Копилка знаменитых задач продолжение 5

Текущая версия на 23:28, 21 декабря 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 6

Задачи участников ДООМ

Bookworm ID 213 15:04, 29 октября 2008 (UZT) Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)? Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов. Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику? Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления. Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 27. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен? Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая. Составим уравнение: 5х+8у=6(х+у) Решив уравнение, получим: х=2у. Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 28: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого? Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг. Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро 1 слон? Решение: Пусть V л - объем озера, С л воды в день слон выпивает, К л воды в день попадает в озеро из ключа. Тогда выполняются два равенства: 183С = V + К ; 37 · 5С = V + 5К . Откуда С = 2К ; V = 365К . Пусть один слон выпивает озеро за t дней. Тогда tС = V + tК , 2К t = 365К , откуда t = 365 . Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней. --Bookworm ID 213 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--Сталкера задач ID 219

Задачи из Англии

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались?
Решение: Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте.

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет?
Решение: Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого.

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь?
Решение: Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек.

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится.
Решение: первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего.

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей?
Решение: А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость.

--Сталкера задач ID 219 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

ID 278, Шоу "модель"

Задача1. Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

Решение:С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

Задача 2.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

Решение: Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

Задача 3.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

Решение: Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

Задача 4.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? - Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

Решение:Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

Задача 5.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

Решение: Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

Участник: Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Участник:Модные переменные_ID_222

Два пастуха

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

Решение

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец. --Модные переменные ID 222 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

Участник:Модные переменные_ID_222

Кто на ком женат?

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

Решение

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48. Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

Ответ: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--Модные переменные ID 222 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

ID_278 Команда Шоу "модель" Задача1.Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Решение:Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

Задача 2.Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

Решение:Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

Задача 3.Иэ греческой антологии. -Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала? -Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

Решение:Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

Задача 4.Задача Метродора. Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение:Задача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

Задача 5.Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта". 5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

Решение:Решение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

Участник:Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" ID 278 16:24, 30 октября 2008 (UZT)

--Bookworm ID 213 09:26, 31 октября 2008 (UZT) Задача № 31. Старинная задача: У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в 4 раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа в 3 раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было овец, коров и лошадей? Решение: Обозначим лошадей, коров, овец: Власа – х1, у1,z1, Обозначим лошадей, коров, овец: Тараса - х2,у2,z2 Обозначим лошадей, коров, овец: Панаса – х3, у3,z3. Тогда запишем условие задачи: х1 +у1 +z1= х2 + у2 +z2= х3+ у3 + z3 (х1+ у2+ z3)2= у1+ у2+ у3 (у1+ у2+ у3)3= z1+z2+ z3 х1= х2 у2= у3 4х3=х1+х2+х3 3у1=у2+у3 z2+2=z1 1) 4х3= х1+ х2+ х3 отсюда следует, что 3х3=х1+х2 2) 4х3-2=4 у1, получим, что у1=2х3 3) х1 = х 2 (из 1 уравнения), то 3х3=2х1, 3х1=3, х3=2, значит х 2=3. 4) х1+ х2+ х3=8 5) у1+у2+у3=16 3у1=у2+у3 у2=у3 4у1=16 у1=4. Следовательно у2+у3, у2=у3=6. 6) Находим, что всего животных 72, а у каждого по 24: z1=24-7=17 z2=24-3-6=15 z3=24-2-6=16 Ответ: Влас: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец. Тарас: 3 лошади, 6 коров, 15 овец. Панас: 2 лошади, 6 коров, и 16 овец.

Задача № 32. Задача Л. Кэррола: Узелок 2: «Званный обед у губернатора». Губернатор Кговджни хочет пригласить гостей на обед в узком кругу и приглашает шурина своего отца, тестя своего брата, брата своего тестя и отца своего шурина. Найти число гостей на званном обеде. Решение: Тесть брата губернатора и шурин отца одно лицо при условии, что мать губернатора родная сестра тестя брата губернатора. Тесть брата губернатора и брат тестя одно лицо при условии, что отец жены губернатора родной брат отца жены брата губернатора. Перебирая все варианты условия получаем ответ один гость. Ответ: один гость.

