Семинар ДООМ. Факультативное занятие. Конкурсные задачи на проценты. - История изменений

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:33, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:33:20Z

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:32, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:32:16Z

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:29, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:29:55Z

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:25, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:25:20Z

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:16, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:16:27Z

Москевич Лариса Вячеславовна в 15:12, 8 ноября 2008

2008-11-08T15:12:21Z

Москевич Лариса Вячеславовна: Новая: Цель. 1. Познакомить учащихся с задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах в ВУЗ. 2. Рассмо...

2008-11-08T15:06:42Z

Новая: Цель. 1. Познакомить учащихся с задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах в ВУЗ. 2. Рассмо...

Новая страница

Цель.
1. Познакомить учащихся с задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах в ВУЗ.
2. Рассмотреть способы решения таких задач.
Задача №1(МГУ, физфак)

Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4 % примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
Решение.
№ Количество (т) Количество чистого металла (т) Процент %
руда 24 0,6*24 = 0,96х 60%
металл х 0,96х 96%
0,6*24 = 0,96х
Х=15
Ответ 15 тонн.

Задача №2(МГУ, экономический факультет)

Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глицерином, второй бак – водой. Взяли два двухлитровых ковша, зачерпнули полным первым ковшом глицерин из первого бака, полным вторым ковшом – воду из второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй ковш – в первый бак. Затем перемешали, снова зачерпнули полным первым ковшом смесь из первого бака, полным вторым ковшом смесь из второго бака, и влили первый ковш во второй бак, а второй – в первый бак. В результате 40% объема первого бака занял чистый глицерин. Определить суммарный объем баков, если известно, что второй бак в четыре раза больше по объему первого бака.
Решение.
№ Количество V (л) Количество V глицерина (л) первоначально Процент % глицерина
1 бак x х 100%
2 бак 4х 0 0%
№ Количество V (л) Количество V глицерина (л) после 1-го переливания Процент % глицерина
1 бак x Х - 2 (х-2)*100%/х
2 бак 4х 2 2*100%/4х
№ Количество V (л) Количество V глицерина (л) после 2-го переливания Процент % глицерина
1 бак x Х-2 -(х-2)*2 /х + 2*2/4х = 0,4х 40%

х-2 -(х-2)*2 /х + 2*2/4х = 0,4х, (х-2)^2 – 0,4x^2 = 0,
решая уравнение и анализируя решения делаем вывод, что х =5, 4х+х = 20+5 = 25.
Ответ. 25литров.
Задача №3(МГУ, экономический факультет)

Команда школьников, состоящая из мальчиков и девочек, участвовала в командных соревнованиях по шахматам. Мальчики этой команды сыграли в совокупности 60 партий, а девочки- 40. Из всех сыгранных мальчиками партий, мальчики выиграли 45% партий, а из всех сыгранных девочками партий, девочки проиграли 50% партий. Мальчики проиграли на 7 партий больше, чем девочки сыграли вничью. За победу в одной партии дается одно очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение 0 очков. Школьники одной и той же команды друг с другом не играют. Определить, сколько очков завоевано мальчиками этой команды, если вся команда набрала 52 очка.

Решение.
Мальчики выиграли 60*0,45 = 27 партий. Девочки выиграли или сыграли вничью 40*0,5 =20 партий. Пусть мальчики вничью сыграли х партий, тогда они проиграли (60-27)-х = 33-х партий, что на 7 партий больше, чем девочки сыграли вничью.
Значит, вничью девочки сыграли 33-х-7 = 26 – х партий.
Всего девочки и мальчики набрали 52 очка.
Составим и решим уравнение:
27*1+х*0,5+(20-(26-х))*1 + (26-х)*0,5 = 52, х = 18.
Очки, завоеванные мальчиками:
27*1+18*0,5 = 36.
Ответ. 36 очков.

Задача №4(ГУ ВШЭ)

В течение трех лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем, в течение двух лет нес убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она по отношению к первоначальному вкладу?

Решение.

