Семинар ДООМ "Эйлер-великий математик"

Текущая версия на 09:05, 22 сентября 2008

«Эйлер – великий математик»

Марина Владимировна Лесных ГРАФ 109 (урок в 9-ом классе)

Цели: – познакомить с биографией Эйлера; – показать способ решения логических задач с помощью кругов Эйлера; – учить анализировать, развивать нестандартность мышления.

Ход урока

1. Биография Эйлера. 2. История появления теории графов. 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Биография Эйлера.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ- первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению. В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма. Эйлер много работает в области математического анализа. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку-топологию. Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В -Р + Г = 2. Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с много¬численными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления. Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. Под его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

2. История появления теории графов.

Теория графов — тот редкий раздел математики, о котором доподлинно известно, когда он родился и кто был его основоположником. Родилась теория графов в Санкт-Петербурге. Ее создателем является Л. Эйлер, который в 1736 году опубликовал решение задачи о Кенигсбергских мостах. Суть задачи состоит в следующем. Город Кенигсберг был построен в месте слияния двух рек на их берегах и на двух островах. В нем было семь мостов, которые соединяли острова между собой и с береговыми частями города. Мог ли любой житель города выйти из дома, пройти по всем семи мостам в точности по одному разу и вернуться домой?

На рис. 1. плана города а, 6, с, d — части суши. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер (на графе, изображенном на рисунке справа, части суши изображены точками — вершинами графа, а связи между ними — линиями произвольной конфигурации, называемыми ребрами или дугами).

Рис. 1. План города Кенигсберга и граф к задаче о Кенигсбергских мостах

С тех пор поток задач с применением графов нарастал подобно снежной лавине. Наряду с многочисленными головоломками и играми, на графах рассматривались важные практические проблемы, многие из которых требовали тонких математических методов. Уже в середине XIX века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей.

3. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задачи, которые можно решить с помощью кругов Эйлера нельзя решить иначе. Этот способ решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер. Этот метод прост, если в нем разобраться.

Задача

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение:

Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.

4. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

На 3 курсе факультета обучается 81 студент. Многие из них выбрали одинаковые дисциплины, посещают одни и те же лекции и хорошо знают друг друга. 43 студента посещают лекции по философии, 32 - по логике и 41 - по естествознанию. Философию и логику выбрали 11 человек. Философию и естествознание посещает 21 студент, а логику и естествознание - 16. 4 человека выбрали только философию и логику. Сколько студентов посещают лекции: 1) по всем трём предметам, 2)только по философии и естествознанию, 3)только по логике и естествознанию, 4)только по философии, 5)только по естествознанию, 6)только по логике, 7)не выбрали ни одну из этих дисциплин.

Задача 2. (Задача приписываемая Эйлеру)

Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил свое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1 000 рублей и 1/8 часть остатка; следующий 2 000 рублей и 1/8 нового остатка; 3 сын- 3 000 рублей и 1/8 третьего остатка и т.д.» Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1985.-352 стр.

2. Макоха А. Н., Сахнюк П. А., Червяков Н. И. Дискретная математика: пособие для студентов. М., Физматлит, 2005.-368стр.

3. Германович П.Ю. Вопросы и задачи на соображение: пособие для средней школы. Ленинград, учпедгиз, 1956.-92стр.