Просмотр

Автор-составитель: [http://www.tgl.net.ru/wiki/index.php/%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%91%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%D0%BD_%D0%A1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0 Сорока Богдан]
----
Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком:

R = m * (р^n)
Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0.25324х102. Здесь m=0.25324 — мантисса, n=2 — порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная точка в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка».

Однако справедливы и следующие равенства:

25,324 = 2,5324*(10^1) = 0,0025324*(10^4) = 0,25324*(10^2) и т.п.
Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализован-ном представлении должна удовлетворять условию:

0,1p <= m < 1p.
Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль. Значит для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0.25324 * 102. В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных. Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (р=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

± машинный порядок	        М А	 Н Т И С	 С А     
     1-й байт                    2-й байт    3-й байт   4-й байт  
В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Машинный порядок	 0	1	 2	 3	 ...	 64	 65	 ...	125	126	 127
Математический порядок	 -64	 -63	 -62	 -61	 ...	 0	1	...	61	 62	 63
Если обозначить машинный порядок Мр, а математический — р, то связь между ними ыразится такой формулой:

Мр = р + 64.
Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Полученная формула записана в десятичной системе. Поскольку 6410=4016 (проверьте!), то в шестнадцатеричной системе формула примет вид:

Мр16 = р16 + 4016
И, наконец, в двоичной системе:

Мр2 = р2+100 00002
Теперь мы можем записать внутреннее представление числа 25,324 в форме с плавающей точкой.
Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.
25,32410= 11001,01010010111100011012
Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:
0,110010101001011110001101*10101
Здесь мантисса, основание системы счисления (210=102) и порядок (510=1012)записаны в двоичной системе.
Вычислим машинный порядок.
Мр2 = 101 + 100 0000 = 100 0101
Запишем представление числа в ячейке памяти.
01000101	11001010	10010111	10001101
Это и есть искомый результат. Его можно переписать в более компактной шестнадцатеричной форме:

45	CA	97	8D
Для того, чтобы получить внутреннее представление отрицательного числа -25,324,достаточно в полученном выше коде заменить в разряде знака числа 0 на 1.

Получим:

11000101	11001010	10010111	10001101
А в шестнадцатеричной форме:

C5	CA	97	8D
Никакого инвертирования, как для отрицательных чисел с фиксированной точкой, здесь не происходит.

Рассмотрим, наконец, вопрос о диапазоне чисел, представимых в форме с плавающей точкой. Очевидно, положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю: Rmax = |Rmin|. Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Чему же равно Rmax? Это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком:

0,111111111111111111111111*1021111111
Если перевести в десятичную систему, то получится

Rmax = (1 - 2-24) * 264 = 1019
Очевидно, что диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Если в результате вычислений получается число по модулю большее, чем Rmax, то происходит прерывание работы процессора. Такая ситуация называется переполнением при вычислениях с плавающей точкой. Наименьшее по модулю ненулевое значение равно:

(1/2) * 2-64=2-66.
Любые значения, меньшие данного по абсолютной величине, воспринимаются процессором как нулевые.

Как известно из математики, множество действительных чисел бесконечно и непрерывно. Множество же вещественных чисел, представимых в памяти ЭВМ в форме с плавающей точкой, является ограниченным и дискретным. Каждое следующее значение получается прибавлением к мантиссе предыдущего единицы в последнем (24-м) разряде. Количество вещественных чисел, точно представимых в па-мяти машины, вычисляется по формуле:

N = 2t * ( U - L+ 1) + 1.
Здесь t — количество двоичных разрядов мантиссы; U — максимальное значение математического порядка; L — минимальное значение порядка. Для рассмотренного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается:

N = 2 146 683 548.
Все же остальные числа, не попадающие в это множество, но находящиеся в диапазоне допустимых значений, представляются в памяти приближенно (мантисса обрезается на 24-м разряде). А поскольку числа имеют погрешности, то и результаты вычислений с этими числами также будут содержать погрешность. Из сказанного следует вывод: вычисления с вещественными числами в компьютере выполняются приближенно.

[[Категория:ТГУ]]