|
|
| (не показаны 8 промежуточных версий 4 участников) |
| Строка 65: |
Строка 65: |
| | 6. [[Нега-позиционная система счисления]] | | 6. [[Нега-позиционная система счисления]] |
| | | | |
| | + | 7. [[Троичная система счисления]] |
| | | | |
| | + | 8.[[Кипу инков]] |
| | | | |
| − | == Представление чисел в троичных системах счисления ==
| + | 9. [[Шестидесятеричная система счисления]] |
| − | '''Сдвоенные комбинированные системы счисления'''
| + | |
| | | | |
| − | В сдвоенных (спаренных, комбинированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:
| + | == Смешанные системы счисления == |
| | | | |
| − | 1. внутриразрядная система счисления с основанием '''a''', числа которой используются для записи цифр и | + | 1. [http://www.tgl.net.ru/wiki/index.php/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Фибоначчиева система счисления] |
| − | 2. приписная межразрядная система счисления с основанием '''b'''.
| + | |
| | | | |
| − | Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — \ a_k на '''k'''-тые степени числа b:
| |
| − | [[Изображение:B01736de1750d29a7eeee1e2972173b3.png]], где
| |
| | | | |
| − | * '''k''' — число от 0 до n-1, номер числового [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8F%D0%B4 разряда],
| |
| − | * '''n''' — число разрядов,
| |
| − | * '''a''' — число, основание основной внутриразрядной системы счисления,
| |
| − | * '''ak''' — целые числа из множества a, называемые цифрами,
| |
| − | * '''b''' — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
| |
| − | * '''bk''' — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.
| |
| | | | |
| − | Каждое произведение [[Изображение:6fc453ed88f58dd0e8d40b2915fa6cb4.png]]в такой записи называется '''(a, b)'''-ичным разрядом
| |
| − |
| |
| − | При '''b=a''' образуются '''(a, a)'''-ичные системы счисления с произведением — '''akak''' и суммой [[Изображение:A9e8fb3e529d57f6e59fa9080be684c9.png]], которые при '''a=3''' превращаются в обычную '''(3,3)'''-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.
| |
| − |
| |
| − | Весовой коэффициент разряда — '''bk''' — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — '''k''', и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества '''a={0,1,2}''', но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как ak-тые ближе к аппаратной части и по '''ak'''- тым из множества '''a={0,1,2}''' или из множества '''a={-1,0,+1}''', а не по '''bk''' мы определяем и относим число '''x(a, b)''' к троичным системам кодирования, то есть большие основания считать '''a''' основным основанием системы счисления, '''b''' в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование '''(BCD)''', в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления — десятичная.
| |
| − |
| |
| − | '''Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления'''
| |
| − |
| |
| − | Целое число ''x'' в сдвоенной (спаренной) позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:A48361184cf3d2c5e75adf6a502e8974.png]]
| |
| − |
| |
| − | В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты '''bk''', в записи они опускаются, но подразумевается, что '''k'''-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный '''bk'''.
| |
| − |
| |
| − | Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:[[Изображение:3d27b8cd6bfa1955f68009a5cf134810.png]], где:
| |
| − |
| |
| − | '''a=3 — 3-х''' элементное множество '''a={0,1,2}''' из которого берутся цифры '''ak''', '''n''' — число элементов (цифр) в числе '''x3,b'''.
| |
| − |
| |
| − | Дробное число записывается и представляется в виде:[[Изображение:D4f5477109e31a4435708f6603f2bb51.png]] , где '''m''' — число разрядов дробной части сдвоенного (спаренного) позиционного числа справа от запятой,
| |
| − |
| |
| − | при '''m=0''' дробная часть отсутствует, число — целое,
| |
| − |
| |
| − | при '''ak''' из троичного множества '''a={0,1,2}''' и '''b=1''' образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными '''1k=1''',
| |
| − |
| |
| − | при '''ak''' из двоичного множества '''a={0,1}''' и '''b=3''' в сумме будут только целые степени — '''3k,'''
| |
| − |
| |
| − | при '''ak''' из троичного множества '''a={0,1,2}''' и '''b=3''' в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, '''ak''' удовлетворяют неравенству ''0<='''''ak'''''<=(b-1)<b'', т.е. ''0<='''''ak'''''<=2<3'',
| |
| − |
| |
| − | при '''ak''' из десятичного множества ''a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}'' и '''b=3''' в сумме будут целые степени 3 умноженные на ''1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.''
| |
| − | В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.
| |
| − |
| |
| − | '''Строенные комбинированные троичные системы счисления'''
| |
| − |
| |
| − | В строенных (комтринированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель '''(b/с)''':[[Изображение:3050b34770e9adddcb718eaeb1db1ac2.png]]
| |
| − |
| |
| − | В общем случае '''c≠3'''.
| |
| − | При '''ak''' из '''a={0,1,2}''', '''b=3''' и '''c=3''' образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
| |
| − | При '''a=2''', '''b=3''' и '''c=2''' образуется ''(2,3,2)''-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным ''(3/c)=(3/2)=1,5''.
| |
| − | При других значениях '''a''', '''b''' и '''c''' образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем''' (b/c)''', число которых бесконечно.
| |
| − | Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.
| |
| − |
| |
| − | '''Кодирование троичных цифр'''
| |
| − |
| |
| − | Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
| |
| − |
| |
| − | 1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (+1) ;
| |
| − |
| |
| − | 1 — (0) ;
| |
| − |
| |
| − | 0 — (-1) .
