Копилка знаменитых задач продолжение 4

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 51 промежуточная версия 13 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 +
 +
<font color="red"> Внимание! </font> Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 5]]'''
  
 
----
 
----
Строка 30: Строка 32:
 
--[[Участник:Пифагор ID 220|&quot;Пифагор ID 220&quot;]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)
 
--[[Участник:Пифагор ID 220|&quot;Пифагор ID 220&quot;]] 15:35, 27 октября 2008 (UZT)
  
−
Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим  следующую забавную задачу:
+
'''Задача 2''' В старинной арифметике Магницкого мы находим  следующую забавную задачу:
 
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
 
Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
 
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
 
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
 
Тогда продавец предложил другие условия:
 
Тогда продавец предложил другие условия:
 
-Если, по-твоему, цена лошади  высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
 
-Если, по-твоему, цена лошади  высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
−
Решение:  За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
+
 
−
2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той  «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том,  чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142
+
'''Решение:''' За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
−
                                                                                                                                                                              365
+
 
−
Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение  
+
'''Задача №3''' '''Картина Богданова-Бельского «Трудная задача»''' известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той  «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том,  чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365
 +
 
 +
'''Решение:''' 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение  
 
равно 2.
 
равно 2.
−
Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру»  Эйлера):
+
 
 +
'''Задача 4.''' (из учебника «Введение в алгебру»  Эйлера):
 
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6  2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
 
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6  2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
−
Решение:  У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6  2/3 : х = 20: (3х)
+
 
−
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:  
+
'''Решение:''' У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6  2/3 : х = 20: (3х)
−
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в  k раз дороже, чем вторая. Если бы  перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в  k раз дороже. Это значит, что  она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:  k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
+
За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:  
−
Задача 4.  Стая обезьян (индусская задача) :
+
Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в  k раз дороже, чем вторая. Если бы  перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в  k раз дороже. Это значит, что  она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:  k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
 +
 
 +
'''Задача 5.''' Стая обезьян (индусская задача) :
 
На две партии разбившись,
 
На две партии разбившись,
 
Забавлялись обезьяны.
 
Забавлялись обезьяны.
Строка 54: Строка 61:
 
Вместе сколько, ты мне скажешь.
 
Вместе сколько, ты мне скажешь.
 
Обезьян там  было в роще?
 
Обезьян там  было в роще?
−
Решение: Общая численность стаи х,  тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
 
−
Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):
 
  
−
Задача 6. Продажа кур.  
+
'''Решение:''' Общая численность стаи х,  тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
 +
 
 +
 
 +
'''Задача 6. Продажа кур.'''
 
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
 
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
−
Решение: Обозначим число кур, проданных  каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через  m, после полудня – через n.  
+
 
 +
'''Решение:''' Обозначим число кур, проданных  каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через  m, после полудня – через n.  
 
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
 
Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35;
 
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
 
вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35;
 
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
 
третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:
−
    (m- n) x+10n=35
+
(m- n) x+10n=35
−
    (m- n) y +16n=35
+
(m- n) y +16n=35
−
      (m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
+
(m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:
 
(m- n) (z - x) +16n=0                         
 
(m- n) (z - x) +16n=0                         
 
(m- n) (z - y) +10n=0 или
 
(m- n) (z - y) +10n=0 или
Строка 75: Строка 84:
 
y = z+5 t  Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
 
y = z+5 t  Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения
 
x = z+8 t и y = z+5 t, находим  x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям  
 
x = z+8 t и y = z+5 t, находим  x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям  
−