения этого пути, будет x : v1.
За это время второе светило пройдет путь d- х и затратит на него время
(d - x):v2. Теперь составим уравнение x : v1=(d - x):v2, откуда x=dv1:(v1+v2)

'''8. ЗАДАЧИ БЕГА-ЭДДИНА'''

Требуется найти число, которое, будучи умножено само на себя, сложено с двумя, затем удвоено, вновь сложе¬но с тремя, разделено на 5, наконец, умножено на 10, в результате дает 50.

Решение. Решение дается «методом обращения»: 50 : 10 = 5; 5 • 5 = 25; 25 - 3 = 22; 22 : 2 = 11; 11 - 2 = 9; = 3, что и будет служить ответом.

'''9. ЗАДАЧИ АЛ-КАШИ'''

Найти число, одна треть и одна четверть которого составляют 21.

Решение. Эту задачу в своем арифметическом трактате «Рас¬крытие тайн науки Габар» ал-Кальсади решает «методом чашек весов».
Пусть х = 12 (правая чашка), тогда первая погрешность будет 14. Если же х = 24 (левая чашка), то вторая погреш¬ность будет 7. Следовательно,
что и составляет окончательный результат.

'''10. ЗАДАЧА БХАСКАРЫ'''

Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя осталось дома. Одна пчелка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке логоса, куда он попал вечером, при¬влеченный приятным ароматом, и не мог оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчел роя.

Решение. Полагая, что число пчел роя 2х2, получаем уравне¬ние
2х2 = х + 16:9х2+2 или откуда 2 х2 = 9х = 18, откуда х = 6 и 2х2 = 72.

'''11. ЗАДАЧА ИЗ РУКОПИСИ XVII а.'''

Пришел христианин в торг и прянес лукошко яиц. И торговцы его спрошали: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» И христианин молвил им так: «Яз, господине, всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только яз помню: перекладывал яз те яйца из лукошка по два яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и яз клал в лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз их клал по 6 яиц, ино одно же яйцо осталося; и яз клал по 7 яиц, ино все по сему при¬шло. И по сколько в том лукошке яиц было, сочти ми».

Решение. Составитель рукописи приводит ответ: 721 яйцо. Видимо, он не был знаком с понятием наименьшего кратного и дал не наименьшее возможное решение. Наименьшее ре¬шение составляет 49 яиц.

'''12. ЗАДАЧА БЕЗУ( задача составлена французским математиком Этьеном Безу (1730—1783)'''

Некто купил лошадь и спустя некоторое время про¬дал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил.

Решение. Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял х2:100 пистолей. Следовательно, согласно условию задачи, х – х2:100=24. Решая полученное квадратное уравнение, получаем два результата: х1 = 40 и х2 = 60.
Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пис¬толей .

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:40, 17 ноября 2008 (UZT)
'''Задача №114. «Профессор на эскалаторе». Мартин Гарднер(США)'''Польский математик Станислав Шляпенарский, идя очень медленно по движущемуся эскалатору, успевает спуститься на 50 ступеней прежде чем эскалатор кончается Из любопытства он взбегает затем по тому же эскалатору (не пропуская при этом ни одной ступени) и оказывается наверху после того, как преодолеет 125 ступеней.
Сколько ступеней можно будет насчитать в остановившемся эскалаторе, если предположить, что вверх профессор взбегает в пять раз быстрее, чем спускается вниз (то есть за то время, за которое, идя вниз, профессор опускается на одну ступеньку, взбегая наверх, он успевает подняться на пять ступенек)?

Решение:
Пусть n-число ступеней на видимой части эскалатора. Время, за которое профессор Шляпенарский успевает спуститься на одну ступеньку, примем за единицу. Поскольку для того, чтобы спуститься по движущему вниз эскалатору, профессору необходимо пройти 50 ступеней, за время спуска (равное 50 единицам) под гребенкой эскалатора исчезают и становятся невидимыми n-50 ступеней. Поднимаясь наверх (против движения) по тому же эскалатору, профессор преодолевает 125 ступеней, проходя за каждую единицу времени 5 ступеней. Следовательно, в принятых нами единицах время подъема составляет 125/5, или 25 единиц, и под гребенкой эскалатора успевают исчезать 125-n ступеней. Поскольку эскалатор можно считать движущимся с постоянной скоростью, для n получается следующее линейное уравнение:
(n–50)/50=(125–n)/25, получим, что n=100.
Ответ: 100 ступенек.

'''Задача №115. Задача «Рассеянный кассир». Мартин Гарднер(США)'''Рассеянный кассир, оплачивая чек мистеру Брауну, перепутал доллары и центы и отсчитал клиенту доллары вместо центов и центы вместо долларов. Купив газету за пять центов, Браун обнаружил, что денег у него ровно в двое больше, чем он должен получить по чеку. На какую сумму был выписан чек?

Решение:
Пусть х – число долларов, а у – число центов в той сумме, на которую мистер Браун выписал чек. Запишем условие задач в виде уравнения: 100у+х–5=2(100х+у), или, 99у-199х=5. Это диофантово уравнение, имеющее бесконечно много решений в целых числах. Обычный метод решения с помощью непрерывных дробей дает наименьшее значение в положительных числах х=31, у=63. Следовательно, мистер Браун выписал чек на сумму 31 доллар 63 цента. Это единственный ответ к задачи, поскольку ближайшее к найденному решение х=129, у=262 не удовлетворяет требованию: у должен быть меньше 100 (В одном долларе сто центов).
Ответ: 31 доллар 63 цента.

'''Задача №116. задача «Чему равен один лунар?» Мартин Гарднер(США)'''Герои романа Герберта Уэллса «Первые люди на Луне» обнаружили, что наш естественный спутник населен разумными насекомообразными существами, обитающими в пещерах под лунной поверхностью. Предположим, что эти существа пользуются единице длины, которую мы назовем «лунаром». Она выбрана так, что площадь лунной лунной поверхности, выраженная в квадратных лунарах, в частности, совпадает с объемом Луны в кубических лунарах. Диаметр Луны составляет 3476 км. Скольким километрам равен один лунар?

Решение:
Объем сферы равен кубу ее радиуса, умноженному на 4π/3. Площадь поверхности сферы равна квадрату ее радиуса, умноженному на 4π. Выразив радиус Луны в лунарах и предположив, что ее поверхность в квадратных лунарах равна ее объему в кубических лунарах, мы сможем определить длину радиуса, если приравняем оба выражения и решим полученное уравнение относительно радиуса. Число π сокращается и в правой и в левой части , и мы получаем, что радиус Луны равен трем лунарам. Поскольку радиус Луны равен 1738 км, один лунар равен 579 ⅓ км.
Ответ: 579 ⅓ км.

'''Задача №117. Задача «Марширующие курсанты и беспокойный терьер». Мартин Гарднер(США)'''Курсанты военного училища построены в каре (квадрат со стороной 15м) и маршируют с постоянной скоростью. Небольшой терьер, любимец роты выбегает из середины последней шеренги (из точки А) и устремляется по прямой к середине первой шеренги (к точке В). Достигнув цели, он поворачивает и снова бежит по прямой к середине последней шеренги. К моменту его возвращения в точку А курсанты успевают пройти ровно 15м. какое расстояние про бежал терьер, если предположить, что он двигался с постоянной скоростью, и пренебречь потерей времени на повороте?

Решение:
Примем за единицу длины ширину (или равную ей глубину) строя курсантов, а за единицу времени – то время, которое требуется им, чтобы пройти единицу длины. В принятых единицах скорость передвижения строя также будет единичной. Пусть х – полное расстояние пройденное терьером (его скорость будем выражать той же величиной х). Когда пес бежит к первой шеренге, его скорость относительно курсантов равна х–1. При возвращении в последнюю шеренгу скорость терьера составляет х+1.яКаждый раз он пробегает (относительно шеренги) расстояние 1 и путешествия в оба конца затрачивает единицу времени. Получим уравнение:
1/(х-1)+1/(х+1)=1, или квадратное х2-2х-1=0. Положительный корен этого уравнения будет равен 1+√2. Умножив его на 15, получаем окончательный ответ 36,15……м.
Ответ: 36,15м.

'''Задача № 118. Задача «Самолет и ветер». Мартин Гарднер (США)'''Самолет летит по прямой из аэропорта А в аэропорт В, а затем обратно из В в А и снова по прямой. Он летит с постоянной скоростью, ветер отсутствует. Будет ли время в пути больше, меньше или останется таким же, если полет происходит по том уже маршруту, с той же скоростью, но на обоих отрезках пути дует с одинаковой скоростью ветер? Направление ветра из А в В.

Решение: поскольку при полёте из А в В дует попутный ветер, а при полёте из В в А, - встречный ветер, многие поддаются искушению и думают, что опережение графика в первом случае и запоздание во втором компенсируют друг друга; так что полное время в полёте остаётся таким же, как и при отсутствие ветра. Такое заключение неверно, ибо во время полёта самолёта с попутным ветром меньше, чем время полёта против встречного ветра, в силу чего самолёт запаздывает. Полное время полёта при постоянном по величине и направлению ветре, независимо от этой величины и направления, всегда больше, чем в безветренную погоду.

'''Задача №119. Сколько стоят обитатели зоомагазина? Мартин Гарднер(США)'''
Владелец небольшого зоомагазина приобрёл некоторое количество хомяков и вдвое меньше количество пар длиннохвостых попугаев. За каждого хомяка он заплатил по два доллара, а за каждого попугая – по одному. При продаже он запрашивал за каждого из них на 10% больше той что платил сам.
Распродав всех хомяков и попугаев, кроме семи, владелец магазина обнаружил, что выручка от продажи в точности равна сумме, затраченной им на всю покупку. Следовательно, его потенциальная прибыль равна общей цене оставшихся семи хомяков и попугаев.
Сколько стоит оставшаяся живность?

Решение: Пусть х – число первоначально купленных хомяков (и равное им число попугаев), у – число хомяков среди семи оставшихся непроданными обитателей зоомагазина. Тогда число непроданных попугаев, равно 7-у. Число проданных хомяков (по цене 2.20 доллара за штуку – 2 доллара «себестоимость» + 10% надбавки) равно х-у, а число проданных попугаев (по 1.10 доллара за каждого) равно х-7+у.
Вырученная хозяином сумма составляет 2х долларов за хомяков и х долларов за попугаев, то есть всего 3х долларов. От продажи хомяков хозяин получил 2,2(х-у) долларов, а от продажи попугаев – 1.1(х-7+у) долларов, то есть всего 3.3х-1.1у-7.7 доллара.
Далее получаем уравнение: 3х=11у+77.
Поскольку х и у – целые положительные числа и у не может превышать 7, проще всего подставить вместо у восемь возможных значений (в том числе и нулевое) и посмотреть, при каком из них х также принимает целое значение. Попугаев покупают парами. Это дополнительное условие исключает у = 2.
Теперь уже ничто не мешает нам восстановить полную картину. Владелец зоомагазина приобрёл 44 хомяка и 22 пары попугаев, уплатив за всю покупку 132 доллара. Он продал 39 хомяков и 21 пару попугаев за 132 доллара. Оставшиеся 5 хомяков стоят 11 долларов, а два попугая – 2.20 доллара, то есть всего 13.20 доллара. Прибыль равна 13,20 доллара.

'''Задача №120. Рекламные щиты на шоссе. Мартин Гарднер(США)'''Смит мчался на своей машине по шоссе с постоянной скоростью. Рядом с ним в кабине сидела его жена. «Ты заметила, - спросил он, - что эти надоедливые щиты с рекламой пива расставлены на одинаковом расстоянии друг от друга? Хотелось бы знать, на каком именно.»
Миссис Смит посмотрела на часы и сосчитала, сколько рекламных щитов промелькнуло за окном в течение одной минуты.
«Какое странное совпадение! – воскликнул Смит. – Если это число умножить на 10, то получится в точности скорость нашей машины в милях в час.»
Предположи, что скорость машины постоянная, щиты расставлены через правильные промежутки, а минуты, отмеренная миссис Смит, начинается и кончается в моменты когда машина как раз по серди расстояния, отделяющего один рекламный щит от другого. Спрашивается, чему равно это расстояние?

Решение: Пусть х – число щитов, промелькнувших в течении одной минуты. За час машина проедет мимо 60х щитов. Скорость машины, как известно из условия задачи, равна 10х миля/час. Пройдя расстояние в 10х миль машина проедет мимо 60х щитов, следовательно, на расстоянии 1мили она проедет мимо 60х/10х, или 6 щитов. Это и означает, что расстояние между щитами равно 1/6 мили, или 880 футам.

'''Задача №121 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Андрей бегает на лыжах быстрее Вити, но медленнее Жени. Они одновременно побежали по круговой дорожке из одного места в одном направлении и остановились в момент, когда был все трое в одном месте. За это время Женя обогнал Витю 13 раз. Сколько всего было обгонов?

Решение. Те 13 моментов времени, когда Женя обгонял Витю, разбивают всё время движения на 14 промежутков, и за каждый промежуток Женя обгонял Витю ровно на один круг. Значит, Женя сделал на 14 кругов больше Вити. Пусть Андрей сделал на k кругов больше Вити. По условию 0<k<14. Рассуждая аналогично, получаем, что Андрей обогнал Витю k – 1 раз. Но Андрей сделал на 14 – k кругов меньше Жени, поэтому Женя обогнал его 13 k – раз. Всего произошло 13+( k-1)+(13- k)=25обгонов.

'''Задача №122 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''
Математик шел домой вверх по течению ручья со скоростью, в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках шляпу и паку. На ходу он бросил в ручей шляпу, перепутав её с палкой. Вскоре, замети ошибку, он бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей той, с какой шел вперёд. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно достал её из воды, и как ни в чём ни бывало пошел домой с прежней скоростью. Через 30 секунд после того, как он догнал шляпу, он встретил палку, плывущую ему на встречу. Насколько раньше пришел бы он домой, если бы всё время шел вперёд?

Решение. на две с половиной минуты. Пусть математик бежал назад t секунд. Тогда палка плыла назад t+40 секунд. Обозначим скорость течения v. Тогда скорость ходьбы равна 1,5v, бега - 3v. Расстояние, которое он бежал назад, равно расстоянию, которое плыла палка до встречи с ним, плюс расстояние, которое он шел вперёд, выловив шляпу, до встречи с палкой:
3vt=1,5v * 40 + v(t+40),
Откуда t = 50 секунд. Время, которое он потерял, равно 50 секунд плюс время, которое ему потребовалось, чтобы пройти то же расстояние, а оно вдвое больше. Всего получается 50+50*2 = 150 секунд.

'''Задача №123 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)'''Четверть участников шахматного турнира составляли гроссмейстеры, остальные были мастера. Каждые два участника сыграли друг с другом один раз. За выигрыш присуждалось одно очко, за ничью – полочка, за проигрыш – ноль. Мастера в сумме набрали 3 1,2 раза больше очков, чем гроссмейстеры. Сколько было мастеров и сколько гроссмейстеров?

Решение. Ответ: 9 мастеров и 3 гроссмейстера. Если n – число участников матча, то n(n-1)/2 – общее количество очков в этом матче.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 17:40, 17 ноября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 7

2008-11-15T10:45:47Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-14T11:02:27Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Математический ребус

ЗАДАЧА

ЧАЙ : АЙ = 5.

РЕШЕНИЕ

Из условия следует, что ЧАЙ = АЙ * 5, т.е. Ч*100+АЙ=АЙ*5, откуда Ч*100=АЙ*4 и Ч*25=АЙ. Так как число АЙ двузначное, то Ч может быть равно только 1,2 или3. Каждому значению Ч соответствует определенное решение: если Ч=1, то АЙ=25, разные буквы расшифровываются разными цифрами., А=2, Й=4, если Ч=2, то АЙ =50; если Ч=3, то АЙ=75. Значит, расшифровать запись можно тремя способами: ЧАЙ=125, 250 или 375.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.

'''Задача греческого математика Митродора'''.Царская корона имеет массу 60 мин (1 мина=100 драхм=1/60 таланта) и отлита из сплава золота, меди, свинца и железа. На золото и медь приходится 3/4, на золото и свинец - 2/3, на золото и железо - 3/5 массы короны. Сколько мин золота, меди, свинца и железа в царской короне?

'''''Решение''''':Предположим, что на отливку короны пошло x мин золота, y мин меди, z мин свинца и f мин железа. Тогда x+y+z+f=60,(1). x+y=2/3*60=40,(2). x+z=3/4*60=45,(3). x+f=3/5*60=36,(4). Складывая уравнения (2),(3),(4), получаем 3x+y+z+f=121, вычитая из последнего уравнения уравнение (1), находим 2x=61,x=30,5. Значит y=9,5 z=14,5 f=5,5.Итак, 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 14,5 мин свинца и 5,5 мин железа.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №53. Задача французского автора Ж. Озанама (XVII в.)'''

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. они условились, что первый даст половину, второй одну треть, а третий оставшуюся часть. Сколько денег даст каждый?

Решение:

1) Найдем, сколько денег даст первый человек:
24000*0,5=12000 (ливров)
2) Найдем количество денег, которое даст второй человек:
24000*1/3=8000 (ливров)
3) Найдем последнюю сумму денег:
24000–12000–8000=4000 (ливров)
Ответ: I – 12000 ливров, II – 8000 ливров, III – 4000 ливров.

'''Задача№54. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение:

пусть х – количество людей, тогда получим уравнение:
8х – 3=7х+4
Решая уравнение получим, что х=7. тогда стоимость вещи равна 8·7 – 3=53

Ответ: 7 человек, стоимость вещи 53.

'''Задача №55. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах. вес всех воробьев тяжелее веса всех ласточек. если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес будет как раз одинаковым. общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.

Решение:

Обозначим за х вес одного воробья и за у вес одной ласточки. Получим систему из двух уравнений: 4х + у = 5у + х и 5х + 6 у = 1 . Знаем, что 5х > 6 у .
Решая данные уравнения, имеем х = 2 /19 , у = 3/38
Ответ: вес воробья 2/ 19 цзинь , вес ласточки 3/ 38 цзиня.

'''Задача 56. Задача Алькуина.'''

Разделить сто мер пшеницы между сто лицами так , чтобы каждый мужчина получил три , каждая женщина два , а каждое дитя ½ меры. Сколько мужчин , женщин и детей?

Решение.

Составим систему неопределенных уравнений: х+у+с= 100 и 3х+2у+1/2с =100 , где х,у,с- натуральные числа ( мужчины , женщины, дети). Решая данную систему , получим уравнение 2у + 5с= 400. То есть , х= 11, у = 15, с = 74.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 25'''''

'''(Анания из Ширака, армянский математик VII века.)'''

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая ,в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн.

''Решение:''

В 6/11 часа. За 6 ч первая труба наполнит 6 таких водоёмов, вторая -3, а третья-2, всего 11 водоёмов. Значит, 3 трубы вместе наполнят один водоём за 6/11 часа.

Ответ: 6/11 часа.

'''''Задача №26'''''

'''Задача Адама Ризе ( XVI в.)'''

26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчина издерживал по 6 марок, женщина - по 4, девушка – по 2. Сколько было мужчин , женщин и девушек?

''Решение:''

Пусть было m мужчин, g женщин, тогда девушек было 26 - m-g. По условию задачи составим уравнение и упростим его:

6m+4g+2(26-m-g)=88 (6),

2m +g=18 (7).

Так как g делится на 2, подставим g = 2 g1 (g1 – натуральное число) в уравнении (7) и упростим его: m + g1 =9 (8).

Уравнение (8) имеет 8 решений (m;g 1) в натуральных числах(1;8), (2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2), (8;1). Уравнение (6) тоже имеет 8 решений (m;g) : (1;16), (2;14), (3;12), (4;10), (5;8), (6;6), (7;4), (8;2). Следовательно, задача имеет 8 решений: мужчин, женщин и девушек было 1, 16, 9, или 2, 14, 10, или 3, 12, 11, или 4,10,12, или 5, 8, 13, или 6,6, 14, или 7,4,15, или 8,2, 16.

'''''Задача № 27'''''

'''Задача Д.Пойа'''

Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, и другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

''Решение:''

Пусть было x кг орехов первого сорта и y кг орехов второго сорта, тогда выполняются два равенства:

x+y=50,

90x+60y=3600.

Имеем:

(система)

х + у = 50,

3х + 2у = 120

Для решения систем двух уравнений с двумя переменными применяют один из двух основных способов решения.

1)Способ подстановки.

Выразим y через x из первого уравнения:y=50-x
Подставим выражение 50-x во второе уравнение вместо y:
3x +2(50-x)=120, x=20
Теперь найдем y: y=50-20=30.

2)Способ сложения.

Умножим правую и левую части первого уравнения системы (1) на-2 и сложим почленно полученные уравнения:

(система)

- 2х – 2у = - 100,

3х+2у=120.

(система)

х=20,

у=30.

Ответ:20кг первого и 30кг второго сорта.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 00:12, 9 ноября 2008 (UZT)

----
Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.

2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



8.Любое число – тремя двойками

ЗАДАЧА

Любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

РЕШЕНИЕ

Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:
Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительности,

Если бы дано было 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное число N, то
Причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.

9.Алгебраические комедии
2*2=5

РЕШЕНИЕ
16 – 36 = 25 – 45
Прибавляются равные числа:
16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼
И делаются следующие преобразования:

Затем с помощью незаконного заключения переходят к финалу:
4 – 9/2 = 5 – 9/2,
4 = 5,
2*2=5

== МаГмА ID _205 ==
1. Задачи из "Греческой Анталогии":

Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине.Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу."Чего ты жалуешься?-ответил ей мул.-Ведб если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей.А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаково с моей".Скоько мешков несла ослица и сколько нес мул?

Решение:

Обозначив через х поклажу ослицы, а через у — поклажу мула, сводим задачу к системе уравнений с двумя неизвестными
у + 1 = 2 (х - 1); у — 1 = х + 1 или
2х — у — 3; у — х = 2.
Решая эту систему, получаем х = 5, у = 7.

2. Задачи Бхаскары:

Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел,чтобы убить Карну;половину их он употребил на собственную защиту, a учетверенное количество квадратного корня -протв лошадей;6стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны,разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову.Сколько было стрел у Арджуны(сына Притхи)?

Решение:

Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:
0,5х+4 х+6+3+1=х
После упрощения получаем
х—104х+400 = 0,
откуда
х = 52± 52 —400 .
Следовательно,
х = 52 ± 48.
Таким образом, имеется два корня: х = 100 и х = 4, причем непосредственной проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.

3. Задачи из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение:

За год работник должен был получить 12 рублен и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1/12,a стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублен и 7/12 стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, 5/12 стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким образом, цена кафтана была
2:5/12=2*12/5=24/5=4,8(рубля)

4. Задачи Л.Н.Толстого:
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение:

Сам Л. Н. Толстой, по свидетельству проф. А. В. Цингера, решал задачу при помощи следующих рассуждений: «Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня полартели скашивает 1/3луга. Следовательно, на малом лугу
остался нескошенным участок в1/2-1/3=1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было6/6+2/6=8/6, то косцов было 8».
«Толстой,— вспоминал А. В. Цингер, — всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым — уже стариком, его собственно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 48)».
Приводим алгебраическое решение задачи. Пусть х— число косцов артели, у — размер участка, скашиваемого одним косцом за 1 день.Заметим, что у — вспомогательное переменное — вводится исключительно для облегчения решения задачи, от него потом освобождаются. Далее, выразим через х и у площади большого и малого луга.Площадь большого луга равняется ху/2+ху/4=3ху/4ху .Площадь малого луга ху/4+у=ху/4+4у/4
Большой луг по условию больше малого в два раза, поэтому
(3ху/4):(ху/4)+(4у/4)=2
3ху/ху +4у=2,
После сокращения на у получим
3х/(х+4)=2,
Откуда х=8.

5. Задачи из "курса Алгебры" А.Н. Страннолюбского:

Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4,5руб., потом 3,5руб. и наконец 7 руб. Сколько недель продолжалась работа?

Решение:

Пусть х — число недель, в течение которых продолжалась работа, тогда
(15-10)х=4,5+3,5+7;
х=3(недели)
--[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 18:19, 12 ноября 2008 (UZT)

== '''Совокупность "жареных семечек"ID-224''' ==
'''Из «Введения в анализ бесконечных», т.1, Л. Эйлер'''

'''Задача №40'''

Доказать, что логарифмы двух чисел в любой системе сохраняют одно и то же отношение.

Решение.

(a +blgx)lgx = lgc, пусть lgx = y, тогда by^2 + by – lgc = 0. Найдя y, находим х.

'''Задача №41'''

Пусть к концу каждого века число людей удваивается; требуется найти годовой прирост.

Решение.

Если предположим, что число людей возрастает ежегодно на 1/х свою часть, и, притом вначале число людей было равно n, то по истечении 100 лет, это число будет равно [((1+х)/х)^100]*n.

Это должно быть равно 2nи тогда (1+x)/x = 2^1/100, логарифмируем: lg(1+x)/x = 1/100, lg2 = 0,0030103, отсюда (1+х)/х = 10069555/10000000, поэтому х ≈144.

Итак, достаточно ежегодного прироста людей на 1/144 часть.

'''Задача №42'''

Пусть число людей увеличивается ежегодно на 1/100 свою часть; спрашивается, через сколько лет число людей удесятериться.

Решение.

Положим, что это наступит через х лет, причем число людей вначале было равно n;

стало быть по истечении х лет оно будет равно [(101/100)^x]*n, а так как оно должно равняться 10n, то

(101/100)^x = 10, xlg(101/100) = lg10, x = lg10/(lg101-lg100) = 1/(lg101-2), x≈231.

Итак, через 231 год число людей, если ежегодное приращение составляет только 1/100 часть, станет больше в 10 раз, отсюда

через 462 года оно станет в 100 раз, а через 693 года в 1000 раз больше.

'''Задача №43. Задача Ж. Озанама.'''

Семеро друзей собрались к обеду, но между ними возник спор, кому с кем садиться. Чтобы прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по разному, до тех пор, пока не будут испробованы все комбинации.

Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Решение.

'''Задача №44. Середина 14 века. Задача Нарайана.'''

Подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной коровы за 20 лет, по условию корова в начале каждого года рожает телку, а телки дают такое же потомство, достигнув трех лет.

'''Решение.'''

В начале 1-го года стадо состояло из 2-х животных, в начале 2-го –из 3-х, затем из 4 и 6.

Начиная с 4-го года численность стада можно выразить рекуррентным соотношением:

S(k) = S(k-1)+S(k-3).

С помощью соотношения последовательно вычисляем S(20) =2745.

'''Задача №45 Задача о кроликах или числа Фибоначчи'''

В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде

[[Изображение:Krol1.jpg]]

'''Задача №46. Китай. «Математический трактат о чжоу-би»'''

В центре бассейна со стороной 1 чжан = 10 чи растет камыш, выступающий над водой на 1 чи. Оттянутый камыш достигает берега. Какова глубина воды?

Решение.

Сторона бассейна 2а, камыш выступает на высоту h, глубина х.

[[Изображение:Zadacha.jpg]]

По теореме Пифагора (х+h)^2 – x^2 = a^2.

(x+1)^2-x^2 = 5^2, 2x+1=25, x=12 (чи)

'''«Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу»'''

Авторы неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший «Математику» в 3 в. , сообщает, что она была составлена по более ранним источникам видным чиновником финансовой службы Чжан Цанем (умер в 152 г. до н.э.)

'''Задача №47.'''

В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка дополнена неочищенным просом, и если последнее очистить, то всего получится 7 доу пшена.

Решение.

Запишем уравнение.

х +3/5(10-х)=7 (3/5 – коэффициент перехода от проса к пшену из книги 2 «Математики»)

х = 2,5.

'''Задача №48.'''

Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день вырастает на 7, внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день на 10. Когда они встретятся?

Решение.

Запишем уравнение (7+10)х = 90.,

х = 90/17=5+5/17 дней.

'''Задача №49.'''

Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу. Из двух снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

{| class="wide" border=1
|-
!Весь урожай||Хороший урожай||Средний урожай||Плохой урожай
|-
||||В 1-м снопе х доу||В 1-м снопе y доу||В 1-м снопе z доу
|-
||39 доу||3 снопа||2 снопа||1 сноп
|-
||34 доу||2 снопа||3 снопа||1сноп
|-
||26 доу||1 сноп||2 снопа||3снопа
|-
|||||||
|}

3x+2y+z=39, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26.

x-y=5, x=5+y.

z=34-2(5+y)-3y, z=24-5y.

5+y+2y+(24-5y)*3=26, -12y=26 -77, y=51/12,

y=4+1/4,

X=9+1/4,

z = 2+3/4

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 9,25 доу, из одного снопа среднего урожая получается 4,25 доу, из одного снопа плохого урожая получается 2,75 доу.

'''Задача №50.'''

2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая, 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

В 1-м снопе хорошего х доу, в 1-м снопе среднего y доу, в 1-м снопе плохого z доу

2х+у =1, 3у+z=1, 4z+x=1.

Y=1-2x, z=1-3y, 4-12(1-2x)+x=1, 25x=9,

x=0,36, y=0,28, z=0,16.

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 0,36 доу, из одного снопа среднего урожая получается 0,28 доу, из одного снопа плохого урожая получается 0,16 доу.

'''Задача №51.'''

'''М.Е. Салтыков-Щедрин'''

«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя маленького Порфирия? Выходит, однако, немного – всего 800 рублей!»

Решение.

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущения, что Головлев сделал вычисления правильно, требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.

800 = 100(1 +p/100)^50

'''Задача №52.'''

'''Старинная задача из сборника Игнатьева Е.В. В царстве смекалки.'''

Идет крестьянин и плачется: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько медных грошей болтается, да и те нужно отдать. И как это у других получается, что на всякие свои деньги они еще деньги получают? Хоть бы кто помог». Только сказал, глядь, перед ним черт.

«Что ж, - говорит, - помогу. Видишь мост через реку? Как будешь мост переходить, деньги у тебя в кармане удвоятся. Сколько раз перейдешь по мосту, столько раз и удвоятся».

- Ой ли? – удивился крестьянин.

- Верное слово, - сказал черт, - но, чур, уговор! Ты, каждый раз перейдя мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не помогу.

Согласился крестьянин.

Перешел мост раз. Точно – удвоились деньги. Отдал черту его 24 копейки.

Пошел обратно, опять удвоились. Отсчитал плату черту и перешел третий раз.

Деньги удвоились и их оказалось ровно 24 копейки, которые пришлось отдать черту.

А) Сколько денег было у крестьянина?

Б) Какое минимальное количество денег должно быть у крестьянина, чтобы после третьего перехода и расплаты с чертом деньги у крестьянина удвоились?

Решение.

А) Х – первоначальное количество денег у крестьянина,

2х – после первого перехода,

(2х-24)*2 – после второго перехода,

[(2x-24)*2-24]*2 =24 –после третьего перехода.

(2х – 24)*2=12+24, 2х-24=18, 2х=42, х = 21.

Б) [(2x-24)*2-24]*2 -24= 2х, (2х-24)*2 – 24 =(2х+24)/2, (2х-24)*2 =х+36, 3х=84, х=28.

Ответ. 21 коп., 28 коп.

'''Задача №53'''

'''А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить.'''

5 разных человек в 5 разных домах разного цвета, курят 5 разных марок сигарет, выращивают 5 разных видов животных, пьют 5 разных видов напитков.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

'''Алгоритм решения задачи:'''

Норвежец живет в первом доме

Норвежец живет около голубого дома (2-й)

Жилец из среднего дома пьет молоко (3-й)

Зеленый дом стоит слева от белого

Жилец зеленого дома пьет кофе

Зелёный дом – 4-й

Белый дом – 5-й

Англичанин живет в красном доме

Первый дом – желтый

Норвежец живет в желтом доме

Жилец из желтого дома курит Dunhill

Лошадь у жильца голубого дома

Датчанин пьет чай в голубом доме

Курильщик Winfield пьет пиво в белом доме

Норвежец пьёт воду

Курильщик Marlboro живет в голубом доме (датчанин)

Кошку держит Норвежец

Швед держит собаку в белом доме

Человек, который курит Pallmall, держит птицу – Англичанин

Значит, Немец курит Rothmans и держит рыбу

'''Задача №54.''' '''Жорж Сименон'''

«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.

- Говорит Мегре. Есть новости?

- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

- Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Решение.

Запишем простые высказывания:

А = { Франсуа пьян}

B = { Этьен убийца }

C = { Франсуа лжет }

D = { убийство произошло после полуночи }

Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1

Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1

Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1

(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1

(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1

Применяя закон поглощения:
(┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC

Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит
┐ADC=0

Итак, BD=1

Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 23:31, 9 ноября 2008 (UZT)
----

'''Задача №55.''''''Задача Пуассона.'''

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Ответ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.

Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.

Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.

Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.)

Тогда в 8л. как раз остается 6л.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 00:45, 13 ноября 2008 (UZT)
----

Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.
2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)
'''Задача№57. Задача Л. Эйлера.'''
Некто продает свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 32. За первый
Гвоздь он просит 1 коп., за второй 2, за третий 4, за четвертый 8 и всегда за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит свою лошадь?
Решение:
Имеем геометрическую прогрессию. Нас просят найти сумму всех гвоздей. Для решения задачи применим формулу для расчетов суммы n членов прогрессии: Sn=b1(1–qn)/1-q, где b1=1, n=32, q=2.
Получим:
S32=1(1–232)/1-2=4294967295 (копеек)
Ответ: 4294967295 копеек, или 42949672 рубля 95 копеек.

'''Задача №58. Задача из книг новгородских писцов.'''
В книгах новгородских писцов XVв. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Можно ли на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
Решение:
Обозначим емкости бочки, насадки и ведра равны соответственно x,y,z. Тогда получим систему уравнений:
x+20z=3x и 19x+ y+15,5z=20х+8z
Решая систему, получим х=4у т. е. в одной бочке содержится 4 насадки.
Ответ: В одной бочке содержится 4 насадки.

