Копилка знаменитых задач продолжение 6

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Копилка знаменитых задач продолжение 6» [edit=sysop:move=sysop])
 
(не показаны 10 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 
'''''Посмотреть страницу [[Копилка знаменитых задач]].'''''
 +
 +
<font color="red"> Внимание! </font> Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице '''[[Копилка знаменитых задач продолжение 7]]'''
  
 
----
 
----
Строка 1642: Строка 1644:
 
--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|&quot;Весёлые умницы&quot;]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
 
--[[Участник:Весёлые умницы ID-296|&quot;Весёлые умницы&quot;]] 14:49, 13 ноября 2008 (UZT)
 
----
 
----
 +
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 16:16, 13 ноября 2008 (UZT)
  
 +
'''Задача 76. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется бамбук из девяти колен. Объём трёх нижних колен 4 шэна, четыре верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы объёмы двух средних колен, если объём каждого колена отличается от соседних на равную величину.
  
 +
Решение:
  
 +
Для решения задачи составитель трактата выводит правило: «4 шэна, разделённых на 3нижних колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна разделённые на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен остаток, является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т.е. на столько отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т.е. 1 с малой половиной шэна, есть объём второго снизу колена».
 +
Согласно этому правилу, можно провести несложные вычисления:
 +
1) 4/3-3/4 = 7/12 – разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
 +
2) 9-4/2-3/2 = 11/2 составляет делитель;
 +
3) (7/12):(11/2) = 7/66 = d, т.е. то число, на которое отличается каждая ступень от соседней;
 +
4) тогда второе снизу колено будет составлять 4/3 = 1 1/3 (шэна). Теперь без труда можно найти в шэнах и другие восемь колен.
  