| |
| − | ''
| |
| − |
| |
| − | 2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование
| |
| − |
| |
| − | 1 (Binary Coded Ternary, BCT representation):
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (1,0);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (0,1);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (0,0).
| |
| − | ''
| |
| − | 3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2
| |
| − |
| |
| − | (Binary Coded Ternary, BCT representation):
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (1,1);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (0,1);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (0,0).''
| |
| − |
| |
| − | 3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1:
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (1,0,0);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (0,1,0);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (0,0,1).''
| |
| − |
| |
| − | 4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (0,1,1);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (1,0,1);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (1,1,0).''
| |
| − |
| |
| − | 5. Трёхразрядное единичное (унарное) трёхпроводное кодирование 3:
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (1,1,1);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (0,1,1);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (0,0,1).''
| |
| − |
| |
| − | 6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:
| |
| − |
| |
| − | ''2 — (0,0,0);
| |
| − |
| |
| − | 1 — (1,0,0);
| |
| − |
| |
| − | 0 — (1,1,0).''
| |
| − |
| |
| − | и др.
| |
| − |
| |
| − | '''Сравнение с двоичной системой счисления'''
| |
| − |
| |
| − | При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
| |
| − | При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость ''29 = 512'' чисел, а троичный код имеет ёмкость ''39 = 19683'' числа, то есть в ''39 / 29 = 38,4'' раза больше.
| |
| − | При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость ''227 = 134217728'' чисел, а троичный код имеет ёмкость ''327 = 7625597484987'' чисел, то есть в ''327 / 227 = 56815,13'' раз больше.
| |
| − | При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость ''281 = 2417851693229258349412352'' числа, а троичный код имеет ёмкость ''381 = 4,434e + 38'' чисел, то есть в ''381 / 281 = 183396897083556,95'' раз больше.
| |
| − |
| |
| − | '''Свойства'''
| |
| − |
| |
| − | Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе ''3*10=30'' знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D1%84%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD Джону фон Нейману].
| |
| − |
| |
| − | '''Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную'''
| |
| − |
| |
| − | Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на ''3'' до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.
| |
| − | ''Пример: десятичное целое число ''4810,10'' переведём в несимметричное троичное целое число:
| |
| − | число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0
| |
| − | частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1
| |
| − | частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2
| |
| − | частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1''
| |
| − | Частное не больше нуля, деление закончено.
| |
| − | Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат'' 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.''
| |
| − |
| |
| − | == Симметричная троичная система счисления ==
| |
| − |
| |
| − | Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге в 1877 г. Позже этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, интересовался Д. И. Менделеев.
| |
| − |
| |
| − | Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.
| |
| − |
| |
| − | Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой 1 (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
| |
| − | Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления.
| |
| − |
| |
| − | '''Свойства'''
| |
| − |
| |
| − | Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: ''−1, 0, 1,'' с которым связано пять ценных свойств:
| |
| − |
| |
| − | * Естественность представления отрицательных чисел;
| |
| − | * Отсутствие проблемы округления.
| |
| − | * Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.(стр.34).
| |
| − | * Для изменения знака у представляемого числа нужно изменять знаки у всех его цифр. Это свойство увеличивает число операций при перемене знака (в несимметричных системах изменяется только один знаковый разряд), но повышает надёжность при сбоях в одном или более разрядах.
| |
| − | * При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
| |
| − | * По затратам числа знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.
| |
| − |
| |
| − | '''Представление отрицательных чисел'''
| |
| − |
| |
| − | Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:32df26593ca240899460e0ed41b91333.png]]
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:8f5bae18552bdf4bd5912ddebbe63d09.png]]
| |
| − |
| |
| − | '''Округление'''
| |
| − |
| |
| − | Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.
| |
| − |
| |
| − | '''Перевод чисел из десятичной системы в троичную'''
| |
| − |
| |
| − | Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах [16][17]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.
| |
| − |
| |
| − | '''Перевод в другие системы счисления'''
| |
| − |
| |
| − | Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:94dfa365e034eb004fd2259c0456c21f.png]], где
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:5749b16b9eac7c134e595dcfb2d6e505.png]]- целая часть числа,
| |
| − |
| |
| − | [[Изображение:Bb1795907115a9e20e7eb84cd8a21908.png]] — дробная часть числа,
| |
| − |
| |
| − | причём коэффициенты K могут принимать значения'' { 1, 0, −1 }''.
| |
| − |
| |
| − | Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.
| |
| − |
| |
| − | '''Практические применения'''
| |
| − |
| |
| − | * Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
| |
| − | * Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Интернет-ресурсы:
| |
| − |
| |
| − | [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F#cite_note-0 Википедия]
| |
| − |
| |
| − | [http://traditio.ru/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F traditio]
| |
| − |
| |
| − | [http://ru.vlab.wikia.com/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F Virtual Laboratory Wiki ]
| |
| | | | |
| | | | |
| | [[Категория:ТГУ]] | | [[Категория:ТГУ]] |
1. Каждый студент добавляет одно наименование системы счисления и пишет о нем небольшую вики-статью. В статье обязательно дать не менее 3 ссылок на Интернет-ресурсы, предоставившие информацию. В статье рассказать об истории возникновения данной системы счисления, правилах построения чисел, привести примеры записи различных чисел в выбранной системе счисления.
2. Для проверки знаний о системе счисления, составить небольшой тест при помощи сервиса http://master-test.net/.При создании теста предусмотреть вывод результатов тестирования и комментариев по неправильным ответам.
3. Каждому студенту необходимо пройти тестирование на знание всех систем счисления.
4. Оценить по одной статье. Для выставления оценок по критериям, необходимо:
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называются непозиционными
Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число, называются позиционными.
