Копилка знаменитых задач продолжение 6

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Копилка знаменитых задач продолжение 6» [edit=sysop:move=sysop])
 
(не показаны 85 промежуточных версий 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 +
 +
<font color="red"> Внимание! </font> Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 7]]'''
  
 
----
 
----
Строка 9: Строка 11:
 
'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
 
'''Задача № 39. Старинная задача:''' Один пастух говорит другому: «Дай мне одну из твоих овец и у меня буде вдвое более овец чем у тебя». Второй пастух отвечает: Нет, лучше ты дай мне одну из твоих овец, тогда у нас будет овец поровну». Сколько овец было у каждого пастуха?
 
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений:  х+1=(у-1)2  и  х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
 
Решение: Обозначим кол-во овец первого пастуха за х, а кол-во овец у второго – у. Тогда получим систему из двух уравнений:  х+1=(у-1)2  и  х-1=у+1. Решая систему получим, что х=7, а у=5.
−
Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.
+
'''Ответ: у первого пастуха было 7 овец, а у второго 5.'''
  
 
'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
 
'''Задача № 40. Задача Льюиса Кэррола.'''
Строка 82: Строка 84:
 
    
 
    
  
−
----'''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР'''
+
----<big> '''Задачи команды ЛАДА-ВЕКТОР ID_279'''</big>
  
 
'''Задача №15'''
 
'''Задача №15'''
Строка 98: Строка 100:
 
                  
 
                  
 
Ответ: В стаде 315 быков.
 
Ответ: В стаде 315 быков.
 +
 +
 +
'''Задача №16'''
 +
 +
''Задача Евклида, Греция''
 +
 +
Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши.«Чего ты жалуешься? -сказал мул. Если ты дашь мне один свой мешок моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я дам тебе один мешок наши грузы сравняются». Сколько мешков было у каждого?
 +
 +
Решение:
 +
 
 +
Обозначим за Х число мешков у каждого после передачи одного мешка от мула к ослице. Тогда первоначально у мула было (Х+1) мешков , а у ослицы (Х-2) в два раза меньше, чем у мула.
 +
 +
Составим и решим уравнение:
 +
 +
х+2=2(х-2)
 +
 +
х+2=2х-4
 +
 +
х=6
 +
 +
6+1=7(мешков)- у мула
 +
 +
6-1=5(мешков)- у ослицы
 +
 +
Ответ: 5мешков у ослицы и 7мешков у мула.
 +
 +
'''''Задача №17'''''
 +
 +
''Старинная задача''
 +
 +
На вопрос о возрасте одна дама ответила: «Мой возраст таков ,что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 ,то получится одно и тоже».
 +
 +
Решая квадратное уравнение, автор замечает: «Так как вопрос касается возраста дамы, то из вежливости нужно перед радикалом поставить нижний знак».
 +
 +
Решим эту задачу с этим  дополнительным условием.
 +
 +
Пусть даме x лет. Составим уравнение:
 +
                         
 +
x = 53x – 696,и решим его беря (из вежливости) перед радикалом нижний знак.
 +
                           
 +
x – 53x + 696 = 0
 +
                   
 +
Д = 53 – 4 × 696 = 2809 - 2784 =25, квдратный корень из 25 = 5.
 +
 +
Получим x = (53- 5)/2=24. Итак, даме было 24 года.
 +
 +
'''''Задача № 18'''''
 +
 +
''Задача Ал – Каши''
 +
 +
Копьё стояло в воде отвесно и высовывалось наружу на 3 локтя.
 +
Порыв ветра наклонил его , причём нижний конец копья не изменил положение ,а верхний оказался на поверхности воды на расстоянии 5 локтей от того места где раньше копьё высовывалось из воды. Мы хотим узнать длину копья.
 +
 +
Решение:
 +
 +
Сделаем рисунок.
 +
 +
[[Изображение:Задача_Ал-Каши.JPG]]
 +
Введём обозначения.
 +
 +
АО перпендикулярно ВС,
 +
 +
АВ = 3 локтя,ВС = 5локтей
 +
 +
Найдём АО.
 +
 +
АО = АВ + ВО
 +
                                             
 +
Найдём ВО.
 +
 +
Рассмотрим прямоугольные подобные треугольники АВС и ВСО.
 +
 +
Из подобия треугольника АВС и треугольники ВСО:
 +
 +
АВ/ВС= ВО
 +
 
