Семинар ДООМ Использование графиков при решении текстовых задач

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: Использование графиков равномерного движения при решении текстовых задач по алгебре Обычно при реш...)
 
Строка 1: Строка 1:
Использование графиков равномерного движения при решении текстовых  задач по алгебре
+
'''Использование графиков равномерного движения при решении текстовых  задач по алгебре.'''
Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное рас-стояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недо¬статок можно устранить, применяя графиче¬ское представление движения, известное уча¬щимся из курса физики.
+
Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное расстояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недостаток можно устранить, применяя графическое представление движения, известное учащимся из курса физики.
Отметим, что при решении задач на равно¬мерное движение полезны соотношения:
+
Отметим, что при решении задач на равномерное движение полезны соотношения:
  S1 :  S2 =t1 : t2 – если скорости равны;
+
S1 :  S2 =t1 : t2 – если скорости равны;
 
V1  : V2 =t1 : t2  –  если равны пройденные расстояния;
 
V1  : V2 =t1 : t2  –  если равны пройденные расстояния;
 
S1 :  S2 = V1  : V2 –  если равны промежутки времени;
 
S1 :  S2 = V1  : V2 –  если равны промежутки времени;
 
Кроме того, известно, что тангенс угла наклона прямой x=х0 +Vt к оси Ot численно равен скорости тела.  
 
Кроме того, известно, что тангенс угла наклона прямой x=х0 +Vt к оси Ot численно равен скорости тела.  
Рассмотрим решение нескольких задач, ис¬пользуя график равномерного движения.
+
Рассмотрим решение нескольких задач, используя график равномерного движения.
  
Задача 1 Из двух насе¬ленных пунктов А и В одновременно навстре¬чу друг другу выходят два туриста. При встре¬че оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, пер¬вый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А — через 2 ч 30 мин. Найдите рас¬стояние АВ и скорость каждого туриста.
+
'''Задача 1''' Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А — через 2 ч 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.
Решение. Построим графики движения туристов (рис. 1).
+
'''Решение.'''
 +
Построим графики движения туристов (рис. 1).
 
По условию задачи PR - PK =2, KC=1,6, RD=2,5;
 
По условию задачи PR - PK =2, KC=1,6, RD=2,5;
 
Нужно найти АВ, PR/АR, KP/ВК. Из подобия треугольников(ΔBKP ~  ΔDRP;  ΔCKP~ΔARP) следует что КС:АR=КР: PR=ВК: RD но ВК=АR поэтому КС:АR= АR: RD или АR* АR=1,6*2,5; АR=2. Затем,1,6:2=PК: PК+2. Откуда PК=8 км, АВ=18км, v1 = 5км/ч, v2= 4 км/ч.
 
Нужно найти АВ, PR/АR, KP/ВК. Из подобия треугольников(ΔBKP ~  ΔDRP;  ΔCKP~ΔARP) следует что КС:АR=КР: PR=ВК: RD но ВК=АR поэтому КС:АR= АR: RD или АR* АR=1,6*2,5; АR=2. Затем,1,6:2=PК: PК+2. Откуда PК=8 км, АВ=18км, v1 = 5км/ч, v2= 4 км/ч.
 
   
 
   
                                                                                          Рис. 1                    Рис. 2                                                                                                                                                                                                                                   
+
                                                                    Рис.1                     
Задача 2. Математик шел домой по берегу ручья против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках палку и шляпу. В некото¬рый момент он бросил в ручей шляпу, перепу¬тав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через не¬которое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плыву¬щую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел против течения с перво¬начальной скоростью. Через 10 мин он встре¬тил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы домой, если бы не пе¬репутал палку со шляпой?
+
Рис.2                                                                                                                                                                                                                                   
Решение. Построим графики движения математика, палки и шляпы (рис. 2; сплош¬ная линия соответствует движению матема¬тика, штриховая - движению шляпы и палки).
+
'''Задача 2.'''
В момент В математик бросил шляпу, в мо¬мент С бросил палку и побежал назад, в мо¬мент D выудил шляпу, в момент Е встретил палку. Потерянное время состоит из CD (за
+
Математик шел домой по берегу ручья против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 мин он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?
 