'''Задача №59. Задача из «Счетной мудрости».'''
Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся 3 копейкам.)
Решение:
Число мужчин:
(1200–120*9)/(12–9)=40
Число женщин
120–40=80
Ответ: мужчин было 40 человек, женщин было 80 человек.

'''Задача №60. Задача из рукописи XVII в.'''
Четыре плотника у некого гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: «Только б де мне одному тот двор ставити, я бы де его поставил един годом». А другой молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в два года». Третий молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в три года». А четвертый так рёк: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в четыре года». Ино все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино сколь долго они ставили, сочти мне.
Решение:
За 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй–6; третий–4; четвертый–3. Следовательно, за 12 лет они вместе построят 25 дворов. Таким образом, четыре плотника вместе один двор построят за (365*12)/25=175,2 дня.
Ответ: за 175,2 дня.

'''Задача № 61. Задача Эйлера.''' Некий чиновник купил лошадей быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?
Решение:
Если х – число лошадей, у – число быков, то
31х+21у=1770
откуда
у=84-х-(10х-6)/21
Из последнего равенства следует, что (5х-3) делится на 21. Обозначив 5х-3=21z, получим у=84-х-2z и х=4z+(z+3)/5. Следовательно, (z+3) делится на 5, т.е. z=5t-3, x=21t-12 и y=102-31t.Так как y>0 и z=5t-3≠0, то t1=1, t2=2, t3=3 соответственно x1=9, y1=71; x2=30, y2=40; x3=51, y3=9.

'''Задача №62. Задача Кирика Новгородца.''' Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет?
Решение: месяцы – 26 * 12 = 312, недели – 26 * 52 = 1356, дни - 26 * 365 = 9497, часы – 9497 * 24 = 227928.
Ответ: человек прожил 26 лет, 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

'''Задача №63. Французская задача.''' Трое имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю (монет). Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.
Ответ:
I 8 8/2 = 4 4/2 = 2 2+14/2+8/2 = 13
II 8 8/2 = 4 4+4/2+16/2 = 14 14/2 = 7
III 8 8+8/2+8/2=16 16/2 = 8 8/2 = 4

Значит, сначала у каждого было 13, 7, 4 экю.

'''Задача №64. Задача Ризе.''' Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по одной четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было у каждого.
Ответ: Пусть x, y, z – количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Решение системы уравнений:
x+1/2(y+y) = 12 и y+1/3(x+z) = 12 и z+1/4(x+y) = 12
Даёт нам: x = 3 9/17, y = 7 13/17, z = 9 3/17 флоринов.

'''Задача №65. Задача Пизанского.''' Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженным со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причём природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.
Ответ: От одной пары кроликов в год родится:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 376
Эта задача приводит к ряду Фибоначе:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

'''Задача №66. Задача Пизанского.''' Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя».
Сколько у каждого?
Ответ: Решив систему уравнений:
x+7 = 5(y-7) и y+5 = 7(x-5)
Получим, что первый имел x = 7 2/17 динариея, а второй y = 9 14/17 динария.

'''Задача №67. Задача Пизанского.''' Выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз от 1 до 30 целых весовых единиц. Все гири при взвешивании разрешается ставить только на одну и туже чашку весов.
Ответ: Если m1, m2, m3, m4, m5 – массы гирь, то масса m=< 30 весовых единиц любого груза необходимо представить в виде.
m = a1m1+a2m2+a3m3+a4m4+a5m5
где коэффициенты a1, a2, a3, a4, a5 равны либо 0, либо 1. Массы гирь m1, m2, m3, m4, m5 достаточно выбрать равными 1, 2, 4, 8, 16 весовым единицам, так как сумма масс равна 31, что больше 30. Любое число
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)

----

== Участник: Максимум ID_251 ==

ДЕЛЕЖ ВЕРБЛЮДОВ
Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он сделал?

''Решение.''

Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 = 9 верблюдов; средний 18 = 6 верблюдов, младший 18 = 2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно 9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1.

КРЕСТЬЯНЕ И КАРТОФЕЛЬ
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

''Решение.''

Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, но 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Сколько было?
Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню, - сказала женщина, — знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то оставалось 1 яйцо. Точно так же всегда оставалось по 1 яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц?

''Решение.''

Задача, очевидно сводится к нахождению такого числа, которое делится без остатка на 7, а при делении на 2, 3,4, 5 и 6 дает в остатке 1.
Наименьшее число, которое делится без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6 (наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, значит, найти такое число, которое делилось бы на 7 без остатка и было бы вместе с тем на 1 больше числа, делящегося на 60. Такое число можно найти путем последовательных попыток: 60, деленное на 7, дает в остатке 4, следовательно, 2 х 60 дает в остатке 1 (2x4 = 8; 8-7=1). Значит, 2 х 60 = числу, кратному 7 + 1, отсюда следует, что (7 х 60 - 2 х 60) + 1 = числу, кратному 7, т.е. 5 х 60 + 1 = числу, кратному 7, 5 х 60 + 1 = 301.
Итак, наименьшее число, решающее задачу, есть 301. То есть наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине у женщины, есть 301.

Задача Чжан Цюцзяня (V в.)
1 петух стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

''Решение''

Решение системы сводится к следующим уравнениям: y = 25 - 7/4 x, z = 75 - 3/4 x. Задавая значения х=0;4;8;12, получим решения задачи: (0;25;75), (4;18;78), (8;11;81), (12; 4; 84).

Задачи из папируса Ахмеса.
1. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.

''Решение''

10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1\8 и получает, что 10-й член прогрессии равен
1+9*1/2*1/8=25/16.

2. Найти приближенное значение для числа ,приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

''Решение''

По условию задачи (8/9 d)^2=пd^2/4. Тогда п=3,1604.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 15:58, 11 ноября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Задача Л.Ф. Магницкого''

Некий человек нанял работника на год, обещая ему дать 12 р. и кафтан, но тот проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

''Решение''

Пусть х р. - стоимость кафтана, тогда можно составить уравнение

7(1+х/12)=5+х.

х=24/5

х=4,8

Ответ: кафтан стоит 4 р. 80 коп.

''Задача из Математических рукописей 17 в.''

Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа.Сколько бы они скоро, все три - вол, конь и коза - ту копну съели, сочти.

''Решение''

За 12 ч вол съест 12 копен, конь - 6, коза - 4, всего они съели 22 копны за 12 ч. Поэтому одну копну вол, конь и коза вместе съедят за 12/22=6/11 ч.

Ответ: вместе вол, конь и коза съедят копну за 6/11 ч.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 00:46, 12 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)
'''Задача №68. Задача Магавиры (Индия)'''.
Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9 остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
Решение: ((1/16)2+(152/92*162))x2+14 = x
Где х - число павлинов в стае. Отсюда x1 = 48, а x2 = 336/17 не подходит.

'''Задача №69. Задача Магавиры (Индия).'''
О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиант, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
Решение: С15+ С25+ С35+ С45+ С55 = (1+1)5+14 = 31
Ответ: 31

'''Задача №70. Задача Ариабхаты (Греция).'''
Два лица имеют равные капиталы, причём каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение: Задача сводится к решению уравнения: ax+b = cx+d, откуда x = (d-b)/(a-c),
где у первого лица будет a вещей и b монет, а у второго лица – c вещей и d монет

'''Задача №71. Задача Сунь-цзы (Китай).'''
Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятёрками, то остаток 3; если считать их семёрками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.
Решение: 23+105t, где t – целое, неотрицательное число.

'''Задача №72. Задача Дидоны (Греция).'''
Участок земли какой формы окружила Дидона верёвкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
Решение: Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательно свойство было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшийся верёвкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача №73. Задача Фалеса (Греция).'''
Определить расстояние от берега до корабля на море.
Решение: Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строим треугольник ABC с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, ∟ACB = ∟DCE и ∟CDE = ∟CAB. Тогда по теореме о равенстве двух треугольников имеющих сторону и два угла, получаем AB = DE

'''Задача №74. Задача о статуе Минервы.'''
Я – изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов – обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты вместе в дар принесли?
Решение: Узнаем, какую часть от всех даров, составляет обет Аристоника: 1-(1/2+1/8+1/10+1/20)=9/40. Затем найдем количество золота, которое принесли все поэты вместе: 9/(9/40)=40.
Ответ: 40.

'''Задача №75. Задача о Грациях (Греция).'''
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой грации стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой грации до встречи с музами?
Решение: Пусть у каждой грации было по х плодов, и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть: х-9у = 3у или х = 12у
Т.е. у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
Ответ: у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)

== Совокупность "жареных семечек"==

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

'''Задача №56'''

На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.

Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" - спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?

Ответ:

Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: "Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет".

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: "Самого себя". Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло "и все же тот, кого мы видим на портрете, - сын моего отца". Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что "отец того, кто на портрете, - сын моего отца". Отсюда следует, что отец человека на портрете - я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете - сын моего отца.

Подставляя краткое "я" вместо более громоздкого выражения "сын моего отца", преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете - я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

'''Задача №57'''

2. Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)".

Чей портрет разглядывает этот человек?

Ответ: B этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

'''Задача №58'''

3. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать.

Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

Ответ: При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу деле обстоит так, как если бы я спросил у вас: "Живут на свете два человека - Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?" Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: "Вы либо лжете, либо ошибаетесь".

'''Задача №59'''

4. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

Ответ:

Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

'''Задача №60'''

5. Новый поворот в предыдущей задаче.

Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

Ответ: В ящике 4 носка.

'''Задача №61'''

6. Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.

Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?

Ответ: На вопрос первой задачи ответ утвердительный.

Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек - например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

'''Задача №62'''

7. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C). Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.

Спрашивается, кто убийца? A или B?

Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой. Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево". Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! - повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", - ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.

Ответ: Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать "правильными" или "неправильными". В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика C, то его недруга A. Если бы я был защитником караванщика B, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика B способствовали продлению жизни караванщика C (хотя это и не входило в намерения караванщика B), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика A мог бы возразить мне: "Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если C в действительности не выпил ни капли яда?" Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и A, и B виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости не сравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне не известна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем.

'''Задача №63'''

8. Еще один юридический казус.

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Ответ: Обвиняемые были сиамскими близнецами.

'''Задача №64'''

9. Двое краснокожих.

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец. Как вы это объясните?

Ответ: Тот из краснокожих, кто повыше ростом, - мать того, кто ростом пониже.

'''Задача №65'''

10. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

Ответ:
Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

'''Задача №66'''

11. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Ответ:

Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

'''Задача №67'''

12. У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

'''Задача №68'''

13. Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

Ответ: Как может покойник жениться на ком-нибудь?

'''Задача №69'''

14. Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

Ответ: Человек, живущий на двадцать пятом этаже, - лилипут и не может дотянуться до кнопки "25 этаж" на пульте лифта.

'''Задача №70'''

15. Задача о железнодорожном движении.

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.

Ответ: Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

'''Задача №71'''

16. Наклон крыши.

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската?

Ответ: Петухи не откладывают яйца

'''Задача №72'''

17. Сколько девяток?
Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

Примечание: 6 и 9 - это разные цифры, т. е. переворачивать их нельзя.

Ответ: Двадцать.

'''Задача №73'''

18. Беговая дорожка.
Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

Ответ: Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

'''Задача №74'''

19. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: "Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!"

Как вы это объясните?

Ответ: Хирург был матерью Артура Смита.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 01:18, 13 ноября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Весёлые умницы ID_296|Весёлые умницы ID_296]] 14:07, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №1'''

ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА РАЙНДА.
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.
Решение: по условию задачи составляем уравнение
х+2/3 х- 1/3 (х+2/3 х)=10 , ответ х = 9

'''Задача №2'''

ЗАДАЧА ДИОФНТА (Из трактата «Арифметика»)
Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.
Решение: Пусть сумма всех трех чисел I + II + III = x2 + 2x +1 = ( x + 1 )2,
а I + II = x2, тогда III = 2x +1. Пусть теперь II + III = ( x - 1 )2. Тогда получаем, что I =4x, а II = х2 – 4х. Далее I + III = 6x + 1 должно быть квадратом некоторого числа, например 112 = 121. Тогда для определения х получаем уравнение 6х + 1 = 121, откуда х = 20. Значит: I = 80, II = 320, III = 41.

'''Задача №3'''

ЗАДАЧА ИЗ «ГРЕЧЕСКОЙ АНТОЛОГИИ»
- Хроноса (бог ремени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остается. ( У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: по условию задачи составляем уравнение
4/3 х+х=12 , ответ х = 5 1/7 дня

'''Задача №4'''

ЗАДАЧА ИЗ БАХШАЛИЙСКОЙ РУКОПИСИ ( найдена в 1881г. Ри раскопках в Бахшали в северо-западной ИНДИИ. Рукопись выполнена на березовой коре и относится к 3 или 4 веку н. э.)
Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый.
Решение: Пусть первый дал 1 часть, второй - 2, третий – 6, четвертый- 24. Сумма пожертвований будет составлять 33. Разделим 132 на 33. Это и будет искомый результат. Ответ 4.

'''Задача №5'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ ( Задача взята из трактата «Венец астрономического учения» индийского математика ХII в. Бхаскары-акария)
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/ 2,1/4 первоначального числа, то получится 68. Как велико число?
Решение: Бхаскара данную задачу решал методом предположения. Предположим, что искомое число равняется 3, тогда, по условию задачи, 3•5=15, одна треть от 15 равна 5. Поскольку15 – 5 = 10, то при делении 10 на 10 получим 1. Если к 1 прибавить 1/3, 1/2, 1/4 от 3, тогда получаем 1+1+3/2+3/4=17/4, что меньше 68 в 16 раз. Следовательно искомое число 3•16=48. Ответ 48.

'''Задача №6'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ
Некто сказал своему другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого.
Решение: Пусть у первого было 2х - 100 рупий, а у второго х + 100 рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея ввиду второе условие, находим 6 ( 2х – 110 ) = х + 110. Решая, получаем х = 70. Значит у первого было 140 – 100 = 40 рупий, у второго 70 + 100 = 170

'''Задача №7'''

ЗАДАЧА АЛ-КАРХИ (Среднеазиатский математик ХI в, автор трактата « Все известное в арифметике»)
Найдите площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
Решение: Обозначим ширину прямоугольника через х, тогда длина его будет 2х, площадь 2х2, периметр 6х. Согласно условию задачи 2х2 = 6х, следовательно х = 3, и искомая площадь равна 18 кв. ед.

'''Задача №8'''

ЗАДАЧА БЕГА-ЭДДИНА ( Иранский математик автор трактата «Сущность искусства счисления»)
Разделить число 10 на такие две части, разность которых есть 5.
Решение: Если меньшую часть обозначить через х, то большая будет х+5. Согласно условию задачи, 2х +5 = 10. Откуда х = 21/2. Следовательно меньшая часть 21/2, а большая 71/2.

'''Задача №9'''

ЗАДАЧА ИЗ «КУРСА АЛГЕБРЫ» А. Н. СТРАННОЛЮБСКОГО (русский математик-методист 1839 – 1903г.)
Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; теперь мне 45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим лета второго сына через х, тогда х +3х = 45 – 29; решая уравнение получаем ответ х = 4

--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|"Весёлые умницы"]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
----
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача 76. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется бамбук из девяти колен. Объём трёх нижних колен 4 шэна, четыре верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы объёмы двух средних колен, если объём каждого колена отличается от соседних на равную величину.

Решение:

Для решения задачи составитель трактата выводит правило: «4 шэна, разделённых на 3нижних колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна разделённые на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен остаток, является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т.е. на столько отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т.е. 1 с малой половиной шэна, есть объём второго снизу колена».
Согласно этому правилу, можно провести несложные вычисления:
1) 4/3-3/4 = 7/12 – разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
2) 9-4/2-3/2 = 11/2 составляет делитель;
3) (7/12):(11/2) = 7/66 = d, т.е. то число, на которое отличается каждая ступень от соседней;
4) тогда второе снизу колено будет составлять 4/3 = 1 1/3 (шэна). Теперь без труда можно найти в шэнах и другие восемь колен.

'''Задача №77. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и серебра каждого в отдельности.

Решение:

Прежде всего, 1 цзинь = 16 ланам, а 1 лан = 24 чжу. Обозначим теперь вес слитка золота через х, а вес слитка серебра через z; задача сводится к решению системы:
9х = 11z;
13+8x+z = 10z+x.
Будем решать эту систему по правилу двух ложных положений. Первое ложное положение x1 = 3 цзиням. Тогда:
z1= 9x1/11 = 9·3/11 = 27/11 = 2 5/11 (цзиням).
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозначив его через у1:
у1 = (13/16+8·3+2 5/11)-(10·2 5/11+3) = 27·(47/11·16) – 27·(96 /11·16) = -49/11·16.
Второе ложное положение х2 = 2 цзиням. В этом случае z2 = 1 7/11 цзиня и «избыток в левой строке» будет: y2 = (13/16+1 7/16+8·2)–(10·1 7/11+2) = 18·(79/11·16)-18·(64/11·16) = 15/11·16.
Далее предполагается, что у1 и у2 вместе с х1 и х2 записаны по китайскому способу:

х2 х1
у2 у1
где левая колонка составляет «левую строку», а правая колонка –«правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем:
х = ( 2·(49/11·16)+3·(15/11·16))/ (49/11·16+15/11·16 )= 143/64 = 2 15/64 (цзиня).
Следовательно, х = 2 цзиня 3 ланам 18 чжу. Вес слитка серебра определяется очень просто. Для этого делимое 143 надо разделить на произведение делителя 64 и знаменателя 11/9. Тогда получаем:
z = x:(11/9) = 143:(11/9·64) = 13·9/64 = 117/64 = 1 53/64 (цзиня).
Следовательно, окончательно z = 1 цзиню 13 ланам и 6 чжу.

'''Задача №78. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Рысак и кляча движутся от Чаньяня к княжеству Ци, которое удалено от Чаньяня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый следующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достигает княжества Ци, повернул обратно ив некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и сколько ли пробежала каждая лошадь.

Решение:

Составитель трактата для решения этой задачи предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток 337 с половиной ли. Предположим, что через 16, тогда избыток равен 140 ли. Избыток и недостаток – это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
За n целых дней рысак пробежит:
193+(193+13)+(193+2·13)+…+[193+(n-1)·1] = 193n+13+2*13+…+(n-1)·13 = 193n+13[1+2+…+(n-1)] = 193n+13·(n(n-1)/2) (ли).
За это же число дней кляча пробежит:
97+(97-0.5)+(97-2·0.5)+…+[97-(n-1)·0.5] = 97n-0.5[1+2+…+(n-1)] = 97n-0.5·(n(n-1)/2) (ли).
За указанное число дней русак и кляча пробегут вместе.
193n+13·(n(n-1)/2)+97n-0.5·(n(n-1)/2) = 290n+(13-0.5)·(n(n-1)/2) = 290n +6.25(n2-n) (ли).
что должно составить 6000 ли.
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу решать методом двух ложных положений.
При n = 15 недостаток равен 6000-5662.5 = 337.5 (ли); при n = 16 избыток составляет 6140-6000 = 140 (ли).
Обозначая время встречи через х, и предполагая, что на протяжении дня скорости не менялись, получим:
х =(15·140+16·337.5)/(140+337.5)=15 135/191 (дня).
Теперь не составляет большого труда найти, столько ли пройдут рысак и кляча за 15 135/191 дня.

'''Задача №79. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота, 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов. Спрашивается, сколько стоят буйвол и баран.
Решение: Эта задача в трактате решается правилом «фан-чэн», с которым мы познакомимся дальше. Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений:
5х+2у=10

2х+5у=8.

Ответ:34/21 лана стоит буйвол и 20/21 лана стоит баран.

'''Задача №80. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''
Два снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 снопов урожая А превышает дань на вес 1 снопа урожая Б, вес 3 снопов урожая Б – на вес 1 снопа урожая В, вес 4 снопов урожая В – на вес 1 снопа урожая А. Спрашивается , каков вес каждого из снопов урожаев А,Б,В.

Решение : Задача сводится к решению системы:
2х = 1+у

3у = 1+z

4z = 1+x

Её каноническая форма:

2x-y = 1

3y-z = 1

4z-x = 1

Выразим у = 2 х – 1,и подставим во второе уравнение.
Получим 6 х = 4 + z. но х = 4 z – 1 . Тогда z = 10/23 , х = 17/23, у = 11/23
Ответ: 17/23, 11/23, 10/23

'''Задача №81. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья.

Решение:

Установи, что 2 буйвола, 5 баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней положителен. Ещё установи, что 3 буйвола положительны, 9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны. Ещё установи, 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
Обозначив x, y, z соответственно стоимости буйвола, барана и свиньи, сведём задачу к решению системы:

2x+5y = 13z+1000

3x+3z = 9y

6y+8z = 5x-600,

где 1000 – остаток цяней от продажи 2 буйволов, 5 баранов и покупки 13 свиней; 600 – недостаток цяней от продажи 6 баранов, 8 свиней, покупки 5 буйволов.
Решив эту систему уравнений получаем: х= 300, у = 110, z= 30
Ответ: 300 буйволов, 110 барановЮ 30 свиней.

'''Задача №82. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется водоём со стороной в 1 чжан. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается, какова глубина водоёма и какова длина камыша. (1 чжан = 10 чи).

Решение:

Обозначим длину водоёма через 2а, длину камыша через с. Задача заключается в нахождении b и с. Руководствуясь китайским правилом находим формулу для определения искомых величин:
b = (a2-(c-b))/2(c-b);
c = b+(c-b) = (a2-(c-b))/2(c-b).
Исходя из условий задачи применяя правило «гоу-гоу», т.е. теорему Пифагор, получаем систему:

b = c-k

b2 = c2-a2,

где для кратности k обозначена известная нам надводная часть, равная c-b. Решая систему, будем иметь:
b = (a2-k2)/2k;
и
c = (a2+k2)/2k,
где k = c-b
Прежде всего по правилу «гоу-гоу» имеем:
a2 = c2-b2.
Далее, получаем:
a2 = c2 – b2 = (c-b)2+2b·(c-b)
или
a2 = (c-b)2+2b(c-b)?
откуда
b = (a2-(c-b)2)/2(c-b).

'''Задача №83. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Два человека находятся в одном месте. норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем идет по космосу направлению на северо-восток до встречи с Б. спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б.
Решение: Эту задачу древнекитайский математик в трактате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь само на себя, 3 тоже умножь само на себя, сложи и возьми половину. Возьми в качестве нормы ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умноженного на само себя, норму ходьбы по косому направлению, остаток является нормой ходьбы на юг. 3 умножь на 7, это норма ходьбы Б на восток. 10 бу ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому направлению, 10 бу умножь на норму ходьбы Б на восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и норму ходьбы на юг, получишь для каждого количество пройденного».
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить довольно просто:
1) находим сначала норму ходьбы А «по косому направлению»: (49 + 9)/2=29
2) определяем норму ходьбы А на юг:
49-(49+9)/2=20
3) норма ходьбы на восток будет
7 • 3 = 21;
4) находим «делимое»:
10 • 29 и 10 • 21;
5) А прошел «по косому направлению» путь
10•29/20=14,5 бу
6)Б прошел на восток путь
10•21/20=10,5 бу

Обычным путем задача решается так: обозначаем через Х путь, пройденный Б на восток, через У – путь, пройденный а на юг (причем, по условию задачи, у = 10 бу), через Z – путь, пройденный А «по косому направлению», т.е. по гипотенузе полученного прямоугольного треугольника. Тогда,
х2 + 10 2= z2 и х/ (z + 10) = 3/7 .
Ответ: 14,5 бу и 10,5 бу.

'''Задача № 84. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Имеется дверь, высота которой больше ширины на 6 чи 8 цуней. Наибольшее расстояние между углами (диагональ) 1 чжан. Спрашивается, каковы ширина и высота двери.

Решение: Если обозначить ширину двери через х, а длину через у, далее положить, что у - х = m («избыток»), а диагональ двери d, то задача сводится к рассмотрению системы:

d^2 = x^2 + y^2,

m = y – x.

Для определения х получаем квадратное уравнение:
2х^2 + 2mx + m^2 – d^2 = 0

'''Задача № 85. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Диаметр колодца 5 чи, глубина неизвестна. У верхнего края колодца поставлен шест в 5 чи. Вершина шеста наблюдается на одном уровне с границей воды и стены, а на диаметре откладывается 4 цуня. Спрашивается, какова глубина колодца.

Решение: Надо иметь в виду ,что 1чжан = 10 чи = 100цуням.Для составления нужного правила решения древнекитайские Математики, по всей вероятности, рассматривали два подобных прямоугольных треугольника ∆ABF и ∆FCD, откуда получали
AB/BF = x/FC; х = FC · A B/BF; х = AB(BC-BF)/BF.
«Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в цунях»

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 28.'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

''Решение:''

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача № 29'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

Решение:

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача №30'''''

'''Древнеиндийская задача.'''

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету семенгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то в зад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

Пусть пчелок всего X.

1/5x + 1/3x + (1/3- 1/5x) * 3+1=x

8/15x +2/15x * 3+1=X

8/15x +6/15x –x= -1

-1/15 x = -1

X =15

Ответ: 15 пчел.

'''Собрание арифметических задач для гимназии и прогимназии, мужских и женских, реальных, уездных и городских училищ, учительских институтов и семинарий(сост.А.Малинин и К.Буренин. М.,1885)

''' Задача № 31.'''

Крестьянин при урожае сам-семь собрал с поля 91 четверик пшеницы. Сколько пшеницы посеял крестьянин?

Условие:

“Сам-семь” говорили в том случаи, если масса урожая в 7 раз больше массы посеянных семян. Четверик – это мера, вмещающая около 26 л. зерна.

Решение:
13 ∙26 = 338(л)

Ответ: 338 л.

'''Задача №32.'''

За место внутри вагона конки платят 5 коп., а за наружное 3коп. Из 22 пассажиров 13 сидело внутри вагона. Сколько денег должны заплатить все пассажиры?

Решение:
1)13 ∙ 5 = 65 (коп)- заплатят сидящие внутри конки.

2) 22 – 13 = 9 (пассажиров) - на открытой площадке.

3) 9 ∙ 3 = 27 (коп) - заплатят пассажиры открытой площадке.

4) 65 + 27 = 92 (коп)- заплатят все пассажиры.

Ответ: 92 копейки.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:03, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Команда: Шоу "модель".'''

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.От числа одну восьмую взяв, прибавьты к ней любую половину от трёхсот, и восьмушка превзойдёт не чуть - чуть - на пятьдесят три четвёртых. Буду рад, если тот, кто знает счёт, мне число так назовёт.

'''''Решение'':''' Уравнение x/8+150=3x/4+50. Откуда получаем x=160.

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.Роскошнолипа расцвела. Под ней червяк завёлся малый, да вверх пополз во всю он мочь - четере локтя делал в ночь, но днём сослепу полз обратно он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, и вот итог работы важной, награда девяти ночей: он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, какой та липа высоты.

'''''Решение:''''' в первую ночь червяк поднялся на высоту в 4 локтя, во вторую достиг отметки в 6 локтей(на 2 локтя днём сполз, на 4 ночью поднялся), т.е. со второй ночи он поднимался всякий раз на 2 локтя и , таким образом, за 9 ночей оказался на высоте 4+2*8=20 локтей.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 15:49, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 86. Задача В.Г. Бенедиктова.''' Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя в продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трёх дочерей своих и, вверив стершей и самой смышлёной из них десяток, поручила другой три десятка, третьей полсотни. При этом она сказала им:
- Условьтесь наперёд между собой насчёт цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте; все крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлёности, даже и при общем между вами условии по какой цене продавать, сумеет выручить столько же за свой десяток, сколько вторая за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за её три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали свои яйца так, чтобы пришлось круглым счётом не меньше 10коп. за десяток, а за все 9 десятков – не меньше 90 коп., или 30 алтын.
Спрашивается, как выполнили девушки данное им поручение.

Решение:
«Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:
- Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц – семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будет крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын [трехкопеечная монета], согласны?
- Дешевенько, - сказала вторая.
- Ну, - возразила старшая, - зато мы поднимем на те яйца, которые за продажу круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цену некому; на оставшееся добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.
- А почему будем продавать остальные?- спросила младшая.
- По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.
- Дорогонько, - заметила опять средняя.
- Что же, - подхватила старшая, - зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.
Согласились.
Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала четырем покупательницам по семерику и в корзине у ней осталось 2 яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын, 3 яйца осталось.
Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной – одно яйцо, у другой – 2, у третьей – 3. Давай и те сюда!
Разумеется, кухарка прежде всего кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:
- Что хочешь за свои 3 яйца?
А та в ответ:
- По 3 алтына за яичко.
- Что ты? С ума сошла! – говорит кухарка.
А та:
- Как угодно, - говорит, - дешевле не отдам. Это последние.
Кухарка бросила к той торговке, у которой осталось 2 яйца в корзинке.
- Почем?
- По 3 алтына. Такая цена установлена. Все вышли.
- А твое яичишко сколько стоит? – спрашивает кухарка у младшей.
Та отвечает:
- 3 алтына.
Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.
- Давайте сюда все остальные яйца.
И кухарка дала старшей за 3 ее яйца 9 алтын, что составляло с имевшимся у нее алтыном 10; второй заплатили за ее пару яиц 6 алтын, с вырученными за 4 семерика 4 алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарка за свое остальное яичко 3 алтына и, приложив их к 7 алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручку у себя тоже 10 алтын.
После этого дочери возвратились домой и, отдав своей матери каждая по 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены общие условия, достигли того, что выручки, как за один десяток, так и за полсотни оказались одинаковыми.
Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям поручения и находчивостью старшей дочери, по совету которой оно выполнялось. А еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей – 30 алтын, или 90 копеек, - соответствовало ее желанию».

'''Задача №87. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Купец, будучи должен 753 руб., попросил у того же заимодавца ещё 303 руб. Последний согласился удовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8 месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторую сумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой долг на половину, т.е. уплатил бы по второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две таких же суммы, в четвёртый две с половиной суммы и т.д. Обсудив эти условия, купец согласился на них. Спрашивается, какую сумму должен внести купец в первый месяц и сколько в каждый из следующий месяцев.
Решение: Пусть к конце первого месяца должен внести х руб. тогда:
(1+1.5+2+2.5+3+3.5+4+4.5)х = 753 +303; 22х = 1056; х = 1056:22 = 48 (рублей) в первый месяц,
Ответ:48 руб, 72 руб.,96 руб и т.д.

'''Задача №88. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчёте оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течении работы, а забрал он сперва 4.5 руб., потом 3.5 руб. и наконец 7 руб.
Решение: Пусть х – число недель, в течении которых продолжалась работа, тогда:
(15-10)х = 4.5+3.5+7;
х = (4.5+3.5+7)/(15-10) = 15/5 = 3 (недели).

'''Задача №89. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Отец завещал 1/3 своего имения сыну и 2/5 дочери; из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а 3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и поскольку должен получить сын и дочь?
Решение: Обозначим оставленный отцом капитал через х, тогда:
(1-1/3-2/5)х = 2500+3000;
х = (2500+3000)/(1-1/3-2/5) = 5500/(4/15) = 5500•15/4 = 20625 (руб.)
Ответ: 20625 руб. капитал отца, 6875 руб. получит сын,8250 руб. получит дочь.

'''Задача №90. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Виноторговец, купив вина двух сортов, заплатил за каждые по 5-ведёрный бочонок вина первого сорта по 150 руб. и за каждый 7-ведёрный бочонок второго сорта по 140 руб. Он хочет получить 50 вёдер такой смеси этих вин, которую можно было бы продавать по 30 руб. ведро с барышом по 3 руб. на каждое. Сколько должен он взять вёдер каждого сорта, чтобы получить требуемую смесь?

Решение: Страннолюбский рекомендует задачу решать так:
(150/5)•х+(50-х)140/7 = 50(30-3)
откуда х, означающее число вёдер вина первого сорта, получится из решения:
х = (50(30-3)-(50•140)/7)/(150/5-140/7).
х=(1350- 1000)/(30-20)= 350:10=35
Ответ: 35 ведер первого сорта,15 ведер второго сорта.

'''Задача №91. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' У серебряника есть трёхфунтовые и четырёхфунтовые слитки серебра двух различных проб. Каждый трёхфунтовый слиток стоит 288 руб., а четырёх фунтовый – 328 руб. Серебряник должен сделать сосуд в 20 фунтов весом из серебра такой пробы, чтобы при продаже сосуда выручить за каждый фунт 93 руб., считая тут и вознаграждение и работу по 3 руб. на фунт. Сколько фунтов серебра каждой из имеющихся у него проб должен употребить серебряник на выделку сосуда?

Решение: Обозначим искомое число фунтов серебра через х, получим уравнение:
(288/3)•х+(328/4)•(20-х) = 20•(93–3),
откуда
х = (20•(93-3)-(328•20)/4)/(288/3-328/4).
х=(1800-1640)/(168/12)=160/(168/12) =80/7
Ответ:80/7 и 60/7.

Задача №92. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил.
Решение: Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял х2/100 пистолей. Следовательно, согласно условию задачи, х-х2/100 = 24.
Решая полученное квадратное уравнение, получаем два результата: х1 = 40, х2 = 60.
Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пистолей.
Ответ: 40 или 60 пистолей.