Пусть А0 – начальный капитал, х – доля прибыли, соответствующая х*100% проценту прибыли по отношению к каждому предыдущему году в течение 3-х лет, тогда х/2-соответствующая доля убытков в каждые два последующих года.
Величина вклада за пять лет:
А = А0(1+х)^3(1-[/2)^2.
Необходимо найти А(х), если 0≤х≤2 (до 200%)
Производная А’(x) = A0(1+x)^2(1-x/2)(2-2,5x).
Критические точки, принадлежащие [0;2]: х = 2 и х = 4/5.
A(4/5) наибольшее = А0(1+4/5)^3(1-2/5)^2 = A0* 3436/1125 > A0,
искомый процент равен 4/5*100% = 80%
Относительная прибыль (А-А0)/А0 = 311/1125
Абсолютная прибыль А-А0 = 311/1125 А0.
Ответ. 80%, 311/1125 А0.

Задача №5(ГУ ВШЭ)

Фирма при продаже катеров двух типов А и В имеет соответственно прибыль: по типу А – 2000$, по типу В – 1000$ (в долларах) за каждый катер. Спрос на катера диктует следующие ограничения: общее число катеров, проданных фирмой за неделю не менее 12 штук, но меньше 15 штук. Число катеров типа В при этом составляет не более 25 % от общего числа проданных за неделю, причем не менее 2 штук. Вычислить максимальную прибыль фирмы за неделю и число проданных катеров каждого типа.

Решение.
Пусть х и у – число проданных катеров типов А и В по цене 2000 и 1000 долларов соответственно.
Прибыль, полученная от продажи:
S = 2000x+1000y.
По условию задачи 12 ≤х +у≤15, 2≤у≤0,25(х+у).
у≥2, y≤х/3, 12-х≤у≤15-х. Построим.

Из геометрических соображений точка (12;2) является искомой, для которой прибыль будет наибольшей
S = 12*2000+2*1000 = 26000$.
Ответ. Максимальная прибыль 26000$, катеров типа А – 12 штук, типа В – 2.

Задача №6 (ЗФМШ при МФТИ)

В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52% из них - белые. Если отложить три самых маленьких гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

Решение.
Пусть в корзине лежало x белых и у небелых грибов. Белых – 52%, т.е. х = 0,52(х+у).
0,48х = 0,52у, у =12х/13.
Из корзины взяли 3 гриба, пусть из них а белых, 0≤а≤3. После чего белых и небелых в корзине осталось равное количество.
х - а = 0,5(х+у-3), у = 12х/13.
Решая, получаем х = 26а – 39.
Т.к. а – целое и 0≤а≤3, и х и у –натуральные, то а=2, х = 13, у = 12.
х+у = 25.
Ответ. 25 грибов было в корзине.

← Предыдущая		Версия 15:33, 8 ноября 2008
Строка 152:		Строка 152:

	[[Изображение:Grafik.jpg]]		[[Изображение:Grafik.jpg]]
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 .	Познакомить учащихся с задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах в ВУЗ.
 .	Рассмотреть способы решения таких задач.
@@ Строка 150: / Строка 151: @@
 Максимальная прибыль 26000$, катеров типа А – 12 штук, типа В – 2.
+[[Изображение:Grafik.jpg]]
-−
-−
-−
-−
-−
-[[Изображение:grafik.jpg]]