+
'''Решение.'''
которое математик бежал назад от момента, когда заметил ошибку,  до того,  как выудил шляпу) и DF (за которое он вернулся назад). По условию задачи
+
Построим графики движения математика, палки и шляпы (рис. 2; сплошная линия соответствует движению математика, штриховая - движению шляпы и палки).
 +
В момент В математик бросил шляпу, в момент С бросил палку и побежал назад, в момент D выудил шляпу, в момент Е встретил палку. Потерянное время состоит из CD (за которое математик бежал назад от момента, когда заметил ошибку,  до того,  как выудил шляпу) и DF (за которое он вернулся назад). По условию задачи
 
vматем: vручья =ВР/АВ :РВ/ВD=3/2;  vматем: v1 матем =КС/АС:КС/СD= СD/АС=1/2  
 
vматем: vручья =ВР/АВ :РВ/ВD=3/2;  vматем: v1 матем =КС/АС:КС/СD= СD/АС=1/2  
 
DE = BC=10; требуется определить CF.
 
DE = BC=10; требуется определить CF.
Пусть CD=x,  тогда  DF=AC=2x,  АВ =2х+10. . Имеем: (х+10) : (2х-10)=3/2.  
+
Пусть CD=x,  тогда  DF=AC=2x,  АВ =2х+10.  
 +
Имеем: (х+10) : (2х-10)=3/2.  
 
т.е. х=12,5мин;  CF = CD + DF = x + 2Х = 37,5 мин.
 
т.е. х=12,5мин;  CF = CD + DF = x + 2Х = 37,5 мин.
 
Ответ: математик потерял 37,5 мин
 
Ответ: математик потерял 37,5 мин
  
Задача 3. Из А в В  со ско¬ростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходив¬ший в час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного тури¬ста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.
+
'''Задача 3.''' Из А в В  со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.
 
+
'''Ре ш е н и е.'''
Ре ш е н и е. Построим графики движения двух туристов и велосипедиста, предположив, что велосипедист сначала догоняет второго туриста (рис. 4).
+
Построим графики движения двух туристов и велосипедиста, предположив, что велосипедист сначала догоняет второго туриста (рис. 4).
 
По  условию  задачи  AC=CD = l,  СС'=4, DD' = 5,  EF = -1/6;  надо найти  РЕ /DЕ. Пусть DE=x.. Имеем РЕ: DF= РЕ: KF,  причем  РЕ = 5{1 + х),  KF = 4 (2 1/6 + х), откуда
 
По  условию  задачи  AC=CD = l,  СС'=4, DD' = 5,  EF = -1/6;  надо найти  РЕ /DЕ. Пусть DE=x.. Имеем РЕ: DF= РЕ: KF,  причем  РЕ = 5{1 + х),  KF = 4 (2 1/6 + х), откуда
 
Х:( х+ 1/6)= 5{1 + х): 4(2 1/6 + х), получаем:6х2-17х+5=0,  откуда х1=1/3 ч; х2= 2,5 ч; v1 = 20км/ч, v2= 7 км/ч.
 
Х:( х+ 1/6)= 5{1 + х): 4(2 1/6 + х), получаем:6х2-17х+5=0,  откуда х1=1/3 ч; х2= 2,5 ч; v1 = 20км/ч, v2= 7 км/ч.
 
   
 
   
          Рис. 4             Рис. 5
+
Рис. 4
Рассмотрим теперь случай, когда велосипе¬дист   сначала    догоняет первого    туриста (рис 5). Имеем DE: DF= РЕ: KF, или Х:( х+ 1/6)= 4(2  + х): 5(1 1/6+х). Решив уравнение получим х= 3,2, v=6,5 км/ч. Возникают вопросы: как истолковать два ответа в первом случае? Почему во втором случае только один ответ? И здесь нам на по¬мощь приходит график. Оказывается, велоси¬педист может ехать со скоростью 20 км/ч, до-гнать второго туриста и через 10 мин догнать первого  (рис, 6). Но он может ехать медленнее, со скоростью 7 км/ч, и догнать, второго туриста позже, затем, также через 10 мин, догнать первого туриста.
+
Рис. 5
Рис. 6
+
Рассмотрим теперь случай, когда велосипедист   сначала    догоняет первого    туриста (рис 5). Имеем DE: DF= РЕ: KF, или Х:( х+ 1/6)= 4(2  + х): 5(1 1/6+х). Решив уравнение получим х= 3,2, v=6,5 км/ч. Возникают вопросы: как истолковать два ответа в первом случае? Почему во втором случае только один ответ? И здесь нам на помощь приходит график. Оказывается, велосипедист может ехать со скоростью 20 км/ч, догнать второго туриста и через 10 мин догнать первого  (рис, 6). Но он может ехать медленнее, со скоростью 7 км/ч, и догнать, второго туриста позже, затем, также через 10 мин, догнать первого туриста.
 +
Рис. 6
  
