Семинар ДООМ Неравенство треугольника в примерах - История изменений

Коннова Елена в 18:12, 6 декабря 2009

2009-12-06T18:12:45Z

Коннова Елена в 18:46, 31 октября 2009

2009-10-31T18:46:34Z

Коннова Елена в 18:24, 26 октября 2009

2009-10-26T18:24:38Z

Коннова Елена в 18:19, 26 октября 2009

2009-10-26T18:19:56Z

Коннова Елена в 13:01, 26 октября 2009

2009-10-26T13:01:04Z

Коннова Елена в 12:51, 26 октября 2009

2009-10-26T12:51:53Z

Коннова Елена в 12:50, 26 октября 2009

2009-10-26T12:50:47Z

Коннова Елена в 12:37, 26 октября 2009

2009-10-26T12:37:05Z

Коннова Елена: Новая: Неравенство треугольника в примерах Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — э...

2009-10-26T12:24:49Z

Новая: Неравенство треугольника в примерах Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — э...

Новая страница

Неравенство треугольника в примерах

Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник ΔABC. Тогда | AC | ≤ | AB | + | BC |, причём
равенство | AC | = | AB | + | BC | достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C, на отрезке АС.

рис1

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Далее выводится теорема, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Затем методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. Из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника является неравенство:
| AC | - | AB | ≥ | BC |

Неравенство треугольника для трехгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Задача 1: a, b, c – стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c – целое число. Найти c.

Р0. Из неравенства треугольника c < a+b, с<3,17+0,75, с< 3,92; но из обратного неравенства треугольника c>a-b, т.е. с> 3,17-0,75, c>2,42. Т.к. с - целое число, оно равно 3.

Задача 2: Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.
Р0. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника BD<BC+CD, BC<BA+AD, тогда 2BD<BC+CD+DA+AB, 2BD<PABCD.

рис2.

Задача 3:

Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника AB<AD+DB, BD<BC+CD, отсюда AB<AD+BC+CD.

Задача 4: М и Р – точки внутри многоугольника. Доказать, что расстояние между ними меньше половины периметра многоугольника.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Продлим отрезок МР до пересечения со сторонами четырехугольника – К и Т.

рис.3

КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то
КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.

Аналогично доказывается для случая, когда прямая АВ пересекает соседние стороны четырехугольника или проходит через вершину.

Задача 5: Есть 7 реек длиннее 9 см, но короче 1 м. Доказать, что из трех из них можно составить треугольник.

РЕШЕНИЕ. Предположим, что треугольник составить нельзя. Берем 2 самых коротких, их длина больше 9 см. Следующим должен быть больше 9 + 9 = 18 см, иначе можно составить треугольник. Четвертый больше 18 + 9 = 27, пятый больше 27 + 18 = 45, шестой больше 45 + 27 = 72, и последний будет больше 72 + 45 = 112, что больше метра. Получили противоречие. Значит, из трех из них можно составить треугольник.

Задача . На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрали точку D , а на продолжении AC за вершину C – точку E , причём AD=CE . Докажите, что BD+BE > AB+BC .

Решение.

рис.4

На продолжении стороны AB за точку A отложим отрезок AF , равный AB . Треугольник ADF равен треугольнику CEB по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF = BE . Применив неравенство треугольника к треугольнику FDB , получим, что
AB+BC = BF < BD+DF = BD + BE, что и требовалось доказать.

[[Категория:Проект ДООМ 2009-2010]].

← Предыдущая		Версия 18:46, 31 октября 2009
Строка 3:		Строка 3:
	[[Участник: Коннова Елена]]		[[Участник: Коннова Елена]]

−	Руководитель команд ДООМ 2009 [[Участник: ~~IDm 083~~\| IDm 083]] и [[Участник:Великие математики IDm082\|Великие математики IDm 082]]	+	Руководитель команд ДООМ 2009 [[Участник:Многоугольник IDm083\|Многоугольник IDm 083]] и [[Участник:Великие математики IDm082\|Великие математики IDm 082]]

@@ Строка 70: / Строка 70: @@
 Литература:
 Словари и энциклопедии на Академике [http://dic.academic.ru]
 wiki.iteach.ru/images/4/4a/БаженовЗадачи.doc
 Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина [http://school-collection.edu.ru/catalog]
 [[Категория:Проект ДООМ 2009-2010]].

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Неравенство треугольника в примерах'''
-[[Коннова Елена]]
+[[Участник: Коннова Елена]]
 Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.

