Копилка знаменитых задач продолжение 4

Версия 18:00, 13 ноября 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 5

Задачи участников ДООМ

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача № 30. Крестьяне и картофель

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--"Жареные семечки" 20:40, 26 октября 2008 (UZT)

--"Пифагор ID 220" 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу: Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: -Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: -Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Задача №3 Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365

Решение: 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение равно 2.

Задача 4. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера): Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х) За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение: Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.

Задача 5. Стая обезьян (индусская задача) : На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь. Обезьян там было в роще?

Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.

Задача 6. Продажа кур. Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?

Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n. Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35; вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35; третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим: (m- n) x+10n=35 (m- n) y +16n=35 (m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно: (m- n) (z - x) +16n=0 (m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n (m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5 или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда x = z+8 t y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям (m- n) x+10 n=35 (m- n) y +16 n=35 (m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

Задача 7. (старинная народная задача). Доплата: Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6. В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен 100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6. Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.

Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»). Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.

Решение:Купец имел некоторую сумму денег. х В первый год он истратил 100 фунтов. х-100 К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3 В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3 и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9 В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9 После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27 капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х Х=1480 рублей

Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта). Условие задачи Решение Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6 Двенадцатая часть протекла еще жизни- покрылся пухом его подбородок. Х:12 Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7 Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5 Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. Х:2 И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4 Скажи, сколько лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Х= 84 Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.

Задача 10. (Лошадь и мул). «Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»

Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными: У+1=2(х-1) У-1=х+1 Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.

Задача 11. (Птицы у реки). У одного арабского математика XI века находим следующую задачу. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение: Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

Участник:Решарики ID_284

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120, х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120, 3х + 30 = 120, 3х = 90, Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

3.У пастуха, который вел