Копилка знаменитых задач продолжение 4

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим  следующую забавную задачу:

Решение:  За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той  «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том,  чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142

                                                                                                                                                                              365

Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение  

Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру»  Эйлера):

Решение:  У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6  2/3 : х = 20: (3х)

За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение:  

Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в  k раз дороже, чем вторая. Если бы  перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в  k раз дороже. Это значит, что  она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:  k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

Задача 4.  Стая обезьян (индусская задача) :

Задача 6. Продажа кур.  

Решение: Обозначим число кур, проданных  каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через  m, после полудня – через n.  

    (m- n) x+10n=35

    (m- n) y +16n=35

      (m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:

    (m- n) x+10 n=35

    (m- n) y +16 n=35

      (m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

Задача 7. (старинная народная задача). Доплата:

Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.  

В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен  

100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе  (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если  в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.

Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»).  

Решение:

Купец имел некоторую сумму денег. х

Х=1480 рублей

Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта).  

Условие задачи Решение

Задача 10. (Лошадь и мул).  

Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными:

Задача 11. (Птицы у реки).  

Решение:

Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти  расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2.  Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

--[[Участник:Великолепная восьмерка ID 212|Великолепная восьмерка ID 212]] 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.).

'''''Решение'''''Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой час¬ти предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток  

8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а ос¬тальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р.