Лысков Алексей: /* Симметричная троичная система счисления */

2011-10-05T16:23:14Z

Симметричная троичная система счисления

Михеева Ольга: Новая: '''Автор-составитель:''' ''Лысков Алексей Владимирович'' '''Троичная система счисления.''' Материал взят ...

2011-09-28T15:32:39Z

Новая: '''Автор-составитель:''' ''Лысков Алексей Владимирович'' '''Троичная система счисления.''' Материал взят ...

Новая страница

'''Автор-составитель:''' ''Лысков Алексей Владимирович''

'''Троичная система счисления.'''

Материал взят из [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Википедии] — свободной энциклопедии.

'''Троичная система счисления''' — [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F позиционная система счисления] с [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE целочисленным] основанием равным 3.

Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.

Троичные цифры можно обозначать любыми тремя [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA знаками] {A,B,C}, {X,Y,Z}, {!,?,%} и др., но в несимметричной троичной системе счисления чаще применяются [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D1%8B цифры] {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}[1], {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}.

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду (тр.р.) в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

== Представление чисел в троичных системах счисления ==
'''Сдвоенные комбинированные системы счисления'''

В сдвоенных (спаренных, комбинированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:

1. внутриразрядная система счисления с основанием '''a''', числа которой используются для записи цифр и
2. приписная межразрядная система счисления с основанием '''b'''.

Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — \ a_k на '''k'''-тые степени числа b:
[[Изображение:B01736de1750d29a7eeee1e2972173b3.png]], где

* '''k''' — число от 0 до n-1, номер числового [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8F%D0%B4 разряда],
* '''n''' — число разрядов,
* '''a''' — число, основание основной внутриразрядной системы счисления,
* '''ak''' — целые числа из множества a, называемые цифрами,
* '''b''' — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
* '''bk''' — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение [[Изображение:6fc453ed88f58dd0e8d40b2915fa6cb4.png]]в такой записи называется '''(a, b)'''-ичным разрядом

При '''b=a''' образуются '''(a, a)'''-ичные системы счисления с произведением — '''akak''' и суммой [[Изображение:A9e8fb3e529d57f6e59fa9080be684c9.png]], которые при '''a=3''' превращаются в обычную '''(3,3)'''-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — '''bk''' — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — '''k''', и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества '''a={0,1,2}''', но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как ak-тые ближе к аппаратной части и по '''ak'''- тым из множества '''a={0,1,2}''' или из множества '''a={-1,0,+1}''', а не по '''bk''' мы определяем и относим число '''x(a, b)''' к троичным системам кодирования, то есть большие основания считать '''a''' основным основанием системы счисления, '''b''' в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование '''(BCD)''', в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления — десятичная.

'''Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления'''

Целое число ''x'' в сдвоенной (спаренной) позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

[[Изображение:A48361184cf3d2c5e75adf6a502e8974.png]]

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты '''bk''', в записи они опускаются, но подразумевается, что '''k'''-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный '''bk'''.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:[[Изображение:3d27b8cd6bfa1955f68009a5cf134810.png]], где:

'''a=3 — 3-х''' элементное множество '''a={0,1,2}''' из которого берутся цифры '''ak''', '''n''' — число элементов (цифр) в числе '''x3,b'''.

Дробное число записывается и представляется в виде:[[Изображение:D4f5477109e31a4435708f6603f2bb51.png]] , где '''m''' — число разрядов дробной части сдвоенного (спаренного) позиционного числа справа от запятой,

при '''m=0''' дробная часть отсутствует, число — целое,

при '''ak''' из троичного множества '''a={0,1,2}''' и '''b=1''' образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными '''1k=1''',

при '''ak''' из двоичного множества '''a={0,1}''' и '''b=3''' в сумме будут только целые степени — '''3k,'''

при '''ak''' из троичного множества '''a={0,1,2}''' и '''b=3''' в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, '''ak''' удовлетворяют неравенству ''0<='''''ak'''''<=(b-1)<b'', т.е. ''0<='''''ak'''''<=2<3'',

при '''ak''' из десятичного множества ''a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}'' и '''b=3''' в сумме будут целые степени 3 умноженные на ''1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.''
В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

'''Строенные комбинированные троичные системы счисления'''

В строенных (комтринированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель '''(b/с)''':[[Изображение:3050b34770e9adddcb718eaeb1db1ac2.png]]

В общем случае '''c≠3'''.
При '''ak''' из '''a={0,1,2}''', '''b=3''' и '''c=3''' образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При '''a=2''', '''b=3''' и '''c=2''' образуется ''(2,3,2)''-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным ''(3/c)=(3/2)=1,5''.
При других значениях '''a''', '''b''' и '''c''' образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем''' (b/c)''', число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

'''Кодирование троичных цифр'''

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:

''2 — (+1) ;

1 — (0) ;

0 — (-1) .
''

2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование

1 (Binary Coded Ternary, BCT representation):

''2 — (1,0);

1 — (0,1);

0 — (0,0).
''
3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2

(Binary Coded Ternary, BCT representation):

''2 — (1,1);

1 — (0,1);

0 — (0,0).''