'''Задача№93.Задача- шутка М.Ю. Лермонтова.'''Один из современников М.Ю. Лермонтова, хорошо знавший поэта, писал: «В начале 1841 г. Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающий офицер, в том числе и Лермонтов, собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то учёном кардинале, который мог решить в уме самые сложные математические задачи.
- Что вы скажите на это, Лермонтов?- обратился к нему один из почётных батальонеров, старик с Георгием.
- Говорят, что вы тоже хороший математик.
-Ничего тут удивительного нет,- отвечает поэт.- Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.
- Сделай одолжение.
- Задумайте какое угодно число, и я помощью простых арифметических действий определю это число.
- Ну что же, попробуйте,- рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся.- Но как велико должно быть задуманное число?
-А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычисления, ограничьтесь числом из двух цифр.
-Хорошо, я задумал,- сказал батальонер, подмигнув стоявшим вокруг него офицерам, и сообщил задуманное число сидевшей рядом с ним даме.
- Благоволите прибавить к нему,- начал Лермонтов,- ещё 25 и считайте мысленно или посредством записи.
Старик попросил карандаш и стал записывать на бумажке.
-Теперь не угодно ли прибавить ещё 125.
Старик прибавил.
-Затем вычтите 37.
Старик вычел.
-Ещё вычтите то число, которое вы задумали сначала.
Старик вычел.
- Теперь остаток умножьте на 5.
Старик умножил.
- Затем полученное число разделите на 2.
Старик разделил.
- Теперь посмотрим, что у вас должно получится… Кажется, если не ошибаюсь, число 282 ½?
Батальонер даже привскочил, - так поразила его точность вычисления.
- Да, совершенно верно: 282 ½. Я задумал число 50.- И он снова проверил вычисление- Действительно, получается 282 ½. Фу, да вы не клоун ли?..
-Колдун не колдун, а математике учился, - улыбнулся Лермонтов.
- Но позвольте…- старик, видимо, сомневался: не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он производил вычисления. - Нельзя ли повторить?
Старик записал задуманное число, никому не показав, положил под подсвечник и стал считать в уме даваемые поэтом числа. И на этот раз остаток был угадан.
Все заинтересовались. Старик только развёл руками. Хозяйка дома попросила повторить ещё раз опыт, и ещё раз опыт удался».
Спрашивается, на чём основан секрет отгадывания.
Решение.
Секрет не требует комментариев, он виден из формулы
[(x+25+125-37-x)5]:2=282+1/2.
«По крепости пошел разговор [писал современник Лермонтова]. Где бы поэт не показался, к нему стали обращаться с просьбами угадать вычисленное число. Несколько раз он исполнял эти просьбы, но, наконец, ему надоело, и он через несколько дней, тоже на одном из вечеров, открыл секрет, заключавшийся в том, что задумавшего число, какое бы оно ни было, заставляют вычесть это число из суммы этого же числа и некоторых других подсказанных чисел, так что диктующему легко подсчитать результат, например:
[(x+100+206+310-500-x):2]3=174»
Задача-шутка М. Ю. Лермонтова взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о математике» (Л., 1954, с.69-71).

'''Задача 94. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеется конус. Обвод основания 3 чжана 5 чи, высота 5 чжанов и 1 чи. Спрашивается, каков объем.

Решение.
В тракте для решения этой задачи дано правило: «Обвод основания умножь сам на себя, умножь на высоту, разделив на 36, возьми 1 раз».
Решение:
Таким образом, объем конуса древние китайцы вычисляли по формуле:
V=(h/3)*(c2/4 π), полагая что π=3

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:59, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 95. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеются круглое тин (усеченный конус). Нижний обвод 3 чжана, верхний обвод 2 чжана, высота 1 чжан. Спрашивается, каков объем.

Решение.
Древние китайцы решали эту задачу по такому правилу: «Перемножь верхний и нижний обводы, умножь каждый сам на себя, всё это сложи, умножь на высоту, раздели на 36, возьми 1».
Следовательно, объем усеченного конуса в древнем Китае находился по формуле:
V=((Cc+C2+c2)h)/36 , полагая π=3
V=(h/3)*((Cc+C2+c2)/(4 π), где С и с – длины окружностей нижнего и верхнего оснований, а h – высота.
Ответ:19\36.

'''Задача 96. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеется горизонтальный катет в 5 бу, вертикальный катет в 12 бу. Спрашивается, какова сторона квадрата, вписанного в этот треугольник.

Решение.
Древнекитайское правило к этой задаче гласит: «Сложи горизонтальный и вертикальный катеты, это делитель, перемножь горизонтальный и вертикальный катеты, это делимое. Объедини делимое и делитель, получишь сторону квадрата в бу».
Ответ: 60/17

'''Задача 97. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''У 5 семей имеется общий колодец . Чтобы достать до поверхности воды , 2 веревкам семьи А недостает 1 веревка семьи В, 3 веревкам семьи Б недостает 1 веревка семьи В, 4 веревкам семьи В недостает 1 веревки семьи Г , 5 веревкам семьи Г недостает 1 веревка семьи Д, 6 веревкам семьи Д недостает 1 веревка семьи А. Спрашивается, какова глубина колодца и какова и какова длина каждого куска веревки.

Решение:
Данная задача, как легко видеть, сводится к системе из 5 линейных уравнений с шестью неизвестными. Запишем систему уравнений:

2х+у=m

3у+z= m

4z+u= m

5u+v= m

6v+х= m

Следовательно:
V=(76/721) m

U=1/721*(721m-76m)/5=(129/721)m

Z=(148/721)m

Y=(191/721)m

X=(265/721)m

Причем m нужно положить равным 721.
Тогда V= 76, U = 129, Z= 148, Y=191, Х= 265

'''Задача 98. Задачи из Бахшалийской рукописи'''
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвёртый - вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?

Решение.
Автор рукописи решил задачу в частном виде, когда искомое предлагается равным единице.
Пусть неизвестное равняется единице , тогда первый дал 1 , второй –2, третий –6, четвертый – 24. Сумма пожертвований будет равна 33. Разделим 132: 33= 4
Ответ: первый дал 4.

'''Задача 99. Задачи Ариабхаты'''
Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и сумма денег у каждого различна. Какова ценность вещи?

Решение.
Решение: Пусть у первого лица будет а вещей и m момент, а у второго лица b вещей и p момент. Тогда, обозначив через х ценность вещи, получим уравнение:
Ах+m=bx+p
Решая относительно х находим:
Х=(p-m)(a-b)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:59, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:02, 14 ноября 2008 (UZT)

'''Задача 100.Задачи Бхаскары.'''
Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенный тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение.
задача сводится к решению уравнения ( х/5 –3)· ( х/5 –3) + 1 = х, т. е.
х·х – 55 х + 250 = 0 . Корни данного уравнения 50 и 5.Так как (1/5)· 5 – 3 есть число отрицательное, то х = 50.

'''Задача 101. Задачи Бхаскары'''
Удесятеренный корень квадратный из стада лебедей полетел к направлению к озеру, заметив, что сгущаются тучи. Однако, восьмая часть всех лебедей скрылась в ненюфарах (цветущие водяные растения) и только шесть лебедей безмятежно плескалось в волнах. Скажи мне, сколько всех лебедей?

Решение.
Задача сводится к уравнению и· и = 10 и + 1/8 и· и + 6 , где и· и = х
После небольших упрощений получим уравнение вида 7 и· и – 80 и – 48 = 0
и = 12, х = 144

'''Задача 102. Задачи Бхаскары'''
Над озером тихим, с полфута размером,

Высится лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Больше цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение.
Задачу можно переформулировать:
Цветок лотоса , основание которого С при отвесном положении стебля, возвышалось над водой на1/2 фута , порывом ветра отклонился на 2 фута от прежнего положения, при этом вершина цветка оказалась на уровне воды. Определить глубину озера в этом месте.
Получим уравнение: ( х + ½ ) ·( х + ½ ) = х ·х + 4.
тогда х + ¼ = 4
х = 3 ¾ фута.

'''Задача 103. Задачи Бхаскары'''
На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Решение.
Тополь АВ сломан в точке С на высоте 3 футов, и верхушка Д в новом положении отстоит от основания А на 4 фута. Требуется узнать высоту тополя.
АВ= АС+ СД = 3 + 5 = 8 футов.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:02, 14 ноября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-14T10:59:10Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Математический ребус

ЗАДАЧА

ЧАЙ : АЙ = 5.

РЕШЕНИЕ

Из условия следует, что ЧАЙ = АЙ * 5, т.е. Ч*100+АЙ=АЙ*5, откуда Ч*100=АЙ*4 и Ч*25=АЙ. Так как число АЙ двузначное, то Ч может быть равно только 1,2 или3. Каждому значению Ч соответствует определенное решение: если Ч=1, то АЙ=25, разные буквы расшифровываются разными цифрами., А=2, Й=4, если Ч=2, то АЙ =50; если Ч=3, то АЙ=75. Значит, расшифровать запись можно тремя способами: ЧАЙ=125, 250 или 375.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.

'''Задача греческого математика Митродора'''.Царская корона имеет массу 60 мин (1 мина=100 драхм=1/60 таланта) и отлита из сплава золота, меди, свинца и железа. На золото и медь приходится 3/4, на золото и свинец - 2/3, на золото и железо - 3/5 массы короны. Сколько мин золота, меди, свинца и железа в царской короне?

'''''Решение''''':Предположим, что на отливку короны пошло x мин золота, y мин меди, z мин свинца и f мин железа. Тогда x+y+z+f=60,(1). x+y=2/3*60=40,(2). x+z=3/4*60=45,(3). x+f=3/5*60=36,(4). Складывая уравнения (2),(3),(4), получаем 3x+y+z+f=121, вычитая из последнего уравнения уравнение (1), находим 2x=61,x=30,5. Значит y=9,5 z=14,5 f=5,5.Итак, 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 14,5 мин свинца и 5,5 мин железа.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №53. Задача французского автора Ж. Озанама (XVII в.)'''

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. они условились, что первый даст половину, второй одну треть, а третий оставшуюся часть. Сколько денег даст каждый?

Решение:

1) Найдем, сколько денег даст первый человек:
24000*0,5=12000 (ливров)
2) Найдем количество денег, которое даст второй человек:
24000*1/3=8000 (ливров)
3) Найдем последнюю сумму денег:
24000–12000–8000=4000 (ливров)
Ответ: I – 12000 ливров, II – 8000 ливров, III – 4000 ливров.

'''Задача№54. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение:

пусть х – количество людей, тогда получим уравнение:
8х – 3=7х+4
Решая уравнение получим, что х=7. тогда стоимость вещи равна 8·7 – 3=53

Ответ: 7 человек, стоимость вещи 53.

'''Задача №55. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах. вес всех воробьев тяжелее веса всех ласточек. если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес будет как раз одинаковым. общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.

Решение:

Обозначим за х вес одного воробья и за у вес одной ласточки. Получим систему из двух уравнений: 4х + у = 5у + х и 5х + 6 у = 1 . Знаем, что 5х > 6 у .
Решая данные уравнения, имеем х = 2 /19 , у = 3/38
Ответ: вес воробья 2/ 19 цзинь , вес ласточки 3/ 38 цзиня.

'''Задача 56. Задача Алькуина.'''

Разделить сто мер пшеницы между сто лицами так , чтобы каждый мужчина получил три , каждая женщина два , а каждое дитя ½ меры. Сколько мужчин , женщин и детей?

Решение.

Составим систему неопределенных уравнений: х+у+с= 100 и 3х+2у+1/2с =100 , где х,у,с- натуральные числа ( мужчины , женщины, дети). Решая данную систему , получим уравнение 2у + 5с= 400. То есть , х= 11, у = 15, с = 74.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 25'''''

'''(Анания из Ширака, армянский математик VII века.)'''

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая ,в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн.

''Решение:''

В 6/11 часа. За 6 ч первая труба наполнит 6 таких водоёмов, вторая -3, а третья-2, всего 11 водоёмов. Значит, 3 трубы вместе наполнят один водоём за 6/11 часа.

Ответ: 6/11 часа.

'''''Задача №26'''''

'''Задача Адама Ризе ( XVI в.)'''

26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчина издерживал по 6 марок, женщина - по 4, девушка – по 2. Сколько было мужчин , женщин и девушек?

''Решение:''

Пусть было m мужчин, g женщин, тогда девушек было 26 - m-g. По условию задачи составим уравнение и упростим его:

6m+4g+2(26-m-g)=88 (6),

2m +g=18 (7).

Так как g делится на 2, подставим g = 2 g1 (g1 – натуральное число) в уравнении (7) и упростим его: m + g1 =9 (8).

Уравнение (8) имеет 8 решений (m;g 1) в натуральных числах(1;8), (2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2), (8;1). Уравнение (6) тоже имеет 8 решений (m;g) : (1;16), (2;14), (3;12), (4;10), (5;8), (6;6), (7;4), (8;2). Следовательно, задача имеет 8 решений: мужчин, женщин и девушек было 1, 16, 9, или 2, 14, 10, или 3, 12, 11, или 4,10,12, или 5, 8, 13, или 6,6, 14, или 7,4,15, или 8,2, 16.

'''''Задача № 27'''''

'''Задача Д.Пойа'''

Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, и другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

''Решение:''

Пусть было x кг орехов первого сорта и y кг орехов второго сорта, тогда выполняются два равенства:

x+y=50,

90x+60y=3600.

Имеем:

(система)

х + у = 50,

3х + 2у = 120

Для решения систем двух уравнений с двумя переменными применяют один из двух основных способов решения.

1)Способ подстановки.

Выразим y через x из первого уравнения:y=50-x
Подставим выражение 50-x во второе уравнение вместо y:
3x +2(50-x)=120, x=20
Теперь найдем y: y=50-20=30.

2)Способ сложения.

Умножим правую и левую части первого уравнения системы (1) на-2 и сложим почленно полученные уравнения:

(система)

- 2х – 2у = - 100,

3х+2у=120.

(система)

х=20,

у=30.

Ответ:20кг первого и 30кг второго сорта.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 00:12, 9 ноября 2008 (UZT)

----
Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.

2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



8.Любое число – тремя двойками

ЗАДАЧА

Любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

РЕШЕНИЕ

Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:
Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительности,

Если бы дано было 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное число N, то
Причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.

9.Алгебраические комедии
2*2=5

РЕШЕНИЕ
16 – 36 = 25 – 45
Прибавляются равные числа:
16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼
И делаются следующие преобразования:

Затем с помощью незаконного заключения переходят к финалу:
4 – 9/2 = 5 – 9/2,
4 = 5,
2*2=5

== МаГмА ID _205 ==
1. Задачи из "Греческой Анталогии":

Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине.Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу."Чего ты жалуешься?-ответил ей мул.-Ведб если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей.А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаково с моей".Скоько мешков несла ослица и сколько нес мул?

Решение:

Обозначив через х поклажу ослицы, а через у — поклажу мула, сводим задачу к системе уравнений с двумя неизвестными
у + 1 = 2 (х - 1); у — 1 = х + 1 или
2х — у — 3; у — х = 2.
Решая эту систему, получаем х = 5, у = 7.

2. Задачи Бхаскары:

Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел,чтобы убить Карну;половину их он употребил на собственную защиту, a учетверенное количество квадратного корня -протв лошадей;6стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны,разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову.Сколько было стрел у Арджуны(сына Притхи)?

Решение:

Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:
0,5х+4 х+6+3+1=х
После упрощения получаем
х—104х+400 = 0,
откуда
х = 52± 52 —400 .
Следовательно,
х = 52 ± 48.
Таким образом, имеется два корня: х = 100 и х = 4, причем непосредственной проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.

3. Задачи из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение:

За год работник должен был получить 12 рублен и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1/12,a стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублен и 7/12 стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, 5/12 стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким образом, цена кафтана была
2:5/12=2*12/5=24/5=4,8(рубля)

4. Задачи Л.Н.Толстого:
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение:

Сам Л. Н. Толстой, по свидетельству проф. А. В. Цингера, решал задачу при помощи следующих рассуждений: «Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня полартели скашивает 1/3луга. Следовательно, на малом лугу
остался нескошенным участок в1/2-1/3=1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было6/6+2/6=8/6, то косцов было 8».
«Толстой,— вспоминал А. В. Цингер, — всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым — уже стариком, его собственно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 48)».
Приводим алгебраическое решение задачи. Пусть х— число косцов артели, у — размер участка, скашиваемого одним косцом за 1 день.Заметим, что у — вспомогательное переменное — вводится исключительно для облегчения решения задачи, от него потом освобождаются. Далее, выразим через х и у площади большого и малого луга.Площадь большого луга равняется ху/2+ху/4=3ху/4ху .Площадь малого луга ху/4+у=ху/4+4у/4
Большой луг по условию больше малого в два раза, поэтому
(3ху/4):(ху/4)+(4у/4)=2
3ху/ху +4у=2,
После сокращения на у получим
3х/(х+4)=2,
Откуда х=8.

5. Задачи из "курса Алгебры" А.Н. Страннолюбского:

Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4,5руб., потом 3,5руб. и наконец 7 руб. Сколько недель продолжалась работа?

Решение:

Пусть х — число недель, в течение которых продолжалась работа, тогда
(15-10)х=4,5+3,5+7;
х=3(недели)
--[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 18:19, 12 ноября 2008 (UZT)

== '''Совокупность "жареных семечек"ID-224''' ==
'''Из «Введения в анализ бесконечных», т.1, Л. Эйлер'''

'''Задача №40'''

Доказать, что логарифмы двух чисел в любой системе сохраняют одно и то же отношение.

Решение.

(a +blgx)lgx = lgc, пусть lgx = y, тогда by^2 + by – lgc = 0. Найдя y, находим х.

'''Задача №41'''

Пусть к концу каждого века число людей удваивается; требуется найти годовой прирост.

Решение.

Если предположим, что число людей возрастает ежегодно на 1/х свою часть, и, притом вначале число людей было равно n, то по истечении 100 лет, это число будет равно [((1+х)/х)^100]*n.

Это должно быть равно 2nи тогда (1+x)/x = 2^1/100, логарифмируем: lg(1+x)/x = 1/100, lg2 = 0,0030103, отсюда (1+х)/х = 10069555/10000000, поэтому х ≈144.

Итак, достаточно ежегодного прироста людей на 1/144 часть.

'''Задача №42'''

Пусть число людей увеличивается ежегодно на 1/100 свою часть; спрашивается, через сколько лет число людей удесятериться.

Решение.

Положим, что это наступит через х лет, причем число людей вначале было равно n;

стало быть по истечении х лет оно будет равно [(101/100)^x]*n, а так как оно должно равняться 10n, то

(101/100)^x = 10, xlg(101/100) = lg10, x = lg10/(lg101-lg100) = 1/(lg101-2), x≈231.

Итак, через 231 год число людей, если ежегодное приращение составляет только 1/100 часть, станет больше в 10 раз, отсюда

через 462 года оно станет в 100 раз, а через 693 года в 1000 раз больше.

'''Задача №43. Задача Ж. Озанама.'''

Семеро друзей собрались к обеду, но между ними возник спор, кому с кем садиться. Чтобы прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по разному, до тех пор, пока не будут испробованы все комбинации.

Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Решение.

'''Задача №44. Середина 14 века. Задача Нарайана.'''

Подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной коровы за 20 лет, по условию корова в начале каждого года рожает телку, а телки дают такое же потомство, достигнув трех лет.

'''Решение.'''

В начале 1-го года стадо состояло из 2-х животных, в начале 2-го –из 3-х, затем из 4 и 6.

Начиная с 4-го года численность стада можно выразить рекуррентным соотношением:

S(k) = S(k-1)+S(k-3).

С помощью соотношения последовательно вычисляем S(20) =2745.

'''Задача №45 Задача о кроликах или числа Фибоначчи'''

В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде

[[Изображение:Krol1.jpg]]

'''Задача №46. Китай. «Математический трактат о чжоу-би»'''

В центре бассейна со стороной 1 чжан = 10 чи растет камыш, выступающий над водой на 1 чи. Оттянутый камыш достигает берега. Какова глубина воды?

Решение.

Сторона бассейна 2а, камыш выступает на высоту h, глубина х.

[[Изображение:Zadacha.jpg]]

По теореме Пифагора (х+h)^2 – x^2 = a^2.

(x+1)^2-x^2 = 5^2, 2x+1=25, x=12 (чи)

'''«Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу»'''

Авторы неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший «Математику» в 3 в. , сообщает, что она была составлена по более ранним источникам видным чиновником финансовой службы Чжан Цанем (умер в 152 г. до н.э.)

'''Задача №47.'''

В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка дополнена неочищенным просом, и если последнее очистить, то всего получится 7 доу пшена.

Решение.

Запишем уравнение.

х +3/5(10-х)=7 (3/5 – коэффициент перехода от проса к пшену из книги 2 «Математики»)

х = 2,5.

'''Задача №48.'''

Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день вырастает на 7, внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день на 10. Когда они встретятся?

Решение.

Запишем уравнение (7+10)х = 90.,

х = 90/17=5+5/17 дней.

'''Задача №49.'''

Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу. Из двух снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

{| class="wide" border=1
|-
!Весь урожай||Хороший урожай||Средний урожай||Плохой урожай
|-
||||В 1-м снопе х доу||В 1-м снопе y доу||В 1-м снопе z доу
|-
||39 доу||3 снопа||2 снопа||1 сноп
|-
||34 доу||2 снопа||3 снопа||1сноп
|-
||26 доу||1 сноп||2 снопа||3снопа
|-
|||||||
|}

3x+2y+z=39, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26.

x-y=5, x=5+y.

z=34-2(5+y)-3y, z=24-5y.

5+y+2y+(24-5y)*3=26, -12y=26 -77, y=51/12,

y=4+1/4,

X=9+1/4,

z = 2+3/4

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 9,25 доу, из одного снопа среднего урожая получается 4,25 доу, из одного снопа плохого урожая получается 2,75 доу.

'''Задача №50.'''

2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая, 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

В 1-м снопе хорошего х доу, в 1-м снопе среднего y доу, в 1-м снопе плохого z доу

2х+у =1, 3у+z=1, 4z+x=1.

Y=1-2x, z=1-3y, 4-12(1-2x)+x=1, 25x=9,

x=0,36, y=0,28, z=0,16.

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 0,36 доу, из одного снопа среднего урожая получается 0,28 доу, из одного снопа плохого урожая получается 0,16 доу.

'''Задача №51.'''

'''М.Е. Салтыков-Щедрин'''

«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя маленького Порфирия? Выходит, однако, немного – всего 800 рублей!»

Решение.

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущения, что Головлев сделал вычисления правильно, требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.

800 = 100(1 +p/100)^50

'''Задача №52.'''

'''Старинная задача из сборника Игнатьева Е.В. В царстве смекалки.'''

Идет крестьянин и плачется: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько медных грошей болтается, да и те нужно отдать. И как это у других получается, что на всякие свои деньги они еще деньги получают? Хоть бы кто помог». Только сказал, глядь, перед ним черт.

«Что ж, - говорит, - помогу. Видишь мост через реку? Как будешь мост переходить, деньги у тебя в кармане удвоятся. Сколько раз перейдешь по мосту, столько раз и удвоятся».

- Ой ли? – удивился крестьянин.

- Верное слово, - сказал черт, - но, чур, уговор! Ты, каждый раз перейдя мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не помогу.

Согласился крестьянин.

Перешел мост раз. Точно – удвоились деньги. Отдал черту его 24 копейки.

Пошел обратно, опять удвоились. Отсчитал плату черту и перешел третий раз.

Деньги удвоились и их оказалось ровно 24 копейки, которые пришлось отдать черту.

А) Сколько денег было у крестьянина?

Б) Какое минимальное количество денег должно быть у крестьянина, чтобы после третьего перехода и расплаты с чертом деньги у крестьянина удвоились?

Решение.

А) Х – первоначальное количество денег у крестьянина,

2х – после первого перехода,

(2х-24)*2 – после второго перехода,

[(2x-24)*2-24]*2 =24 –после третьего перехода.

(2х – 24)*2=12+24, 2х-24=18, 2х=42, х = 21.

Б) [(2x-24)*2-24]*2 -24= 2х, (2х-24)*2 – 24 =(2х+24)/2, (2х-24)*2 =х+36, 3х=84, х=28.

Ответ. 21 коп., 28 коп.

'''Задача №53'''

'''А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить.'''

5 разных человек в 5 разных домах разного цвета, курят 5 разных марок сигарет, выращивают 5 разных видов животных, пьют 5 разных видов напитков.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

'''Алгоритм решения задачи:'''

Норвежец живет в первом доме

Норвежец живет около голубого дома (2-й)

Жилец из среднего дома пьет молоко (3-й)

Зеленый дом стоит слева от белого

Жилец зеленого дома пьет кофе

Зелёный дом – 4-й

Белый дом – 5-й

Англичанин живет в красном доме

Первый дом – желтый

Норвежец живет в желтом доме

Жилец из желтого дома курит Dunhill

Лошадь у жильца голубого дома

Датчанин пьет чай в голубом доме

Курильщик Winfield пьет пиво в белом доме

Норвежец пьёт воду

Курильщик Marlboro живет в голубом доме (датчанин)

Кошку держит Норвежец

Швед держит собаку в белом доме

Человек, который курит Pallmall, держит птицу – Англичанин

Значит, Немец курит Rothmans и держит рыбу

'''Задача №54.''' '''Жорж Сименон'''

«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.

- Говорит Мегре. Есть новости?

- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

- Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Решение.

Запишем простые высказывания:

А = { Франсуа пьян}

B = { Этьен убийца }

C = { Франсуа лжет }

D = { убийство произошло после полуночи }

Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1

Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1

Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1

(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1

(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1

Применяя закон поглощения:
(┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC

Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит
┐ADC=0

Итак, BD=1

Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 23:31, 9 ноября 2008 (UZT)
----

'''Задача №55.''''''Задача Пуассона.'''

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Ответ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.

Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.

Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.

Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.)

Тогда в 8л. как раз остается 6л.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 00:45, 13 ноября 2008 (UZT)
----

Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.
2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)
'''Задача№57. Задача Л. Эйлера.'''
Некто продает свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 32. За первый
Гвоздь он просит 1 коп., за второй 2, за третий 4, за четвертый 8 и всегда за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит свою лошадь?
Решение:
Имеем геометрическую прогрессию. Нас просят найти сумму всех гвоздей. Для решения задачи применим формулу для расчетов суммы n членов прогрессии: Sn=b1(1–qn)/1-q, где b1=1, n=32, q=2.
Получим:
S32=1(1–232)/1-2=4294967295 (копеек)
Ответ: 4294967295 копеек, или 42949672 рубля 95 копеек.

'''Задача №58. Задача из книг новгородских писцов.'''
В книгах новгородских писцов XVв. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Можно ли на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
Решение:
Обозначим емкости бочки, насадки и ведра равны соответственно x,y,z. Тогда получим систему уравнений:
x+20z=3x и 19x+ y+15,5z=20х+8z
Решая систему, получим х=4у т. е. в одной бочке содержится 4 насадки.
Ответ: В одной бочке содержится 4 насадки.

'''Задача №59. Задача из «Счетной мудрости».'''
Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся 3 копейкам.)
Решение:
Число мужчин:
(1200–120*9)/(12–9)=40
Число женщин
120–40=80
Ответ: мужчин было 40 человек, женщин было 80 человек.

'''Задача №60. Задача из рукописи XVII в.'''
Четыре плотника у некого гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: «Только б де мне одному тот двор ставити, я бы де его поставил един годом». А другой молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в два года». Третий молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в три года». А четвертый так рёк: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в четыре года». Ино все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино сколь долго они ставили, сочти мне.
Решение:
За 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй–6; третий–4; четвертый–3. Следовательно, за 12 лет они вместе построят 25 дворов. Таким образом, четыре плотника вместе один двор построят за (365*12)/25=175,2 дня.
Ответ: за 175,2 дня.

'''Задача № 61. Задача Эйлера.''' Некий чиновник купил лошадей быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?
Решение:
Если х – число лошадей, у – число быков, то
31х+21у=1770
откуда
у=84-х-(10х-6)/21
Из последнего равенства следует, что (5х-3) делится на 21. Обозначив 5х-3=21z, получим у=84-х-2z и х=4z+(z+3)/5. Следовательно, (z+3) делится на 5, т.е. z=5t-3, x=21t-12 и y=102-31t.Так как y>0 и z=5t-3≠0, то t1=1, t2=2, t3=3 соответственно x1=9, y1=71; x2=30, y2=40; x3=51, y3=9.

'''Задача №62. Задача Кирика Новгородца.''' Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет?
Решение: месяцы – 26 * 12 = 312, недели – 26 * 52 = 1356, дни - 26 * 365 = 9497, часы – 9497 * 24 = 227928.
Ответ: человек прожил 26 лет, 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

'''Задача №63. Французская задача.''' Трое имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю (монет). Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.
Ответ:
I 8 8/2 = 4 4/2 = 2 2+14/2+8/2 = 13
II 8 8/2 = 4 4+4/2+16/2 = 14 14/2 = 7
III 8 8+8/2+8/2=16 16/2 = 8 8/2 = 4

Значит, сначала у каждого было 13, 7, 4 экю.

'''Задача №64. Задача Ризе.''' Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по одной четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было у каждого.
Ответ: Пусть x, y, z – количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Решение системы уравнений:
x+1/2(y+y) = 12 и y+1/3(x+z) = 12 и z+1/4(x+y) = 12
Даёт нам: x = 3 9/17, y = 7 13/17, z = 9 3/17 флоринов.

'''Задача №65. Задача Пизанского.''' Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженным со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причём природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.
Ответ: От одной пары кроликов в год родится:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 376
Эта задача приводит к ряду Фибоначе:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

'''Задача №66. Задача Пизанского.''' Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя».
Сколько у каждого?
Ответ: Решив систему уравнений:
x+7 = 5(y-7) и y+5 = 7(x-5)
Получим, что первый имел x = 7 2/17 динариея, а второй y = 9 14/17 динария.

'''Задача №67. Задача Пизанского.''' Выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз от 1 до 30 целых весовых единиц. Все гири при взвешивании разрешается ставить только на одну и туже чашку весов.
Ответ: Если m1, m2, m3, m4, m5 – массы гирь, то масса m=< 30 весовых единиц любого груза необходимо представить в виде.
m = a1m1+a2m2+a3m3+a4m4+a5m5
где коэффициенты a1, a2, a3, a4, a5 равны либо 0, либо 1. Массы гирь m1, m2, m3, m4, m5 достаточно выбрать равными 1, 2, 4, 8, 16 весовым единицам, так как сумма масс равна 31, что больше 30. Любое число
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)

----

== Участник: Максимум ID_251 ==

ДЕЛЕЖ ВЕРБЛЮДОВ
Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он сделал?

''Решение.''

Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 = 9 верблюдов; средний 18 = 6 верблюдов, младший 18 = 2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно 9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1.

КРЕСТЬЯНЕ И КАРТОФЕЛЬ
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

''Решение.''

Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, но 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Сколько было?
Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню, - сказала женщина, — знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то оставалось 1 яйцо. Точно так же всегда оставалось по 1 яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц?

''Решение.''

Задача, очевидно сводится к нахождению такого числа, которое делится без остатка на 7, а при делении на 2, 3,4, 5 и 6 дает в остатке 1.
Наименьшее число, которое делится без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6 (наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, значит, найти такое число, которое делилось бы на 7 без остатка и было бы вместе с тем на 1 больше числа, делящегося на 60. Такое число можно найти путем последовательных попыток: 60, деленное на 7, дает в остатке 4, следовательно, 2 х 60 дает в остатке 1 (2x4 = 8; 8-7=1). Значит, 2 х 60 = числу, кратному 7 + 1, отсюда следует, что (7 х 60 - 2 х 60) + 1 = числу, кратному 7, т.е. 5 х 60 + 1 = числу, кратному 7, 5 х 60 + 1 = 301.
Итак, наименьшее число, решающее задачу, есть 301. То есть наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине у женщины, есть 301.

Задача Чжан Цюцзяня (V в.)
1 петух стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

''Решение''

Решение системы сводится к следующим уравнениям: y = 25 - 7/4 x, z = 75 - 3/4 x. Задавая значения х=0;4;8;12, получим решения задачи: (0;25;75), (4;18;78), (8;11;81), (12; 4; 84).

Задачи из папируса Ахмеса.
1. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.

''Решение''

10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1\8 и получает, что 10-й член прогрессии равен
1+9*1/2*1/8=25/16.

2. Найти приближенное значение для числа ,приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

''Решение''

По условию задачи (8/9 d)^2=пd^2/4. Тогда п=3,1604.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 15:58, 11 ноября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Задача Л.Ф. Магницкого''

Некий человек нанял работника на год, обещая ему дать 12 р. и кафтан, но тот проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

''Решение''

Пусть х р. - стоимость кафтана, тогда можно составить уравнение

7(1+х/12)=5+х.

х=24/5

х=4,8

Ответ: кафтан стоит 4 р. 80 коп.

''Задача из Математических рукописей 17 в.''

Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа.Сколько бы они скоро, все три - вол, конь и коза - ту копну съели, сочти.

''Решение''

За 12 ч вол съест 12 копен, конь - 6, коза - 4, всего они съели 22 копны за 12 ч. Поэтому одну копну вол, конь и коза вместе съедят за 12/22=6/11 ч.

Ответ: вместе вол, конь и коза съедят копну за 6/11 ч.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 00:46, 12 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)
'''Задача №68. Задача Магавиры (Индия)'''.
Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9 остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
Решение: ((1/16)2+(152/92*162))x2+14 = x
Где х - число павлинов в стае. Отсюда x1 = 48, а x2 = 336/17 не подходит.

'''Задача №69. Задача Магавиры (Индия).'''
О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиант, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
Решение: С15+ С25+ С35+ С45+ С55 = (1+1)5+14 = 31
Ответ: 31

'''Задача №70. Задача Ариабхаты (Греция).'''
Два лица имеют равные капиталы, причём каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение: Задача сводится к решению уравнения: ax+b = cx+d, откуда x = (d-b)/(a-c),
где у первого лица будет a вещей и b монет, а у второго лица – c вещей и d монет

'''Задача №71. Задача Сунь-цзы (Китай).'''
Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятёрками, то остаток 3; если считать их семёрками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.
Решение: 23+105t, где t – целое, неотрицательное число.