← Предыдущая		Версия 12:51, 26 октября 2009
Строка 65:		Строка 65:
	AB+BC = BF < BD+DF = BD + BE, что и требовалось доказать.		AB+BC = BF < BD+DF = BD + BE, что и требовалось доказать.

		+	Литература:
		+	Словари и энциклопедии на Академике [http://dic.academic.ru]
		+	wiki.iteach.ru/images/4/4a/БаженовЗадачи.doc
		+	Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина [http://school-collection.edu.ru/catalog]


	[[Категория:Проект ДООМ 2009-2010]].		[[Категория:Проект ДООМ 2009-2010]].

← Предыдущая		Версия 12:50, 26 октября 2009
Строка 1:		Строка 1:
−	Неравенство треугольника в примерах	+	'''Неравенство треугольника в примерах'''
		+
		+	[[Коннова Елена]]

	Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.		Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Руководитель команд ДООМ 2009 [[Участник:Многоугольник IDm083|Многоугольник IDm 083]] и [[Участник:Великие математики IDm082|Великие математики IDm 082]]
 Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.
@@ Строка 27: / Строка 38: @@
 Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
   Задача 1: a, b, c – стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c – целое число. Найти c.

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 равенство | AC | = | AB | + | BC | достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C, на отрезке АС.
-рис1
+[[Изображение:нертр1.JPG]]
 Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Далее  выводится теорема, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Затем методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. Из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 Р0. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника BD<BC+CD, BC<BA+AD, тогда 2BD<BC+CD+DA+AB, 2BD<PABCD.
-рис2.
+[[Изображение:нертр2.JPG]]
   Задача 3: Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.
@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Продлим отрезок МР до пересечения со сторонами четырехугольника – К и Т.
-рис.3
+[[Изображение:нертр3.JPG]]
 КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.
@@ Строка 63: / Строка 63: @@
 Решение.
-рис.4
+[[Изображение:нертр4.JPG]]
 На продолжении стороны AB за точку A отложим отрезок AF , равный AB . Треугольник ADF равен треугольнику CEB по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF = BE . Применив неравенство треугольника к треугольнику FDB , получим, что

@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
-Задача 1: a, b, c – стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c – целое число. Найти c.
+ Задача 1: a, b, c – стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c – целое число. Найти c.
-Р0. Из неравенства треугольника c < a+b, с<3,17+0,75, с< 3,92; но из обратного неравенства треугольника c>a-b, т.е. с> 3,17-0,75,  c>2,42. Т.к. с - целое число, оно равно 3.
+РЕШЕНИЕ. Из неравенства треугольника c < a+b, с<3,17+0,75, с< 3,92; но из обратного неравенства треугольника c>a-b, т.е. с> 3,17-0,75,  c>2,42. Т.к. с - целое число, оно равно 3.
-Задача 2: Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.
+ Задача 2: Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.
 Р0. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника BD<BC+CD, BC<BA+AD, тогда 2BD<BC+CD+DA+AB, 2BD<PABCD.
 рис2.
-Задача 3:
+ Задача 3: Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.
-−
 Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.
 РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника AB<AD+DB, BD<BC+CD, отсюда AB<AD+BC+CD.
-Задача 4: М и Р – точки внутри многоугольника. Доказать, что расстояние между ними меньше половины периметра многоугольника.
+ Задача 4: М и Р – точки внутри многоугольника. Доказать, что расстояние между ними
@@ Строка 44: / Строка 44: @@
 рис.3
-КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то
+КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.
- КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.
 Аналогично доказывается для случая, когда прямая АВ пересекает соседние стороны четырехугольника или проходит через вершину.
-Задача 5: Есть 7 реек длиннее 9 см, но короче 1 м. Доказать, что из трех из них можно составить треугольник.
+ Задача 5: Есть 7 реек длиннее 9 см, но короче 1 м. Доказать, что из трех из них можно составить
 РЕШЕНИЕ. Предположим, что треугольник составить нельзя. Берем 2 самых коротких, их длина больше 9 см. Следующим должен быть больше 9 + 9 = 18 см, иначе можно составить треугольник. Четвертый больше 18 + 9 = 27, пятый больше 27 + 18 = 45, шестой больше 45 + 27 = 72, и последний будет больше 72 + 45 = 112, что больше метра. Получили противоречие. Значит, из трех из них можно составить треугольник.
-Задача . На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрали точку D , а на продолжении AC за вершину C – точку E , причём AD=CE . Докажите, что BD+BE > AB+BC .
+ Задача 6. На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрали точку D,
 Решение.