@@ Строка 78: / Строка 78: @@
 Мальчики выиграли 60*0,45 = 27 партий. Девочки выиграли или сыграли вничью 40*0,5 =20 партий. Пусть мальчики вничью сыграли х партий, тогда они проиграли (60-27)-х = 33-х партий, что на 7 партий больше, чем девочки сыграли вничью.
 Значит, вничью девочки сыграли 33-х-7 = 26 – х партий.
 Всего девочки и мальчики набрали 52 очка.
 Составим и решим уравнение:
 *1+х*0,5+(20-(26-х))*1 + (26-х)*0,5 = 52, х = 18.
 Очки, завоеванные мальчиками:
 *1+18*0,5 = 36.
@@ Строка 94: / Строка 102: @@
 Пусть А0 – начальный капитал, х – доля прибыли, соответствующая х*100% проценту прибыли по отношению к каждому предыдущему году в течение 3-х лет, тогда х/2-соответствующая доля убытков в каждые два последующих года.
 Величина вклада за пять лет:
 А = А0(1+х)^3(1-[/2)^2.
 Необходимо найти А(х), если 0≤х≤2 (до 200%)
 Производная А’(x) = A0(1+x)^2(1-x/2)(2-2,5x).
 Критические точки, принадлежащие [0;2]: х = 2 и х = 4/5.
 A(4/5) наибольшее = А0(1+4/5)^3(1-2/5)^2 = A0* 3436/1125 > A0,
 искомый процент равен 4/5*100% = 80%
 Относительная прибыль (А-А0)/А0 = 311/1125
 Абсолютная прибыль А-А0 = 311/1125 А0.
@@ Строка 114: / Строка 131: @@
 Пусть х и у – число проданных катеров типов А и В по цене 2000 и 1000 долларов соответственно.
 Прибыль, полученная от продажи:
 S = 2000x+1000y.
 По условию задачи 12 ≤х +у≤15, 2≤у≤0,25(х+у).
 у≥2,  y≤х/3, 12-х≤у≤15-х. Построим.
 Из геометрических соображений точка (12;2) является искомой, для которой прибыль будет наибольшей
 S = 12*2000+2*1000 = 26000$.
-Ответ. Максимальная прибыль 26000$, катеров типа А – 12 штук, типа В – 2.
+Ответ.
@@ Строка 130: / Строка 155: @@
-[[Изображение:Example.jpg]]
@@ Строка 153: / Строка 179: @@
 Решение.
-Пусть в корзине лежало x белых и у небелых грибов. Белых – 52%, т.е. х = 0,52(х+у).
+Пусть в корзине лежало x белых и у небелых грибов.
 ,48х = 0,52у, у =12х/13.
 Из корзины взяли 3 гриба, пусть из них а белых, 0≤а≤3. После чего белых и небелых в корзине осталось равное количество.
 х - а = 0,5(х+у-3), у = 12х/13.
 Решая, получаем х = 26а – 39.
 Т.к. а – целое и 0≤а≤3, и х и у  –натуральные, то а=2, х = 13, у = 12.
 х+у = 25.
@@ Строка 165: / Строка 203: @@
 ----
 --[[Участник:Москевич Лариса Вячеславовна|Москевич Лариса Вячеславовна]] 20:12, 8 ноября 2008 (UZT)
 [[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]

@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 Решение.
-№	Количество V (л)	Количество V глицерина (л) первоначально	Процент % глицерина
+{| class="wide" border=1
-бак	x	х	100%
+|-
-бак	4х	0	0%
+!№||Количество V (л)||Количество V глицерина первоначально(л) ||Процент % глицерина
-№	Количество V (л)	Количество V глицерина (л) после 1-го переливания	Процент % глицерина
+|-
-бак	x	Х - 2	(х-2)*100%/х
+||1 бак||x||x||100%
-бак	4х	2	2*100%/4х
+|-
-№	Количество V (л)	Количество V глицерина (л) после 2-го переливания	Процент % глицерина
+||2 бак||4x||0||0%
-бак	x	Х-2 -(х-2)*2 /х + 2*2/4х = 0,4х	40%
+|-
-х-2 -(х-2)*2 /х + 2*2/4х = 0,4х, (х-2)^2 – 0,4x^2 = 0,
+|-
-решая уравнение и анализируя решения делаем вывод, что х =5, 4х+х = 20+5 = 25.
+||2 бак||4x||2||2*100%/4х
 Ответ. 25литров.

@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 Решение.
-№	Количество (т)	Количество чистого металла (т)	Процент %
+{| class="wide" border=1
-руда	24	0,6*24 = 0,96х	60%
+|-
-металл	х	0,96х	96%
+!№||Количество (т)||Количество чистого металла (т)||Процент %
-,6*24 = 0,96х
+|-
 Х=15