'''Задача №72. Задача Дидоны (Греция).'''
Участок земли какой формы окружила Дидона верёвкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
Решение: Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательно свойство было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшийся верёвкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача №73. Задача Фалеса (Греция).'''
Определить расстояние от берега до корабля на море.
Решение: Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строим треугольник ABC с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, ∟ACB = ∟DCE и ∟CDE = ∟CAB. Тогда по теореме о равенстве двух треугольников имеющих сторону и два угла, получаем AB = DE

'''Задача №74. Задача о статуе Минервы.'''
Я – изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов – обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты вместе в дар принесли?
Решение: Узнаем, какую часть от всех даров, составляет обет Аристоника: 1-(1/2+1/8+1/10+1/20)=9/40. Затем найдем количество золота, которое принесли все поэты вместе: 9/(9/40)=40.
Ответ: 40.

'''Задача №75. Задача о Грациях (Греция).'''
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой грации стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой грации до встречи с музами?
Решение: Пусть у каждой грации было по х плодов, и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть: х-9у = 3у или х = 12у
Т.е. у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
Ответ: у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)

== Совокупность "жареных семечек"==

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

'''Задача №56'''

На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.

Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" - спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?

Ответ:

Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: "Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет".

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: "Самого себя". Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло "и все же тот, кого мы видим на портрете, - сын моего отца". Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что "отец того, кто на портрете, - сын моего отца". Отсюда следует, что отец человека на портрете - я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете - сын моего отца.

Подставляя краткое "я" вместо более громоздкого выражения "сын моего отца", преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете - я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

'''Задача №57'''

2. Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)".

Чей портрет разглядывает этот человек?

Ответ: B этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

'''Задача №58'''

3. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать.

Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

Ответ: При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу деле обстоит так, как если бы я спросил у вас: "Живут на свете два человека - Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?" Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: "Вы либо лжете, либо ошибаетесь".

'''Задача №59'''

4. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

Ответ:

Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

'''Задача №60'''

5. Новый поворот в предыдущей задаче.

Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

Ответ: В ящике 4 носка.

'''Задача №61'''

6. Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.

Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?

Ответ: На вопрос первой задачи ответ утвердительный.

Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек - например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

'''Задача №62'''

7. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C). Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.

Спрашивается, кто убийца? A или B?

Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой. Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево". Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! - повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", - ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.

Ответ: Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать "правильными" или "неправильными". В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика C, то его недруга A. Если бы я был защитником караванщика B, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика B способствовали продлению жизни караванщика C (хотя это и не входило в намерения караванщика B), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика A мог бы возразить мне: "Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если C в действительности не выпил ни капли яда?" Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и A, и B виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости не сравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне не известна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем.

'''Задача №63'''

8. Еще один юридический казус.

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Ответ: Обвиняемые были сиамскими близнецами.

'''Задача №64'''

9. Двое краснокожих.

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец. Как вы это объясните?

Ответ: Тот из краснокожих, кто повыше ростом, - мать того, кто ростом пониже.

'''Задача №65'''

10. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

Ответ:
Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

'''Задача №66'''

11. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Ответ:

Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

'''Задача №67'''

12. У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

'''Задача №68'''

13. Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

Ответ: Как может покойник жениться на ком-нибудь?

'''Задача №69'''

14. Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

Ответ: Человек, живущий на двадцать пятом этаже, - лилипут и не может дотянуться до кнопки "25 этаж" на пульте лифта.

'''Задача №70'''

15. Задача о железнодорожном движении.

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.

Ответ: Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

'''Задача №71'''

16. Наклон крыши.

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската?

Ответ: Петухи не откладывают яйца

'''Задача №72'''

17. Сколько девяток?
Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

Примечание: 6 и 9 - это разные цифры, т. е. переворачивать их нельзя.

Ответ: Двадцать.

'''Задача №73'''

18. Беговая дорожка.
Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

Ответ: Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

'''Задача №74'''

19. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: "Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!"

Как вы это объясните?

Ответ: Хирург был матерью Артура Смита.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 01:18, 13 ноября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Весёлые умницы ID_296|Весёлые умницы ID_296]] 14:07, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №1'''

ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА РАЙНДА.
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.
Решение: по условию задачи составляем уравнение
х+2/3 х- 1/3 (х+2/3 х)=10 , ответ х = 9

'''Задача №2'''

ЗАДАЧА ДИОФНТА (Из трактата «Арифметика»)
Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.
Решение: Пусть сумма всех трех чисел I + II + III = x2 + 2x +1 = ( x + 1 )2,
а I + II = x2, тогда III = 2x +1. Пусть теперь II + III = ( x - 1 )2. Тогда получаем, что I =4x, а II = х2 – 4х. Далее I + III = 6x + 1 должно быть квадратом некоторого числа, например 112 = 121. Тогда для определения х получаем уравнение 6х + 1 = 121, откуда х = 20. Значит: I = 80, II = 320, III = 41.

'''Задача №3'''

ЗАДАЧА ИЗ «ГРЕЧЕСКОЙ АНТОЛОГИИ»
- Хроноса (бог ремени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остается. ( У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: по условию задачи составляем уравнение
4/3 х+х=12 , ответ х = 5 1/7 дня

'''Задача №4'''

ЗАДАЧА ИЗ БАХШАЛИЙСКОЙ РУКОПИСИ ( найдена в 1881г. Ри раскопках в Бахшали в северо-западной ИНДИИ. Рукопись выполнена на березовой коре и относится к 3 или 4 веку н. э.)
Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый.
Решение: Пусть первый дал 1 часть, второй - 2, третий – 6, четвертый- 24. Сумма пожертвований будет составлять 33. Разделим 132 на 33. Это и будет искомый результат. Ответ 4.

'''Задача №5'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ ( Задача взята из трактата «Венец астрономического учения» индийского математика ХII в. Бхаскары-акария)
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/ 2,1/4 первоначального числа, то получится 68. Как велико число?
Решение: Бхаскара данную задачу решал методом предположения. Предположим, что искомое число равняется 3, тогда, по условию задачи, 3•5=15, одна треть от 15 равна 5. Поскольку15 – 5 = 10, то при делении 10 на 10 получим 1. Если к 1 прибавить 1/3, 1/2, 1/4 от 3, тогда получаем 1+1+3/2+3/4=17/4, что меньше 68 в 16 раз. Следовательно искомое число 3•16=48. Ответ 48.

'''Задача №6'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ
Некто сказал своему другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого.
Решение: Пусть у первого было 2х - 100 рупий, а у второго х + 100 рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея ввиду второе условие, находим 6 ( 2х – 110 ) = х + 110. Решая, получаем х = 70. Значит у первого было 140 – 100 = 40 рупий, у второго 70 + 100 = 170

'''Задача №7'''

ЗАДАЧА АЛ-КАРХИ (Среднеазиатский математик ХI в, автор трактата « Все известное в арифметике»)
Найдите площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
Решение: Обозначим ширину прямоугольника через х, тогда длина его будет 2х, площадь 2х2, периметр 6х. Согласно условию задачи 2х2 = 6х, следовательно х = 3, и искомая площадь равна 18 кв. ед.

'''Задача №8'''

ЗАДАЧА БЕГА-ЭДДИНА ( Иранский математик автор трактата «Сущность искусства счисления»)
Разделить число 10 на такие две части, разность которых есть 5.
Решение: Если меньшую часть обозначить через х, то большая будет х+5. Согласно условию задачи, 2х +5 = 10. Откуда х = 21/2. Следовательно меньшая часть 21/2, а большая 71/2.

'''Задача №9'''

ЗАДАЧА ИЗ «КУРСА АЛГЕБРЫ» А. Н. СТРАННОЛЮБСКОГО (русский математик-методист 1839 – 1903г.)
Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; теперь мне 45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим лета второго сына через х, тогда х +3х = 45 – 29; решая уравнение получаем ответ х = 4

--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|"Весёлые умницы"]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
----
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача 76. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется бамбук из девяти колен. Объём трёх нижних колен 4 шэна, четыре верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы объёмы двух средних колен, если объём каждого колена отличается от соседних на равную величину.

Решение:

Для решения задачи составитель трактата выводит правило: «4 шэна, разделённых на 3нижних колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна разделённые на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен остаток, является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т.е. на столько отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т.е. 1 с малой половиной шэна, есть объём второго снизу колена».
Согласно этому правилу, можно провести несложные вычисления:
1) 4/3-3/4 = 7/12 – разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
2) 9-4/2-3/2 = 11/2 составляет делитель;
3) (7/12):(11/2) = 7/66 = d, т.е. то число, на которое отличается каждая ступень от соседней;
4) тогда второе снизу колено будет составлять 4/3 = 1 1/3 (шэна). Теперь без труда можно найти в шэнах и другие восемь колен.

'''Задача №77. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и серебра каждого в отдельности.

Решение:

Прежде всего, 1 цзинь = 16 ланам, а 1 лан = 24 чжу. Обозначим теперь вес слитка золота через х, а вес слитка серебра через z; задача сводится к решению системы:
9х = 11z;
13+8x+z = 10z+x.
Будем решать эту систему по правилу двух ложных положений. Первое ложное положение x1 = 3 цзиням. Тогда:
z1= 9x1/11 = 9·3/11 = 27/11 = 2 5/11 (цзиням).
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозначив его через у1:
у1 = (13/16+8·3+2 5/11)-(10·2 5/11+3) = 27·(47/11·16) – 27·(96 /11·16) = -49/11·16.
Второе ложное положение х2 = 2 цзиням. В этом случае z2 = 1 7/11 цзиня и «избыток в левой строке» будет: y2 = (13/16+1 7/16+8·2)–(10·1 7/11+2) = 18·(79/11·16)-18·(64/11·16) = 15/11·16.
Далее предполагается, что у1 и у2 вместе с х1 и х2 записаны по китайскому способу:

х2 х1
у2 у1
где левая колонка составляет «левую строку», а правая колонка –«правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем:
х = ( 2·(49/11·16)+3·(15/11·16))/ (49/11·16+15/11·16 )= 143/64 = 2 15/64 (цзиня).
Следовательно, х = 2 цзиня 3 ланам 18 чжу. Вес слитка серебра определяется очень просто. Для этого делимое 143 надо разделить на произведение делителя 64 и знаменателя 11/9. Тогда получаем:
z = x:(11/9) = 143:(11/9·64) = 13·9/64 = 117/64 = 1 53/64 (цзиня).
Следовательно, окончательно z = 1 цзиню 13 ланам и 6 чжу.

'''Задача №78. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Рысак и кляча движутся от Чаньяня к княжеству Ци, которое удалено от Чаньяня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый следующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достигает княжества Ци, повернул обратно ив некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и сколько ли пробежала каждая лошадь.

Решение:

Составитель трактата для решения этой задачи предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток 337 с половиной ли. Предположим, что через 16, тогда избыток равен 140 ли. Избыток и недостаток – это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
За n целых дней рысак пробежит:
193+(193+13)+(193+2·13)+…+[193+(n-1)·1] = 193n+13+2*13+…+(n-1)·13 = 193n+13[1+2+…+(n-1)] = 193n+13·(n(n-1)/2) (ли).
За это же число дней кляча пробежит:
97+(97-0.5)+(97-2·0.5)+…+[97-(n-1)·0.5] = 97n-0.5[1+2+…+(n-1)] = 97n-0.5·(n(n-1)/2) (ли).
За указанное число дней русак и кляча пробегут вместе.
193n+13·(n(n-1)/2)+97n-0.5·(n(n-1)/2) = 290n+(13-0.5)·(n(n-1)/2) = 290n +6.25(n2-n) (ли).
что должно составить 6000 ли.
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу решать методом двух ложных положений.
При n = 15 недостаток равен 6000-5662.5 = 337.5 (ли); при n = 16 избыток составляет 6140-6000 = 140 (ли).
Обозначая время встречи через х, и предполагая, что на протяжении дня скорости не менялись, получим:
х =(15·140+16·337.5)/(140+337.5)=15 135/191 (дня).
Теперь не составляет большого труда найти, столько ли пройдут рысак и кляча за 15 135/191 дня.

'''Задача №79. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота, 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов. Спрашивается, сколько стоят буйвол и баран.
Решение: Эта задача в трактате решается правилом «фан-чэн», с которым мы познакомимся дальше. Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений:
5х+2у=10

2х+5у=8.

Ответ:34/21 лана стоит буйвол и 20/21 лана стоит баран.

'''Задача №80. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''
Два снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 снопов урожая А превышает дань на вес 1 снопа урожая Б, вес 3 снопов урожая Б – на вес 1 снопа урожая В, вес 4 снопов урожая В – на вес 1 снопа урожая А. Спрашивается , каков вес каждого из снопов урожаев А,Б,В.

Решение : Задача сводится к решению системы:
2х = 1+у

3у = 1+z

4z = 1+x

Её каноническая форма:

2x-y = 1

3y-z = 1

4z-x = 1

Выразим у = 2 х – 1,и подставим во второе уравнение.
Получим 6 х = 4 + z. но х = 4 z – 1 . Тогда z = 10/23 , х = 17/23, у = 11/23
Ответ: 17/23, 11/23, 10/23

'''Задача №81. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья.

Решение:

Установи, что 2 буйвола, 5 баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней положителен. Ещё установи, что 3 буйвола положительны, 9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны. Ещё установи, 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
Обозначив x, y, z соответственно стоимости буйвола, барана и свиньи, сведём задачу к решению системы:

2x+5y = 13z+1000

3x+3z = 9y

6y+8z = 5x-600,

где 1000 – остаток цяней от продажи 2 буйволов, 5 баранов и покупки 13 свиней; 600 – недостаток цяней от продажи 6 баранов, 8 свиней, покупки 5 буйволов.
Решив эту систему уравнений получаем: х= 300, у = 110, z= 30
Ответ: 300 буйволов, 110 барановЮ 30 свиней.

'''Задача №82. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется водоём со стороной в 1 чжан. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается, какова глубина водоёма и какова длина камыша. (1 чжан = 10 чи).

Решение:

Обозначим длину водоёма через 2а, длину камыша через с. Задача заключается в нахождении b и с. Руководствуясь китайским правилом находим формулу для определения искомых величин:
b = (a2-(c-b))/2(c-b);
c = b+(c-b) = (a2-(c-b))/2(c-b).
Исходя из условий задачи применяя правило «гоу-гоу», т.е. теорему Пифагор, получаем систему:

b = c-k

b2 = c2-a2,

где для кратности k обозначена известная нам надводная часть, равная c-b. Решая систему, будем иметь:
b = (a2-k2)/2k;
и
c = (a2+k2)/2k,
где k = c-b
Прежде всего по правилу «гоу-гоу» имеем:
a2 = c2-b2.
Далее, получаем:
a2 = c2 – b2 = (c-b)2+2b·(c-b)
или
a2 = (c-b)2+2b(c-b)?
откуда
b = (a2-(c-b)2)/2(c-b).

'''Задача №83. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Два человека находятся в одном месте. норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем идет по космосу направлению на северо-восток до встречи с Б. спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б.
Решение: Эту задачу древнекитайский математик в трактате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь само на себя, 3 тоже умножь само на себя, сложи и возьми половину. Возьми в качестве нормы ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умноженного на само себя, норму ходьбы по косому направлению, остаток является нормой ходьбы на юг. 3 умножь на 7, это норма ходьбы Б на восток. 10 бу ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому направлению, 10 бу умножь на норму ходьбы Б на восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и норму ходьбы на юг, получишь для каждого количество пройденного».
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить довольно просто:
1) находим сначала норму ходьбы А «по косому направлению»: (49 + 9)/2=29
2) определяем норму ходьбы А на юг:
49-(49+9)/2=20
3) норма ходьбы на восток будет
7 • 3 = 21;
4) находим «делимое»:
10 • 29 и 10 • 21;
5) А прошел «по косому направлению» путь
10•29/20=14,5 бу
6)Б прошел на восток путь
10•21/20=10,5 бу

Обычным путем задача решается так: обозначаем через Х путь, пройденный Б на восток, через У – путь, пройденный а на юг (причем, по условию задачи, у = 10 бу), через Z – путь, пройденный А «по косому направлению», т.е. по гипотенузе полученного прямоугольного треугольника. Тогда,
х2 + 10 2= z2 и х/ (z + 10) = 3/7 .
Ответ: 14,5 бу и 10,5 бу.

'''Задача № 84. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Имеется дверь, высота которой больше ширины на 6 чи 8 цуней. Наибольшее расстояние между углами (диагональ) 1 чжан. Спрашивается, каковы ширина и высота двери.

Решение: Если обозначить ширину двери через х, а длину через у, далее положить, что у - х = m («избыток»), а диагональ двери d, то задача сводится к рассмотрению системы:

d^2 = x^2 + y^2,

m = y – x.

Для определения х получаем квадратное уравнение:
2х^2 + 2mx + m^2 – d^2 = 0

'''Задача № 85. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Диаметр колодца 5 чи, глубина неизвестна. У верхнего края колодца поставлен шест в 5 чи. Вершина шеста наблюдается на одном уровне с границей воды и стены, а на диаметре откладывается 4 цуня. Спрашивается, какова глубина колодца.

Решение: Надо иметь в виду ,что 1чжан = 10 чи = 100цуням.Для составления нужного правила решения древнекитайские Математики, по всей вероятности, рассматривали два подобных прямоугольных треугольника ∆ABF и ∆FCD, откуда получали
AB/BF = x/FC; х = FC · A B/BF; х = AB(BC-BF)/BF.
«Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в цунях»

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 28.'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

''Решение:''

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача № 29'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

Решение:

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача №30'''''

'''Древнеиндийская задача.'''

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету семенгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то в зад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

Пусть пчелок всего X.

1/5x + 1/3x + (1/3- 1/5x) * 3+1=x

8/15x +2/15x * 3+1=X

8/15x +6/15x –x= -1

-1/15 x = -1

X =15

Ответ: 15 пчел.

'''Собрание арифметических задач для гимназии и прогимназии, мужских и женских, реальных, уездных и городских училищ, учительских институтов и семинарий(сост.А.Малинин и К.Буренин. М.,1885)

''' Задача № 31.'''

Крестьянин при урожае сам-семь собрал с поля 91 четверик пшеницы. Сколько пшеницы посеял крестьянин?

Условие:

“Сам-семь” говорили в том случаи, если масса урожая в 7 раз больше массы посеянных семян. Четверик – это мера, вмещающая около 26 л. зерна.

Решение:
13 ∙26 = 338(л)

Ответ: 338 л.

'''Задача №32.'''

За место внутри вагона конки платят 5 коп., а за наружное 3коп. Из 22 пассажиров 13 сидело внутри вагона. Сколько денег должны заплатить все пассажиры?

Решение:
1)13 ∙ 5 = 65 (коп)- заплатят сидящие внутри конки.

2) 22 – 13 = 9 (пассажиров) - на открытой площадке.

3) 9 ∙ 3 = 27 (коп) - заплатят пассажиры открытой площадке.

4) 65 + 27 = 92 (коп)- заплатят все пассажиры.

Ответ: 92 копейки.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:03, 13 ноября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

'''Команда: Шоу "модель".'''

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.От числа одну восьмую взяв, прибавьты к ней любую половину от трёхсот, и восьмушка превзойдёт не чуть - чуть - на пятьдесят три четвёртых. Буду рад, если тот, кто знает счёт, мне число так назовёт.

'''''Решение'':''' Уравнение x/8+150=3x/4+50. Откуда получаем x=160.

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.Роскошнолипа расцвела. Под ней червяк завёлся малый, да вверх пополз во всю он мочь - четере локтя делал в ночь, но днём сослепу полз обратно он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, и вот итог работы важной, награда девяти ночей: он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, какой та липа высоты.

'''''Решение:''''' в первую ночь червяк поднялся на высоту в 4 локтя, во вторую достиг отметки в 6 локтей(на 2 локтя днём сполз, на 4 ночью поднялся), т.е. со второй ночи он поднимался всякий раз на 2 локтя и , таким образом, за 9 ночей оказался на высоте 4+2*8=20 локтей.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 15:49, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 86. Задача В.Г. Бенедиктова.''' Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя в продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трёх дочерей своих и, вверив стершей и самой смышлёной из них десяток, поручила другой три десятка, третьей полсотни. При этом она сказала им:
- Условьтесь наперёд между собой насчёт цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте; все крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлёности, даже и при общем между вами условии по какой цене продавать, сумеет выручить столько же за свой десяток, сколько вторая за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за её три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали свои яйца так, чтобы пришлось круглым счётом не меньше 10коп. за десяток, а за все 9 десятков – не меньше 90 коп., или 30 алтын.
Спрашивается, как выполнили девушки данное им поручение.

Решение:
«Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:
- Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц – семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будет крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын [трехкопеечная монета], согласны?
- Дешевенько, - сказала вторая.
- Ну, - возразила старшая, - зато мы поднимем на те яйца, которые за продажу круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цену некому; на оставшееся добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.
- А почему будем продавать остальные?- спросила младшая.
- По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.
- Дорогонько, - заметила опять средняя.
- Что же, - подхватила старшая, - зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.
Согласились.
Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала четырем покупательницам по семерику и в корзине у ней осталось 2 яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын, 3 яйца осталось.
Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной – одно яйцо, у другой – 2, у третьей – 3. Давай и те сюда!
Разумеется, кухарка прежде всего кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:
- Что хочешь за свои 3 яйца?
А та в ответ:
- По 3 алтына за яичко.
- Что ты? С ума сошла! – говорит кухарка.
А та:
- Как угодно, - говорит, - дешевле не отдам. Это последние.
Кухарка бросила к той торговке, у которой осталось 2 яйца в корзинке.
- Почем?
- По 3 алтына. Такая цена установлена. Все вышли.
- А твое яичишко сколько стоит? – спрашивает кухарка у младшей.
Та отвечает:
- 3 алтына.
Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.
- Давайте сюда все остальные яйца.
И кухарка дала старшей за 3 ее яйца 9 алтын, что составляло с имевшимся у нее алтыном 10; второй заплатили за ее пару яиц 6 алтын, с вырученными за 4 семерика 4 алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарка за свое остальное яичко 3 алтына и, приложив их к 7 алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручку у себя тоже 10 алтын.
После этого дочери возвратились домой и, отдав своей матери каждая по 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены общие условия, достигли того, что выручки, как за один десяток, так и за полсотни оказались одинаковыми.
Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям поручения и находчивостью старшей дочери, по совету которой оно выполнялось. А еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей – 30 алтын, или 90 копеек, - соответствовало ее желанию».

'''Задача №87. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Купец, будучи должен 753 руб., попросил у того же заимодавца ещё 303 руб. Последний согласился удовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8 месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторую сумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой долг на половину, т.е. уплатил бы по второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две таких же суммы, в четвёртый две с половиной суммы и т.д. Обсудив эти условия, купец согласился на них. Спрашивается, какую сумму должен внести купец в первый месяц и сколько в каждый из следующий месяцев.
Решение: Пусть к конце первого месяца должен внести х руб. тогда:
(1+1.5+2+2.5+3+3.5+4+4.5)х = 753 +303; 22х = 1056; х = 1056:22 = 48 (рублей) в первый месяц,
Ответ:48 руб, 72 руб.,96 руб и т.д.

'''Задача №88. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчёте оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течении работы, а забрал он сперва 4.5 руб., потом 3.5 руб. и наконец 7 руб.
Решение: Пусть х – число недель, в течении которых продолжалась работа, тогда:
(15-10)х = 4.5+3.5+7;
х = (4.5+3.5+7)/(15-10) = 15/5 = 3 (недели).

'''Задача №89. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Отец завещал 1/3 своего имения сыну и 2/5 дочери; из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а 3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и поскольку должен получить сын и дочь?
Решение: Обозначим оставленный отцом капитал через х, тогда:
(1-1/3-2/5)х = 2500+3000;
х = (2500+3000)/(1-1/3-2/5) = 5500/(4/15) = 5500•15/4 = 20625 (руб.)
Ответ: 20625 руб. капитал отца, 6875 руб. получит сын,8250 руб. получит дочь.

'''Задача №90. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Виноторговец, купив вина двух сортов, заплатил за каждые по 5-ведёрный бочонок вина первого сорта по 150 руб. и за каждый 7-ведёрный бочонок второго сорта по 140 руб. Он хочет получить 50 вёдер такой смеси этих вин, которую можно было бы продавать по 30 руб. ведро с барышом по 3 руб. на каждое. Сколько должен он взять вёдер каждого сорта, чтобы получить требуемую смесь?

Решение: Страннолюбский рекомендует задачу решать так:
(150/5)•х+(50-х)140/7 = 50(30-3)
откуда х, означающее число вёдер вина первого сорта, получится из решения:
х = (50(30-3)-(50•140)/7)/(150/5-140/7).
х=(1350- 1000)/(30-20)= 350:10=35
Ответ: 35 ведер первого сорта,15 ведер второго сорта.

'''Задача №91. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' У серебряника есть трёхфунтовые и четырёхфунтовые слитки серебра двух различных проб. Каждый трёхфунтовый слиток стоит 288 руб., а четырёх фунтовый – 328 руб. Серебряник должен сделать сосуд в 20 фунтов весом из серебра такой пробы, чтобы при продаже сосуда выручить за каждый фунт 93 руб., считая тут и вознаграждение и работу по 3 руб. на фунт. Сколько фунтов серебра каждой из имеющихся у него проб должен употребить серебряник на выделку сосуда?

Решение: Обозначим искомое число фунтов серебра через х, получим уравнение:
(288/3)•х+(328/4)•(20-х) = 20•(93–3),
откуда
х = (20•(93-3)-(328•20)/4)/(288/3-328/4).
х=(1800-1640)/(168/12)=160/(168/12) =80/7
Ответ:80/7 и 60/7.

Задача №92. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил.
Решение: Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял х2/100 пистолей. Следовательно, согласно условию задачи, х-х2/100 = 24.
Решая полученное квадратное уравнение, получаем два результата: х1 = 40, х2 = 60.
Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пистолей.
Ответ: 40 или 60 пистолей.

'''Задача№93.Задача- шутка М.Ю. Лермонтова.'''Один из современников М.Ю. Лермонтова, хорошо знавший поэта, писал: «В начале 1841 г. Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающий офицер, в том числе и Лермонтов, собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то учёном кардинале, который мог решить в уме самые сложные математические задачи.
- Что вы скажите на это, Лермонтов?- обратился к нему один из почётных батальонеров, старик с Георгием.
- Говорят, что вы тоже хороший математик.
-Ничего тут удивительного нет,- отвечает поэт.- Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.
- Сделай одолжение.
- Задумайте какое угодно число, и я помощью простых арифметических действий определю это число.
- Ну что же, попробуйте,- рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся.- Но как велико должно быть задуманное число?
-А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычисления, ограничьтесь числом из двух цифр.
-Хорошо, я задумал,- сказал батальонер, подмигнув стоявшим вокруг него офицерам, и сообщил задуманное число сидевшей рядом с ним даме.
- Благоволите прибавить к нему,- начал Лермонтов,- ещё 25 и считайте мысленно или посредством записи.
Старик попросил карандаш и стал записывать на бумажке.
-Теперь не угодно ли прибавить ещё 125.
Старик прибавил.
-Затем вычтите 37.
Старик вычел.
-Ещё вычтите то число, которое вы задумали сначала.
Старик вычел.
- Теперь остаток умножьте на 5.
Старик умножил.
- Затем полученное число разделите на 2.
Старик разделил.
- Теперь посмотрим, что у вас должно получится… Кажется, если не ошибаюсь, число 282 ½?
Батальонер даже привскочил, - так поразила его точность вычисления.
- Да, совершенно верно: 282 ½. Я задумал число 50.- И он снова проверил вычисление- Действительно, получается 282 ½. Фу, да вы не клоун ли?..
-Колдун не колдун, а математике учился, - улыбнулся Лермонтов.
- Но позвольте…- старик, видимо, сомневался: не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он производил вычисления. - Нельзя ли повторить?
Старик записал задуманное число, никому не показав, положил под подсвечник и стал считать в уме даваемые поэтом числа. И на этот раз остаток был угадан.
Все заинтересовались. Старик только развёл руками. Хозяйка дома попросила повторить ещё раз опыт, и ещё раз опыт удался».
Спрашивается, на чём основан секрет отгадывания.
Решение.
Секрет не требует комментариев, он виден из формулы
[(x+25+125-37-x)5]:2=282+1/2.
«По крепости пошел разговор [писал современник Лермонтова]. Где бы поэт не показался, к нему стали обращаться с просьбами угадать вычисленное число. Несколько раз он исполнял эти просьбы, но, наконец, ему надоело, и он через несколько дней, тоже на одном из вечеров, открыл секрет, заключавшийся в том, что задумавшего число, какое бы оно ни было, заставляют вычесть это число из суммы этого же числа и некоторых других подсказанных чисел, так что диктующему легко подсчитать результат, например:
[(x+100+206+310-500-x):2]3=174»
Задача-шутка М. Ю. Лермонтова взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о математике» (Л., 1954, с.69-71).

'''Задача 94. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеется конус. Обвод основания 3 чжана 5 чи, высота 5 чжанов и 1 чи. Спрашивается, каков объем.

Решение.
В тракте для решения этой задачи дано правило: «Обвод основания умножь сам на себя, умножь на высоту, разделив на 36, возьми 1 раз».
Решение:
Таким образом, объем конуса древние китайцы вычисляли по формуле:
V=(h/3)*(c2/4 π), полагая что π=3

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:59, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 95. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеются круглое тин (усеченный конус). Нижний обвод 3 чжана, верхний обвод 2 чжана, высота 1 чжан. Спрашивается, каков объем.

Решение.
Древние китайцы решали эту задачу по такому правилу: «Перемножь верхний и нижний обводы, умножь каждый сам на себя, всё это сложи, умножь на высоту, раздели на 36, возьми 1».
Следовательно, объем усеченного конуса в древнем Китае находился по формуле:
V=((Cc+C2+c2)h)/36 , полагая π=3
V=(h/3)*((Cc+C2+c2)/(4 π), где С и с – длины окружностей нижнего и верхнего оснований, а h – высота.
Ответ:19\36.

'''Задача 96. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеется горизонтальный катет в 5 бу, вертикальный катет в 12 бу. Спрашивается, какова сторона квадрата, вписанного в этот треугольник.

Решение.
Древнекитайское правило к этой задаче гласит: «Сложи горизонтальный и вертикальный катеты, это делитель, перемножь горизонтальный и вертикальный катеты, это делимое. Объедини делимое и делитель, получишь сторону квадрата в бу».
Ответ: 60/17

'''Задача 97. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''У 5 семей имеется общий колодец . Чтобы достать до поверхности воды , 2 веревкам семьи А недостает 1 веревка семьи В, 3 веревкам семьи Б недостает 1 веревка семьи В, 4 веревкам семьи В недостает 1 веревки семьи Г , 5 веревкам семьи Г недостает 1 веревка семьи Д, 6 веревкам семьи Д недостает 1 веревка семьи А. Спрашивается, какова глубина колодца и какова и какова длина каждого куска веревки.

Решение:
Данная задача, как легко видеть, сводится к системе из 5 линейных уравнений с шестью неизвестными. Запишем систему уравнений:

2х+у=m

3у+z= m

4z+u= m

5u+v= m

6v+х= m

Следовательно:
V=(76/721) m

U=1/721*(721m-76m)/5=(129/721)m

Z=(148/721)m

Y=(191/721)m

X=(265/721)m

Причем m нужно положить равным 721.
Тогда V= 76, U = 129, Z= 148, Y=191, Х= 265

'''Задача 98. Задачи из Бахшалийской рукописи'''
Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвёртый - вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?

Решение.
Автор рукописи решил задачу в частном виде, когда искомое предлагается равным единице.
Пусть неизвестное равняется единице , тогда первый дал 1 , второй –2, третий –6, четвертый – 24. Сумма пожертвований будет равна 33. Разделим 132: 33= 4
Ответ: первый дал 4.

'''Задача 99. Задачи Ариабхаты'''
Два лица имеют равные капиталы, причем каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и сумма денег у каждого различна. Какова ценность вещи?

Решение.
Решение: Пусть у первого лица будет а вещей и m момент, а у второго лица b вещей и p момент. Тогда, обозначив через х ценность вещи, получим уравнение:
Ах+m=bx+p
Решая относительно х находим:
Х=(p-m)(a-b)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:59, 14 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-14T10:54:54Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Математический ребус

ЗАДАЧА

ЧАЙ : АЙ = 5.

РЕШЕНИЕ

Из условия следует, что ЧАЙ = АЙ * 5, т.е. Ч*100+АЙ=АЙ*5, откуда Ч*100=АЙ*4 и Ч*25=АЙ. Так как число АЙ двузначное, то Ч может быть равно только 1,2 или3. Каждому значению Ч соответствует определенное решение: если Ч=1, то АЙ=25, разные буквы расшифровываются разными цифрами., А=2, Й=4, если Ч=2, то АЙ =50; если Ч=3, то АЙ=75. Значит, расшифровать запись можно тремя способами: ЧАЙ=125, 250 или 375.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.

'''Задача греческого математика Митродора'''.Царская корона имеет массу 60 мин (1 мина=100 драхм=1/60 таланта) и отлита из сплава золота, меди, свинца и железа. На золото и медь приходится 3/4, на золото и свинец - 2/3, на золото и железо - 3/5 массы короны. Сколько мин золота, меди, свинца и железа в царской короне?