 +
3/5=5/ВО
 +
 +
Во = 25/3=8 1/3
 +
 
 +
АО=АВ=ВО=3+8 1/3=11 1/3 (локтя)
 +
 +
Ответ: Длина копья 11 1/3 локтя.
 +
 +
 +
'''''Задача №19'''''
 +
 +
''Задача древнего Китая''
 +
 +
Город имеет форму квадрата, в середине каждой стороны которого имеются ворота. Вне города, на расстоянии 20 бу север от северных ворот, стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, а затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то как раз в этот момент из-за стен города покажется столб. Какова ширина города?
 +
 +
[[Изображение:Задача_Ал-Каши_рисунок.JPG]]
 +
 +
[[Изображение:Задача_Китая.JPG]]
 +
 +
 +
'''''Задача № 20'''''
 +
 +
''Задача (Из арифметики Л.Ф. Магницкого.)''
 +
 +
У некоторого человека были для продажи вина двух сортов. Первое ценною 10 гривен ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежат из тех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 6 гривен.
 +
 +
''Современное решение:''
 +
 +
Пусть для составления одного ведра требуемой смеси нужно взять х ведер первого сорта (х 1) и (1-х) ведер второго сорта. первая часть вина стоит 10х гривен, а вторая 6(1-х) гривен.
 +
 +
Составим уравнение:
 +
 +
10х+6(1-х) = 7, откуда х =1/4  , 1 – х = 3/4 .
 +
 +
Итак,  нужно взять  1/4 ведра вина по 10 гривен и  3/4 ведра вина по 6 гривен за ведро.
 +
 +
''Старинный способ решения:''
 +
 +
Запишем цены вин каждого сорта и цену смеси так:
 +
 +
[[Изображение:Задача_Магницкого_1.JPG]]
 +
 +
Вычислить прибыль 7-6=1 и убыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:
 +
 +
[[Изображение:Задача_Магницкого_2.JPG]]
 +
 +
Таким образом, 3 части из четырёх приходятся на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.
 +
 +
--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 22:30, 4 ноября 2008 (UZT)
 +
 +
'''''Задача № 21'''''
 +
 +
''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''
 +
 +
'''Собака и заяц.'''
 +
Собака  усмотрела зайца в 150 саженей от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака- за 5 минут 1300 саженей.
 +
За какое время собака догонит зайца?
 +
Решение:
 +
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10  саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150 х 10= 15 минут.
 +
 +
'''''Задача №22'''''
 +
 +
''Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого.''
 +
 +
'''Два воина.'''
 +
 +
Один воин вышел  из города  и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый 5 верст и так прибавлял каждый день по  одной версте, пока не настиг первого.
 +
Через сколько дней в второй воин настигнет первого?
 +
Решение:
 +
В первый день второй воин отстанет на 12 – 2 = 11 верст, во второй еще на 12 – 2 = 10 верст, в третий еще на 12- 3 =9 верст  и так далее. На 12 ый день отставание составит (11 +10+9+…+2+1+0) верст.
 +
А затем  расстояние между ними начнет сокращаться. В 13- й  день на 13 – 12 = 1 версту, в 14 день еще на 14 – 12 = 2 версты, в 15 –й день еще  на 15 – 12 =3 версты, и , наконец , в 23-й день  на 23 – 12= 11 верст. На 23-й день расстояние между ними  уменьшиться  на ( 1+2+3+…+10+11) верст. Это значит, что второй  воин по прошествии 23 дней догонит первого.
 +
 +
'''''Задача №23'''''
 +
 +
''Задача  XVIII века.''
 +
 +
«С чем  иностранка к россам привезена?»
 +
 +
Нововыезжей в Россию  иностанной мадаме
 +
 +
Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:
 +
 +
Новой выдумки нарядное фуро
 +
 +
И праздничный чепец а ля фигаро.
 +
 +
Оценщик был  русак,
 +
 +
Сказал мадаме так:
 +
 +
«Богатство твоего первая вещь фуро
 +
 +
Вполчетверта  дороже чепца фигаро;
 +
 +
Вообще же не с половиной четыре алтына,
 +
 +
Но настоящая им цена только сего половина»
 +
 +
Спрашивается каждой вещи цена,
 +
 +
С чем иностранка к россам привезена?
 +
 +
(« Вполчетверта»- в 3 1/2 раза).
 +
 +
Решение:
 +
 +
