Доказательство в математике

Версия 17:34, 7 июня 2011

Авторы

--Yunusova Eugenia 19:59, 5 июня 2011 (MSD)

О проекте

Дополнительные главы по математике

Творческое название проекта

Доказать нельзя поверить

Класс

Предмет

От авторов

Визитная карточка проекта

Краткая аннотация проекта

Цели проекта

Ожидаемые результаты

Вопросы, направляющие проект

Основополагающий вопрос

Проблемные вопросы

Учебные вопросы

Этапы проведения проекта

Публикации учителя

Презентации

Буклеты

Сайт

Примеры продуктов проектной деятельности учащихся

Темы

Буклеты

Плакаты

Презентации

Материалы по формирующему и итоговому оцениванию

Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности

Проекты, близкие по тематике

Методы и приёмы развития литературных навыков учащихся при создании проекта

• Написание текста задач и их решений с использованием различных редакторов формул и текста, например такими как AbiWord, Microsoft Office Word, LaTeX и многими другими.

• Сравнение возможных вариантов доказательств теоремы (возможно деление на группы, каждая из которых должна убедить оппонентов, что их доказательство лаконичнее).

• Описание процесса творческого мышления, использованного учащимися в решении какой-либо проблемы.

• Использование учебной игры на уроках иностранного языка.

• Метод контрольных эвристических вопросов. Еще древний мыслитель Сократ применял этот метод при обучении своих учеников. На поставленные вопросы он отвечал контрвопросами, но задавал их таким образом, что ученик, отвечая на более легкие контрвопросы учителя, самостоятельно находил решение своей задачи.

• Метод инверсии представляет собой один из эвристических методов учебно-творческой деятельности, ориентированный на поиски идей решения творческой задачи в новых, неожиданных направлениях, чаще всего противоположных традиционным взглядам и убеждениям, которые диктуются формальной логикой и здравым смыслом.

• Метод эмпатии (метод личной аналогии) всегда был важным эвристическим методом решения творческих задач. Процесс применения аналогии является как бы промежуточным звеном между интуитивными и дедуктивными процедурами мышления. В решении творческих задач используются различные аналогии: конкретные (материальные) и абстрактные; ведутся поиски аналогии живой природы с неживой, например, в области техники. В этих последних аналогиях могут быть, в свою очередь, установлены аналогии по форме и по структуре, по функциям, процессу и т.д.

• Ассоциативные методы. Для активизации поиска новых идей применяются так называемые ассоциативные методы (аналогии, фокальных объектов, гирлянд случайностей и ассоциаций).

• Метод «мозговой атаки». Метод и термин «мозговая атака», или «мозговой штурм», предложены американским ученым А.Ф. Осборном как улучшенный вариант диалога Сократа с широким использованием свободных ассоциаций, одновременным созданием психоэвристического микроклимата в малых группах людей для повышения эффективности решения творческих, особенно изобретательских, задач.

• Прямая «мозговая атака». Одним из наиболее распространенных методов активизации творческой деятельности является использование так называемой «мозговой атаки» (МА). Этот метод был введен в практику изобретательской деятельности А. Осборном после Второй мировой войны. Однако это не означает, что аналогичными приемами поиска новых решений люди не пользовались задолго до Осборна.

• Массовая «мозговая атака», Предложенная Дж. Дональдом Филипсом [8](США), Позволяет существенно увеличить эффективность генерирования новых идей в большой аудитории (число участников варьируется от 20 до 60 человек).

Особенность этой модификации метода заключается в том, что присутствующих делят на малые группы численностью 5-6 человек. Руководитель каждой группы является одновременно руководителем всей сессии. После разделения аудитории на малые группы последние проводят самостоятельную сессию прямой мозговой атаки. 
Длительность работы малых групп может быть разной или определенной, например 15 минут. После генерирования идей в малых группах проводится их оценка. Затем выбирают наиболее оригинальную. 