'''''Решение''''':Предположим, что на отливку короны пошло x мин золота, y мин меди, z мин свинца и f мин железа. Тогда x+y+z+f=60,(1). x+y=2/3*60=40,(2). x+z=3/4*60=45,(3). x+f=3/5*60=36,(4). Складывая уравнения (2),(3),(4), получаем 3x+y+z+f=121, вычитая из последнего уравнения уравнение (1), находим 2x=61,x=30,5. Значит y=9,5 z=14,5 f=5,5.Итак, 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 14,5 мин свинца и 5,5 мин железа.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №53. Задача французского автора Ж. Озанама (XVII в.)'''

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. они условились, что первый даст половину, второй одну треть, а третий оставшуюся часть. Сколько денег даст каждый?

Решение:

1) Найдем, сколько денег даст первый человек:
24000*0,5=12000 (ливров)
2) Найдем количество денег, которое даст второй человек:
24000*1/3=8000 (ливров)
3) Найдем последнюю сумму денег:
24000–12000–8000=4000 (ливров)
Ответ: I – 12000 ливров, II – 8000 ливров, III – 4000 ливров.

'''Задача№54. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение:

пусть х – количество людей, тогда получим уравнение:
8х – 3=7х+4
Решая уравнение получим, что х=7. тогда стоимость вещи равна 8·7 – 3=53

Ответ: 7 человек, стоимость вещи 53.

'''Задача №55. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах. вес всех воробьев тяжелее веса всех ласточек. если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес будет как раз одинаковым. общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.

Решение:

Обозначим за х вес одного воробья и за у вес одной ласточки. Получим систему из двух уравнений: 4х + у = 5у + х и 5х + 6 у = 1 . Знаем, что 5х > 6 у .
Решая данные уравнения, имеем х = 2 /19 , у = 3/38
Ответ: вес воробья 2/ 19 цзинь , вес ласточки 3/ 38 цзиня.

'''Задача 56. Задача Алькуина.'''

Разделить сто мер пшеницы между сто лицами так , чтобы каждый мужчина получил три , каждая женщина два , а каждое дитя ½ меры. Сколько мужчин , женщин и детей?

Решение.

Составим систему неопределенных уравнений: х+у+с= 100 и 3х+2у+1/2с =100 , где х,у,с- натуральные числа ( мужчины , женщины, дети). Решая данную систему , получим уравнение 2у + 5с= 400. То есть , х= 11, у = 15, с = 74.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 25'''''

'''(Анания из Ширака, армянский математик VII века.)'''

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая ,в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн.

''Решение:''

В 6/11 часа. За 6 ч первая труба наполнит 6 таких водоёмов, вторая -3, а третья-2, всего 11 водоёмов. Значит, 3 трубы вместе наполнят один водоём за 6/11 часа.

Ответ: 6/11 часа.

'''''Задача №26'''''

'''Задача Адама Ризе ( XVI в.)'''

26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчина издерживал по 6 марок, женщина - по 4, девушка – по 2. Сколько было мужчин , женщин и девушек?

''Решение:''

Пусть было m мужчин, g женщин, тогда девушек было 26 - m-g. По условию задачи составим уравнение и упростим его:

6m+4g+2(26-m-g)=88 (6),

2m +g=18 (7).

Так как g делится на 2, подставим g = 2 g1 (g1 – натуральное число) в уравнении (7) и упростим его: m + g1 =9 (8).

Уравнение (8) имеет 8 решений (m;g 1) в натуральных числах(1;8), (2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2), (8;1). Уравнение (6) тоже имеет 8 решений (m;g) : (1;16), (2;14), (3;12), (4;10), (5;8), (6;6), (7;4), (8;2). Следовательно, задача имеет 8 решений: мужчин, женщин и девушек было 1, 16, 9, или 2, 14, 10, или 3, 12, 11, или 4,10,12, или 5, 8, 13, или 6,6, 14, или 7,4,15, или 8,2, 16.

'''''Задача № 27'''''

'''Задача Д.Пойа'''

Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, и другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

''Решение:''

Пусть было x кг орехов первого сорта и y кг орехов второго сорта, тогда выполняются два равенства:

x+y=50,

90x+60y=3600.

Имеем:

(система)

х + у = 50,

3х + 2у = 120

Для решения систем двух уравнений с двумя переменными применяют один из двух основных способов решения.

1)Способ подстановки.

Выразим y через x из первого уравнения:y=50-x
Подставим выражение 50-x во второе уравнение вместо y:
3x +2(50-x)=120, x=20
Теперь найдем y: y=50-20=30.

2)Способ сложения.

Умножим правую и левую части первого уравнения системы (1) на-2 и сложим почленно полученные уравнения:

(система)

- 2х – 2у = - 100,

3х+2у=120.

(система)

х=20,

у=30.

Ответ:20кг первого и 30кг второго сорта.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 00:12, 9 ноября 2008 (UZT)

----
Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.

2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



8.Любое число – тремя двойками

ЗАДАЧА

Любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

РЕШЕНИЕ

Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:
Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительности,

Если бы дано было 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное число N, то
Причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.

9.Алгебраические комедии
2*2=5

РЕШЕНИЕ
16 – 36 = 25 – 45
Прибавляются равные числа:
16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼
И делаются следующие преобразования:

Затем с помощью незаконного заключения переходят к финалу:
4 – 9/2 = 5 – 9/2,
4 = 5,
2*2=5

== МаГмА ID _205 ==
1. Задачи из "Греческой Анталогии":

Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине.Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу."Чего ты жалуешься?-ответил ей мул.-Ведб если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей.А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаково с моей".Скоько мешков несла ослица и сколько нес мул?

Решение:

Обозначив через х поклажу ослицы, а через у — поклажу мула, сводим задачу к системе уравнений с двумя неизвестными
у + 1 = 2 (х - 1); у — 1 = х + 1 или
2х — у — 3; у — х = 2.
Решая эту систему, получаем х = 5, у = 7.

2. Задачи Бхаскары:

Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел,чтобы убить Карну;половину их он употребил на собственную защиту, a учетверенное количество квадратного корня -протв лошадей;6стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны,разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову.Сколько было стрел у Арджуны(сына Притхи)?

Решение:

Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:
0,5х+4 х+6+3+1=х
После упрощения получаем
х—104х+400 = 0,
откуда
х = 52± 52 —400 .
Следовательно,
х = 52 ± 48.
Таким образом, имеется два корня: х = 100 и х = 4, причем непосредственной проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.

3. Задачи из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение:

За год работник должен был получить 12 рублен и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1/12,a стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублен и 7/12 стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, 5/12 стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким образом, цена кафтана была
2:5/12=2*12/5=24/5=4,8(рубля)

4. Задачи Л.Н.Толстого:
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение:

Сам Л. Н. Толстой, по свидетельству проф. А. В. Цингера, решал задачу при помощи следующих рассуждений: «Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня полартели скашивает 1/3луга. Следовательно, на малом лугу
остался нескошенным участок в1/2-1/3=1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было6/6+2/6=8/6, то косцов было 8».
«Толстой,— вспоминал А. В. Цингер, — всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым — уже стариком, его собственно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 48)».
Приводим алгебраическое решение задачи. Пусть х— число косцов артели, у — размер участка, скашиваемого одним косцом за 1 день.Заметим, что у — вспомогательное переменное — вводится исключительно для облегчения решения задачи, от него потом освобождаются. Далее, выразим через х и у площади большого и малого луга.Площадь большого луга равняется ху/2+ху/4=3ху/4ху .Площадь малого луга ху/4+у=ху/4+4у/4
Большой луг по условию больше малого в два раза, поэтому
(3ху/4):(ху/4)+(4у/4)=2
3ху/ху +4у=2,
После сокращения на у получим
3х/(х+4)=2,
Откуда х=8.

5. Задачи из "курса Алгебры" А.Н. Страннолюбского:

Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4,5руб., потом 3,5руб. и наконец 7 руб. Сколько недель продолжалась работа?

Решение:

Пусть х — число недель, в течение которых продолжалась работа, тогда
(15-10)х=4,5+3,5+7;
х=3(недели)
--[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 18:19, 12 ноября 2008 (UZT)

== '''Совокупность "жареных семечек"ID-224''' ==
'''Из «Введения в анализ бесконечных», т.1, Л. Эйлер'''

'''Задача №40'''

Доказать, что логарифмы двух чисел в любой системе сохраняют одно и то же отношение.

Решение.

(a +blgx)lgx = lgc, пусть lgx = y, тогда by^2 + by – lgc = 0. Найдя y, находим х.

'''Задача №41'''

Пусть к концу каждого века число людей удваивается; требуется найти годовой прирост.

Решение.

Если предположим, что число людей возрастает ежегодно на 1/х свою часть, и, притом вначале число людей было равно n, то по истечении 100 лет, это число будет равно [((1+х)/х)^100]*n.

Это должно быть равно 2nи тогда (1+x)/x = 2^1/100, логарифмируем: lg(1+x)/x = 1/100, lg2 = 0,0030103, отсюда (1+х)/х = 10069555/10000000, поэтому х ≈144.

Итак, достаточно ежегодного прироста людей на 1/144 часть.

'''Задача №42'''

Пусть число людей увеличивается ежегодно на 1/100 свою часть; спрашивается, через сколько лет число людей удесятериться.

Решение.

Положим, что это наступит через х лет, причем число людей вначале было равно n;

стало быть по истечении х лет оно будет равно [(101/100)^x]*n, а так как оно должно равняться 10n, то

(101/100)^x = 10, xlg(101/100) = lg10, x = lg10/(lg101-lg100) = 1/(lg101-2), x≈231.

Итак, через 231 год число людей, если ежегодное приращение составляет только 1/100 часть, станет больше в 10 раз, отсюда

через 462 года оно станет в 100 раз, а через 693 года в 1000 раз больше.

'''Задача №43. Задача Ж. Озанама.'''

Семеро друзей собрались к обеду, но между ними возник спор, кому с кем садиться. Чтобы прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по разному, до тех пор, пока не будут испробованы все комбинации.

Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Решение.

'''Задача №44. Середина 14 века. Задача Нарайана.'''

Подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной коровы за 20 лет, по условию корова в начале каждого года рожает телку, а телки дают такое же потомство, достигнув трех лет.

'''Решение.'''

В начале 1-го года стадо состояло из 2-х животных, в начале 2-го –из 3-х, затем из 4 и 6.

Начиная с 4-го года численность стада можно выразить рекуррентным соотношением:

S(k) = S(k-1)+S(k-3).

С помощью соотношения последовательно вычисляем S(20) =2745.

'''Задача №45 Задача о кроликах или числа Фибоначчи'''

В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде

[[Изображение:Krol1.jpg]]

'''Задача №46. Китай. «Математический трактат о чжоу-би»'''

В центре бассейна со стороной 1 чжан = 10 чи растет камыш, выступающий над водой на 1 чи. Оттянутый камыш достигает берега. Какова глубина воды?

Решение.

Сторона бассейна 2а, камыш выступает на высоту h, глубина х.

[[Изображение:Zadacha.jpg]]

По теореме Пифагора (х+h)^2 – x^2 = a^2.

(x+1)^2-x^2 = 5^2, 2x+1=25, x=12 (чи)

'''«Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу»'''

Авторы неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший «Математику» в 3 в. , сообщает, что она была составлена по более ранним источникам видным чиновником финансовой службы Чжан Цанем (умер в 152 г. до н.э.)

'''Задача №47.'''

В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка дополнена неочищенным просом, и если последнее очистить, то всего получится 7 доу пшена.

Решение.

Запишем уравнение.

х +3/5(10-х)=7 (3/5 – коэффициент перехода от проса к пшену из книги 2 «Математики»)

х = 2,5.

'''Задача №48.'''

Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день вырастает на 7, внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день на 10. Когда они встретятся?

Решение.

Запишем уравнение (7+10)х = 90.,

х = 90/17=5+5/17 дней.

'''Задача №49.'''

Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу. Из двух снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

{| class="wide" border=1
|-
!Весь урожай||Хороший урожай||Средний урожай||Плохой урожай
|-
||||В 1-м снопе х доу||В 1-м снопе y доу||В 1-м снопе z доу
|-
||39 доу||3 снопа||2 снопа||1 сноп
|-
||34 доу||2 снопа||3 снопа||1сноп
|-
||26 доу||1 сноп||2 снопа||3снопа
|-
|||||||
|}

3x+2y+z=39, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26.

x-y=5, x=5+y.

z=34-2(5+y)-3y, z=24-5y.

5+y+2y+(24-5y)*3=26, -12y=26 -77, y=51/12,

y=4+1/4,

X=9+1/4,

z = 2+3/4

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 9,25 доу, из одного снопа среднего урожая получается 4,25 доу, из одного снопа плохого урожая получается 2,75 доу.

'''Задача №50.'''

2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая, 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

В 1-м снопе хорошего х доу, в 1-м снопе среднего y доу, в 1-м снопе плохого z доу

2х+у =1, 3у+z=1, 4z+x=1.

Y=1-2x, z=1-3y, 4-12(1-2x)+x=1, 25x=9,

x=0,36, y=0,28, z=0,16.

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 0,36 доу, из одного снопа среднего урожая получается 0,28 доу, из одного снопа плохого урожая получается 0,16 доу.

'''Задача №51.'''

'''М.Е. Салтыков-Щедрин'''

«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя маленького Порфирия? Выходит, однако, немного – всего 800 рублей!»

Решение.

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущения, что Головлев сделал вычисления правильно, требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.

800 = 100(1 +p/100)^50

'''Задача №52.'''

'''Старинная задача из сборника Игнатьева Е.В. В царстве смекалки.'''

Идет крестьянин и плачется: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько медных грошей болтается, да и те нужно отдать. И как это у других получается, что на всякие свои деньги они еще деньги получают? Хоть бы кто помог». Только сказал, глядь, перед ним черт.

«Что ж, - говорит, - помогу. Видишь мост через реку? Как будешь мост переходить, деньги у тебя в кармане удвоятся. Сколько раз перейдешь по мосту, столько раз и удвоятся».

- Ой ли? – удивился крестьянин.

- Верное слово, - сказал черт, - но, чур, уговор! Ты, каждый раз перейдя мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не помогу.

Согласился крестьянин.

Перешел мост раз. Точно – удвоились деньги. Отдал черту его 24 копейки.

Пошел обратно, опять удвоились. Отсчитал плату черту и перешел третий раз.

Деньги удвоились и их оказалось ровно 24 копейки, которые пришлось отдать черту.

А) Сколько денег было у крестьянина?

Б) Какое минимальное количество денег должно быть у крестьянина, чтобы после третьего перехода и расплаты с чертом деньги у крестьянина удвоились?

Решение.

А) Х – первоначальное количество денег у крестьянина,

2х – после первого перехода,

(2х-24)*2 – после второго перехода,

[(2x-24)*2-24]*2 =24 –после третьего перехода.

(2х – 24)*2=12+24, 2х-24=18, 2х=42, х = 21.

Б) [(2x-24)*2-24]*2 -24= 2х, (2х-24)*2 – 24 =(2х+24)/2, (2х-24)*2 =х+36, 3х=84, х=28.

Ответ. 21 коп., 28 коп.

'''Задача №53'''

'''А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить.'''

5 разных человек в 5 разных домах разного цвета, курят 5 разных марок сигарет, выращивают 5 разных видов животных, пьют 5 разных видов напитков.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

'''Алгоритм решения задачи:'''

Норвежец живет в первом доме

Норвежец живет около голубого дома (2-й)

Жилец из среднего дома пьет молоко (3-й)

Зеленый дом стоит слева от белого

Жилец зеленого дома пьет кофе

Зелёный дом – 4-й

Белый дом – 5-й

Англичанин живет в красном доме

Первый дом – желтый

Норвежец живет в желтом доме

Жилец из желтого дома курит Dunhill

Лошадь у жильца голубого дома

Датчанин пьет чай в голубом доме

Курильщик Winfield пьет пиво в белом доме

Норвежец пьёт воду

Курильщик Marlboro живет в голубом доме (датчанин)

Кошку держит Норвежец

Швед держит собаку в белом доме

Человек, который курит Pallmall, держит птицу – Англичанин

Значит, Немец курит Rothmans и держит рыбу

'''Задача №54.''' '''Жорж Сименон'''

«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.

- Говорит Мегре. Есть новости?

- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

- Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Решение.

Запишем простые высказывания:

А = { Франсуа пьян}

B = { Этьен убийца }

C = { Франсуа лжет }

D = { убийство произошло после полуночи }

Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1

Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1

Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1

(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1

(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1

Применяя закон поглощения:
(┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC

Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит
┐ADC=0

Итак, BD=1

Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 23:31, 9 ноября 2008 (UZT)
----

'''Задача №55.''''''Задача Пуассона.'''

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Ответ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.

Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.

Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.

Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.)

Тогда в 8л. как раз остается 6л.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 00:45, 13 ноября 2008 (UZT)
----

Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.
2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)
'''Задача№57. Задача Л. Эйлера.'''
Некто продает свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 32. За первый
Гвоздь он просит 1 коп., за второй 2, за третий 4, за четвертый 8 и всегда за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит свою лошадь?
Решение:
Имеем геометрическую прогрессию. Нас просят найти сумму всех гвоздей. Для решения задачи применим формулу для расчетов суммы n членов прогрессии: Sn=b1(1–qn)/1-q, где b1=1, n=32, q=2.
Получим:
S32=1(1–232)/1-2=4294967295 (копеек)
Ответ: 4294967295 копеек, или 42949672 рубля 95 копеек.

'''Задача №58. Задача из книг новгородских писцов.'''
В книгах новгородских писцов XVв. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Можно ли на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
Решение:
Обозначим емкости бочки, насадки и ведра равны соответственно x,y,z. Тогда получим систему уравнений:
x+20z=3x и 19x+ y+15,5z=20х+8z
Решая систему, получим х=4у т. е. в одной бочке содержится 4 насадки.
Ответ: В одной бочке содержится 4 насадки.

'''Задача №59. Задача из «Счетной мудрости».'''
Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся 3 копейкам.)
Решение:
Число мужчин:
(1200–120*9)/(12–9)=40
Число женщин
120–40=80
Ответ: мужчин было 40 человек, женщин было 80 человек.

'''Задача №60. Задача из рукописи XVII в.'''
Четыре плотника у некого гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: «Только б де мне одному тот двор ставити, я бы де его поставил един годом». А другой молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в два года». Третий молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в три года». А четвертый так рёк: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в четыре года». Ино все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино сколь долго они ставили, сочти мне.
Решение:
За 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй–6; третий–4; четвертый–3. Следовательно, за 12 лет они вместе построят 25 дворов. Таким образом, четыре плотника вместе один двор построят за (365*12)/25=175,2 дня.
Ответ: за 175,2 дня.

'''Задача № 61. Задача Эйлера.''' Некий чиновник купил лошадей быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?
Решение:
Если х – число лошадей, у – число быков, то
31х+21у=1770
откуда
у=84-х-(10х-6)/21
Из последнего равенства следует, что (5х-3) делится на 21. Обозначив 5х-3=21z, получим у=84-х-2z и х=4z+(z+3)/5. Следовательно, (z+3) делится на 5, т.е. z=5t-3, x=21t-12 и y=102-31t.Так как y>0 и z=5t-3≠0, то t1=1, t2=2, t3=3 соответственно x1=9, y1=71; x2=30, y2=40; x3=51, y3=9.

'''Задача №62. Задача Кирика Новгородца.''' Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет?
Решение: месяцы – 26 * 12 = 312, недели – 26 * 52 = 1356, дни - 26 * 365 = 9497, часы – 9497 * 24 = 227928.
Ответ: человек прожил 26 лет, 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

'''Задача №63. Французская задача.''' Трое имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю (монет). Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.
Ответ:
I 8 8/2 = 4 4/2 = 2 2+14/2+8/2 = 13
II 8 8/2 = 4 4+4/2+16/2 = 14 14/2 = 7
III 8 8+8/2+8/2=16 16/2 = 8 8/2 = 4

Значит, сначала у каждого было 13, 7, 4 экю.

'''Задача №64. Задача Ризе.''' Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по одной четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было у каждого.
Ответ: Пусть x, y, z – количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Решение системы уравнений:
x+1/2(y+y) = 12 и y+1/3(x+z) = 12 и z+1/4(x+y) = 12
Даёт нам: x = 3 9/17, y = 7 13/17, z = 9 3/17 флоринов.

'''Задача №65. Задача Пизанского.''' Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженным со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причём природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.
Ответ: От одной пары кроликов в год родится:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 376
Эта задача приводит к ряду Фибоначе:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

'''Задача №66. Задача Пизанского.''' Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя».
Сколько у каждого?
Ответ: Решив систему уравнений:
x+7 = 5(y-7) и y+5 = 7(x-5)
Получим, что первый имел x = 7 2/17 динариея, а второй y = 9 14/17 динария.

'''Задача №67. Задача Пизанского.''' Выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз от 1 до 30 целых весовых единиц. Все гири при взвешивании разрешается ставить только на одну и туже чашку весов.
Ответ: Если m1, m2, m3, m4, m5 – массы гирь, то масса m=< 30 весовых единиц любого груза необходимо представить в виде.
m = a1m1+a2m2+a3m3+a4m4+a5m5
где коэффициенты a1, a2, a3, a4, a5 равны либо 0, либо 1. Массы гирь m1, m2, m3, m4, m5 достаточно выбрать равными 1, 2, 4, 8, 16 весовым единицам, так как сумма масс равна 31, что больше 30. Любое число
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)

----

== Участник: Максимум ID_251 ==

ДЕЛЕЖ ВЕРБЛЮДОВ
Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он сделал?

''Решение.''

Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 = 9 верблюдов; средний 18 = 6 верблюдов, младший 18 = 2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно 9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1.

КРЕСТЬЯНЕ И КАРТОФЕЛЬ
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

''Решение.''

Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, но 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Сколько было?
Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню, - сказала женщина, — знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то оставалось 1 яйцо. Точно так же всегда оставалось по 1 яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц?

''Решение.''

Задача, очевидно сводится к нахождению такого числа, которое делится без остатка на 7, а при делении на 2, 3,4, 5 и 6 дает в остатке 1.
Наименьшее число, которое делится без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6 (наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, значит, найти такое число, которое делилось бы на 7 без остатка и было бы вместе с тем на 1 больше числа, делящегося на 60. Такое число можно найти путем последовательных попыток: 60, деленное на 7, дает в остатке 4, следовательно, 2 х 60 дает в остатке 1 (2x4 = 8; 8-7=1). Значит, 2 х 60 = числу, кратному 7 + 1, отсюда следует, что (7 х 60 - 2 х 60) + 1 = числу, кратному 7, т.е. 5 х 60 + 1 = числу, кратному 7, 5 х 60 + 1 = 301.
Итак, наименьшее число, решающее задачу, есть 301. То есть наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине у женщины, есть 301.

Задача Чжан Цюцзяня (V в.)
1 петух стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

''Решение''

Решение системы сводится к следующим уравнениям: y = 25 - 7/4 x, z = 75 - 3/4 x. Задавая значения х=0;4;8;12, получим решения задачи: (0;25;75), (4;18;78), (8;11;81), (12; 4; 84).

Задачи из папируса Ахмеса.
1. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.

''Решение''

10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1\8 и получает, что 10-й член прогрессии равен
1+9*1/2*1/8=25/16.

2. Найти приближенное значение для числа ,приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

''Решение''

По условию задачи (8/9 d)^2=пd^2/4. Тогда п=3,1604.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 15:58, 11 ноября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Задача Л.Ф. Магницкого''

Некий человек нанял работника на год, обещая ему дать 12 р. и кафтан, но тот проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

''Решение''

Пусть х р. - стоимость кафтана, тогда можно составить уравнение

7(1+х/12)=5+х.

х=24/5

х=4,8

Ответ: кафтан стоит 4 р. 80 коп.

''Задача из Математических рукописей 17 в.''

Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа.Сколько бы они скоро, все три - вол, конь и коза - ту копну съели, сочти.

''Решение''

За 12 ч вол съест 12 копен, конь - 6, коза - 4, всего они съели 22 копны за 12 ч. Поэтому одну копну вол, конь и коза вместе съедят за 12/22=6/11 ч.

Ответ: вместе вол, конь и коза съедят копну за 6/11 ч.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 00:46, 12 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)
'''Задача №68. Задача Магавиры (Индия)'''.
Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9 остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
Решение: ((1/16)2+(152/92*162))x2+14 = x
Где х - число павлинов в стае. Отсюда x1 = 48, а x2 = 336/17 не подходит.

'''Задача №69. Задача Магавиры (Индия).'''
О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиант, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
Решение: С15+ С25+ С35+ С45+ С55 = (1+1)5+14 = 31
Ответ: 31

'''Задача №70. Задача Ариабхаты (Греция).'''
Два лица имеют равные капиталы, причём каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение: Задача сводится к решению уравнения: ax+b = cx+d, откуда x = (d-b)/(a-c),
где у первого лица будет a вещей и b монет, а у второго лица – c вещей и d монет

'''Задача №71. Задача Сунь-цзы (Китай).'''
Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятёрками, то остаток 3; если считать их семёрками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.
Решение: 23+105t, где t – целое, неотрицательное число.

'''Задача №72. Задача Дидоны (Греция).'''
Участок земли какой формы окружила Дидона верёвкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
Решение: Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательно свойство было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшийся верёвкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача №73. Задача Фалеса (Греция).'''
Определить расстояние от берега до корабля на море.
Решение: Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строим треугольник ABC с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, ∟ACB = ∟DCE и ∟CDE = ∟CAB. Тогда по теореме о равенстве двух треугольников имеющих сторону и два угла, получаем AB = DE

'''Задача №74. Задача о статуе Минервы.'''
Я – изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов – обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты вместе в дар принесли?
Решение: Узнаем, какую часть от всех даров, составляет обет Аристоника: 1-(1/2+1/8+1/10+1/20)=9/40. Затем найдем количество золота, которое принесли все поэты вместе: 9/(9/40)=40.
Ответ: 40.

'''Задача №75. Задача о Грациях (Греция).'''
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой грации стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой грации до встречи с музами?
Решение: Пусть у каждой грации было по х плодов, и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть: х-9у = 3у или х = 12у
Т.е. у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
Ответ: у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)

== Совокупность "жареных семечек"==

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

'''Задача №56'''

На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.

Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" - спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?

Ответ:

Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: "Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет".

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: "Самого себя". Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло "и все же тот, кого мы видим на портрете, - сын моего отца". Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что "отец того, кто на портрете, - сын моего отца". Отсюда следует, что отец человека на портрете - я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете - сын моего отца.

Подставляя краткое "я" вместо более громоздкого выражения "сын моего отца", преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете - я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

'''Задача №57'''

2. Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)".

Чей портрет разглядывает этот человек?

Ответ: B этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

'''Задача №58'''

3. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать.

Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

Ответ: При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу деле обстоит так, как если бы я спросил у вас: "Живут на свете два человека - Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?" Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: "Вы либо лжете, либо ошибаетесь".

'''Задача №59'''

4. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

Ответ:

Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

'''Задача №60'''

5. Новый поворот в предыдущей задаче.

Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

Ответ: В ящике 4 носка.

'''Задача №61'''

6. Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.

Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?

Ответ: На вопрос первой задачи ответ утвердительный.

Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек - например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

'''Задача №62'''

7. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C). Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.

Спрашивается, кто убийца? A или B?

Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой. Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево". Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! - повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", - ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.

Ответ: Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать "правильными" или "неправильными". В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика C, то его недруга A. Если бы я был защитником караванщика B, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика B способствовали продлению жизни караванщика C (хотя это и не входило в намерения караванщика B), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика A мог бы возразить мне: "Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если C в действительности не выпил ни капли яда?" Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и A, и B виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости не сравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне не известна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем.

'''Задача №63'''

8. Еще один юридический казус.

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Ответ: Обвиняемые были сиамскими близнецами.

'''Задача №64'''

9. Двое краснокожих.

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец. Как вы это объясните?

Ответ: Тот из краснокожих, кто повыше ростом, - мать того, кто ростом пониже.

'''Задача №65'''

10. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

Ответ:
Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

'''Задача №66'''

11. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Ответ:

Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

'''Задача №67'''

12. У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

'''Задача №68'''

13. Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

Ответ: Как может покойник жениться на ком-нибудь?

'''Задача №69'''

14. Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

Ответ: Человек, живущий на двадцать пятом этаже, - лилипут и не может дотянуться до кнопки "25 этаж" на пульте лифта.

'''Задача №70'''

15. Задача о железнодорожном движении.

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.

Ответ: Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

'''Задача №71'''

16. Наклон крыши.

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската?

Ответ: Петухи не откладывают яйца

'''Задача №72'''

17. Сколько девяток?
Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

Примечание: 6 и 9 - это разные цифры, т. е. переворачивать их нельзя.

Ответ: Двадцать.

'''Задача №73'''

18. Беговая дорожка.
Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

Ответ: Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

'''Задача №74'''

19. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: "Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!"

Как вы это объясните?

Ответ: Хирург был матерью Артура Смита.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 01:18, 13 ноября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Весёлые умницы ID_296|Весёлые умницы ID_296]] 14:07, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №1'''

ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА РАЙНДА.
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.
Решение: по условию задачи составляем уравнение
х+2/3 х- 1/3 (х+2/3 х)=10 , ответ х = 9

'''Задача №2'''

ЗАДАЧА ДИОФНТА (Из трактата «Арифметика»)
Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.
Решение: Пусть сумма всех трех чисел I + II + III = x2 + 2x +1 = ( x + 1 )2,
а I + II = x2, тогда III = 2x +1. Пусть теперь II + III = ( x - 1 )2. Тогда получаем, что I =4x, а II = х2 – 4х. Далее I + III = 6x + 1 должно быть квадратом некоторого числа, например 112 = 121. Тогда для определения х получаем уравнение 6х + 1 = 121, откуда х = 20. Значит: I = 80, II = 320, III = 41.

'''Задача №3'''

ЗАДАЧА ИЗ «ГРЕЧЕСКОЙ АНТОЛОГИИ»
- Хроноса (бог ремени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остается. ( У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: по условию задачи составляем уравнение
4/3 х+х=12 , ответ х = 5 1/7 дня

'''Задача №4'''

ЗАДАЧА ИЗ БАХШАЛИЙСКОЙ РУКОПИСИ ( найдена в 1881г. Ри раскопках в Бахшали в северо-западной ИНДИИ. Рукопись выполнена на березовой коре и относится к 3 или 4 веку н. э.)
Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый.
Решение: Пусть первый дал 1 часть, второй - 2, третий – 6, четвертый- 24. Сумма пожертвований будет составлять 33. Разделим 132 на 33. Это и будет искомый результат. Ответ 4.

'''Задача №5'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ ( Задача взята из трактата «Венец астрономического учения» индийского математика ХII в. Бхаскары-акария)
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/ 2,1/4 первоначального числа, то получится 68. Как велико число?
Решение: Бхаскара данную задачу решал методом предположения. Предположим, что искомое число равняется 3, тогда, по условию задачи, 3•5=15, одна треть от 15 равна 5. Поскольку15 – 5 = 10, то при делении 10 на 10 получим 1. Если к 1 прибавить 1/3, 1/2, 1/4 от 3, тогда получаем 1+1+3/2+3/4=17/4, что меньше 68 в 16 раз. Следовательно искомое число 3•16=48. Ответ 48.

'''Задача №6'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ
Некто сказал своему другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого.
Решение: Пусть у первого было 2х - 100 рупий, а у второго х + 100 рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея ввиду второе условие, находим 6 ( 2х – 110 ) = х + 110. Решая, получаем х = 70. Значит у первого было 140 – 100 = 40 рупий, у второго 70 + 100 = 170

'''Задача №7'''

ЗАДАЧА АЛ-КАРХИ (Среднеазиатский математик ХI в, автор трактата « Все известное в арифметике»)
Найдите площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
Решение: Обозначим ширину прямоугольника через х, тогда длина его будет 2х, площадь 2х2, периметр 6х. Согласно условию задачи 2х2 = 6х, следовательно х = 3, и искомая площадь равна 18 кв. ед.

'''Задача №8'''

ЗАДАЧА БЕГА-ЭДДИНА ( Иранский математик автор трактата «Сущность искусства счисления»)
Разделить число 10 на такие две части, разность которых есть 5.
Решение: Если меньшую часть обозначить через х, то большая будет х+5. Согласно условию задачи, 2х +5 = 10. Откуда х = 21/2. Следовательно меньшая часть 21/2, а большая 71/2.

'''Задача №9'''

ЗАДАЧА ИЗ «КУРСА АЛГЕБРЫ» А. Н. СТРАННОЛЮБСКОГО (русский математик-методист 1839 – 1903г.)
Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; теперь мне 45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим лета второго сына через х, тогда х +3х = 45 – 29; решая уравнение получаем ответ х = 4

--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|"Весёлые умницы"]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
----
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача 76. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется бамбук из девяти колен. Объём трёх нижних колен 4 шэна, четыре верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы объёмы двух средних колен, если объём каждого колена отличается от соседних на равную величину.

Решение:

Для решения задачи составитель трактата выводит правило: «4 шэна, разделённых на 3нижних колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна разделённые на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен остаток, является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т.е. на столько отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т.е. 1 с малой половиной шэна, есть объём второго снизу колена».
Согласно этому правилу, можно провести несложные вычисления:
1) 4/3-3/4 = 7/12 – разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
2) 9-4/2-3/2 = 11/2 составляет делитель;
3) (7/12):(11/2) = 7/66 = d, т.е. то число, на которое отличается каждая ступень от соседней;
4) тогда второе снизу колено будет составлять 4/3 = 1 1/3 (шэна). Теперь без труда можно найти в шэнах и другие восемь колен.

'''Задача №77. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и серебра каждого в отдельности.