Во втором случае (штриховая линия на рис. 6) догнать сначала первого туриста вело-сипедист может только после того, как второй турист обгонит первого. Но после этого собы¬тия расстояние между туристами увеличивает¬ся и ни при какой другой скорости, отличной от найденной (л;6,5 км/ч), догнать за 10 мин второго туриста велосипедист не сможет.
+
Во втором случае (штриховая линия на рис. 6) догнать сначала первого туриста велосипедист может только после того, как второй турист обгонит первого. Но после этого события расстояние между туристами увеличивается и ни при какой другой скорости, отличной от найденной (л;6,5 км/ч), догнать за 10 мин второго туриста велосипедист не сможет.
 
Ответ: 20 км/ч, или 7 км/ч, или 6,5км/ч.
 
Ответ: 20 км/ч, или 7 км/ч, или 6,5км/ч.
  
Задача 4. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал 1/4 пути между А и В, из В в А выехал мо¬тоциклист, который, прибыв в А, не задержи¬ваясь, повернул обратно и одновременно с ве¬лосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипе¬дистом равно времени движения мотоцикли¬ста из А в В. Считая, что скорости мотоцик¬листа при движении изА в Ви изВвА раз¬личны, найти, во сколько раз скорость мото¬циклиста при движении из А в В больше скорости велосипедиста.
+
'''Задача 4.'''
 +
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал 1/4 пути между А и В, из В в А выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипе¬дистом равно времени движения мотоциклиста из А в В. Считая, что скорости мотоциклиста при движении из А в В и из В в А различны, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А в В больше скорости велосипедиста.
  
Решение. Построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста  (рис. 7).
+
'''Решение.'''
 +
Построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста  (рис. 7).
 
По условию DP=1/4 АВ  (отсюда    АР = 1/4АТ); PK=LT; требуется найти QT/LT:QT/FT=АТ/LT
 
По условию DP=1/4 АВ  (отсюда    АР = 1/4АТ); PK=LT; требуется найти QT/LT:QT/FT=АТ/LT
  Рис. 7
+
Рис. 7
  
 
Докажем  (от противного), что  мотоциклист прошел  до  первой  встречи  с  велосипедистом
 
Докажем  (от противного), что  мотоциклист прошел  до  первой  встречи  с  велосипедистом
 
1/2 АВ, т. е. FC= 1/2АВ. Допустим, что FC<1/2АВ, тогда СК>1/2АВ.   
 
1/2 АВ, т. е. FC= 1/2АВ. Допустим, что FC<1/2АВ, тогда СК>1/2АВ.   
 
Время  РК,  за которое мотоциклист прошел расстояние FC, равно  времени  РК,  за  которое   
 