Все имущество мадам было оценено в 1/2 х (4 +1/2) алтынов, что составляет 27/4 копеек. « Чепец фигаро» по условию в 3 1/2 раза дешевле «фуро», и, следовательно , в 4 1/2=9/2 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец  стоит  27/4 : 9/2 = 3/2  копейки, а стоимость «фуро» равна 3/2х 31/2=21/4 копейки
 +
 +
'''''Задача №24'''''
 +
 +
''Задача  XVIII века.''
 +
 +
'''Три бочки.'''
 +
 +
Хозяин имеет три бочки А,В и С. Бочка А наполнена  квасом, бочки В и С- пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого .Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется  5/9 ее содержимого.
 +
Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.
 +
Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?
 +
 +
Решение
 +
 +
Так как после наполнения бочки В в бочке А остается 2/5 ее содержимого, то вместимость  бочки В равна3/5  вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А остается 5/9ее содержимого, то вместимость  бочки С равна  4/9  вместимости бочки А.Значит , вместимость бочек. В и С равна – 3/5+4/9= 47/45=1+ 2/45 вместимости бочки А. Из условия задачи тогда следует, что 2/45
 +
Вместимости бочки А составляют 4 ведра , откуда получаем , что вместимость бочки В равна 90 х 4/9= 40 ведер.
 +
 +
--[[Участник:Лада-Вектор ID 279|Лада-Вектор ID 279]] 23:30, 5 ноября 2008 (UZT)
 +
 +
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
 +
'''Задача № 44:Задача из акмимского папируса'''.
 +
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17, оставив же он в сокровищнице 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
 +
Решение: В рукописи дробная часть ответа 17221/32 дается в виде суммы дробей, числители которых равны 1, а именно:  1/2 + 1/8 + 1/48 + 1/96.
 +
Ответ: В сокровищнице было 17221/32.
 +
 +
'''Задача № 45:Задача Диофанта (из трактата «Арифметика»).'''
 +
Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления
 +
Решение: Обозначим меньшую часть от второго деления через х, тогда большая часть от первого деления будет 2х. Найдем теперь меньшую часть от первого деления. Она будет равна 100 – 2х. Следовательно, большая часть второго деления равняется 300 – 6х. Ясно, что обе части от второго деления должны составить 100, т. е. х+(300 – 6х) = 100, откуда х = 40. Следовательно, результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80. Результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.         
 +
Ответ: Результат первого деления: меньшая часть равна 20, большая – 80; результат второго деления: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
 +
 +
'''Задача № 46: Задача из греческой антологии.'''
 +
Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает:
 +
«Что так тебя горчило, ответствуй немедля!»
 +
«Яблок я нес с Геликона немало, - Эрот отвечает, -
 +
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу
 +
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
 +
Пятою долю взяла. Талия – долю восьмую.
 +
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора,
 +
С частью седьмой Эрато от меня убежала.
 +
Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать
 +
Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа.
 +
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками,
 +
Только полсотни плодов мне оставили музы на долю».
 +
Решение: Пусть «Яблоки Эрота» - х, тогда осталось у него х – (1/12 х + 1/5 х + 1/8 х + 1/20 х + 1/4 х + 1/7 х) = 30 + 120 + 50. Решая уравнение получаем 25/168 х = 200, из этого х = 1344 яблока. 
 +
Ответ: У Эрота было 1344 яблока.
 +
 +
'''Задача №47: Задача из греческой антологии'''.
 +
Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита.
 +
Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво,
 +
Скрывши в них трубы: водой великан истекает как будто.
 +
Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна
 +
Весь водоем до краёв через три дня наполнить.
 +
Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых,