Решение:

Прежде всего, 1 цзинь = 16 ланам, а 1 лан = 24 чжу. Обозначим теперь вес слитка золота через х, а вес слитка серебра через z; задача сводится к решению системы:
9х = 11z;
13+8x+z = 10z+x.
Будем решать эту систему по правилу двух ложных положений. Первое ложное положение x1 = 3 цзиням. Тогда:
z1= 9x1/11 = 9·3/11 = 27/11 = 2 5/11 (цзиням).
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозначив его через у1:
у1 = (13/16+8·3+2 5/11)-(10·2 5/11+3) = 27·(47/11·16) – 27·(96 /11·16) = -49/11·16.
Второе ложное положение х2 = 2 цзиням. В этом случае z2 = 1 7/11 цзиня и «избыток в левой строке» будет: y2 = (13/16+1 7/16+8·2)–(10·1 7/11+2) = 18·(79/11·16)-18·(64/11·16) = 15/11·16.
Далее предполагается, что у1 и у2 вместе с х1 и х2 записаны по китайскому способу:

х2 х1
у2 у1
где левая колонка составляет «левую строку», а правая колонка –«правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем:
х = ( 2·(49/11·16)+3·(15/11·16))/ (49/11·16+15/11·16 )= 143/64 = 2 15/64 (цзиня).
Следовательно, х = 2 цзиня 3 ланам 18 чжу. Вес слитка серебра определяется очень просто. Для этого делимое 143 надо разделить на произведение делителя 64 и знаменателя 11/9. Тогда получаем:
z = x:(11/9) = 143:(11/9·64) = 13·9/64 = 117/64 = 1 53/64 (цзиня).
Следовательно, окончательно z = 1 цзиню 13 ланам и 6 чжу.

'''Задача №78. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Рысак и кляча движутся от Чаньяня к княжеству Ци, которое удалено от Чаньяня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый следующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достигает княжества Ци, повернул обратно ив некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и сколько ли пробежала каждая лошадь.

Решение:

Составитель трактата для решения этой задачи предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток 337 с половиной ли. Предположим, что через 16, тогда избыток равен 140 ли. Избыток и недостаток – это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
За n целых дней рысак пробежит:
193+(193+13)+(193+2·13)+…+[193+(n-1)·1] = 193n+13+2*13+…+(n-1)·13 = 193n+13[1+2+…+(n-1)] = 193n+13·(n(n-1)/2) (ли).
За это же число дней кляча пробежит:
97+(97-0.5)+(97-2·0.5)+…+[97-(n-1)·0.5] = 97n-0.5[1+2+…+(n-1)] = 97n-0.5·(n(n-1)/2) (ли).
За указанное число дней русак и кляча пробегут вместе.
193n+13·(n(n-1)/2)+97n-0.5·(n(n-1)/2) = 290n+(13-0.5)·(n(n-1)/2) = 290n +6.25(n2-n) (ли).
что должно составить 6000 ли.
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу решать методом двух ложных положений.
При n = 15 недостаток равен 6000-5662.5 = 337.5 (ли); при n = 16 избыток составляет 6140-6000 = 140 (ли).
Обозначая время встречи через х, и предполагая, что на протяжении дня скорости не менялись, получим:
х =(15·140+16·337.5)/(140+337.5)=15 135/191 (дня).
Теперь не составляет большого труда найти, столько ли пройдут рысак и кляча за 15 135/191 дня.

'''Задача №79. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота, 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов. Спрашивается, сколько стоят буйвол и баран.
Решение: Эта задача в трактате решается правилом «фан-чэн», с которым мы познакомимся дальше. Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений:
5х+2у=10

2х+5у=8.

Ответ:34/21 лана стоит буйвол и 20/21 лана стоит баран.

'''Задача №80. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''
Два снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 снопов урожая А превышает дань на вес 1 снопа урожая Б, вес 3 снопов урожая Б – на вес 1 снопа урожая В, вес 4 снопов урожая В – на вес 1 снопа урожая А. Спрашивается , каков вес каждого из снопов урожаев А,Б,В.

Решение : Задача сводится к решению системы:
2х = 1+у

3у = 1+z

4z = 1+x

Её каноническая форма:

2x-y = 1

3y-z = 1

4z-x = 1

Выразим у = 2 х – 1,и подставим во второе уравнение.
Получим 6 х = 4 + z. но х = 4 z – 1 . Тогда z = 10/23 , х = 17/23, у = 11/23
Ответ: 17/23, 11/23, 10/23

'''Задача №81. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья.

Решение:

Установи, что 2 буйвола, 5 баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней положителен. Ещё установи, что 3 буйвола положительны, 9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны. Ещё установи, 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
Обозначив x, y, z соответственно стоимости буйвола, барана и свиньи, сведём задачу к решению системы:

2x+5y = 13z+1000

3x+3z = 9y

6y+8z = 5x-600,

где 1000 – остаток цяней от продажи 2 буйволов, 5 баранов и покупки 13 свиней; 600 – недостаток цяней от продажи 6 баранов, 8 свиней, покупки 5 буйволов.
Решив эту систему уравнений получаем: х= 300, у = 110, z= 30
Ответ: 300 буйволов, 110 барановЮ 30 свиней.

'''Задача №82. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется водоём со стороной в 1 чжан. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается, какова глубина водоёма и какова длина камыша. (1 чжан = 10 чи).

Решение:

Обозначим длину водоёма через 2а, длину камыша через с. Задача заключается в нахождении b и с. Руководствуясь китайским правилом находим формулу для определения искомых величин:
b = (a2-(c-b))/2(c-b);
c = b+(c-b) = (a2-(c-b))/2(c-b).
Исходя из условий задачи применяя правило «гоу-гоу», т.е. теорему Пифагор, получаем систему:

b = c-k

b2 = c2-a2,

где для кратности k обозначена известная нам надводная часть, равная c-b. Решая систему, будем иметь:
b = (a2-k2)/2k;
и
c = (a2+k2)/2k,
где k = c-b
Прежде всего по правилу «гоу-гоу» имеем:
a2 = c2-b2.
Далее, получаем:
a2 = c2 – b2 = (c-b)2+2b·(c-b)
или
a2 = (c-b)2+2b(c-b)?
откуда
b = (a2-(c-b)2)/2(c-b).

'''Задача №83. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Два человека находятся в одном месте. норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем идет по космосу направлению на северо-восток до встречи с Б. спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б.
Решение: Эту задачу древнекитайский математик в трактате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь само на себя, 3 тоже умножь само на себя, сложи и возьми половину. Возьми в качестве нормы ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умноженного на само себя, норму ходьбы по косому направлению, остаток является нормой ходьбы на юг. 3 умножь на 7, это норма ходьбы Б на восток. 10 бу ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому направлению, 10 бу умножь на норму ходьбы Б на восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и норму ходьбы на юг, получишь для каждого количество пройденного».
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить довольно просто:
1) находим сначала норму ходьбы А «по косому направлению»: (49 + 9)/2=29
2) определяем норму ходьбы А на юг:
49-(49+9)/2=20
3) норма ходьбы на восток будет
7 • 3 = 21;
4) находим «делимое»:
10 • 29 и 10 • 21;
5) А прошел «по косому направлению» путь
10•29/20=14,5 бу
6)Б прошел на восток путь
10•21/20=10,5 бу

Обычным путем задача решается так: обозначаем через Х путь, пройденный Б на восток, через У – путь, пройденный а на юг (причем, по условию задачи, у = 10 бу), через Z – путь, пройденный А «по косому направлению», т.е. по гипотенузе полученного прямоугольного треугольника. Тогда,
х2 + 10 2= z2 и х/ (z + 10) = 3/7 .
Ответ: 14,5 бу и 10,5 бу.

'''Задача № 84. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Имеется дверь, высота которой больше ширины на 6 чи 8 цуней. Наибольшее расстояние между углами (диагональ) 1 чжан. Спрашивается, каковы ширина и высота двери.

Решение: Если обозначить ширину двери через х, а длину через у, далее положить, что у - х = m («избыток»), а диагональ двери d, то задача сводится к рассмотрению системы:

d^2 = x^2 + y^2,

m = y – x.

Для определения х получаем квадратное уравнение:
2х^2 + 2mx + m^2 – d^2 = 0

'''Задача № 85. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Диаметр колодца 5 чи, глубина неизвестна. У верхнего края колодца поставлен шест в 5 чи. Вершина шеста наблюдается на одном уровне с границей воды и стены, а на диаметре откладывается 4 цуня. Спрашивается, какова глубина колодца.

Решение: Надо иметь в виду ,что 1чжан = 10 чи = 100цуням.Для составления нужного правила решения древнекитайские Математики, по всей вероятности, рассматривали два подобных прямоугольных треугольника ∆ABF и ∆FCD, откуда получали
AB/BF = x/FC; х = FC · A B/BF; х = AB(BC-BF)/BF.
«Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в цунях»

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 28.'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

''Решение:''

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача № 29'''''

'''Русская народная задача.'''

Два брата А и В имели в общем владении отару овец. Они решили продать совместную собственность и поделить деньги пополам. За каждую овцу они взяли столько рублей, сколько было первично овец. Стали делить выручку: А взял 10 рублей и столько же отдал брату В; так продолжалось до тех пор, пока не остались одна десятка и ещё несколько рублей. Брат А взял себе десятку, отдал рубли брату В и вдобавок отдал ему собственный нож. Делёж был закончен. Сколько стоил нож?

Решение:

Из условия задачи ясно, что сумма, полученная за овец, содержит нечетное число десятков. Посмотрим, в каких случаях это возможно. Пусть n=10k+l – первоначальное число овец, бывшее у братьев. Сумма, полученная за них, по условию равна

S=20(5k2 +kl) +l2
Мы делаем вывод, что нечётность числа десятков в полученной сумме определяется исключительно значением l , а k никакой роли при этом не играет.

Запишем равенства:
02=0,11=1,22=4,32=9,42
=16,52=25,62=36,72=49,92=81.

Таким образом, нечетное число десятков может быть только в двух случаях: при l = 4 или l = 6. В обоих случаях l2 заканчивается на 6. Значит, брат А взял десятку, а брату В отдал 6 рублей и свой нож который стоял Х рублей. Таким образом, фактически А получил (10-Х) рублей, а брат В – (6+Х) рублей (помимо одинакового числа десяток). Таким образом, должно быть

10- Х = 6 +Х,

Откуда следует, что Х=2.

Ответ: Нож стоил 2 рубля.

'''''Задача №30'''''

'''Древнеиндийская задача.'''

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету семенгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то в зад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

Пусть пчелок всего X.

1/5x + 1/3x + (1/3- 1/5x) * 3+1=x

8/15x +2/15x * 3+1=X

8/15x +6/15x –x= -1

-1/15 x = -1

X =15

Ответ: 15 пчел.

'''Собрание арифметических задач для гимназии и прогимназии, мужских и женских, реальных, уездных и городских училищ, учительских институтов и семинарий(сост.А.Малинин и К.Буренин. М.,1885)

''' Задача № 31.'''

Крестьянин при урожае сам-семь собрал с поля 91 четверик пшеницы. Сколько пшеницы посеял крестьянин?

Условие:

“Сам-семь” говорили в том случаи, если масса урожая в 7 раз больше массы посеянных семян. Четверик – это мера, вмещающая около 26 л. зерна.

Решение:
13 ∙26 = 338(л)

Ответ: 338 л.

'''Задача №32.'''

За место внутри вагона конки платят 5 коп., а за наружное 3коп. Из 22 пассажиров 13 сидело внутри вагона. Сколько денег должны заплатить все пассажиры?

Решение:
1)13 ∙ 5 = 65 (коп)- заплатят сидящие внутри конки.

2) 22 – 13 = 9 (пассажиров) - на открытой площадке.

3) 9 ∙ 3 = 27 (коп) - заплатят пассажиры открытой площадке.

4) 65 + 27 = 92 (коп)- заплатят все пассажиры.

Ответ: 92 копейки.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:03, 13 ноября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

'''Команда: Шоу "модель".'''

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.От числа одну восьмую взяв, прибавьты к ней любую половину от трёхсот, и восьмушка превзойдёт не чуть - чуть - на пятьдесят три четвёртых. Буду рад, если тот, кто знает счёт, мне число так назовёт.

'''''Решение'':''' Уравнение x/8+150=3x/4+50. Откуда получаем x=160.

'''Задача Иоганна Хемелинга'''.Роскошнолипа расцвела. Под ней червяк завёлся малый, да вверх пополз во всю он мочь - четере локтя делал в ночь, но днём сослепу полз обратно он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, и вот итог работы важной, награда девяти ночей: он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, какой та липа высоты.

'''''Решение:''''' в первую ночь червяк поднялся на высоту в 4 локтя, во вторую достиг отметки в 6 локтей(на 2 локтя днём сполз, на 4 ночью поднялся), т.е. со второй ночи он поднимался всякий раз на 2 локтя и , таким образом, за 9 ночей оказался на высоте 4+2*8=20 локтей.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 15:49, 14 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 86. Задача В.Г. Бенедиктова.''' Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя в продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трёх дочерей своих и, вверив стершей и самой смышлёной из них десяток, поручила другой три десятка, третьей полсотни. При этом она сказала им:
- Условьтесь наперёд между собой насчёт цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте; все крепко держитесь одной и той же цены; но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлёности, даже и при общем между вами условии по какой цене продавать, сумеет выручить столько же за свой десяток, сколько вторая за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за её три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали свои яйца так, чтобы пришлось круглым счётом не меньше 10коп. за десяток, а за все 9 десятков – не меньше 90 коп., или 30 алтын.
Спрашивается, как выполнили девушки данное им поручение.

Решение:
«Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:
- Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц – семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будет крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын [трехкопеечная монета], согласны?
- Дешевенько, - сказала вторая.
- Ну, - возразила старшая, - зато мы поднимем на те яйца, которые за продажу круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цену некому; на оставшееся добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.
- А почему будем продавать остальные?- спросила младшая.
- По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.
- Дорогонько, - заметила опять средняя.
- Что же, - подхватила старшая, - зато первые-то яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.
Согласились.
Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала четырем покупательницам по семерику и в корзине у ней осталось 2 яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын, 3 яйца осталось.
Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной – одно яйцо, у другой – 2, у третьей – 3. Давай и те сюда!
Разумеется, кухарка прежде всего кинулась к той, у которой осталось 3, а это была старшая дочь, продавшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:
- Что хочешь за свои 3 яйца?
А та в ответ:
- По 3 алтына за яичко.
- Что ты? С ума сошла! – говорит кухарка.
А та:
- Как угодно, - говорит, - дешевле не отдам. Это последние.
Кухарка бросила к той торговке, у которой осталось 2 яйца в корзинке.
- Почем?
- По 3 алтына. Такая цена установлена. Все вышли.
- А твое яичишко сколько стоит? – спрашивает кухарка у младшей.
Та отвечает:
- 3 алтына.
Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.
- Давайте сюда все остальные яйца.
И кухарка дала старшей за 3 ее яйца 9 алтын, что составляло с имевшимся у нее алтыном 10; второй заплатили за ее пару яиц 6 алтын, с вырученными за 4 семерика 4 алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарка за свое остальное яичко 3 алтына и, приложив их к 7 алтынам, вырученным за проданные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручку у себя тоже 10 алтын.
После этого дочери возвратились домой и, отдав своей матери каждая по 10 алтын, рассказали, как они продавали и как, соблюдая относительно цены общие условия, достигли того, что выручки, как за один десяток, так и за полсотни оказались одинаковыми.
Мать была очень довольна точным выполнением данного ею дочерям поручения и находчивостью старшей дочери, по совету которой оно выполнялось. А еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей – 30 алтын, или 90 копеек, - соответствовало ее желанию».

'''Задача №87. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Купец, будучи должен 753 руб., попросил у того же заимодавца ещё 303 руб. Последний согласился удовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8 месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторую сумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой долг на половину, т.е. уплатил бы по второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две таких же суммы, в четвёртый две с половиной суммы и т.д. Обсудив эти условия, купец согласился на них. Спрашивается, какую сумму должен внести купец в первый месяц и сколько в каждый из следующий месяцев.
Решение: Пусть к конце первого месяца должен внести х руб. тогда:
(1+1.5+2+2.5+3+3.5+4+4.5)х = 753 +303; 22х = 1056; х = 1056:22 = 48 (рублей) в первый месяц,
Ответ:48 руб, 72 руб.,96 руб и т.д.

'''Задача №88. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчёте оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течении работы, а забрал он сперва 4.5 руб., потом 3.5 руб. и наконец 7 руб.
Решение: Пусть х – число недель, в течении которых продолжалась работа, тогда:
(15-10)х = 4.5+3.5+7;
х = (4.5+3.5+7)/(15-10) = 15/5 = 3 (недели).

'''Задача №89. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Отец завещал 1/3 своего имения сыну и 2/5 дочери; из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а 3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и поскольку должен получить сын и дочь?
Решение: Обозначим оставленный отцом капитал через х, тогда:
(1-1/3-2/5)х = 2500+3000;
х = (2500+3000)/(1-1/3-2/5) = 5500/(4/15) = 5500•15/4 = 20625 (руб.)
Ответ: 20625 руб. капитал отца, 6875 руб. получит сын,8250 руб. получит дочь.

'''Задача №90. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' Виноторговец, купив вина двух сортов, заплатил за каждые по 5-ведёрный бочонок вина первого сорта по 150 руб. и за каждый 7-ведёрный бочонок второго сорта по 140 руб. Он хочет получить 50 вёдер такой смеси этих вин, которую можно было бы продавать по 30 руб. ведро с барышом по 3 руб. на каждое. Сколько должен он взять вёдер каждого сорта, чтобы получить требуемую смесь?

Решение: Страннолюбский рекомендует задачу решать так:
(150/5)•х+(50-х)140/7 = 50(30-3)
откуда х, означающее число вёдер вина первого сорта, получится из решения:
х = (50(30-3)-(50•140)/7)/(150/5-140/7).
х=(1350- 1000)/(30-20)= 350:10=35
Ответ: 35 ведер первого сорта,15 ведер второго сорта.

'''Задача №91. Задача из «Курса алгебры» А. Н. Страннолюбского.''' У серебряника есть трёхфунтовые и четырёхфунтовые слитки серебра двух различных проб. Каждый трёхфунтовый слиток стоит 288 руб., а четырёх фунтовый – 328 руб. Серебряник должен сделать сосуд в 20 фунтов весом из серебра такой пробы, чтобы при продаже сосуда выручить за каждый фунт 93 руб., считая тут и вознаграждение и работу по 3 руб. на фунт. Сколько фунтов серебра каждой из имеющихся у него проб должен употребить серебряник на выделку сосуда?

Решение: Обозначим искомое число фунтов серебра через х, получим уравнение:
(288/3)•х+(328/4)•(20-х) = 20•(93–3),
откуда
х = (20•(93-3)-(328•20)/4)/(288/3-328/4).
х=(1800-1640)/(168/12)=160/(168/12) =80/7
Ответ:80/7 и 60/7.

Задача №92. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил.
Решение: Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял х2/100 пистолей. Следовательно, согласно условию задачи, х-х2/100 = 24.
Решая полученное квадратное уравнение, получаем два результата: х1 = 40, х2 = 60.
Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пистолей.
Ответ: 40 или 60 пистолей.

'''Задача№93.Задача- шутка М.Ю. Лермонтова.'''Один из современников М.Ю. Лермонтова, хорошо знавший поэта, писал: «В начале 1841 г. Тенгинский полк стоял в Анапе. Скучающий офицер, в том числе и Лермонтов, собирались друг у друга. Раз речь зашла о каком-то учёном кардинале, который мог решить в уме самые сложные математические задачи.
- Что вы скажите на это, Лермонтов?- обратился к нему один из почётных батальонеров, старик с Георгием.
- Говорят, что вы тоже хороший математик.
-Ничего тут удивительного нет,- отвечает поэт.- Я тоже могу представить вам, если хотите, весьма замечательный опыт математических вычислений.
- Сделай одолжение.
- Задумайте какое угодно число, и я помощью простых арифметических действий определю это число.
- Ну что же, попробуйте,- рассмеялся старик, очевидно, сомневавшийся.- Но как велико должно быть задуманное число?
-А это безразлично. Но на первый раз, для скорости вычисления, ограничьтесь числом из двух цифр.
-Хорошо, я задумал,- сказал батальонер, подмигнув стоявшим вокруг него офицерам, и сообщил задуманное число сидевшей рядом с ним даме.
- Благоволите прибавить к нему,- начал Лермонтов,- ещё 25 и считайте мысленно или посредством записи.
Старик попросил карандаш и стал записывать на бумажке.
-Теперь не угодно ли прибавить ещё 125.
Старик прибавил.
-Затем вычтите 37.
Старик вычел.
-Ещё вычтите то число, которое вы задумали сначала.
Старик вычел.
- Теперь остаток умножьте на 5.
Старик умножил.
- Затем полученное число разделите на 2.
Старик разделил.
- Теперь посмотрим, что у вас должно получится… Кажется, если не ошибаюсь, число 282 ½?
Батальонер даже привскочил, - так поразила его точность вычисления.
- Да, совершенно верно: 282 ½. Я задумал число 50.- И он снова проверил вычисление- Действительно, получается 282 ½. Фу, да вы не клоун ли?..
-Колдун не колдун, а математике учился, - улыбнулся Лермонтов.
- Но позвольте…- старик, видимо, сомневался: не подсмотрел ли Лермонтов его цифры, когда он производил вычисления. - Нельзя ли повторить?
Старик записал задуманное число, никому не показав, положил под подсвечник и стал считать в уме даваемые поэтом числа. И на этот раз остаток был угадан.
Все заинтересовались. Старик только развёл руками. Хозяйка дома попросила повторить ещё раз опыт, и ещё раз опыт удался».
Спрашивается, на чём основан секрет отгадывания.
Решение.
Секрет не требует комментариев, он виден из формулы
[(x+25+125-37-x)5]:2=282+1/2.
«По крепости пошел разговор [писал современник Лермонтова]. Где бы поэт не показался, к нему стали обращаться с просьбами угадать вычисленное число. Несколько раз он исполнял эти просьбы, но, наконец, ему надоело, и он через несколько дней, тоже на одном из вечеров, открыл секрет, заключавшийся в том, что задумавшего число, какое бы оно ни было, заставляют вычесть это число из суммы этого же числа и некоторых других подсказанных чисел, так что диктующему легко подсчитать результат, например:
[(x+100+206+310-500-x):2]3=174»
Задача-шутка М. Ю. Лермонтова взята из книги И. Я. Депмана «Рассказы о математике» (Л., 1954, с.69-71).

'''Задача 94. Задача из трактата « Математика в девяти книгах».'''Имеется конус. Обвод основания 3 чжана 5 чи, высота 5 чжанов и 1 чи. Спрашивается, каков объем.

Решение.
В тракте для решения этой задачи дано правило: «Обвод основания умножь сам на себя, умножь на высоту, разделив на 36, возьми 1 раз».
Решение:
Таким образом, объем конуса древние китайцы вычисляли по формуле:
V=(h/3)*(c2/4 π), полагая что π=3

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:54, 14 ноября 2008 (UZT)

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-13T11:16:43Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''

'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

'''Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.'''
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

'''Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.'''
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

'''Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.'''
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''Задача №15'''

''Задача из папируса Ахмеса, Египет, ок. 2000г. до н.э.''

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают : «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»
Пастух отвечает «Я привожу две трети от трети скота. Сочти. Сколько быков в стаде?

Решение: 70быков – 2/3 от трети скота

70:2/3=105(быков) – треть скота

105:1/3=315(быков)

Ответ: В стаде 315 быков.

'''Задача №16'''

''Задача Евклида, Греция''

Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Решение:

Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.

Составим и решим уравнение:

х+2=2(х-2)

х+2=2х-4

х=6

6+1=7(мешков)- у мула

6-1=5(мешков)- у ослицы

Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.

'''''Задача №17'''''

''Старинная задача''

На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».

Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».

Решим эту задачу с этим дополнительным условием.

Пусть даме x лет. Составим уравнение:

x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.

x – 53x + 696 = 0

Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.

Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.

'''''Задача № 18'''''

''Задача Ал – Каши''

Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.

Решение:

Сделаем рисунок.

[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
Введём обозначения.

АО перпендикулярно ВС,

АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей

Найдём АО.

АО = АВ + ВО

Найдём ВО.

Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.

Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:

АВ/ВС= ВО

3/5=5/ВО

Во = 25/3=8 1/3

АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)

Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.

'''''Задача №19'''''

''Задача древнего Китая''

Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?

[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]

[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]

'''''Задача № 20'''''

''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''

У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.

''Современное решение:''

Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.

Составим уравнение:

10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4 , 1 – х = 3/4 .

Итак, нужно взять 1/4 ведра вина по 10 гривен и 3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.

''Старинный способ решения:''

Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:

[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]

Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:

[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]

Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)

'''''Задача № 21'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Собака и заяц.'''
Собака усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
За какое время собака догонит зайца?
Решение:
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.

'''''Задача №22'''''

''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''

'''Два воина.'''

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
Решение:
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
А затем расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними уменьшиться на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

'''''Задача №23'''''

''Задача XVIII века.''

«С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностанной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатство твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же не с половиной четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина»

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена?

(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4 : 9/2 = 3/2 копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки

'''''Задача №24'''''

''Задача XVIII века.''

'''Три бочки.'''

Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого.
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение

Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость бочки С равна 4/9 вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно: 1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.

'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.

'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока.
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.

'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.

'''Задача №48: Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
Ответ: 5 1/7 дня миновала.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



1. Четверо братьев

ЗАДАЧА

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.

Составим уравнение:

x + 2 = y - 2 = 2z = t/2

Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.

x + 2 = y - 2

x + 2 = 2z

x + 2 = t/2.
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.

У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.

2. Задача Д.И.Менделеева

Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий a + b + c + d граммов.

ЗАДАЧА

Пусть имеется любой груз в 86 г. Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?

РЕШЕНИЕ

Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''6 + ''2''4 + ''2''2 + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.

3. Вечеринка

ЗАДАЧА

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

РЕШЕНИЕ

Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:

1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами

2-я, Ольга,танцевала с 6 + 2 танцорами

3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами

........................................

x-я, Нина, танцевала с 6 + x танцорами

Имеем уравнение

x + (6 + x) = 20

Откуда

x = 7,

Найдем количество танцоров:

20 - 7 = 13

7 танцоров было на вечеринке.

4. Мнимая нелепость

ЗАДАЧА

Чему равно 84, если 8*8=54?

РЕШЕНИЕ

Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x. Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
"84" = 8x + 4.

Число "54" означает 5x + 4.
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ

5. Утопить или повесть

ЗАДАЧА

Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно окажется ложным, то преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

ОТВЕТ: Я буду повешен.

6. Парадокс цирюльника

ЗАДАЧА

В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя?
Если он бреет самого себя, то тем самым он нарушает правила, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правила, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

ОТВЕТ: существование такого цирюльника логически невозможно.

7. Математический ребус

ЗАДАЧА

ЧАЙ : АЙ = 5.

РЕШЕНИЕ

Из условия следует, что ЧАЙ = АЙ * 5, т.е. Ч*100+АЙ=АЙ*5, откуда Ч*100=АЙ*4 и Ч*25=АЙ. Так как число АЙ двузначное, то Ч может быть равно только 1,2 или3. Каждому значению Ч соответствует определенное решение: если Ч=1, то АЙ=25, разные буквы расшифровываются разными цифрами., А=2, Й=4, если Ч=2, то АЙ =50; если Ч=3, то АЙ=75. Значит, расшифровать запись можно тремя способами: ЧАЙ=125, 250 или 375.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)
'''Задача 49. Магницкого Л.Ф. Путешественники.'''Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней путешественники встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Решение.
За тридцать дней путешественники проходят 30: 10 + 30: 15 = 5 расстояний между городами. Значит, они сойдутся через 30:5 = 6 дней.

'''Задача 50. Магницкого Л.Ф. Вокруг города.'''
Два человека пошли одновременно друг за другом из одного места вокруг города. Один из них идет по 4 версты в час, а второй по 3 целых 1/3 версты в час. Путь вокруг того же города составляет 15 верст. Через сколько часов они сошлись и сколько раз каждый из них обошел город?
Решение.
За первый час второй путник отстанет от первого на 4 – 10/3 = 2/3 версты.
За второй час еще на 2/3 версты, за третий час еще на 2/3 версты и т.д. Путники сойдутся вместе опять, когда отставание сравняется с длиной пути вокруг города , то есть станет равным 15 верстам. На это понадобится 15: 2/3 = 22 ½ час. Первый путник за это же время пройдет 4 * 22 ½ = 90 верст и обойдет 90: 15=6 раз вокруг города. Второй путник пройдет на 15 верст меньше и сделает на один обход меньше. Таким образом, путники сойдутся опять через 22 ½ часа. Первый из них обойдет вокруг города 6 раз, второй 5 раз.

'''Задача 51. Магницкого Л.Ф. Деревня.'''
Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Отвечал другой прохожий: « Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?
Решение.
До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, и это составляет 1/2 - 1/3 = 1/6 часть всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3 · 12 =4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

'''Задача 52. Магницкого Л.Ф.'''
Один путник идет от города до дома 17 дней, другой то же расстояние от дома до города за 20 дней. Оба вышли в один и тот же час и из своих мест. Через сколько дней они встретятся?
Решение.
Обозначим весь путь за 1, тогда 1:( 1/17 + 1/20 ) = 1 : 37/340 = 340 / 37 = 9 + 7 / 37
Ответ: 9 +7/37 дней
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:30, 6 ноября 2008 (UZT)

'''Шоу "модель" ID_278'''

'''Задача из Вьетнама.'''Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена. Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена. Лежащий молодой буйвол - 3 охапки сена. Старые буйволы втроём съедают 1 охапку сена. Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?

'''''Решение''''': Пусть x - число стоящих, y - число лежащих молодых буйволов и z - число старых буйволов. Тогда x+y+z=100, 5x+3y+z/3=100,y=25-7x/4. Так как x и y натуральные числа, то последнее равенство выполняется только при x=4,8,12. Задача допускает следующие решения x=4,y=18,z=78; 8, y=11, z=81; x=12, y=4, z=84.

'''Задача Шен Кана.''' Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Сколько доу зерна даёт 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

'''''Решение''''':Пусть сноп хорошего урожая даёт x - доу зерна, среднего - y доу, плохого - z доу. Тогда 3x+2y+z=36, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=36, откуда x=9,25 y=4,25 z=2,75.

'''Задача греческого математика Митродора'''.Царская корона имеет массу 60 мин (1 мина=100 драхм=1/60 таланта) и отлита из сплава золота, меди, свинца и железа. На золото и медь приходится 3/4, на золото и свинец - 2/3, на золото и железо - 3/5 массы короны. Сколько мин золота, меди, свинца и железа в царской короне?

'''''Решение''''':Предположим, что на отливку короны пошло x мин золота, y мин меди, z мин свинца и f мин железа. Тогда x+y+z+f=60,(1). x+y=2/3*60=40,(2). x+z=3/4*60=45,(3). x+f=3/5*60=36,(4). Складывая уравнения (2),(3),(4), получаем 3x+y+z+f=121, вычитая из последнего уравнения уравнение (1), находим 2x=61,x=30,5. Значит y=9,5 z=14,5 f=5,5.Итак, 30,5 мин золота, 9,5 мин меди, 14,5 мин свинца и 5,5 мин железа.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 16:44, 6 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №53. Задача французского автора Ж. Озанама (XVII в.)'''

Трое хотят купить дом за 24000 ливров. они условились, что первый даст половину, второй одну треть, а третий оставшуюся часть. Сколько денег даст каждый?

Решение:

1) Найдем, сколько денег даст первый человек:
24000*0,5=12000 (ливров)
2) Найдем количество денег, которое даст второй человек:
24000*1/3=8000 (ливров)
3) Найдем последнюю сумму денег:
24000–12000–8000=4000 (ливров)
Ответ: I – 12000 ливров, II – 8000 ливров, III – 4000 ливров.

'''Задача№54. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''

Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение:

пусть х – количество людей, тогда получим уравнение:
8х – 3=7х+4
Решая уравнение получим, что х=7. тогда стоимость вещи равна 8·7 – 3=53

Ответ: 7 человек, стоимость вещи 53.

'''Задача №55. Задача из тракта «Математика в девяти книгах».'''Имеется 5 воробьев и 6 ласточек, их взвесили на весах. вес всех воробьев тяжелее веса всех ласточек. если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес будет как раз одинаковым. общий вес ласточек и воробьев 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей.

Решение:

Обозначим за х вес одного воробья и за у вес одной ласточки. Получим систему из двух уравнений: 4х + у = 5у + х и 5х + 6 у = 1 . Знаем, что 5х > 6 у .
Решая данные уравнения, имеем х = 2 /19 , у = 3/38
Ответ: вес воробья 2/ 19 цзинь , вес ласточки 3/ 38 цзиня.

'''Задача 56. Задача Алькуина.'''

Разделить сто мер пшеницы между сто лицами так , чтобы каждый мужчина получил три , каждая женщина два , а каждое дитя ½ меры. Сколько мужчин , женщин и детей?

Решение.

Составим систему неопределенных уравнений: х+у+с= 100 и 3х+2у+1/2с =100 , где х,у,с- натуральные числа ( мужчины , женщины, дети). Решая данную систему , получим уравнение 2у + 5с= 400. То есть , х= 11, у = 15, с = 74.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:53, 7 ноября 2008 (UZT)

----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>

'''''Задача № 25'''''

'''(Анания из Ширака, армянский математик VII века.)'''

В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, в два часа, третья, ещё более тонкая ,в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют бассейн.

''Решение:''

В 6/11 часа. За 6 ч первая труба наполнит 6 таких водоёмов, вторая -3, а третья-2, всего 11 водоёмов. Значит, 3 трубы вместе наполнят один водоём за 6/11 часа.