Время  РК,  за которое мотоциклист прошел расстояние FC, равно  времени  РК,  за  которое   
велосипедист прошел МС. Так как DP = 1/4AB,  а  СК> 1/2 АВ, то МС >1/4AB, следовательно, ве¬лосипедист потратит больше времени на про¬хождение   МС,  чем на  DP.  Таким  образом,
+
велосипедист прошел МС. Так как DP = 1/4AB,  а  СК> 1/2 АВ, то МС >1/4AB, следовательно, ве¬лосипедист потратит больше времени на прохождение   МС,  чем на  DP.  Таким  образом,
  PK>AР=1/4 AT.
+
PK>AР=1/4 AT.
Очевидно, CК>CF, следовательно, время KL, необходимое мотоциклисту для прохож-дения расстояния СК, больше времени РК, затраченного на прохождение FC. Таким об¬разом, имеем: KL>PK>AP=1/4AT. Зна¬чит, на LT (время, за которое мотоциклист пройдет    расстояние АВ)    остается    меньше 1/4AT. Отсюда РК не равно LT (РК >1/4 AT, LT< 1/4AT) что противоречит условию за¬дачи.
+
Очевидно, CК>CF, следовательно, время KL, необходимое мотоциклисту для прохождения расстояния СК, больше времени РК, затраченного на прохождение FC. Таким образом, имеем: KL>PK>AP=1/4AT. Значит, на LT (время, за которое мотоциклист пройдет    расстояние АВ)    остается    меньше 1/4AT. Отсюда РК не равно LT (РК >1/4 AT, LT< 1/4AT) что противоречит условию задачи.
Аналогично устанавливаем, что FC не мо¬жет быть больше1/2 АВ. Таким образом, до¬казано, что  FC = 1/2 АВ,  тогда  АР=РК= KL=LT =1/4АТ  и искомое отношение AT: LT=4
+
Аналогично устанавливаем, что FC не может быть больше1/2 АВ. Таким образом, доказано, что  FC = 1/2 АВ,  тогда  АР=РК= KL=LT =1/4АТ  и искомое отношение AT: LT=4
Ответ: скорость мотоциклиста при движе¬нии от А к В в 4 раза больше скорости ве-лосипедиста.
+
'''Ответ:''' скорость мотоциклиста при движении от А к В в 4 раза больше скорости велосипедиста.
В приведенных примерах использование гра¬фиков приводит к простым и красивым ре¬шениям. Кроме того, этот способ является прекрасным средством реализации межпред¬метных связей между алгеброй, геометрией и физикой. Строя график зависимости пройден¬ного расстояния от времени (при равномер¬ном движении), учащиеся вспоминают, что эта зависимость выражается линейной функцией, повторяют физический смысл углового коэф¬фициента прямой, используют при решении текстовых алгебраических задач равенство и подобие треугольников. При этом знания, по¬лученные на уроках по разным предметам, объединяются, становятся более осознанны¬ми, действенными. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым со¬держанием, конкретизируются в ходе позна¬вательной деятельности учащихся.
+
В приведенных примерах использование графиков приводит к простым и красивым решениям. Кроме того, этот способ является прекрасным средством реализации межпредметных связей между алгеброй, геометрией и физикой. Строя график зависимости пройденного расстояния от времени (при равномерном движении), учащиеся вспоминают, что эта зависимость выражается линейной функцией, повторяют физический смысл углового коэффициента прямой, используют при решении текстовых алгебраических задач равенство и подобие треугольников. При этом знания, полученные на уроках по разным предметам, объединяются, становятся более осознанными, действенными. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым содержанием, конкретизируются в ходе познавательной деятельности учащихся.
Нередко, используя графики, можно уви¬деть «скрытые» свойства рассматриваемых величин: шляпа и палка (задача 2) проплыли равные расстояния (PB = LN, см. рис. 2), на встречу с палкой математик затратил столько же минут, сколько и на удаление от шляпы (BC=DE; эти выводы являются очевидными следствиями того факта, что прямые, изобра¬жающие графики движений с одинаковыми скоростями, параллельны); мотоциклист (за¬дача 5) встретил первый раз велосипедиста на 1/2 пути, скорость мотоциклиста до первой встречи в два раза больше, чем скорость ве¬лосипедиста, и др.
+
Нередко, используя графики, можно увидеть «скрытые» свойства рассматриваемых величин: шляпа и палка (задача 2) проплыли равные расстояния (PB = LN, см. рис. 2), на встречу с палкой математик затратил столько же минут, сколько и на удаление от шляпы (BC=DE; эти выводы являются очевидными следствиями того факта, что прямые, изображающие графики движений с одинаковыми скоростями, параллельны); мотоциклист (задача 5) встретил первый раз велосипедиста на 1/2 пути, скорость мотоциклиста до первой встречи в два раза больше, чем скорость велосипедиста, и др.
Кроме того, следует учитывать индивидуаль¬ные особенности учащихся. Алгебраические решения ближе тем, кто любит формулы, их преобразования; решения с использованием графиков привлекают тех, кто нуждается в со¬держательных образах, кто любит геометрию, физику.
+
Кроме того, следует учитывать индивидуальные особенности учащихся. Алгебраические решения ближе тем, кто любит формулы, их преобразования; решения с использованием графиков привлекают тех, кто нуждается в содержательных образах, кто любит геометрию, физику.
Очевидно, что использование описанно¬го метода требует определенных навыков гра¬фического представления условий задачи. Они могут быть сформированы совместными уси¬лиями учителей физики и математики. Затраченные усилия быстро оку¬пятся.
+
Очевидно, что использование описанного метода требует определенных навыков графического представления условий задачи. Они могут быть сформированы совместными усилиями учителей физики и математики. Затраченные усилия быстро окупятся.
 