 +
Вместе все три водоём скоро ли могут наполнить?
 +
Решение: Пусть водоем – 1, тогда скорости: руки – 3, ока – 1, уст – 2/5 . Получаем уравнение: 1: (3 + 1 + 2/5) = 4 2/5 дня.
 +
Ответ: За 4 2/5 дня рука, око и уста заполнят водоем.
 +
 +
'''Задача №48:  Задача из греческой антологии.'''- Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала?
 +
- Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)
 +
Решение: Задача сводится к решению уравнения 4/3 х + х = 12, откуда х = 5 1/7 дня.
 +
Ответ: 5 1/7 дня миновала. 
 +
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 14:15, 5 ноября 2008 (UZT)
 +
 +
<font color="red"> [[Участник:ПОБЕДА ID_235]]
 +
 +
<font color="black">
 +
 +
1. Четверо братьев
 +
 +
ЗАДАЧА
 +
 +
У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?
 +
 +
РЕШЕНИЕ
 +
 +
Пусть x руб. - у первого брата, y руб. - у второго брата, z руб. - у третьего брата, t руб. - у четвертого брата.
 +
 +
Составим уравнение:
 +
 +
x + 2 = y - 2 = 2z = t/2
 +
 +
Расчленяем уравнение на три отделоных и решаем.
 +
 +
x + 2 = y - 2
 +
 +
x + 2 = 2z
 +
 +
x + 2 = t/2.
 +
Получаем следующие ответы: x = 8, y = 12, z = 5, t = 20.
 +
 +
У первого брата 8 руб., у второго - 12 руб., у третьего - 5 руб., у четвертого - 20 руб.
 +
 +
2. Задача Д.И.Менделеева
 +
 +
Великий русский ученый Д.И.Менделеев, будучи директором Главной палаты мер и весов, интересовался задачей на взвешивание при помощи одного набора гирь.
 +
Задача заключаласб в следующем: "Если иметь набор гирь по одной каждого вида, например a, b, c, d г., то по скольку граммов должны быть эти гири, чтобы при помощи их можно было взвесить любой груз, не превышающий  a + b + c + d  граммов.
 +
 +
ЗАДАЧА 
 +
 +
Пусть имеется любой груз в 86 г.  Какие нужно выбрать гири, чтобы, имея только один набор их, уравновесить это груз, если положить гири только на правую чашку весов?
 +
 +
РЕШЕНИЕ
 +
 +
Так как всякое натуральное число можно выразить в двоичной чистеме счисления, где в каждом разряде может быть не более одной единицы, то получается, что всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы степеней 2 и 1. На этом свойстве и основывается возможность на весах всякий груз, содержащий целое число граммов, гирями "двоичной системы счисления".
 +
Число 86 в двоичной будет 1010110 = ''2''<sup>6</sup> + ''2''<sup>4</sup> + ''2''<sup>2</sup> + ''2'' = 64 + 16 + 4 + 2.
 +
Имея набор гирь, груз 86 г может быть уравновешен гирями 64 г, 16 г, 4 г, 2 г.
 +
 +
3. Вечеринка
 +
 +
ЗАДАЧА
 +
 +
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга - с восемью, Вера - с девятью и так далее до Нины,Ю которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?
 +
 +
РЕШЕНИЕ
 +
 +
Будем искать число не танцоров, о танцорок, которое обозначим за x:
 +
 +
1-я, Мария, танцевала с 6 + 1 танцорами
 +
 +
2-я, Ольга,танцевала  с 6 + 2 танцорами
 +
 +
3-я, Вера, танцевала с 6 + 3 танцорами
 +
 +
........................................
 +
 +
x-я, Нина, танцевала с 6 + x  танцорами
 +
 +
Имеем уравнение
 +
 +
x + (6 + x) = 20
 +
 +
Откуда
 +
 +
x = 7,
 +
 +
Найдем количество танцоров:
 +
 +
20 - 7 = 13
 +
 +
7 танцоров было на вечеринке.
 +
 +
4. Мнимая нелепость
 +
 +
ЗАДАЧА
 +
 +
Чему равно 84, если 8*8=54?
 +
 +
РЕШЕНИЕ
 +
 +
Пусть основание неизвестной чистемы счисления - x.  Число "84" означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е.
 +
"84" = 8x + 4.
 +
 +
Число "54"  означает  5x + 4.
 +
Имеем уравнение 8*8=5x + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5x + 4, откуда x = 12.
 +
Числа написаны по двенадцатеричной системе, и "84" = 8*12 + 4 = 100. Значаит, если 8*8="54", то "84" =100.ъ
 +
 +
5. Утопить или повесть
 +
 +
ЗАДАЧА
 +
 +
Некто совершил преступление, караемая смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным - преступника утопят, если же оно ок