Система счисления Штерна-Броко

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: Система счисления Штерна-Броко Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рацион...)
 
 
(не показаны 14 промежуточных версий 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
Система счисления Штерна-Броко
+
Автор составитель:
 +
Бурзайкина Татьяна (Пиб-101)
  
Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.
 
  
Дерево Штерна Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.
+
== '''Система счисления Штерна-Броко''' ==
  
В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта [[Изображение:ь.jpg]] дробей [[Изображение:б.jpg]] и [[Изображение:ю.jpg]]стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:
+
 
[[Изображение:юб.jpg]]
+
 
 +
 
 +
''Система счисления Штерна-Броко'' — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.
 +
 
 +
----
 +
 
 +
'''Дерево Штерна — Броко''' — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.
 +
 
 +
Это замечательный способ построения всех неотрицательных несократимых дробей m/n, где n и m — взаимно простые целые числа, т.е. не имеющие одинаковых простых сомножителей. Суть способа в том, чтобы начать с двух дробей 0/1 и 1/0, а затем повторить необходимое число раз следующую операцию: вставить (m+m')/(n+n') между двумя соседними дробями m/n и m'/n'.
 +
 
 +
Или немного научнее:
 +
 
 +
В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта [[Изображение:ь.jpg.png]] дробей [[Изображение:б.jpg.png]] и [[Изображение:ю.jpg.png]]стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:
 +
[[Изображение:юб.jpg.png]]
 +
 
 +
Каждый узел дерева имеет вид (m+m')/(n+n'), где m/n — ближайший предок сверху слева, а m'/n' — сверху справа.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== История ==
 +
 
 +
 
 +
В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860).
 +
Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D1%84%D0%B0 Калкина-Уилфа]".
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Свойства ==
 +
 
 +
 
 +
  -Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы;
 +
  -Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.
 +
 
 +
Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если p1 / q1 < p2 / q2 — дроби в двух соседних узлах дерева, то q1p2 − q2p1 = 1.
 +
 
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
== ''Система счисления Штерна — Броко'' ==
 +
 
 +
 
 +
Можно воспользоваться символами '''L''' и '''R''' для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов '''«R»''' и '''«L»''' (''дроби 1/1 соответствует пустая строка''). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение '''LRRL''' соответствует дроби 5/7.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Категория:Информатика и ИКТ]]

Текущая версия на 11:06, 20 сентября 2011

Автор составитель: Бурзайкина Татьяна (Пиб-101)


Содержание

Система счисления Штерна-Броко

Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.


Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.

Это замечательный способ построения всех неотрицательных несократимых дробей m/n, где n и m — взаимно простые целые числа, т.е. не имеющие одинаковых простых сомножителей. Суть способа в том, чтобы начать с двух дробей 0/1 и 1/0, а затем повторить необходимое число раз следующую операцию: вставить (m+m')/(n+n') между двумя соседними дробями m/n и m'/n'.

Или немного научнее:

В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта Ь.jpg.png дробей Б.jpg.png и Ю.jpg.pngстоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так: Юб.jpg.png

Каждый узел дерева имеет вид (m+m')/(n+n'), где m/n — ближайший предок сверху слева, а m'/n' — сверху справа.


История

В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева Калкина-Уилфа".


Свойства

 -Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы;
 -Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если p1 / q1 < p2 / q2 — дроби в двух соседних узлах дерева, то q1p2 − q2p1 = 1.




Система счисления Штерна — Броко

Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.

Личные инструменты
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/