Задача №33. Задача Л. Кэррола: Узелок 6: Лоло (Л) успевает связать 5 шарфов за то время, пока Мими (М) вяжет 2. Зузу (З) успевает связать 4 шарфа за то время, пока Лоло вяжет 3. Пять шарфов Зузу весят столько же, сколько один шарф Лоло. Пять шарфов Мими весят столько же, сколько 3 шарфа Зузу. Один шарф Мими греет так же, как 4 шарфа Зузу, а один шарф Лоло – как 3 шарфа Мими. Какая из трех вязальщиц лучше, если быстроту вязки, легкость шарфа и его способность сохранять тепло оценивается одинаково? Решение: При прочих равных условиях Л превосходит М по быстроте вязки в 5/2 раза, а З превосходит Л в 4/3 раза. Чтоб найти 3 числа удовлетворяющих этим условиям, проще всего принять скорость, с которой вяжет Л (ибо Л непосредственно связана и с М, и с З), за 1, а скорость, с которой вяжут ее конкурентки, выразить в виде дробей. В этих единицах качество работы Л, М и З оценивается числами 1, 2/3 и 4/3. Для оценки легкости шарфа надо иметь в виду, что, чем больше вес, тем менее искусной следует считать вязальщицу. Следовательно, качество шарфов З относится к качеству Л, как 5 к 1. Таким образом, при оценке легкости шарфов Л, М и З получают оценки 1/5, 5/3 и 1. Аналогичным образом оценивается и умение Л, М и З вязать теплые шарфы: 3, 1 и 1/4. Чтобы получить окончательный результат, необходимо перемножить три оценки, полученные Л, и проделать ту же операцию с оценками М и З. В итоге мы получим: 1* 1/5* *3, 2/5*5/3*1, 4/3*1*1/4, то есть 3/5, 2/3 и 1/3. Умножив все три числа на 15 ( от чего отношение любых из них не изменится), мы получим оценки 9,10 и 5. Следовательно, лучшей вязальщицей необходимо признать М, затем идет Л и, наконец, З. Ответ: Места в конкурсе вязальщиц шарфов распределились следующим образом: 1) М, 2)Л, 3)З.

Задача №34. Задача Л. Кэррола: Узелок 8: Из некоторого пункта в обе стороны каждые 15 минут отправляются омнибусы. Пешеход выходит из того же пункта в момент отправления омнибуса и встречает первый омнибус через 121/2 минут. Когда пешехода нагонит первый омнибус? Решение: Пусть а – расстояние, проходимое омнибусом за 15 минут, а х – расстояние от пункта отправления до того места, где омнибус нагонит пешехода. Поскольку встреченный пешеходом омнибус прибывает в пункт отправления через 21/2 минуты после встречи, он за эти 21/2 минуты проезжает расстояние, на преодоление которого у пешехода ушло 121/2 минут. Следовательно, скорость омнибуса в 5 раз превышает скорость пешехода. Омнибус, который нагонит пешехода в тот момент, когда пешеход пускается в путь, находится на расстоянии а от пункта отправления. Следовательно, к тому моменту, когда путешественник проходит расстояние х, омнибус успевает проехать расстояние а+х = 5х, то есть 4х = а, откуда х = а/4. Это расстояние омнибус преодолевает за 15/4 минуты. Следовательно, пешеход проходит его за 5*15/4 минут. Таким образом, омнибус нагоняет пешехода через 183/4 минуты после того, как тот отправится в путь, или ( что то же ) через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом. Ответ: через 61/4 минуты после встречи с первым омнибусом.

Задача №35. Задача Л. Кэррола: Узелок 9: Сад имеет форму вытянутого прямоугольника, длина которого на 1/2 ярда больше ширины. Дорожка шириной 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет весь сад. Найти длину и ширину сада. Решение: Разделим дорожку на прямые участки «повороты» - квадраты размером 1*1 ярд в «углах». Число полных рядов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, измеряемых в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равное 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду ( но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если х – ширина сада в ярдах, то х(х+1/2) = =3630. Решая это квадратное уравнение, получаем х = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина - 601/2 ярдам. Ответ: ширина сада 60 ярдов, длина 601/2 ярдов.

Задача №36. Задача Л. Кэррола: Узелок 10: Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/3 от суммы возрастов всех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям? Решение: Обозначим возраст сыновей в момент первого события х, у и (х + у). Заметим, что если а+b = 2c, то (а – n)+(b – n) = 2(с – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда – нибудь, выполняется всегда, в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (х и у) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполнятся для суммы возраста третьего сына ( х+у ) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть х или у ( какого именно, безразлично ). Предположим, например, что (х + у) + х =2у, тогда у = 2х. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию х, 2х, 3х, а число лет, прошедших с тех пор, составляют 2/3 от 6х, то есть равно 4х. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5х, 6х и 7х лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется …» Поэтому 7х = 21, х = 3, 5х = 15 и 6х = 18. Ответ: 15 и 18 лет.