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 .	Познакомить учащихся с задачами, предлагавшимися на вступительных экзаменах в ВУЗ.
 .	Рассмотреть способы решения таких задач.
 Задача №1(МГУ, физфак)
 Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4 % примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?
 Решение.
 №	Количество (т)	Количество чистого металла (т)	Процент %
 руда	24	0,6*24 = 0,96х	60%
@@ Строка 14: / Строка 17: @@
 ,6*24 = 0,96х
 Х=15
 Ответ 15 тонн.
-Задача №2(МГУ, экономический факультет)
+'''Задача №2(МГУ, экономический факультет)'''
 Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глицерином, второй бак – водой. Взяли два двухлитровых ковша, зачерпнули полным первым ковшом глицерин из первого бака, полным вторым ковшом – воду из второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй ковш – в первый бак. Затем перемешали, снова зачерпнули полным первым ковшом смесь из первого бака, полным вторым ковшом смесь из второго бака, и влили первый ковш во второй бак, а второй – в первый бак. В результате 40% объема первого бака занял чистый глицерин. Определить суммарный объем баков, если известно, что второй бак в четыре раза больше по объему первого бака.
 Решение.
 №	Количество V (л)	Количество V глицерина (л) первоначально	Процент % глицерина
 бак	x	х	100%
@@ Строка 31: / Строка 37: @@
 х-2 -(х-2)*2 /х + 2*2/4х = 0,4х, (х-2)^2 – 0,4x^2 = 0,
 решая уравнение и анализируя решения делаем вывод, что х =5, 4х+х = 20+5 = 25.
 Ответ. 25литров.
 Задача №3(МГУ, экономический факультет)
 Команда школьников, состоящая из мальчиков и девочек, участвовала в командных соревнованиях по шахматам. Мальчики этой команды сыграли в совокупности 60 партий, а девочки- 40. Из всех сыгранных мальчиками партий, мальчики выиграли 45% партий, а из всех сыгранных девочками партий, девочки проиграли 50% партий. Мальчики проиграли на 7 партий больше, чем девочки сыграли вничью. За победу в одной партии дается одно очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение 0 очков. Школьники одной и той же команды друг с другом не играют. Определить, сколько очков завоевано мальчиками этой команды, если вся команда набрала 52 очка.
 Решение.
 Мальчики выиграли 60*0,45 = 27 партий. Девочки выиграли или сыграли вничью 40*0,5 =20 партий. Пусть мальчики вничью сыграли х партий, тогда они проиграли (60-27)-х = 33-х партий, что на 7 партий больше, чем девочки сыграли вничью.
 Значит, вничью девочки сыграли 33-х-7 = 26 – х партий.
@@ Строка 44: / Строка 53: @@
 Очки, завоеванные мальчиками:
 *1+18*0,5 = 36.
 Ответ. 36 очков.
-Задача №4(ГУ ВШЭ)
+'''Задача №4(ГУ ВШЭ)'''
 В течение трех лет вкладчик имел одинаковый процент прибыли по отношению к каждому предыдущему году, а затем, в течение двух лет нес убытки ежегодно в половине процентов по сравнению с процентами прибыли. При какой исходной процентной ставке, не превышающей 200% годовых, вкладчик будет иметь наибольшую итоговую прибыль за пять лет и какова она по отношению к первоначальному вкладу?
@@ Строка 62: / Строка 72: @@
 Относительная прибыль (А-А0)/А0 = 311/1125
 Абсолютная прибыль А-А0 = 311/1125 А0.
 Ответ. 80%, 311/1125 А0.
-Задача №5(ГУ ВШЭ)
+'''Задача №5(ГУ ВШЭ)'''
 Фирма при продаже катеров двух типов А и В имеет соответственно прибыль: по типу А – 2000$, по типу В – 1000$ (в долларах) за каждый катер. Спрос на катера диктует следующие ограничения: общее число катеров, проданных фирмой за неделю не менее 12 штук, но меньше 15 штук. Число катеров типа В при этом составляет не более 25 % от общего числа проданных  за неделю, причем не менее 2 штук. Вычислить максимальную прибыль фирмы за неделю и число проданных катеров каждого типа.
 Решение.
 Пусть х и у – число проданных катеров типов А и В по цене 2000 и 1000 долларов соответственно.
 Прибыль, полученная от продажи:
@@ Строка 78: / Строка 90: @@
 Из геометрических соображений точка (12;2) является искомой, для которой прибыль будет наибольшей
 S = 12*2000+2*1000 = 26000$.
 Ответ. Максимальная прибыль 26000$, катеров типа А – 12 штук, типа В – 2.
@@ Строка 86: / Строка 99: @@
@@ Строка 102: / Строка 116: @@
+'''Задача №6 (ЗФМШ при МФТИ)'''
 Задача №6 (ЗФМШ при МФТИ)
 В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52% из них  - белые. Если отложить три самых маленьких гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?
 Решение.
 Пусть в корзине лежало x белых и у небелых грибов. Белых – 52%, т.е. х = 0,52(х+у).
 ,48х = 0,52у, у =12х/13.
@@ Строка 115: / Строка 129: @@
 Т.к. а – целое и 0≤а≤3, и х и у  –натуральные, то а=2, х = 13, у = 12.
 х+у = 25.
 Ответ. 25 грибов было в корзине.