Ответ: 6/11 часа.

'''''Задача №26'''''

'''Задача Адама Ризе ( XVI в.)'''

26 персон издержали вместе 88 марок, причём мужчина издерживал по 6 марок, женщина - по 4, девушка – по 2. Сколько было мужчин , женщин и девушек?

''Решение:''

Пусть было m мужчин, g женщин, тогда девушек было 26 - m-g. По условию задачи составим уравнение и упростим его:

6m+4g+2(26-m-g)=88 (6),

2m +g=18 (7).

Так как g делится на 2, подставим g = 2 g1 (g1 – натуральное число) в уравнении (7) и упростим его: m + g1 =9 (8).

Уравнение (8) имеет 8 решений (m;g 1) в натуральных числах(1;8), (2;7), (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), (7;2), (8;1). Уравнение (6) тоже имеет 8 решений (m;g) : (1;16), (2;14), (3;12), (4;10), (5;8), (6;6), (7;4), (8;2). Следовательно, задача имеет 8 решений: мужчин, женщин и девушек было 1, 16, 9, или 2, 14, 10, или 3, 12, 11, или 4,10,12, или 5, 8, 13, или 6,6, 14, или 7,4,15, или 8,2, 16.

'''''Задача № 27'''''

'''Задача Д.Пойа'''

Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, и другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

''Решение:''

Пусть было x кг орехов первого сорта и y кг орехов второго сорта, тогда выполняются два равенства:

x+y=50,

90x+60y=3600.

Имеем:

(система)

х + у = 50,

3х + 2у = 120

Для решения систем двух уравнений с двумя переменными применяют один из двух основных способов решения.

1)Способ подстановки.

Выразим y через x из первого уравнения:y=50-x
Подставим выражение 50-x во второе уравнение вместо y:
3x +2(50-x)=120, x=20
Теперь найдем y: y=50-20=30.

2)Способ сложения.

Умножим правую и левую части первого уравнения системы (1) на-2 и сложим почленно полученные уравнения:

(система)

- 2х – 2у = - 100,

3х+2у=120.

(система)

х=20,

у=30.

Ответ:20кг первого и 30кг второго сорта.

--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 00:12, 9 ноября 2008 (UZT)

----
Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.

2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

 [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]



8.Любое число – тремя двойками

ЗАДАЧА

Любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

РЕШЕНИЕ

Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:
Легко удостовериться в правильности этого равенства. Действительности,

Если бы дано было 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

Как видим, мы используем здесь то, что при квадратном радикале показатель корня не пишется.
Общее решение задачи таково. Если данное число N, то
Причем число радикалов равно числу единиц в заданном числе.

9.Алгебраические комедии
2*2=5

РЕШЕНИЕ
16 – 36 = 25 – 45
Прибавляются равные числа:
16 – 36 + 20 ¼ = 25 – 45 + 20 ¼
И делаются следующие преобразования:

Затем с помощью незаконного заключения переходят к финалу:
4 – 9/2 = 5 – 9/2,
4 = 5,
2*2=5

== МаГмА ID _205 ==
1. Задачи из "Греческой Анталогии":

Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине.Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу."Чего ты жалуешься?-ответил ей мул.-Ведб если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей.А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаково с моей".Скоько мешков несла ослица и сколько нес мул?

Решение:

Обозначив через х поклажу ослицы, а через у — поклажу мула, сводим задачу к системе уравнений с двумя неизвестными
у + 1 = 2 (х - 1); у — 1 = х + 1 или
2х — у — 3; у — х = 2.
Решая эту систему, получаем х = 5, у = 7.

2. Задачи Бхаскары:

Посреди сражения яростный сын Притхи схватил некоторое число стрел,чтобы убить Карну;половину их он употребил на собственную защиту, a учетверенное количество квадратного корня -протв лошадей;6стрел пронзили возницу Салью, 3 других прорвали зонтик Карны,разбили его лук и знамя и только одна последняя пронзила ему голову.Сколько было стрел у Арджуны(сына Притхи)?

Решение:

Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:
0,5х+4 х+6+3+1=х
После упрощения получаем
х—104х+400 = 0,
откуда
х = 52± 52 —400 .
Следовательно,
х = 52 ± 48.
Таким образом, имеется два корня: х = 100 и х = 4, причем непосредственной проверкой можно убедиться, что условию задачи удовлетворяет только первый корень.

3. Задачи из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого:

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение:

За год работник должен был получить 12 рублен и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1/12,a стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублен и 7/12 стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, 5/12 стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Таким образом, цена кафтана была
2:5/12=2*12/5=24/5=4,8(рубля)

4. Задачи Л.Н.Толстого:
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение:

Сам Л. Н. Толстой, по свидетельству проф. А. В. Цингера, решал задачу при помощи следующих рассуждений: «Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня полартели скашивает 1/3луга. Следовательно, на малом лугу
остался нескошенным участок в1/2-1/3=1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было6/6+2/6=8/6, то косцов было 8».
«Толстой,— вспоминал А. В. Цингер, — всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым — уже стариком, его собственно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 48)».
Приводим алгебраическое решение задачи. Пусть х— число косцов артели, у — размер участка, скашиваемого одним косцом за 1 день.Заметим, что у — вспомогательное переменное — вводится исключительно для облегчения решения задачи, от него потом освобождаются. Далее, выразим через х и у площади большого и малого луга.Площадь большого луга равняется ху/2+ху/4=3ху/4ху .Площадь малого луга ху/4+у=ху/4+4у/4
Большой луг по условию больше малого в два раза, поэтому
(3ху/4):(ху/4)+(4у/4)=2
3ху/ху +4у=2,
После сокращения на у получим
3х/(х+4)=2,
Откуда х=8.

5. Задачи из "курса Алгебры" А.Н. Страннолюбского:

Два работника прожили у хозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 руб. в неделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник должен получить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы, а забрал он сперва 4,5руб., потом 3,5руб. и наконец 7 руб. Сколько недель продолжалась работа?

Решение:

Пусть х — число недель, в течение которых продолжалась работа, тогда
(15-10)х=4,5+3,5+7;
х=3(недели)
--[[Участник:Магма ID 205|Магма ID 205]] 18:19, 12 ноября 2008 (UZT)

== '''Совокупность "жареных семечек"ID-224''' ==
'''Из «Введения в анализ бесконечных», т.1, Л. Эйлер'''

'''Задача №40'''

Доказать, что логарифмы двух чисел в любой системе сохраняют одно и то же отношение.

Решение.

(a +blgx)lgx = lgc, пусть lgx = y, тогда by^2 + by – lgc = 0. Найдя y, находим х.

'''Задача №41'''

Пусть к концу каждого века число людей удваивается; требуется найти годовой прирост.

Решение.

Если предположим, что число людей возрастает ежегодно на 1/х свою часть, и, притом вначале число людей было равно n, то по истечении 100 лет, это число будет равно [((1+х)/х)^100]*n.

Это должно быть равно 2nи тогда (1+x)/x = 2^1/100, логарифмируем: lg(1+x)/x = 1/100, lg2 = 0,0030103, отсюда (1+х)/х = 10069555/10000000, поэтому х ≈144.

Итак, достаточно ежегодного прироста людей на 1/144 часть.

'''Задача №42'''

Пусть число людей увеличивается ежегодно на 1/100 свою часть; спрашивается, через сколько лет число людей удесятериться.

Решение.

Положим, что это наступит через х лет, причем число людей вначале было равно n;

стало быть по истечении х лет оно будет равно [(101/100)^x]*n, а так как оно должно равняться 10n, то

(101/100)^x = 10, xlg(101/100) = lg10, x = lg10/(lg101-lg100) = 1/(lg101-2), x≈231.

Итак, через 231 год число людей, если ежегодное приращение составляет только 1/100 часть, станет больше в 10 раз, отсюда

через 462 года оно станет в 100 раз, а через 693 года в 1000 раз больше.

'''Задача №43. Задача Ж. Озанама.'''

Семеро друзей собрались к обеду, но между ними возник спор, кому с кем садиться. Чтобы прекратить пререкания, кто-то из присутствующих предложил всем сесть за стол как придется, но с условием, чтобы в следующие дни обедать вместе, причем каждый раз садиться по разному, до тех пор, пока не будут испробованы все комбинации.

Спрашивается, сколько раз придется им обедать вместе для этой цели?

Решение.

'''Задача №44. Середина 14 века. Задача Нарайана.'''

Подсчитать стадо коров и телок, происходящее от одной коровы за 20 лет, по условию корова в начале каждого года рожает телку, а телки дают такое же потомство, достигнув трех лет.

'''Решение.'''

В начале 1-го года стадо состояло из 2-х животных, в начале 2-го –из 3-х, затем из 4 и 6.

Начиная с 4-го года численность стада можно выразить рекуррентным соотношением:

S(k) = S(k-1)+S(k-3).

С помощью соотношения последовательно вычисляем S(20) =2745.

'''Задача №45 Задача о кроликах или числа Фибоначчи'''

В 1202 году итальянский купец Леонардо из Пизы (1180—1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, один из самых значительных математиков средневековья, сформулировал такую задачу:

"Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения."

Рост численности кроликов можно проследить на схеме, выполненной в виде

[[Изображение:Krol1.jpg]]

'''Задача №46. Китай. «Математический трактат о чжоу-би»'''

В центре бассейна со стороной 1 чжан = 10 чи растет камыш, выступающий над водой на 1 чи. Оттянутый камыш достигает берега. Какова глубина воды?

Решение.

Сторона бассейна 2а, камыш выступает на высоту h, глубина х.

[[Изображение:Zadacha.jpg]]

По теореме Пифагора (х+h)^2 – x^2 = a^2.

(x+1)^2-x^2 = 5^2, 2x+1=25, x=12 (чи)

'''«Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу»'''

Авторы неизвестны. Лю Хуэй, комментировавший «Математику» в 3 в. , сообщает, что она была составлена по более ранним источникам видным чиновником финансовой службы Чжан Цанем (умер в 152 г. до н.э.)

'''Задача №47.'''

В бочке в 10 доу есть неизвестное количество пшена. Бочка дополнена неочищенным просом, и если последнее очистить, то всего получится 7 доу пшена.

Решение.

Запишем уравнение.

х +3/5(10-х)=7 (3/5 – коэффициент перехода от проса к пшену из книги 2 «Математики»)

х = 2,5.

'''Задача №48.'''

Наверху стены в 90 цуней растет тыква, стебель которой за день вырастает на 7, внизу растет кабачок, стебель которого вырастает за день на 10. Когда они встретятся?

Решение.

Запишем уравнение (7+10)х = 90.,

х = 90/17=5+5/17 дней.

'''Задача №49.'''

Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу. Из двух снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

{| class="wide" border=1
|-
!Весь урожай||Хороший урожай||Средний урожай||Плохой урожай
|-
||||В 1-м снопе х доу||В 1-м снопе y доу||В 1-м снопе z доу
|-
||39 доу||3 снопа||2 снопа||1 сноп
|-
||34 доу||2 снопа||3 снопа||1сноп
|-
||26 доу||1 сноп||2 снопа||3снопа
|-
|||||||
|}

3x+2y+z=39, 2x+3y+z=34, x+2y+3z=26.

x-y=5, x=5+y.

z=34-2(5+y)-3y, z=24-5y.

5+y+2y+(24-5y)*3=26, -12y=26 -77, y=51/12,

y=4+1/4,

X=9+1/4,

z = 2+3/4

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 9,25 доу, из одного снопа среднего урожая получается 4,25 доу, из одного снопа плохого урожая получается 2,75 доу.

'''Задача №50.'''

2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая, 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая.

Спрашивается, сколько получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая?

Решение.

В 1-м снопе хорошего х доу, в 1-м снопе среднего y доу, в 1-м снопе плохого z доу

2х+у =1, 3у+z=1, 4z+x=1.

Y=1-2x, z=1-3y, 4-12(1-2x)+x=1, 25x=9,

x=0,36, y=0,28, z=0,16.

Ответ.

Из одного снопа хорошего урожая получается 0,36 доу, из одного снопа среднего урожая получается 0,28 доу, из одного снопа плохого урожая получается 0,16 доу.

'''Задача №51.'''

'''М.Е. Салтыков-Щедрин'''

«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя маленького Порфирия? Выходит, однако, немного – всего 800 рублей!»

Решение.

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущения, что Головлев сделал вычисления правильно, требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.

800 = 100(1 +p/100)^50

'''Задача №52.'''

'''Старинная задача из сборника Игнатьева Е.В. В царстве смекалки.'''

Идет крестьянин и плачется: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько медных грошей болтается, да и те нужно отдать. И как это у других получается, что на всякие свои деньги они еще деньги получают? Хоть бы кто помог». Только сказал, глядь, перед ним черт.

«Что ж, - говорит, - помогу. Видишь мост через реку? Как будешь мост переходить, деньги у тебя в кармане удвоятся. Сколько раз перейдешь по мосту, столько раз и удвоятся».

- Ой ли? – удивился крестьянин.

- Верное слово, - сказал черт, - но, чур, уговор! Ты, каждый раз перейдя мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не помогу.

Согласился крестьянин.

Перешел мост раз. Точно – удвоились деньги. Отдал черту его 24 копейки.

Пошел обратно, опять удвоились. Отсчитал плату черту и перешел третий раз.

Деньги удвоились и их оказалось ровно 24 копейки, которые пришлось отдать черту.

А) Сколько денег было у крестьянина?

Б) Какое минимальное количество денег должно быть у крестьянина, чтобы после третьего перехода и расплаты с чертом деньги у крестьянина удвоились?

Решение.

А) Х – первоначальное количество денег у крестьянина,

2х – после первого перехода,

(2х-24)*2 – после второго перехода,

[(2x-24)*2-24]*2 =24 –после третьего перехода.

(2х – 24)*2=12+24, 2х-24=18, 2х=42, х = 21.

Б) [(2x-24)*2-24]*2 -24= 2х, (2х-24)*2 – 24 =(2х+24)/2, (2х-24)*2 =х+36, 3х=84, х=28.

Ответ. 21 коп., 28 коп.

'''Задача №53'''

'''А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить.'''

5 разных человек в 5 разных домах разного цвета, курят 5 разных марок сигарет, выращивают 5 разных видов животных, пьют 5 разных видов напитков.

Вопрос: кому принадлежит рыба?

'''Алгоритм решения задачи:'''

Норвежец живет в первом доме

Норвежец живет около голубого дома (2-й)

Жилец из среднего дома пьет молоко (3-й)

Зеленый дом стоит слева от белого

Жилец зеленого дома пьет кофе

Зелёный дом – 4-й

Белый дом – 5-й

Англичанин живет в красном доме

Первый дом – желтый

Норвежец живет в желтом доме

Жилец из желтого дома курит Dunhill

Лошадь у жильца голубого дома

Датчанин пьет чай в голубом доме

Курильщик Winfield пьет пиво в белом доме

Норвежец пьёт воду

Курильщик Marlboro живет в голубом доме (датчанин)

Кошку держит Норвежец

Швед держит собаку в белом доме

Человек, который курит Pallmall, держит птицу – Англичанин

Значит, Немец курит Rothmans и держит рыбу

'''Задача №54.''' '''Жорж Сименон'''

«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.

- Говорит Мегре. Есть новости?

- Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

- Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Решение.

Запишем простые высказывания:

А = { Франсуа пьян}

B = { Этьен убийца }

C = { Франсуа лжет }

D = { убийство произошло после полуночи }

Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1

Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1

Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1

(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1

(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1

Применяя закон поглощения:
(┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC

Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит
┐ADC=0

Итак, BD=1

Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 23:31, 9 ноября 2008 (UZT)
----

'''Задача №55.''''''Задача Пуассона.'''

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

Ответ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.

Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.

Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.

Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.)

Тогда в 8л. как раз остается 6л.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 00:45, 13 ноября 2008 (UZT)
----

Омега ID 276

Занимательные задачи конца 18 века:

1. Во время шторма
Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так, матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый 9 тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца.
Как были расставлены тюки?
Решение:
Начертим круг и, отметив на нем 30 палочек, поставим у каждой из них номер от 1 до 30. Теперь, начиная счет с цифры 1, перечеркиваем 9 палочку, затем 18, затем 27 и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из незачеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами:
5,6,7,8,9,12,16,18,19,22,23,24,26,27,30
Значит, купец попросил расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
Существует старинный способ запоминания этой последовательности. Необходимо помнить следующие 6 мужских имен: Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
Если под каждой буквой а, встречающейся в этих именах, поставить цифру 1, под каждой буквой е – цифру 2, под каждой буквой и – цифру 3, под каждой буквой о – цифру 4 и под буквой у – цифру 5, то получим:
Полуект, Аника, Павел, Елизар, Евтех, Влас.
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1
Первая цифра 4 означает число своих тюков, а затем в этой последовательности цифр чередуются количества чужих и своих тюков.
2. Девичья хитрость
Золотошвея, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнатах своего дома так, как показано на рисунке.

2 3 2
3 3
2 3 2
По вечерам Золотошвея обходила дом и проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне его было по 7 девушек. Однажды к девушкам в гости приехали 4 подружки и, заговорившись, остались у них ночевать, причем все 24 девушки разместились в комнатах так, что вечером Золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек. На следующий день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома не ночевали. Оставшиеся 16 девушек разместились так, что опять вечером Золотошвея насчитала в комнатах с каждой стороны дома по 7 девушек.
Как размешались девушки по комнатам в двух последних случаях?
Решение:
Двадцать четыре девушки можно разместить так, как показано на рисунке 1, а шестнадцать девушек, как показано на рисунке 2.

1 5 1
5 5
1 5 1
Рисунок 1

3 1 3
1 1
3 1 3
Рисунок 2

3. Разделить на 8 частей
Разделись 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник.
Решение:
Вторая часть больше первой на один полтинник, третья больше первой на два полтинника, четвертая – на три полтинника и т.д., восьмая часть больше первой на семь полтинников. Сложив числа 1,2,3,…,7, получим 28. Это число полтинников равняется 14 рублям. Значит, если бы все части равнялись первой, то сумма их составила бы 46-14=32 рубля. Поэтому первая часть равна 32:8=4 рубля, вторая часть составляет 4,5 рубля, третья – 5 рублей и т.д., восьмая часть составляет 7,5 рублей.

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)
'''Задача№57. Задача Л. Эйлера.'''
Некто продает свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 32. За первый
Гвоздь он просит 1 коп., за второй 2, за третий 4, за четвертый 8 и всегда за следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит свою лошадь?
Решение:
Имеем геометрическую прогрессию. Нас просят найти сумму всех гвоздей. Для решения задачи применим формулу для расчетов суммы n членов прогрессии: Sn=b1(1–qn)/1-q, где b1=1, n=32, q=2.
Получим:
S32=1(1–232)/1-2=4294967295 (копеек)
Ответ: 4294967295 копеек, или 42949672 рубля 95 копеек.

'''Задача №58. Задача из книг новгородских писцов.'''
В книгах новгородских писцов XVв. упоминаются такие меры жидкостей: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что 1 бочка и 20 ведер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравниваются с 20 бочками и 8 ведрами. Можно ли на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
Решение:
Обозначим емкости бочки, насадки и ведра равны соответственно x,y,z. Тогда получим систему уравнений:
x+20z=3x и 19x+ y+15,5z=20х+8z
Решая систему, получим х=4у т. е. в одной бочке содержится 4 насадки.
Ответ: В одной бочке содержится 4 насадки.

'''Задача №59. Задача из «Счетной мудрости».'''
Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся 3 копейкам.)
Решение:
Число мужчин:
(1200–120*9)/(12–9)=40
Число женщин
120–40=80
Ответ: мужчин было 40 человек, женщин было 80 человек.

'''Задача №60. Задача из рукописи XVII в.'''
Четыре плотника у некого гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: «Только б де мне одному тот двор ставити, я бы де его поставил един годом». А другой молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в два года». Третий молвил: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в три года». А четвертый так рёк: «Только б де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в четыре года». Ино все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино сколь долго они ставили, сочти мне.
Решение:
За 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй–6; третий–4; четвертый–3. Следовательно, за 12 лет они вместе построят 25 дворов. Таким образом, четыре плотника вместе один двор построят за (365*12)/25=175,2 дня.
Ответ: за 175,2 дня.

'''Задача № 61. Задача Эйлера.''' Некий чиновник купил лошадей быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?
Решение:
Если х – число лошадей, у – число быков, то
31х+21у=1770
откуда
у=84-х-(10х-6)/21
Из последнего равенства следует, что (5х-3) делится на 21. Обозначив 5х-3=21z, получим у=84-х-2z и х=4z+(z+3)/5. Следовательно, (z+3) делится на 5, т.е. z=5t-3, x=21t-12 и y=102-31t.Так как y>0 и z=5t-3≠0, то t1=1, t2=2, t3=3 соответственно x1=9, y1=71; x2=30, y2=40; x3=51, y3=9.

'''Задача №62. Задача Кирика Новгородца.''' Сколько месяцев, недель, дней и часов прожил человек, которому в 1136 г. исполнилось 26 лет?
Решение: месяцы – 26 * 12 = 312, недели – 26 * 52 = 1356, дни - 26 * 365 = 9497, часы – 9497 * 24 = 227928.
Ответ: человек прожил 26 лет, 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.

'''Задача №63. Французская задача.''' Трое имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю (монет). Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.
Ответ:
I 8 8/2 = 4 4/2 = 2 2+14/2+8/2 = 13
II 8 8/2 = 4 4+4/2+16/2 = 14 14/2 = 7
III 8 8+8/2+8/2=16 16/2 = 8 8/2 = 4

Значит, сначала у каждого было 13, 7, 4 экю.

'''Задача №64. Задача Ризе.''' Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по одной четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было у каждого.
Ответ: Пусть x, y, z – количество флоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Решение системы уравнений:
x+1/2(y+y) = 12 и y+1/3(x+z) = 12 и z+1/4(x+y) = 12
Даёт нам: x = 3 9/17, y = 7 13/17, z = 9 3/17 флоринов.

'''Задача №65. Задача Пизанского.''' Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженным со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причём природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.
Ответ: От одной пары кроликов в год родится:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 376
Эта задача приводит к ряду Фибоначе:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

'''Задача №66. Задача Пизанского.''' Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя».
Сколько у каждого?
Ответ: Решив систему уравнений:
x+7 = 5(y-7) и y+5 = 7(x-5)
Получим, что первый имел x = 7 2/17 динариея, а второй y = 9 14/17 динария.

'''Задача №67. Задача Пизанского.''' Выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз от 1 до 30 целых весовых единиц. Все гири при взвешивании разрешается ставить только на одну и туже чашку весов.
Ответ: Если m1, m2, m3, m4, m5 – массы гирь, то масса m=< 30 весовых единиц любого груза необходимо представить в виде.
m = a1m1+a2m2+a3m3+a4m4+a5m5
где коэффициенты a1, a2, a3, a4, a5 равны либо 0, либо 1. Массы гирь m1, m2, m3, m4, m5 достаточно выбрать равными 1, 2, 4, 8, 16 весовым единицам, так как сумма масс равна 31, что больше 30. Любое число
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:36, 11 ноября 2008 (UZT)

----

== Участник: Максимум ID_251 ==

ДЕЛЕЖ ВЕРБЛЮДОВ
Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший - девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он сделал?

''Решение.''

Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 = 9 верблюдов; средний 18 = 6 верблюдов, младший 18 = 2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно 9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1.

КРЕСТЬЯНЕ И КАРТОФЕЛЬ
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

''Решение.''

Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, но 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Сколько было?
Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню, - сказала женщина, — знаю только хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то оставалось 1 яйцо. Точно так же всегда оставалось по 1 яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц?

''Решение.''

Задача, очевидно сводится к нахождению такого числа, которое делится без остатка на 7, а при делении на 2, 3,4, 5 и 6 дает в остатке 1.
Наименьшее число, которое делится без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6 (наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, значит, найти такое число, которое делилось бы на 7 без остатка и было бы вместе с тем на 1 больше числа, делящегося на 60. Такое число можно найти путем последовательных попыток: 60, деленное на 7, дает в остатке 4, следовательно, 2 х 60 дает в остатке 1 (2x4 = 8; 8-7=1). Значит, 2 х 60 = числу, кратному 7 + 1, отсюда следует, что (7 х 60 - 2 х 60) + 1 = числу, кратному 7, т.е. 5 х 60 + 1 = числу, кратному 7, 5 х 60 + 1 = 301.
Итак, наименьшее число, решающее задачу, есть 301. То есть наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине у женщины, есть 301.

Задача Чжан Цюцзяня (V в.)
1 петух стоит 5 цяней, 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят.

''Решение''

Решение системы сводится к следующим уравнениям: y = 25 - 7/4 x, z = 75 - 3/4 x. Задавая значения х=0;4;8;12, получим решения задачи: (0;25;75), (4;18;78), (8;11;81), (12; 4; 84).

Задачи из папируса Ахмеса.
1. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.

''Решение''

10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1\8 и получает, что 10-й член прогрессии равен
1+9*1/2*1/8=25/16.

2. Найти приближенное значение для числа ,приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

''Решение''

По условию задачи (8/9 d)^2=пd^2/4. Тогда п=3,1604.

--[[Участник:Максимум ID 251|Максимум ID 251]] 15:58, 11 ноября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Задача Л.Ф. Магницкого''

Некий человек нанял работника на год, обещая ему дать 12 р. и кафтан, но тот проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

''Решение''

Пусть х р. - стоимость кафтана, тогда можно составить уравнение

7(1+х/12)=5+х.

х=24/5

х=4,8

Ответ: кафтан стоит 4 р. 80 коп.

''Задача из Математических рукописей 17 в.''

Вол съел копну одним часом, а конь съел копну в два часа, а коза съела копну в три часа.Сколько бы они скоро, все три - вол, конь и коза - ту копну съели, сочти.

''Решение''

За 12 ч вол съест 12 копен, конь - 6, коза - 4, всего они съели 22 копны за 12 ч. Поэтому одну копну вол, конь и коза вместе съедят за 12/22=6/11 ч.

Ответ: вместе вол, конь и коза съедят копну за 6/11 ч.

--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 00:46, 12 ноября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)
'''Задача №68. Задача Магавиры (Индия)'''.
Найти число павлинов в стае, 1/16 которой, умноженная на себя, сидит на манговом дереве, а квадрат 1/9 остатка вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
Решение: ((1/16)2+(152/92*162))x2+14 = x
Где х - число павлинов в стае. Отсюда x1 = 48, а x2 = 336/17 не подходит.

'''Задача №69. Задача Магавиры (Индия).'''
О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиант, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
Решение: С15+ С25+ С35+ С45+ С55 = (1+1)5+14 = 31
Ответ: 31

'''Задача №70. Задача Ариабхаты (Греция).'''
Два лица имеют равные капиталы, причём каждый состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Но как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?
Решение: Задача сводится к решению уравнения: ax+b = cx+d, откуда x = (d-b)/(a-c),
где у первого лица будет a вещей и b монет, а у второго лица – c вещей и d монет

'''Задача №71. Задача Сунь-цзы (Китай).'''
Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятёрками, то остаток 3; если считать их семёрками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей.
Решение: 23+105t, где t – целое, неотрицательное число.

'''Задача №72. Задача Дидоны (Греция).'''
Участок земли какой формы окружила Дидона верёвкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
Решение: Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную площадь имеет круг. Это замечательно свойство было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшийся верёвкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.

'''Задача №73. Задача Фалеса (Греция).'''
Определить расстояние от берега до корабля на море.
Решение: Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строим треугольник ABC с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, ∟ACB = ∟DCE и ∟CDE = ∟CAB. Тогда по теореме о равенстве двух треугольников имеющих сторону и два угла, получаем AB = DE

'''Задача №74. Задача о статуе Минервы.'''
Я – изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,
Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона, а девять
Всё завершивших талантов – обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты вместе в дар принесли?
Решение: Узнаем, какую часть от всех даров, составляет обет Аристоника: 1-(1/2+1/8+1/10+1/20)=9/40. Затем найдем количество золота, которое принесли все поэты вместе: 9/(9/40)=40.
Ответ: 40.

'''Задача №75. Задача о Грациях (Греция).'''
Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой грации стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой грации до встречи с музами?
Решение: Пусть у каждой грации было по х плодов, и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть: х-9у = 3у или х = 12у
Т.е. у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
Ответ: у каждой из граций до встречи с музами было число плодов кратно 12.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 11:07, 12 ноября 2008 (UZT)

== Совокупность "жареных семечек"==

'''Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"'''

'''Задача №56'''

На чей портрет я смотрю?

Когда я был маленьким, эта головоломка пользовалась необычайной популярностью. Сейчас она менее известна. Эта головоломка обладает одной замечательной особенностью: большинство людей дают неправильный ответ на вопрос задачи, но вопреки всем аргументам упрямо отстаивают свое решение. Помню, однажды лет 50 тому назад в одной компании разгорелся многочасовой спор по поводу этой головоломки, но тем, кто верно решил ее, так и не удалось убедить остальных в правильности полученного решения. Вот эта головоломка.

Человек разглядывает портрет. "Чей это портрет вы рассматриваете?" - спрашивают у него, и человек отвечает: "В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)". Чей портрет разглядывает человек?

Ответ:

Удивительно, как много людей дают неверный ответ на вопрос этой головоломки. Они мысленно ставят себя на место человека, разглядывающего портрет, и рассуждают следующим образом: "Так как у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть я сам и никто другой. Следовательно, я смотрю на свой собственный портрет".

Первое утверждение абсолютно правильно: если у меня нет ни братьев, ни сестер, то сыном моего отца могу быть только я сам. Но отсюда отнюдь не следует, будто правильный ответ на вопрос задачи гласит: "Самого себя". Так можно было бы ответить, если бы во второй посылке стояло "и все же тот, кого мы видим на портрете, - сын моего отца". Но в условии задачи этого не говорится. Там утверждается, что "отец того, кто на портрете, - сын моего отца". Отсюда следует, что отец человека на портрете - я сам (так как я единственный сын своего отца). Поскольку я отец человека на портрете, то он должен быть моим сыном. Следовательно, правильный ответ состоит в том, что человек разглядывает портрет своего сына.

Если мои рассуждения не убедили скептически настроенного читателя (а я уверен, что многие из читателей не согласны с моими аргументами!), то их можно представить в более наглядном виде.

(1) Отец человека на портрете - сын моего отца.

Подставляя краткое "я" вместо более громоздкого выражения "сын моего отца", преобразуем утверждение (1) к следующему:

(2) Отец человека на портрете - я.

Теперь вы убедились, дорогой читатель?

'''Задача №57'''

2. Предположим, что в предыдущей задаче человек, разглядывающий портрет, ответил на вопрос так: "В семье я рос один; как перст, один. И все же сын того, кто на портрете, - сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)".

Чей портрет разглядывает этот человек?

Ответ: B этом случае человек разглядывает портрет своего отца.

'''Задача №58'''

3. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?
Вот еще одна головоломка времен моего детства, которая мне очень нравится. Под всесокрушающим пушечным ядром мы понимаем ядро, сметающее на своем пути все, что попадается, а под несокрушимым столбом - столб, который нельзя ни повалить, ни сломать.

Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадает в несокрушимый столб?

Ответ: При заданных условиях задача логически противоречива: всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб не могут существовать одновременно. Если бы существовало всесокрушающее пушечное ядро, то оно по определению сшибало бы на своем пути любой столб. Следовательно, в этом случае не мог бы существовать несокрушимый столб. Наоборот, если бы существовал несокрушимый столб, то по определению его не могло бы сбить ни одно пушечное ядро. Следовательно, в этом случае не могло бы существовать всесокрушающее пушечное ядро. Таким образом, существование всесокрушающего пушечного ядра само по себе не приводит к логическому противоречию. Существование несокрушимого столба само по себе также вполне допустимо. Но утверждение о том, что всесокрушающее пушечное ядро и несокрушимый столб существуют одновременно, противоречиво.

По существу деле обстоит так, как если бы я спросил у вас: "Живут на свете два человека - Джон и Джек. Джон ростом выше Джека, а Джек выше Джона. Как, по-вашему, это может быть?" Лучший ответ, который вы могли бы дать в этом случае, гласил бы: "Вы либо лжете, либо ошибаетесь".

'''Задача №59'''

4. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность. В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.)

Ответ:

Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.

'''Задача №60'''

5. Новый поворот в предыдущей задаче.

Предположим, что в ящике шкафа лежат несколько синих и столько же красных носков. Известно, что минимальное число носков, которые я должен взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одинакового цвета, совпадает с минимальным числом носков, которые требуется взять из ящика, чтобы из них можно было составить по крайней мере одну пару носков разного цвета. Сколько носков в ящике?

Ответ: В ящике 4 носка.

'''Задача №61'''

6. Вот многим знакомая логическая задача. Известно, что в Нью-Йорке жителей больше, чем волос на голове у любого из них, и что среди жителей Нью-Йорка нет полностью лысых, у которых на голове не осталось бы ни одного волоса. Следует ли отсюда, что в Нью-Йорке непременно найдутся по крайней мере два жителя с одинаковым числом волос на голове?

Приведем еще один вариант этой задачи, незначительно отличающийся от предыдущего. О населении города Поданк известно следующее.

Среди жителей Поданка не найдется двух с равным числом волос на голове.
Ни у одного жителя Поданка на голове не растет ровно 518 волос.
Жителей в Поданке больше, чем волос на голове любого из них.
Какова наибольшая численность населения Поданка?

Ответ: На вопрос первой задачи ответ утвердительный.

Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.

Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек - например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.

Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?

'''Задача №62'''

7. Кто убийца?