Задача№ 37 Задача Архимеда: задача о быках. Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец. (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.) Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных Их в четырех стадах много когда-то паслось. Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым, Темной морской волны стада другого был цвет, Рыжим третие было, последнее пестрым. И в каждом Стаде была самцов множеством тяжкая мощь, Все же храня соразмерность такую: представь, чужестранец, Белых число быков в точности было равно Темным быков половине и трети и полностью рыжим; Темных число быков четверте было равно Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим; Пестрой же шерсти быков так созерцай число: Части шестой и седьмой от стада быков серебристых Также и рыжим всем ты их число поравняй. В тех же стадах коров было столько: число белошерстных В точности было равно темного стада всего Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе; Темных число же коров части четвертой опять Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь И туда же быков в общее стадо причтешь. Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были Рыжего стада частям пятой и с нею шестой. Рыжих коров же считалось количество равным полтрети Белого стада всего с частию взятой седьмой. Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было, Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя, Все ж к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй Свойства какие еще Солнца быков числа. Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских Плотным квадратом они площадь большую займут. Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо, Лесенкой станут они, счет с единицы начав, Так что фигуру они треугольную нам образуют; Цвета иного быков нам нет нужды добавлять, Если ты это найдешь, чужестранец, умом пораскинув, И сможешь точно назвать каждого стада число, То уходи, возгордившись победой, и будет считаться, Что в этой мудрости ты все до конца превзошел. Решение: Обозначим через Х, У,Z,Т соответственно количество белых, черных, рыжих и пестрых быков, а через х, у,z,t количество быков той же масти. Тогда задача сводится к решению следующей системы уравнений: Х=(1/2+1/3)У+Z У=(1/4+1/5)Т+Z Т=(1/6+1/7)Х+Z х=(1/3+1/4)(У+у) у=(1/4+1/5)(Т+t) t=(1/5+1/6)(Z+z) z=(1/6+1/7)(Х+х) К этим уравнениям нужно ещё прибавить два условия: Х+х равно квадратному числу; Т+Z равно треугольному числу. Иначе: Х+У=p2; Т+Z=q(q+)/2 Решая данную систему уравнений, получим общее количество быков 77668*10206541.

Задача №38. Задача Диофанта ( из трактата «Арифметика») Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть (1/3) наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на данную часть (1/3) наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на данную часть (1/3) среднего числа. Решение: Исходя из условий задачи, составим систему х – у = 1/3 z у – z = 1/3 х z – 10 = 1/3 у Решая эту систему, получаем х = 45; у = 371/2; z = 221/2. --Bookworm ID 213 09:26, 31 октября 2008 (UZT)

Integral ID 274 12:03, 5 ноября 2008 Задача:В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности. Решение: Пусть в последовательности не меньше 17 членов, тогда, зафиксировав любые четыре идущие подряд члена, получим, что кроме них имеется еще не меньше 13 членов, следовательно, по крайней мере, с одной стороны от этой четверки находится не меньше семи членов. Значит, существует последовательность из 11 идущих подряд членов, содержащая выбранную четверку на одном из своих концов. Но сумма взятых одиннадцати выбранных членов положительна, а сумма семи членов, дополнительных к выбранной четверке, отрицательна, поэтому сумма выбранных четырех членов положительна, поскольку это произвольная четверка последовательных членов, сумма любых четырех последовательных членов положительна. Возьмем произвольную тройку идущих подряд членов, мы можем рассмотреть семерку идущих подряд членов, которая начинается или оканчивается выбранной тройкой. Так как сумма добавленных четырех членов, по доказанному, положительна, а сумма всех семи членов, по предположению, отрицательна, то сумма выбранных трех членов отрицательна. Рассмотрим произвольный член последовательности и возьмем четверку идущих подряд членов, в которой он стоял из ее концов. Тогда их сумма положительна, сумма добавленных трех членов отрицательна, следовательно, рассматриваемый член последовательности положителен, то есть все члены последовательности положительны, а это противоречит тому, что сумма одиннадцати ее членов отрицательна. Итак, в данной последовательности содержится не более 16 членов. Например: 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5, -13, 5, 5, 5, -13, 5, 5.

Intels67 ID 295 17:06, 9 ноября 2008 (UZT) Задача Л. Н. Толстого Артели косцов надо было скосить два луга, один из которых вдвое больше другоо. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру остался еще участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов в артели?

Решение:

Л. Н. Толстой решал задачу при помощи таких рассуждений: "Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает 1/3 луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенный участок в 1/2-1/3=1/6. Если один косец в день скашивает 1/6 луга, а скошено было 6/6+2/6=8/6, то косцов было 8".

Рассмотрим теперь алгебраическое решение задачи.