Метод обратной «мозговой атаки». Как известно, развитие систем происходит в результате устранения возникающих внутри них противоречий. Различного рода противоречия могут не проявиться в явном виде и из-за этого могут выпасть из поля зрения проектировщиков новых систем на стадии их создания. Кроме того, ряд противоречий может выявиться только через некоторое время после начала эксплуатации системы. Поэтому при создании новой системы или отдельного изделия решаются две творческие задачи.

Выявляются имеющиеся или ожидаемые в ближайшей перспективе противоречия в существующей системе или техническом объекте. 
Находятся пути устранения этих недостатков во вновь создаваемых системах и объектах. 
Метод обратной мозговой атаки (ОМА) может быть использован при решении, например, следующих вопросов и задач: 
-   уточнение постановки изобретательских и рационализаторских задач; 
-   разработка технического задания или технического предложения; 
-   экспертиза проекта на любой стадии разработки; 
-   оценка эффективности закупаемых изделий; 
-   оценка эффективности принятия административных решений. 
Эффективность проведения ОМА во многом зависит от четкости формулировки задачи.

• Метод морфологического анализа систем (МА) является одним из примеров реализации системного (рационального) подхода в творческом процессе. Он эффективен при решении конструкторских и технологических задач общего характера: проектирование новых машин и проектирование технологического оборудования; поиск новых вариантов технологических процессов; поиск новых применений существующего объекта (изделия); прогнозирование развития технических систем и технологий и др.

Морфологический анализ создает основу для системного мышления в категориях основных структурных признаков, принципов и параметров объекта, что и обеспечивает высокую эффективность его применения. Он является упорядоченным способом исследования, позволяющим добиться систематизированного обзора всех возможных решений данной задачи. Метод строит мышление таким образом, что генерируется новая информация, касающаяся тех комбинаций, которые при бессистемной деятельности воображения ускользают от внимания. Хотя морфологическому образу мышления внутренне присуще убеждение, что все решения могут быть реализованы, при этом, естественно, многие из них оказывают сравнительно тривиальными. 

• Метод поэлементного анализа[11]. Как считают А.В. Чус и В.Н. Данченко[12], метод поэлементного анализа конструкций основан на анализе элементов конструкций технологического объекта (ТО), содержащий незаметные на первый взгляд недоработки и вызывающие перерасход материальных и трудовых ресурсов в производстве.

• Проведение учебных занятий, на которых учащиеся могут попробовать себя в роли учителя.

• Решение нестандартных математических задач.

Интересное по теме

Темы для самостоятельных исследований

Ссылки

10 ключевых фраз науки XX века

Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике», программа А. Гордона "Ночной эфир - Диалоги - Квадрат" от 16 июня 2003 года

В. А. Успенский СЕМЬ РАЗМЫШЛЕНИЙ НА ТЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

Diofant.ru Человек живет, пока думает. Решайте задачи и живите долго!

How to Become a Pure Mathematician (or Statistician)

Литература

• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. Пер. И. Н. Веселовского.— М.: Наука, 1967.

• Философия математики и технических наук / Под редакцией С. А. Лебедева: Учебное пособие для вузов. - М.: Академический Проект, 2006 г. - 784 стр. - ("Gaudeamus")

ISBN 5-8291-0748-1

Цитаты

• В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В. П. Ермаков

• Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман

• Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. (Евклид)

• Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков. (Моррис Клайн)

• Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же. (Блез Паскаль)

• Доказательство, не являющееся строгим, есть ничто. Я думаю, что никто не станет оспа­ривать эту истину. Но если принимать ее слишком буквально, то мы должны прийти к заключению, что, например, до 1820 г. не существовало математики; это, очевидно, было бы чрезмерным: геометры того времени быстро понимали то, что мы теперь объясняем пространно и долго. Это не значит, что они этого совершенно не замечали, но они слишком скоро проходили через это. А заметить это как следует сделало бы необходимым потрудиться сказать это. (Пуанкаре, 1908)

• Если бы я только имел теоремы! Тогда я бы мог бы достаточно легко найти доказательства. (Б. Риман)

• Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику. (И. Кант)