Литература
 
Литература
 
1. Алгебра7 под ред. С.А.Теляковского. М.Просвещение. 1985г.
 
1. Алгебра7 под ред. С.А.Теляковского. М.Просвещение. 1985г.
 
2. Квант. 1970. №6,стр. 47-88
 
2. Квант. 1970. №6,стр. 47-88
 
3. Энциклопедический словарь юного математика. М. Педагогика. 1985г.
 
3. Энциклопедический словарь юного математика. М. Педагогика. 1985г.

Версия 15:19, 17 ноября 2008

Использование графиков равномерного движения при решении текстовых задач по алгебре. Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное расстояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недостаток можно устранить, применяя графическое представление движения, известное учащимся из курса физики. Отметим, что при решении задач на равномерное движение полезны соотношения: S1 : S2 =t1 : t2 – если скорости равны; V1  : V2 =t1 : t2 – если равны пройденные расстояния; S1 : S2 = V1  : V2 – если равны промежутки времени; Кроме того, известно, что тангенс угла наклона прямой x=х0 +Vt к оси Ot численно равен скорости тела. Рассмотрим решение нескольких задач, используя график равномерного движения.

Задача 1 Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А — через 2 ч 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста. Решение. Построим графики движения туристов (рис. 1). По условию задачи PR - PK =2, KC=1,6, RD=2,5; Нужно найти АВ, PR/АR, KP/ВК. Из подобия треугольников(ΔBKP ~ ΔDRP; ΔCKP~ΔARP) следует что КС:АR=КР: PR=ВК: RD но ВК=АR поэтому КС:АR= АR: RD или АR* АR=1,6*2,5; АR=2. Затем,1,6:2=PК: PК+2. Откуда PК=8 км, АВ=18км, v1 = 5км/ч, v2= 4 км/ч.

                                                                    Рис.1                     

Рис.2 Задача 2. Математик шел домой по берегу ручья против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 мин он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой? Решение. Построим графики движения математика, палки и шляпы (рис. 2; сплошная линия соответствует движению математика, штриховая - движению шляпы и палки). В момент В математик бросил шляпу, в момент С бросил палку и побежал назад, в момент D выудил шляпу, в момент Е встретил палку. Потерянное время состоит из CD (за которое математик бежал назад от момента, когда заметил ошибку, до того, как выудил шляпу) и DF (за которое он вернулся назад). По условию задачи vматем: vручья =ВР/АВ :РВ/ВD=3/2; vматем: v1 матем =КС/АС:КС/СD= СD/АС=1/2 DE = BC=10; требуется определить CF. Пусть CD=x, тогда DF=AC=2x, АВ =2х+10. Имеем: (х+10) : (2х-10)=3/2. т.е. х=12,5мин; CF = CD + DF = x + 2Х = 37,5 мин. Ответ: математик потерял 37,5 мин

Задача 3. Из А в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста. Ре ш е н и е. Построим графики движения двух туристов и велосипедиста, предположив, что велосипедист сначала догоняет второго туриста (рис. 4). По условию задачи AC=CD = l, СС'=4, DD' = 5, EF = -1/6; надо найти РЕ /DЕ. Пусть DE=x.. Имеем РЕ: DF= РЕ: KF, причем РЕ = 5{1 + х), KF = 4 (2 1/6 + х), откуда Х:( х+ 1/6)= 5{1 + х): 4(2 1/6 + х), получаем:6х2-17х+5=0, откуда х1=1/3 ч; х2= 2,5 ч; v1 = 20км/ч, v2= 7 км/ч.