 +
'''Задача №77. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и серебра каждого в отдельности.
 +
 +
Решение:
 +
 +
Прежде всего, 1 цзинь = 16 ланам, а 1 лан = 24 чжу. Обозначим теперь вес слитка золота через х, а вес слитка серебра через z; задача сводится к решению системы:
 +
9х = 11z;
 +
13+8x+z = 10z+x.
 +
Будем решать эту систему по правилу двух ложных положений. Первое ложное положение x1 = 3 цзиням. Тогда:
 +
z1= 9x1/11 = 9·3/11 = 27/11 = 2 5/11 (цзиням).
 +
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозначив его через у1:
 +
у1 = (13/16+8·3+2 5/11)-(10·2 5/11+3) = 27·(47/11·16) – 27·(96 /11·16) = -49/11·16.
 +
Второе ложное положение х2 = 2 цзиням. В этом случае z2 = 1 7/11 цзиня и «избыток в левой строке» будет: y2 = (13/16+1 7/16+8·2)–(10·1 7/11+2) = 18·(79/11·16)-18·(64/11·16) = 15/11·16.
 +
Далее предполагается, что у1 и у2 вместе с х1 и х2  записаны по китайскому способу:
 +
 +
х2 х1
 +
у2 у1
 +
где левая колонка составляет «левую строку», а правая колонка –«правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем:
 +
х =  ( 2·(49/11·16)+3·(15/11·16))/ (49/11·16+15/11·16 )= 143/64 = 2 15/64 (цзиня).
 +
Следовательно, х = 2 цзиня 3 ланам 18 чжу. Вес слитка серебра определяется очень просто. Для этого делимое 143 надо разделить на произведение делителя 64 и знаменателя 11/9. Тогда получаем:
 +
z = x:(11/9) = 143:(11/9·64) = 13·9/64 = 117/64 = 1 53/64 (цзиня).
 +
Следовательно, окончательно z = 1 цзиню 13 ланам и 6 чжу.
 +
 +
'''Задача №78. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Рысак и кляча движутся от Чаньяня к княжеству Ци, которое удалено от Чаньяня на 3000 ли. В первый день рысак пробегает 193 ли, каждый следующий день пробегает на 13 ли больше. Кляча в первый день пробегает 97 ли, каждый следующий день пробегает на половину ли меньше. Рысак первым достигает княжества Ци, повернул обратно ив некотором месте встретил клячу. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и сколько ли пробежала каждая лошадь.
 +
 +
Решение:
 +
 +
Составитель трактата для решения этой задачи предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток 337 с половиной ли. Предположим, что через 16, тогда избыток равен 140 ли. Избыток и недостаток – это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
 +
За n целых дней рысак пробежит:
 +
193+(193+13)+(193+2·13)+…+[193+(n-1)·1] = 193n+13+2*13+…+(n-1)·13 = 193n+13[1+2+…+(n-1)] = 193n+13·(n(n-1)/2) (ли).
 +
За это же число дней кляча пробежит:
 +
97+(97-0.5)+(97-2·0.5)+…+[97-(n-1)·0.5] = 97n-0.5[1+2+…+(n-1)] = 97n-0.5·(n(n-1)/2) (ли).
 +
За указанное число дней русак и кляча пробегут вместе.
 +
193n+13·(n(n-1)/2)+97n-0.5·(n(n-1)/2) = 290n+(13-0.5)·(n(n-1)/2) = 290n +6.25(n2-n) (ли).
 +
что должно составить 6000 ли.
 +
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу решать методом двух ложных положений.
 +
При n = 15 недостаток равен 6000-5662.5 = 337.5 (ли); при n = 16 избыток составляет 6140-6000 = 140 (ли).
 +
Обозначая время встречи через х, и предполагая, что на протяжении дня скорости не менялись, получим:
 +
х =(15·140+16·337.5)/(140+337.5)=15 135/191 (дня).
 +
Теперь не составляет большого труда найти, столько ли пройдут рысак и кляча за 15 135/191 дня.
 +
 +
'''Задача №79. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота, 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов. Спрашивается, сколько стоят буйвол и баран.
 +
Решение: Эта задача в трактате решается правилом «фан-чэн», с которым мы познакомимся дальше. Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений:
 +
5х+2у=10
 +
 +
2х+5у=8.
 +
 +
Ответ:34/21 лана стоит буйвол и 20/21 лана  стоит  баран.
 +
 +
 +
'''Задача №80. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' 
 +
Два снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 снопов урожая А превышает дань на вес 1 снопа урожая Б, вес 3 снопов урожая Б – на вес 1 снопа урожая В, вес 4 снопов урожая В – на вес 1 снопа урожая А. Спрашивается , каков вес каждого из снопов урожаев А,Б,В.
 +
 +
Решение : Задача сводится к решению системы:
 +
2х = 1+у
 +
 +
3у = 1+z
 +
 +
4z = 1+x
 +
 +
Её каноническая форма:
 +
 +
2x-y = 1
 +
 +
3y-z = 1
 +
 +
4z-x = 1
 +
 +
Выразим у = 2 х – 1,и подставим во второе уравнение.
 +
Получим 6 х = 4 + z.  но  х = 4 z – 1 . Тогда  z = 10/23  , х = 17/23, у = 11/23
 +
Ответ: 17/23, 11/23, 10/23
 +
 +
'''Задача №81. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Продали 2 буйвола, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйвола 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья.
 +
 +
 +
Решение:
 +
 +
Установи, что 2 буйвола, 5 баранов положительны, 13 свиней отрицательны, остаток цяней положителен. Ещё установи, что 3 буйвола положительны, 9 баранов отрицательны, 3 свиньи положительны. Ещё установи, 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен.
 +
Обозначив x, y, z соответственно стоимости буйвола, барана и свиньи, сведём задачу к решению системы:
 +
 +
2x+5y = 13z+1000
 +
 +
3x+3z = 9y
 +
 +
6y+8z = 5x-600,
 +
 +
где 1000 – остаток цяней от продажи 2 буйволов, 5 баранов и покупки 13 свиней; 600 – недостаток цяней от продажи 6 баранов, 8 свиней, покупки 5 буйволов.
 +
Решив эту систему уравнений получаем: х= 300, у = 110, z= 30
 +
Ответ: 300 буйволов, 110 барановЮ 30 свиней.
 +
 +
'''Задача №82. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Имеется водоём со стороной в 1 чжан. В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается, какова глубина водоёма и какова длина камыша. (1 чжан = 10 чи).
 +
 +
Решение:
 +
 +
Обозначим длину водоёма через 2а, длину камыша через с. Задача заключается в нахождении b и с. Руководствуясь китайским правилом находим формулу для определения искомых величин:
 +
b = (a2-(c-b))/2(c-b);
 +
c = b+(c-b) = (a2-(c-b))/2(c-b).
 +
Исходя из условий задачи применяя правило «гоу-гоу», т.е. теорему Пифагор, получаем систему:
 +
 +
b = c-k
 +
 +
b2 = c2-a2,
 +
 +
где для кратности k  обозначена известная нам надводная часть, равная c-b. Решая систему, будем иметь:
 +
b = (a2-k2)/2k;
 +
и
 +
c = (a2+k2)/2k,
 +
где k = c-b
 +
Прежде всего по правилу «гоу-гоу» имеем:
 +
a2 = c2-b2.
 +
Далее, получаем:
 +
a2 = c2 – b2 = (c-b)2+2b·(c-b)
 +
или
 +
a2 = (c-b)2+2b(c-b)?
 +
откуда
 +
b = (a2-(c-b)2)/2(c-b).
 +
 +
'''Задача №83. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Китай).''' Два человека находятся в одном месте. норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем идет по космосу направлению на северо-восток до встречи с Б. спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и Б.
 +
Решение: Эту задачу древнекитайский математик в трактате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь само на себя, 3 тоже умножь само на себя, сложи и возьми половину. Возьми в качестве нормы ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умноженного на само себя, норму ходьбы по косому направлению, остаток является нормой ходьбы на юг. 3 умножь на 7, это норма ходьбы Б на восток. 10 бу ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому направлению, 10 бу умножь на норму ходьбы Б на восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и норму ходьбы на юг, получишь для каждого количество пройденного».
 +
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить довольно просто:
 +
1) находим сначала норму ходьбы А «по косому направлению»: (49 + 9)/2=29
 +
2) определяем норму ходьбы А на юг:
 +
49-(49+9)/2=20
 +
3) норма ходьбы на восток будет
 +
7 • 3 = 21;
 +
4) находим «делимое»:
 <