Доказательство от противного
| (не показаны 10 промежуточных версий 3 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Урок можно начать с рассказа учителя.''' | '''Урок можно начать с рассказа учителя.''' | ||
| − | В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто пользуются способом доказательства, который | + | [[Изображение:Vaschenko.jpg|thumb|Ващенко Н.М., на уроке]]В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто пользуются способом доказательства, который называется "от противного". |
Приведем примеры таких доказательств. | Приведем примеры таких доказательств. | ||
| − | '''Пример 1.''' Разведчики получили задание: выяснить, | + | '''Пример 1.''' Разведчики получили задание: выяснить, находится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки докладывает: если бы в селе была танковая колонна, го тогда бы были следы гусениц, а их мы не обнаружили. |
| + | |||
Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие — следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет. | Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие — следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет. | ||
'''Пример 2.''' Врач после осмотра больного ребенка говорит: | '''Пример 2.''' Врач после осмотра больного ребенка говорит: | ||
| + | |||
«У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет». | «У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет». | ||
| + | |||
Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме. | Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме. | ||
| + | |||
Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»— и вывешивается таблица (табл. 5). | Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»— и вывешивается таблица (табл. 5). | ||
'''Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи. ''' | '''Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи. ''' | ||
| + | '''1. Дано:''' а||b, прямые с и а пересекаются. '''Докажите:''' прямые с и b пересекаются. | ||
| + | '''Доказательство.''' | ||
| − | + | 1) Предположим, что b||с. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | 1) Предположим, что b | + | |
2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b. | 2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b. | ||
| − | |||
| − | |||
| + | 3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. | ||
| + | |||
| + | '''Вывод''': значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые бис пересекаются. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | '''2. Дано:''' A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. '''Докажите:''' точка С не лежит между точками А и В. | ||
| + | |||
| + | '''Доказательство.''' | ||
| − | |||
| − | |||
1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В. | 1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В. | ||
| + | |||
2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА | 2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА | ||
| − | 3) Это противоречит условию: АВ | + | |
| − | + | 3) Это противоречит условию: АВ = АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см. | |
| − | 3. Дано: АВ — полупрямая, С | + | |
| − | Доказательство. 1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С. | + | |
| − | 2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB<AC. | + | '''Вывод:''' точка С не лежит между точками А и В. |
| − | 3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ. | + | |
| − | + | ||
| − | Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения | + | '''3. Дано:''' АВ — полупрямая, С АВ, АС < АВ. '''Докажите:''' точка В не лежит между точками А и С. |
| − | Карточка имеет вид: | + | |
| − | Задание на дом: п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...». | + | '''Доказательство.''' |
| + | |||
| + | 1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С. | ||
| + | |||
| + | 2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB<AC. | ||
| + | |||
| + | 3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ. | ||
| + | |||
| + | '''Вывод:''' точка В не лежит между точками А и С. | ||
| + | |||
| + | Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения учащимися сущности способа доказательства от противного, а также с целью экономии времени при решении задач можно использовать карточки-подсказки, которые сделаны из плотной бумаги и вставлены в полиэтиленовые мешочки. Ученик должен на полиэтиленовой пленке заполнить пропущенные места. Записи на пленке легко стираются, и поэтому карточки можно использовать неоднократно. | ||
| + | |||
| + | '''Карточка имеет вид:''' | ||
| + | |||
| + | Предположим противоположное тому, что требуется доказать, т.е. | ||
| + | |||
| + | Из предположения следует, что (на основании …… | ||
| + | |||
| + | Получаем противоречие с. | ||
| + | |||
| + | Значит, наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т.е. | ||
| + | |||
| + | '''Задание на дом:''' | ||
| + | |||
| + | п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...». | ||
| + | |||
1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK— 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой. | 1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK— 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой. | ||
| − | 2. Докажите, что если | + | |
| + | 2. Докажите, что если <(ab) = 100°, <(be) — 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab). | ||
| + | |||
3. Докажите теорему 1.1 способом от противного. | 3. Докажите теорему 1.1 способом от противного. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 09:36, 8 июня 2009
Урок можно начать с рассказа учителя.
Приведем примеры таких доказательств.
Пример 1. Разведчики получили задание: выяснить, находится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки докладывает: если бы в селе была танковая колонна, го тогда бы были следы гусениц, а их мы не обнаружили.
Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие — следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет.
Пример 2. Врач после осмотра больного ребенка говорит:
«У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет».
Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме.
Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»— и вывешивается таблица (табл. 5).
Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи.
1. Дано: а||b, прямые с и а пересекаются. Докажите: прямые с и b пересекаются.
Доказательство.
1) Предположим, что b||с.
2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b.
3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.
Вывод: значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые бис пересекаются.
2. Дано: A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите: точка С не лежит между точками А и В.
Доказательство.
1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В.
2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА
3) Это противоречит условию: АВ = АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см.
Вывод: точка С не лежит между точками А и В.
3. Дано: АВ — полупрямая, С АВ, АС < АВ. Докажите: точка В не лежит между точками А и С.
Доказательство.
1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С.
2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB<AC.
3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ.
Вывод: точка В не лежит между точками А и С.
Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения учащимися сущности способа доказательства от противного, а также с целью экономии времени при решении задач можно использовать карточки-подсказки, которые сделаны из плотной бумаги и вставлены в полиэтиленовые мешочки. Ученик должен на полиэтиленовой пленке заполнить пропущенные места. Записи на пленке легко стираются, и поэтому карточки можно использовать неоднократно.
Карточка имеет вид:
Предположим противоположное тому, что требуется доказать, т.е.
Из предположения следует, что (на основании ……
Получаем противоречие с.
Значит, наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т.е.
Задание на дом:
п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...».
1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK— 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой.
2. Докажите, что если <(ab) = 100°, <(be) — 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).
3. Докажите теорему 1.1 способом от противного.
