Копилка знаменитых задач

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 47: Строка 47:
 
 
 
Решение:                                               
 
Решение:                                               
Пусть х – число пчел в рое. Тогда х = <math>х/2</math>+ 8/9 х + 2.  (1)
+
Пусть х – число пчел в рое. Тогда х = <math>x/2</math>+ 8/9 х + 2.  (1)
 
Обозначив <math>х/2</math> через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
 
Обозначив <math>х/2</math> через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
 
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
 
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,

Версия 11:04, 24 октября 2008

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!


Уважаемые участники олимпиады!

Весьма и весьма похвально ваше желание заработать наибольшее количество баллов и победить! НО! Давайте соревноваться честно!

Наши претензии:

Во-первых, по условиям конкурса сроки размещения задач с 24 октября по 17 ноября. Никто не говорил, что можно размещать работы раньше.

Во-вторых, размещение условий задач без решения (никто не сомневается - решение вы разместите, но – потом…) мы считаем «забиванием места» и воспринимаем такую позицию некорректной по отношению к другим участникам.

Итак, учитывая произошедшее и вышесказанное, мы, организаторы решили:

1. Очистить страницу.

2. Установить жесткие сроки проведения блиц-конкурса: с 11.00 (моск. время) 24 октября до 21.00 (моск. время) 17 ноября 2008 г.

3. Проявить беспрецедентную доброту и великодушие - провинившиеся команды (уже успевшие поместить задачи на страницу) штрафными баллами не наказывать, несмотря на то, что очень хочется.


Команда ШОУ «Модель» ID_278

1. Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.) Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?

Решение: Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2) х = 10 – у. (3) Подставляя (3) в (1), получаем (10 – у) /4 + у = 7,

у = 6. Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.) Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение: Пусть х – число пчел в рое. Тогда х = x / 2+ 8/9 х + 2. (1) Обозначив Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): х/2

через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду

у + 16/9 у² + 2 = 2у², 2у² - 9у – 18 = 0, Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2. Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.) В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение: По теореме Пифагора:

х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1, х = 12. Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.) Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,

  Откуда х = 28. 
  Итак, у Пифагора было 28 учеников.


5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.) Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение: Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда 3х + 2у + z = 36, 2х + 3у + z = 34, Х + 2у + 3z = 26, Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ . Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.


6. Римский математик (около 1 в. до н.э.) Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит: «Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь. Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение: Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2. Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000. Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.) По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение: Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда 200х = у², (1) 5х = у. (2) Подставляя (2) в (1), получаем 200х = 25х², 200 = 25х, х = 8. ____ Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и 1600 = 40.


8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я) Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?


Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3


И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2. Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем (у-1) • 3 = у +2 +у, 3у – 3 = 2у + 2, у = 5. Следовательно, х = у + 2 = 7. Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.


9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок. Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок. 10. Бхаскара 1 (VI в.)

Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение: Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а, где n и a – некоторые целые числа. Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,… При n =5 х = 301, При n =12 х = 721, При n =19 х = 1141 и т.д. Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.


11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.) Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение: Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда х² + (10 – х)² = 58 х1 = 7 х2 = 3. Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского. На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),

 x = 8-  x, 
 x +  x =8, 
x =8, 

x = 8 , x = ,

x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.


13. Задача Ефима Войтяховского.

     Нововыезжей в Россию французской мадаме

Вздумалось ценить своё богатство в чемодане: Новой выдумки нарядное фуро (платье) И праздничный чепец а ла фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: Богатства твоего первая вещь фуро

            Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;

Вообщем стоят не с половиною четыре алтына, Но настоящая им цена только сего половина. Спрашивается каждой вещи цена,

           С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение: X + y =13,5:2;

x +   x = 6,75;

4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5; x = 1,5. Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.


14. Задача Магницкого. Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение: Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67. 100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение). Делаем второе предположение, что учеников было 32. Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89. 100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).

/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы. В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

Личные инструменты
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/