3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1:

''2 — (1,0,0);

1 — (0,1,0);

0 — (0,0,1).''

4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:

''2 — (0,1,1);

1 — (1,0,1);

0 — (1,1,0).''

5. Трёхразрядное единичное (унарное) трёхпроводное кодирование 3:

''2 — (1,1,1);

1 — (0,1,1);

0 — (0,0,1).''

6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:

''2 — (0,0,0);

1 — (1,0,0);

0 — (1,1,0).''

и др.

'''Сравнение с двоичной системой счисления'''

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость ''29 = 512'' чисел, а троичный код имеет ёмкость ''39 = 19683'' числа, то есть в ''39 / 29 = 38,4'' раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость ''227 = 134217728'' чисел, а троичный код имеет ёмкость ''327 = 7625597484987'' чисел, то есть в ''327 / 227 = 56815,13'' раз больше.
При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость ''281 = 2417851693229258349412352'' числа, а троичный код имеет ёмкость ''381 = 4,434e + 38'' чисел, то есть в ''381 / 281 = 183396897083556,95'' раз больше.

'''Свойства'''

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе ''3*10=30'' знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D1%84%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD Джону фон Нейману].

'''Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную'''

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на ''3'' до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.
''Пример: десятичное целое число ''4810,10'' переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0
частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1
частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2
частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1''
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат'' 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.''

== Симметричная троичная система счисления ==

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге в 1877 г. Позже этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, интересовался Д. И. Менделеев.

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой 1 (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления.

'''Свойства'''

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: ''−1, 0, 1,'' с которым связано пять ценных свойств:

* Естественность представления отрицательных чисел;
* Отсутствие проблемы округления.
* Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.(стр.34).
* Для изменения знака у представляемого числа нужно изменять знаки у всех его цифр. Это свойство увеличивает число операций при перемене знака (в несимметричных системах изменяется только один знаковый разряд), но повышает надёжность при сбоях в одном или более разрядах.
* При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
* По затратам числа знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.

'''Представление отрицательных чисел'''

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

[[Изображение:32df26593ca240899460e0ed41b91333.png]]

[[Изображение:8f5bae18552bdf4bd5912ddebbe63d09.png]]

'''Округление'''

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

'''Перевод чисел из десятичной системы в троичную'''

Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах [16][17]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.

'''Перевод в другие системы счисления'''

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

[[Изображение:94dfa365e034eb004fd2259c0456c21f.png]], где

[[Изображение:5749b16b9eac7c134e595dcfb2d6e505.png]]- целая часть числа,

[[Изображение:Bb1795907115a9e20e7eb84cd8a21908.png]] — дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения'' { 1, 0, −1 }''.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

'''Практические применения'''

* Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
* Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.
'''
Интернет-ресурсы:
'''
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F#cite_note-0 Википедия]

[http://traditio.ru/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F traditio]

[http://ru.vlab.wikia.com/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Virtual Laboratory Wiki ]

[[Категория:ТГУ]]

← Предыдущая		Версия 16:48, 15 октября 2011
Строка 219:		Строка 219:


−	Пройти обязательно [http://master-test.net/ru~~/teacher~~/quiz/~~editor/run/1~~/id/10021 Тест по Сс-3]	+	Пройти обязательно [http://master-test.net/ru/quiz/testing/id/10021 Тест по Сс-3]

@@ Строка 217: / Строка 217: @@
 * Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
 * Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.
 '''
 Интернет-ресурсы:
 '''
 [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F#cite_note-0 Википедия]

Троичная система счисления - История изменений

Лысков Алексей: /* Симметричная троичная система счисления */

Лысков Алексей: /* Симметричная троичная система счисления */

Михеева Ольга: Новая: '''Автор-составитель:''' ''Лысков Алексей Владимирович'' '''Троичная система счисления.''' Материал взят ...