Рис. 4 Рис. 5 Рассмотрим теперь случай, когда велосипедист сначала догоняет первого туриста (рис 5). Имеем DE: DF= РЕ: KF, или Х:( х+ 1/6)= 4(2 + х): 5(1 1/6+х). Решив уравнение получим х= 3,2, v=6,5 км/ч. Возникают вопросы: как истолковать два ответа в первом случае? Почему во втором случае только один ответ? И здесь нам на помощь приходит график. Оказывается, велосипедист может ехать со скоростью 20 км/ч, догнать второго туриста и через 10 мин догнать первого (рис, 6). Но он может ехать медленнее, со скоростью 7 км/ч, и догнать, второго туриста позже, затем, также через 10 мин, догнать первого туриста. Рис. 6

Во втором случае (штриховая линия на рис. 6) догнать сначала первого туриста велосипедист может только после того, как второй турист обгонит первого. Но после этого события расстояние между туристами увеличивается и ни при какой другой скорости, отличной от найденной (л;6,5 км/ч), догнать за 10 мин второго туриста велосипедист не сможет. Ответ: 20 км/ч, или 7 км/ч, или 6,5км/ч.

Задача 4. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал 1/4 пути между А и В, из В в А выехал мотоциклист, который, прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипе¬дистом равно времени движения мотоциклиста из А в В. Считая, что скорости мотоциклиста при движении из А в В и из В в А различны, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А в В больше скорости велосипедиста.

Решение. Построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста (рис. 7). По условию DP=1/4 АВ (отсюда АР = 1/4АТ); PK=LT; требуется найти QT/LT:QT/FT=АТ/LT Рис. 7

Докажем (от противного), что мотоциклист прошел до первой встречи с велосипедистом 1/2 АВ, т. е. FC= 1/2АВ. Допустим, что FC<1/2АВ, тогда СК>1/2АВ. Время РК, за которое мотоциклист прошел расстояние FC, равно времени РК, за которое велосипедист прошел МС. Так как DP = 1/4AB, а СК> 1/2 АВ, то МС >1/4AB, следовательно, ве¬лосипедист потратит больше времени на прохождение МС, чем на DP. Таким образом, PK>AР=1/4 AT. Очевидно, CК>CF, следовательно, время KL, необходимое мотоциклисту для прохождения расстояния СК, больше времени РК, затраченного на прохождение FC. Таким образом, имеем: KL>PK>AP=1/4AT. Значит, на LT (время, за которое мотоциклист пройдет расстояние АВ) остается меньше 1/4AT. Отсюда РК не равно LT (РК >1/4 AT, LT< 1/4AT) что противоречит условию задачи. Аналогично устанавливаем, что FC не может быть больше1/2 АВ. Таким образом, доказано, что FC = 1/2 АВ, тогда АР=РК= KL=LT =1/4АТ и искомое отношение AT: LT=4 Ответ: скорость мотоциклиста при движении от А к В в 4 раза больше скорости велосипедиста. В приведенных примерах использование графиков приводит к простым и красивым решениям. Кроме того, этот способ является прекрасным средством реализации межпредметных связей между алгеброй, геометрией и физикой. Строя график зависимости пройденного расстояния от времени (при равномерном движении), учащиеся вспоминают, что эта зависимость выражается линейной функцией, повторяют физический смысл углового коэффициента прямой, используют при решении текстовых алгебраических задач равенство и подобие треугольников. При этом знания, полученные на уроках по разным предметам, объединяются, становятся более осознанными, действенными. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым содержанием, конкретизируются в ходе познавательной деятельности учащихся. Нередко, используя графики, можно увидеть «скрытые» свойства рассматриваемых величин: шляпа и палка (задача 2) проплыли равные расстояния (PB = LN, см. рис. 2), на встречу с палкой математик затратил столько же минут, сколько и на удаление от шляпы (BC=DE; эти выводы являются очевидными следствиями того факта, что прямые, изображающие графики движений с одинаковыми скоростями, параллельны); мотоциклист (задача 5) встретил первый раз велосипедиста на 1/2 пути, скорость мотоциклиста до первой встречи в два раза больше, чем скорость велосипедиста, и др. Кроме того, следует учитывать индивидуальные особенности учащихся. Алгебраические решения ближе тем, кто любит формулы, их преобразования; решения с использованием графиков привлекают тех, кто нуждается в содержательных образах, кто любит геометрию, физику. Очевидно, что использование описанного метода требует определенных навыков графического представления условий задачи. Они могут быть сформированы совместными усилиями учителей физики и математики. Затраченные усилия быстро окупятся. Литература 1. Алгебра7 под ред. С.А.Теляковского. М.Просвещение. 1985г. 2. Квант. 1970. №6,стр. 47-88 3. Энциклопедический словарь юного математика. М. Педагогика. 1985г.

Личные инструменты
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/