В этой истории речь пойдет о караване, идущем через пустыню Сахару. Однажды караван остановился на ночлег. Обозначим трех главных действующих лиц A, B и C. A ненавидел C и решил убить его, подсыпав яду в бурдюк с питьевой водой (единственным запасом воды, которым располагал C). Независимо от A другой караванщик B также решил убить C и (не зная, что принадлежащая тому питьевая вода уже отравлена) проделал в бурдюке крохотную дырочку, чтобы вода потихоньку вытекала. Через несколько дней C умер от жажды.

Спрашивается, кто убийца? A или B?

Одни считают убийцей караванщика B, поскольку C все равно не успел принять яд, подсыпанный его недругом A, и умер бы, даже если бы A не отравил воду. Другие считают убийцей караванщика A, так как, по их мнению, действия караванщика B не оказали ни малейшего влияния на исход событий: коль скоро A отравил воду, C обречен и умер бы, даже если бы другой его недруг B не проделал дырочку в бурдюке с водой. Чьи рассуждения правильны?

В связи с нашей задачей я вспомнил анекдот о лесорубе, который в поисках работы забрел в лагерь лесозаготовителей. Управляющий встретил его не слишком обнадеживающе. "Не знаю, подойдет ли тебе работа, - сказал он. - Мы здесь валим лес". Лесоруб обрадовался: "Эта работа как раз по мне". Управляющий решил испытать его в деле. "Вот топор, - сказал он. - Посмотрим, сколько времени потребуется тебе, чтобы свалить вон то дерево". Лесоруб бросился к дереву и свалил его одним ударом топора. Управляющий был потрясен, но не сдавался. "Великолепно, - сказал он, - а теперь попробуй повалить вон то большое дерево". Лесоруб подошел к огромному дереву и двумя ударами - трах, бах! - повалил и его. "Невероятно! - воскликнул управляющий. - B жизни не видал ничего подобного. Вы, конечно, приняты! Но где вы научились так валить лес?" "Я изрядно попрактиковался и набил руку в лесу Сахары", - ответил лесоруб. Управляющий на миг задумался. "Вы хотели сказать "в пустыне Сахаре?" - переспросил он. "Теперь там пустыня", - пояснил лесоруб.

Ответ: Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать "правильными" или "неправильными". В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика C, то его недруга A. Если бы я был защитником караванщика B, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика B способствовали продлению жизни караванщика C (хотя это и не входило в намерения караванщика B), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.

Защитник караванщика A мог бы возразить мне: "Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если C в действительности не выпил ни капли яда?" Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и A, и B виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости не сравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне не известна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем.

'''Задача №63'''

8. Еще один юридический казус.

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным, а другого невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал: "Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать. Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена, по закону я должен выпустить вас на свободу".

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Ответ: Обвиняемые были сиамскими близнецами.

'''Задача №64'''

9. Двое краснокожих.

Двое краснокожих сидели на бревнышке, один повыше ростом, другой пониже. Тот, кто пониже ростом, доводится сыном тому, кто повыше ростом, хотя тот, кто повыше ростом, - не его отец. Как вы это объясните?

Ответ: Тот из краснокожих, кто повыше ростом, - мать того, кто ростом пониже.

'''Задача №65'''

10. Часы остановились.
Вот превосходная старинная задача-головоломка. У одного человека не было наручных часов, но зато дома висели точные настенные часы, которые он иногда забывал заводить. Однажды, забыв в очередной раз завести часы, он отправился в гости к своему другу, провел у того вечер, а вернувшись домой, сумел правильно поставить часы. Каким образом ему удалось это сделать, если время в пути заранее известно не было?

Ответ:
Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.

'''Задача №66'''

11. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение.

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

Ответ:

Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.

Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.

'''Задача №67'''

12. У меня две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Ответ: Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.

'''Задача №68'''

13. Этот вопрос обращен к тем читателям, которые знают хоть что-нибудь о католицизме. Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

Ответ: Как может покойник жениться на ком-нибудь?

'''Задача №69'''

14. Некто живет на двадцать пятом этаже тридцатиэтажного здания. Каждое утро (кроме субботы и воскресенья) он входит в лифт, спускается вниз и отправляется на работу. Вечером, вернувшись домой, он входит в лифт, поднимается на двадцать четвертый этаж, а оттуда - пешком - еще на один этаж.

Почему он выходит из лифта на двадцать четвертом этаже вместо того, чтобы подняться прямо на двадцать пятый этаж?

Ответ: Человек, живущий на двадцать пятом этаже, - лилипут и не может дотянуться до кнопки "25 этаж" на пульте лифта.

'''Задача №70'''

15. Задача о железнодорожном движении.

Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона?

Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь.

Ответ: Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.

'''Задача №71'''

16. Наклон крыши.

Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой - угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо - в сторону более пологого или крутого ската?

Ответ: Петухи не откладывают яйца

'''Задача №72'''

17. Сколько девяток?
Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте в уме, сколько девяток потребуется мастеру?

Примечание: 6 и 9 - это разные цифры, т. е. переворачивать их нельзя.

Ответ: Двадцать.

'''Задача №73'''

18. Беговая дорожка.
Чтобы проползти по беговой дорожке одного стадиона по часовой стрелке, улитке требуется полтора часа. Когда же улитка ползет по той же дорожке против часовой стрелки, то полный круг она совершает за 90 мин. Чем объяснить несовпадение результатов?

Ответ: Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.

'''Задача №74'''

19. Как вы это объясните?

Некий мистер Смит ехал в машине вместе со своим сыном Артуром. Их машина попала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжелом состоянии доставлен в ближайшую больницу. Взглянув на пострадавшего, дежурный хирург побледнел и сказал: "Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!"

Как вы это объясните?

Ответ: Хирург был матерью Артура Смита.

--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|"Жареные семечки"]] 01:18, 13 ноября 2008 (UZT)
----

--[[Участник:Весёлые умницы ID_296|Весёлые умницы ID_296]] 14:07, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача №1'''

ЗАДАЧА ИЗ ПАПИРУСА РАЙНДА.
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10.
Решение: по условию задачи составляем уравнение
х+2/3 х- 1/3 (х+2/3 х)=10 , ответ х = 9

'''Задача №2'''

ЗАДАЧА ДИОФНТА (Из трактата «Арифметика»)
Найти три числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.
Решение: Пусть сумма всех трех чисел I + II + III = x2 + 2x +1 = ( x + 1 )2,
а I + II = x2, тогда III = 2x +1. Пусть теперь II + III = ( x - 1 )2. Тогда получаем, что I =4x, а II = х2 – 4х. Далее I + III = 6x + 1 должно быть квадратом некоторого числа, например 112 = 121. Тогда для определения х получаем уравнение 6х + 1 = 121, откуда х = 20. Значит: I = 80, II = 320, III = 41.

'''Задача №3'''

ЗАДАЧА ИЗ «ГРЕЧЕСКОЙ АНТОЛОГИИ»
- Хроноса (бог ремени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
- Дважды две трети того, что прошло, остается. ( У древних греков день длился 12 часов.)
Решение: по условию задачи составляем уравнение
4/3 х+х=12 , ответ х = 5 1/7 дня

'''Задача №4'''

ЗАДАЧА ИЗ БАХШАЛИЙСКОЙ РУКОПИСИ ( найдена в 1881г. Ри раскопках в Бахшали в северо-западной ИНДИИ. Рукопись выполнена на березовой коре и относится к 3 или 4 веку н. э.)
Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый.
Решение: Пусть первый дал 1 часть, второй - 2, третий – 6, четвертый- 24. Сумма пожертвований будет составлять 33. Разделим 132 на 33. Это и будет искомый результат. Ответ 4.

'''Задача №5'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ ( Задача взята из трактата «Венец астрономического учения» индийского математика ХII в. Бхаскары-акария)
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/ 2,1/4 первоначального числа, то получится 68. Как велико число?
Решение: Бхаскара данную задачу решал методом предположения. Предположим, что искомое число равняется 3, тогда, по условию задачи, 3•5=15, одна треть от 15 равна 5. Поскольку15 – 5 = 10, то при делении 10 на 10 получим 1. Если к 1 прибавить 1/3, 1/2, 1/4 от 3, тогда получаем 1+1+3/2+3/4=17/4, что меньше 68 в 16 раз. Следовательно искомое число 3•16=48. Ответ 48.

'''Задача №6'''

ЗАДАЧА БХАСКАРЫ
Некто сказал своему другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя». Спрашивается, сколько было у каждого.
Решение: Пусть у первого было 2х - 100 рупий, а у второго х + 100 рупий. Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея ввиду второе условие, находим 6 ( 2х – 110 ) = х + 110. Решая, получаем х = 70. Значит у первого было 140 – 100 = 40 рупий, у второго 70 + 100 = 170

'''Задача №7'''

ЗАДАЧА АЛ-КАРХИ (Среднеазиатский математик ХI в, автор трактата « Все известное в арифметике»)
Найдите площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
Решение: Обозначим ширину прямоугольника через х, тогда длина его будет 2х, площадь 2х2, периметр 6х. Согласно условию задачи 2х2 = 6х, следовательно х = 3, и искомая площадь равна 18 кв. ед.

'''Задача №8'''

ЗАДАЧА БЕГА-ЭДДИНА ( Иранский математик автор трактата «Сущность искусства счисления»)
Разделить число 10 на такие две части, разность которых есть 5.
Решение: Если меньшую часть обозначить через х, то большая будет х+5. Согласно условию задачи, 2х +5 = 10. Откуда х = 21/2. Следовательно меньшая часть 21/2, а большая 71/2.

'''Задача №9'''

ЗАДАЧА ИЗ «КУРСА АЛГЕБРЫ» А. Н. СТРАННОЛЮБСКОГО (русский математик-методист 1839 – 1903г.)
Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; теперь мне 45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим лета второго сына через х, тогда х +3х = 45 – 29; решая уравнение получаем ответ х = 4

--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|"Весёлые умницы"]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
----
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

'''Задача 76. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется бамбук из девяти колен. Объём трёх нижних колен 4 шэна, четыре верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы объёмы двух средних колен, если объём каждого колена отличается от соседних на равную величину.

Решение:

Для решения задачи составитель трактата выводит правило: «4 шэна, разделённых на 3нижних колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна разделённые на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен остаток, является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т.е. на столько отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т.е. 1 с малой половиной шэна, есть объём второго снизу колена».
Согласно этому правилу, можно провести несложные вычисления:
1) 4/3-3/4 = 7/12 – разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
2) 9-4/2-3/2 = 11/2 составляет делитель;
3) (7/12):(11/2) = 7/66 = d, т.е. то число, на которое отличается каждая ступень от соседней;
4) тогда второе снизу колено будет составлять 4/3 = 1 1/3 (шэна). Теперь без труда можно найти в шэнах и другие восемь колен.

'''Задача №77. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и серебра каждого в отдельности.

Решение:

Прежде всего, 1 цзинь = 16 ланам, а 1 лан = 24 чжу. Обозначим теперь вес слитка золота через х, а вес слитка серебра через z; задача сводится к решению системы:
9х = 11z;
13+8x+z = 10z+x.
Будем решать эту систему по правилу двух ложных положений. Первое ложное положение x1 = 3 цзиням. Тогда:
z1= 9x1/11 = 9·3/11 = 27/11 = 2 5/11 (цзиням).
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозначив его через у1:
у1 = (13/16+8·3+2 5/11)-(10·2 5/11+3) = 27·(47/11·16) – 27·(96 /11·16) = -49/11·16.
Второе ложное положение х2 = 2 цзиням. В этом случае z2 = 1 7/11 цзиня и «избыток в левой строке» будет: y2 = (13/16+1 7/16+8·2)–(10·1 7/11+2) = 18·(79/11·16)-18·(64/11·16) = 15/11·16.
Далее предполагается, что у1 и у2 вместе с х1 и х2 записаны по китайскому способу:

х2 х1
у2 у1
где левая колонка составляет «левую строку», а правая колонка –«правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем:
х = ( 2·(49/11·16)+3·(15/11·16))/ (49/11·16+15/11·16 )= 143/64 = 2 15/64 (цзиня).
Следовательно, х = 2 цзиня 3 ланам 18 чжу. Вес слитка серебра определяется очень просто. Для этого делимое 143 надо разделить на произведение делителя 64 и знаменателя 11/9. Тогда получаем:
z = x:(11/9) = 143:(11/9·64) = 13·9/64 = 117/64 = 1 53/64 (цзиня).
Следовательно, окончательно z = 1 цзиню 13 ланам и 6 чжу.

'''Задача №78. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Рысак и кляча движутся от Чаньяня к княжеству Ци, которое удалено от Чаньяня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый следующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достигает княжества Ци, повернул обратно ив некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и сколько ли пробежала каждая лошадь.

Решение:

Составитель трактата для решения этой задачи предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток 337 с половиной ли. Предположим, что через 16, тогда избыток равен 140 ли. Избыток и недостаток – это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
За n целых дней рысак пробежит:
193+(193+13)+(193+2·13)+…+[193+(n-1)·1] = 193n+13+2*13+…+(n-1)·13 = 193n+13[1+2+…+(n-1)] = 193n+13·(n(n-1)/2) (ли).
За это же число дней кляча пробежит:
97+(97-0.5)+(97-2·0.5)+…+[97-(n-1)·0.5] = 97n-0.5[1+2+…+(n-1)] = 97n-0.5·(n(n-1)/2) (ли).
За указанное число дней русак и кляча пробегут вместе.
193n+13·(n(n-1)/2)+97n-0.5·(n(n-1)/2) = 290n+(13-0.5)·(n(n-1)/2) = 290n +6.25(n2-n) (ли).
что должно составить 6000 ли.
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу решать методом двух ложных положений.
При n = 15 недостаток равен 6000-5662.5 = 337.5 (ли); при n = 16 избыток составляет 6140-6000 = 140 (ли).
Обозначая время встречи через х, и предполагая, что на протяжении дня скорости не менялись, получим:
х =(15·140+16·337.5)/(140+337.5)=15 135/191 (дня).
Теперь не составляет большого труда найти, столько ли пройдут рысак и кляча за 15 135/191 дня.

'''Задача №79. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота, 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов. Спрашивается, сколько стоят буйвол и баран.
Решение: Эта задача в трактате решается правилом «фан-чэн», с которым мы познакомимся дальше. Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений:
5х+2у=10

2х+5у=8.

Ответ:34/21 лана стоит буйвол и 20/21 лана стоит баран.

'''Задача №80. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''
Два снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 снопов урожая А превышает дань на вес 1 снопа урожая Б, вес 3 снопов урожая Б – на вес 1 снопа урожая В, вес 4 снопов урожая В – на вес 1 снопа урожая А. Спрашивается , каков вес каждого из снопов урожаев А,Б,В.

Решение : Задача сводится к решению системы:
2х = 1+у

3у = 1+z

4z = 1+x

Её каноническая форма:

2x-y = 1

3y-z = 1

4z-x = 1

Выразим у = 2 х – 1,и подставим во второе уравнение.
Получим 6 х = 4 + z. но х = 4 z – 1 . Тогда z = 10/23 , х = 17/23, у = 11/23
Ответ: 17/23, 11/23, 10/23

'''Задача №81. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья.

Решение:

Установи, что 2 буйвола, 5 баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней положителен. Ещё установи, что 3 буйвола положительны, 9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны. Ещё установи, 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
Обозначив x, y, z соответственно стоимости буйвола, барана и свиньи, сведём задачу к решению системы:

2x+5y = 13z+1000

3x+3z = 9y

6y+8z = 5x-600,

где 1000 – остаток цяней от продажи 2 буйволов, 5 баранов и покупки 13 свиней; 600 – недостаток цяней от продажи 6 баранов, 8 свиней, покупки 5 буйволов.
Решив эту систему уравнений получаем: х= 300, у = 110, z= 30
Ответ: 300 буйволов, 110 барановЮ 30 свиней.

'''Задача №82. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется водоём со стороной в 1 чжан. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается, какова глубина водоёма и какова длина камыша. (1 чжан = 10 чи).

Решение:

Обозначим длину водоёма через 2а, длину камыша через с. Задача заключается в нахождении b и с. Руководствуясь китайским правилом находим формулу для определения искомых величин:
b = (a2-(c-b))/2(c-b);
c = b+(c-b) = (a2-(c-b))/2(c-b).
Исходя из условий задачи применяя правило «гоу-гоу», т.е. теорему Пифагор, получаем систему:

b = c-k

b2 = c2-a2,

где для кратности k обозначена известная нам надводная часть, равная c-b. Решая систему, будем иметь:
b = (a2-k2)/2k;
и
c = (a2+k2)/2k,
где k = c-b
Прежде всего по правилу «гоу-гоу» имеем:
a2 = c2-b2.
Далее, получаем:
a2 = c2 – b2 = (c-b)2+2b·(c-b)
или
a2 = (c-b)2+2b(c-b)?
откуда
b = (a2-(c-b)2)/2(c-b).

'''Задача №83. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Два человека находятся в одном месте. норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем идет по космосу направлению на северо-восток до встречи с Б. спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б.
Решение: Эту задачу древнекитайский математик в трактате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь само на себя, 3 тоже умножь само на себя, сложи и возьми половину. Возьми в качестве нормы ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умноженного на само себя, норму ходьбы по косому направлению, остаток является нормой ходьбы на юг. 3 умножь на 7, это норма ходьбы Б на восток. 10 бу ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому направлению, 10 бу умножь на норму ходьбы Б на восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и норму ходьбы на юг, получишь для каждого количество пройденного».
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить довольно просто:
1) находим сначала норму ходьбы А «по косому направлению»: (49 + 9)/2=29
2) определяем норму ходьбы А на юг:
49-(49+9)/2=20
3) норма ходьбы на восток будет
7 • 3 = 21;
4) находим «делимое»:
10 • 29 и 10 • 21;
5) А прошел «по косому направлению» путь
10•29/20=14,5 бу
6)Б прошел на восток путь
10•21/20=10,5 бу

Обычным путем задача решается так: обозначаем через Х путь, пройденный Б на восток, через У – путь, пройденный а на юг (причем, по условию задачи, у = 10 бу), через Z – путь, пройденный А «по косому направлению», т.е. по гипотенузе полученного прямоугольного треугольника. Тогда,
х2 + 10 2= z2 и х/ (z + 10) = 3/7 .
Ответ: 14,5 бу и 10,5 бу.

'''Задача № 84. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Имеется дверь, высота которой больше ширины на 6 чи 8 цуней. Наибольшее расстояние между углами (диагональ) 1 чжан. Спрашивается, каковы ширина и высота двери.

Решение: Если обозначить ширину двери через х, а длину через у, далее положить, что у - х = m («избыток»), а диагональ двери d, то задача сводится к рассмотрению системы:

d^2 = x^2 + y^2,

m = y – x.

Для определения х получаем квадратное уравнение:
2х^2 + 2mx + m^2 – d^2 = 0

'''Задача № 85. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).'''Диаметр колодца 5 чи, глубина неизвестна. У верхнего края колодца поставлен шест в 5 чи. Вершина шеста наблюдается на одном уровне с границей воды и стены, а на диаметре откладывается 4 цуня. Спрашивается, какова глубина колодца.

Решение: Надо иметь в виду ,что 1чжан = 10 чи = 100цуням.Для составления нужного правила решения древнекитайские Математики, по всей вероятности, рассматривали два подобных прямоугольных треугольника ∆ABF и ∆FCD, откуда получали
AB/BF = x/FC; х = FC · A B/BF; х = AB(BC-BF)/BF.
«Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в цунях»

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-12T06:08:03Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-12T06:07:17Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-11T08:52:19Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-11T08:36:42Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-07T11:59:29Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-07T11:57:26Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-07T11:56:27Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-07T11:53:27Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-06T10:30:00Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-05T09:15:47Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-04T08:05:01Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-04T08:04:25Z

Bookworm ID 213:

Копилка знаменитых задач продолжение 6

2008-11-04T08:03:29Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)
Задача № 39. Старинная задача: Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений: х+1=(у-1)2 и х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.

Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.
Несколько человек сидят по кругу так, что у каждого из них имеется по одному соседу справа и слева. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третьего, и т. д. Первый из сидящих отдает 1 шиллинг второму, второй 2 шиллинга третьему и т. д. Каждый отдает следующему на 1 шиллинг больше, чем получил сам, до тех пор, пока, это возможно. В результате у одного из сидящих шиллингов оказывается в 4раза больше, чем у его соседа. Сколько всего было людей и сколько шиллингов было сначала у самого бедного из них?
Решение:
Пусть m–число людей, k–число шиллингов у последнего (самого бедного) из них. После первого тура каждый из участников игры станет на 1 шиллинг беднее, а сумма, передаваемая последним из игроков первому, составит m шиллингов. Следовательно, после некоторого числа k туров каждый участник станет беднее на k шиллингов, у последнего участника не останется ни одного шиллинга, а сумма передаваемая им первому участнику, составит mk шиллингов. Игра прекратится на следующем туре, когда очередь пополнять «передвижную кассу» дойдет до последнего игрока. В это момент в «кассе» будет mk+m–1 шиллингов, у предпоследнего игрока не останется ничего, а у первого m–2 шиллингов.
Ясно, что единственными участниками, «состояния» которых относятся как 4:1, могут быть лишь первый и последний игроки.
Следовательно,
mk+m–1=4(m–2), либо 4(mk+m–1)=m–2.
Первое уравнение преобразуем к виду mk=3m–7, или k=3–7/m.
Ясно, что оно не имеет иных решений в целых числах, кроме m=7, k=2.
Второе уравнение преобразуется к виду 4mk=2–3m.
Оно не имеет решений в целых положительных числах.
Ответ: 7 человек, 2 шиллинга.

Задача №41. Задача Льюиса Кэррола.
1 июля, когда на моих карманных часах было 8 часов утра, стенные часы показывали 8часов 4 минуты. Взяв с собой карманные часы, я отправился в Гринвич и обнаружил, что, когда они показывают полдень, точное время в действительности равно 12часам 5 минутам. Вечером того же дня, когда на моих часах было ровно 6 часов, стенные часы показывали 5часов 59 минут.
30 июля в 9 часов утра по моим карманным часам стенные часы показывали 8часов 59 минут. В Гринвиче, когда мои карманные часы показывали 12 часов 10 минут, точное время было 12часов 5 минут. Вечером того же дня карманные часы уже показывали 7 часов, когда на стенных ещё было 6 часов 58 минут.
Карманные часы я завожу лишь при поездке в Гринвич. В течении суток они идут равномерно. Настенные часы идут всегда, причем идут равномерно.
Каким образом мне узнать, когда наступает полдень (по точному времени) 31 июля?
Решение:
1 июля мои карманные часы за 10 ч ушли вперед по сравнению со стенными часами на 5 мин, то есть спешили на ½ мин в час, или на 2 мин в 4 часа. Следовательно, когда карманные часы показывали полдень, на стенных часах было 12ч 2 мин. Иначе говоря, в тот момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы отставали на 3мин (от точного времени).
30 июля карманные часы отстали от стенных на 1мин за 10ч, то есть отставали на 6с в час, или на 19с за 3ч 10мин. Таким образом, когда карманные часы показывали 12ч 10мин, на стенных было 12ч 7мин 19с. иначе говоря, в момент, когда точное время было 12ч 5мин, стенные часы спешили на 2мин 19с (по сравнению с точным временем).
Итак, стенные часы уходят вперед по сравнению с точным временем на 5мин 19с за 29дней, что составляет 319с за 29дней, или 11с в день, или 11/24*12с за 5мин. Следовательно, 5 мин точного времени соответствует 5мин 11/288с, отсчитанным по карманным часам.
31 июля, когда точное время равнялось 12ч 5мин, стенные часы ушли вперед на 2мин 19с+11с, то есть показывали 12ч 7½мин. Следовательно, если вернуться на 5мин назад по точному времени, то стрелки стенных часов следует отвести на 5мин 11/288с назад, то есть поставить так, чтобы они показывали12ч 2мин 29 277/288с.
Ответ: в момент, когда 31 июля стенные часы показывают это время, по точному времени наступает полдень.

Задача №42. Задача Льюиса Кэррола.
Два пешехода А и В пускаются в путь ровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешеход В сначала опережает пешехода А на 14 миль. Оба идут с 6 утра до 6 вечера. В первый день пешеход А, двигаясь с постоянной в течении дня скоростью, проходит 10 миль, во второй - 9, в третий – 8 миль и т. д. Пешеход В, двигаясь также с постоянной в течении дня скоростью, проходит в первый день 2 мили, во второй – 4, в третий 6 и т. д. Где и когда пешеход А нагонит Пешехода В?
Решение:
Пусть х - число дней, прошедших с того момента, как пешеходы пустились в путь, до встречи.
Тогда:
[2*10–([х–1)]*х/2=14+[2*2+( х–1)*2]*х/2
То есть:
21х/2 – х2/х=14+х+х2
3х2–19х+28=0
х1=4, х2=7/3.
Ответ 7/3 указывает на то, что встреча происходит на 3-й день. Ведем у – число часов, которое пешеходы находятся в пути. Отсчитывается с 6-ти часов утра каждого дня.
К концу второго дня пути А пройдет 19 миль, а В будет находиться от пункта отправления А на расстоянии 14+6=20 миль.
Следовательно, 19 + у*8/12=20+у*6/12
у*2/3=1+у*1/2
откуда у= 6.
Таким образом, пешеходы встречаются по происшествии двух с половиной дней (2 дня 6 ч) и четырех дней пути на расстояниях в 23 и 34 мили от отправного пункта пешехода А.

Задача №43. Задача Льюиса Кэррола.
Пятеро друзей решили на паях организовать компанию по торговле вином. Каждый из них внес в фонд компании одинаковое количество бутылок, купленного по одной цене. Один из друзей на общем собрании «акционеров» был избран казначеем, другой - продавцом. В обязанность продавцу вменялось продавать вино с 10%-ной надбавкой (по сравнению с покупной ценой).
В первый день продавец распил одну бутылку вина, несколько бутылок продал, а всю выручку передал казначею.
На второй день продавец не стал пить вина, но прикарманил деньги, полученные от продажи одной бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Вечером того же дня казначей наведался в погреба фирмы и пересчитал оставшиеся бутылки. «вина ровно на 11 фунтов стерлингов», - заметил он себе под нос, покидая погреб.
На третий день продавец выпил одну бутылку вина, присвоил себе деньги, полученные от продажи другой бутылки, а всю остальную выручку передал казначею.
Поскольку все вино было продано, друзья созвали общее собрание «акционеров» и к своему огорчению обнаружили, что их доходы (то есть разность между суммами, переданными продавцом казначею , и первоначальной стоимостью вина) составили лишь 6 пенсов за бутылку. Доходы эти поступали в течении трех дней равномерно (то есть разность между выручкой, переданной продавцом казначею в конце каждого дня, и первоначальной стоимостью проданного за день вина была одной и той же в течение всех трех дней), но об этом, разумеется, знал лишь продавец.
1. Сколько бутылок вина было куплено в фонд компании?
2. По какой цене друзья покупали вино?
Решение:
Обозначим число бутылок вина, проданных в первый, второй и третий день, через х, у, z. Предположим, что каждая бутылка была куплена за 10v пенсов и, следовательно, продана за 11v пенсов.
В первый день казначей получил от продавца (х–1 )*11v, во второй у*11v –v и в третий день (z –1) *11v–v пенсов. Следовательно, прибыль (разность между выручкой и затратами на покупку вина) составила: в первый день хv–11 , во второй день уv–v и в третий zv-12v пенсов. По условию задачи все три величины равны, откуда у=х–10, z=х+1.
Таким образом, полное число бутылок (х+у+z), хранившихся в начале в винном погребе «фирмы», равно 3х – 9.
Прибыль от продажи всех бутылок составила (х+у+z)v–24v=(3х–33)v, а прибыль от продажи одной бутылки равна [(3х–33)v]/3х–9.(По условию задачи эта величина равна 6 пенсам.)
(х–11)v=(х–3)6
Кроме того, z*11v=11*240, то есть (х+1)*11v=11*240.
Комбинируя эти два уравнения, получаем:
(х–11)/х+1=6(х–3)/240
(х+1)(х–3)=40(х–11)
х2–2х–3=40х–440
х2–42х+437=0
х1,2=(42±4)/2, х1=23, х2=19.
Итак, число бутылок равно либо60, либо 48, но поскольку оно должно быть кратно 5, остается лишь одно решение: 60 бутылок.
Поскольку(х+1)*11v=11*240, или 24v= 240, то v=10. таким образом, вино было куплено по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку и продано по цене 9 шиллингов 2 пенса за бутылку.
Ответ: Было куплено 60 бутылок, по цене 8 шиллингов 4 пенса за бутылку.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 13:03, 4 ноября 2008 (UZT)

----

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-31T13:05:23Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]

Копилка знаменитых задач продолжение 5

2008-10-31T13:00:12Z

Bookworm ID 213:

'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''

----

== Задачи участников ДООМ ==

----
[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)?
Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов.
Ответ: 19 поездов.

'''Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3:''' Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику?
Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления.
Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

'''Задача №26. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов.
Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z.
Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов.
Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

'''Задача № 27. Старинная задача:''' Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен?
Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая.
Составим уравнение:
5х+8у=6(х+у)
Решив уравнение, получим: х=2у.
Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть
Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

'''Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель''': по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого?
Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.
Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

'''Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого:''' На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней.
За сколько дней выпьет озеро 1 слон?
Решение: Пусть V л - объем озера,
С л воды в день слон выпивает,
К л воды в день попадает в озеро из ключа.
Тогда выполняются два равенства:
183С = V + К ;
37 · 5С = V + 5К .
Откуда
С = 2К ;
V = 365К .
Пусть один слон выпивает озеро за t дней.
Тогда
tС = V + tК ,
2К t = 365К ,
откуда
t = 365 .
Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]]

'''Задачи из Англии''' 

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались? 
''Решение:'' Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте. 

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет? 
''Решение:'' Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого. 

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь? 
''Решение:'' Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек. 

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится. 
''Решение:'' первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего. 

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей? 
''Решение:'' А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость. 

--[[Участник:Сталкера задач ID 219|Сталкера задач ID 219]] 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID 278, Шоу "модель"'''

'''Задача1.''' Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

''Решение'':С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

'''Задача 2'''.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

''Решение'': Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

'''Задача 3'''.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

''Решение'': Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

'''Задача 4'''.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

''Решение'':Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

'''Задача 5'''.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

''Решение'': Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

[[Участник: Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель"|Шоу "модель"]] 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Два пастуха''

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

''Решение''

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.
--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

[[Участник:Модные переменные_ID_222]]

''Кто на ком женат?''

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

''Решение''

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48.
Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

''Ответ'': Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--[[Участник:Модные переменные ID 222|Модные переменные ID 222]] 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

'''ID_278 Команда Шоу "модель"'''
'''Задача1.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

''Решение:''Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

'''Задача 2.'''Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого.
Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

''Решение:''Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

'''Задача 3.'''Иэ греческой антологии.
-Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
-Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

''Решение:''Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

'''Задача 4.'''Задача Метродора.
Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

'''Решение:'''Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

'''Задача 5.'''Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта".
5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

'''Решение:'''Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]--[[Участник:Шоу "модель" ID 278|Шоу "модель" ID 278]] 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)
'''Задача № 31. Старинная задача:''' У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей?
Решение:
Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1,
Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2
Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3.
Тогда запишем условие задачи:
х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3
(х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3
(у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3
х1= х2
у2= у3
4х3=х1+х2+х3
3у1=у2+у3
z2+2=z1
1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2
2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3
3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3.
4) х1+ х2+ х3=8
5) у1+у2+у3=16
3у1=у2+у3
у2=у3
4у1=16
у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6.
6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24:
z1=24-7=17
z2=24-3-6=15
z3=24-2-6=16
Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

'''Задача № 32. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 2: «Званный обед у губернатора».
Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде.
Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость.
Ответ: один гость.

'''Задача №33. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково?
Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3.
Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З.
Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

'''Задача №34. Задача Л. Кэррола:''' Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус?
Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.
Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

'''Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9''': Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада.
Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам.
Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

'''Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10:''' Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?
Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18.
Ответ: 15 и 18 лет.

'''Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках'''.
Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.
(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)
Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных
Их в четырех стадах много когда-то паслось.
Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,
Темной морской волны стада другого был цвет,
Рыжим третие было, последнее пестрым.
И в каждом
Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,
Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,
Белых число быков в точности было равно
Темным быков половине и трети и полностью рыжим;
Темных число быков четверте было равно
Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим;
Пестрой же шерсти быков так созерцай число:
Части шестой и седьмой от стада быков серебристых
Также и рыжим всем ты их число поравняй.
В тех же стадах коров было столько: число белошерстных
В точности было равно темного стада всего
Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;
Темных число же коров части четвертой опять
Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь
И туда же быков в общее стадо причтешь.
Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были
Рыжего стада частям пятой и с нею шестой.
Рыжих коров же считалось количество равным полтрети
Белого стада всего с частию взятой седьмой.
Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь.
Учти же, пожалуй
Свойства какие еще Солнца быков числа.
Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь
Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину
Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских
Плотным квадратом они площадь большую займут.
Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо,
Лесенкой станут они, счет с единицы начав,
Так что фигуру они треугольную нам образуют;
Цвета иного быков нам нет нужды добавлять,
Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.
Решение:
Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений:
Х=(1/2+1/3)У+Z
У=(1/4+1/5)Т+Z
Т=(1/6+1/7)Х+Z
х=(1/3+1/4)(У+у)
у=(1/4+1/5)(Т+t)
t=(1/5+1/6)(Z+z)
z=(1/6+1/7)(Х+х)
К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия:
Х+х равно квадратному числу;
Т+Z равно треугольному числу.
Иначе:
Х+У=p2;
Т+Z=q(q+)/2
Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

'''Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика»)''' Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа.
Решение: Исходя из условий задачи, составим систему
х – у = 1/3 z
у – z = 1/3 х
z – 10 = 1/3 у
Решая эту систему, получаем
х = 45; у = 371/2; z = 221/2.
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
[[Категория:Проект ДООМ]]