Обозначим за х число косцов в артели, а за у - размер участка, скашиваемого одним косцом за 1 день. Найдем площадь большого луга. Так как на нем работала полдня вся артель, то они скосили ху/2 луга; так как другие полдня его докрашивало только пол-артели, то они скосили ху/4 луга. Таким образом, площадь большого луга будет равняться 3ху/4. Найдем теперь площадь малого луга. Так как его косили полдня пол-артели косцов и 1 косец 1 день, то его площадь будет равняться ху/4+у+(ху+4у)/4. Так как по условию, площадь большого луга в 2 раза больше площади малого, то получаем уравнение (3ху/4)/((ху+4у)/4)=2, решением которого будет х=8.

Задача Ньютона

Трава на всём лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы её за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Предполагается, что коровы поедают траву равномерно)

Решение:

Обозначим всю траву на лугу за 1, прирост травы в 1 день за а. Тогда через 24 дня травы будет на лугу – (1+24а), через 60 дней – (1+60а), через 96 дней – (1+96а). Так как 70 коров съели всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней, то количество съеденной травы 1 коровой за 1 день будет находиться как (1+24а)/(24*70) или (1+60а)/(30*60). Из уравнения (1+24а)/(24*70) = (1+60а)/(30*60) найдём а = 1/480, тогда через 96 дней на лугу будет травы: 1+96а = 1,2. За 1 день корова съедает 1/1600, а за 96 дней – 0,06. Тогда 1,2 съедает 1,2/0,06 = 20 (коров).

Участник: Дети Пифагора ID 269

Русские задачи из книг, изданных в 18 веке (После арифметики Л.Ф. Магницкого)

Задача: "С чем иностранка к россам привезена?"

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумке нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

"Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина".

Спрашивается каждой вещи цена,

С чем иностранка к россам привезена.

("Вполчетверта" - в 3,5 раза.)

Решение:

Все имущество мадам было оценено в 0,5 * (4 + 0,5) алтынов, что составляет 6,75 копеек. "Чепец фигаро" по условию в 3,5 раза дешевле "фуро", и, следовательно, в 4,5 = 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 6,75 / 4,5 = 1,5 копеек, а стоимость "фуро" равна 1,5 * 3,5 = 5,25 копеек.

Ответ: "Чепец фигаро" стоит 1,5 копеек; "фуро" стоит 5,25 копеек.

Задача: "Смекалистый слуга"

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл всё, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья". Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение:

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

Ответ: годовое жалованье слуги составляет 10 рублей; постоялец не имел денег.

Задача: "Веселый человек"

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел. Из этой суммы истратил один рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занял столько денег, сколько имел. Потом пришел в третий и четвертый трактиры и повторил то же самое. Наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего. Сколько денег имел пе6рвоначально веселый человек?

Решение:

Так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек. В третьем трактире он истратил 1 рубль, а перед этим одолжил столько денег, сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек. Аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 / 2 =87,5 копеек. Значит, он пришел в первый трактир, имея (87,5 + 100) / 2 = 93,75 копеек, то есть 93, копейки и 3 полушки.

Ответ: копейки и 3 полушки.

Задача: "Полтабуна и пол-лошади"

К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей», - сказал табунщик, - «Первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 56 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Решение:

По условию количество лошадей, купленных третьим казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 5,5 лошадей. Значит, третий казак купил 6 лошадей, и после продажи лошадей второму казаку у табунщика осталось 6 + 5 = 11 лошадей. Количество лошадей, купленных вторым казаком, без полулошади равно числу лошадей, оставшихся у табунщика, с полулошадью, то есть 11,5 лошадей. Значит, второй казак купил 12 лошадей, и после продажи лошадей первому казаку у табунщика осталось 23 лошади. Точно так же находим, что первый казак купил 24 лошади.

Ответ: первый казак купил 23 лошади; Втором 12 лошадей; третий 6 лошадей.

Задача: "Обмен зайцев на кур"'''

Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца - третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев?

Решение:

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, m/3 яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m * m/3 = m2/3 штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по m/3 копейки, то есть одно яйцо за m/3 * 1/9, и выручил поэтому m2/3 * m/3 * 1/9 = m3/81 копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства m3/81 = 72 находим m3 = 72 * 81 и m = 9 * 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было 2/3 * 18 = 12 штук.

Ответ: 18 кур и 12 зайцев.

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача №39

Сборник английского ученого и богослова, советника и приближенного Карла Великого, Алкуина.

Два человека купили на 100 сольдо свиней и платили за каждые 5 штук по два сольдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сольдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

Решение.

Поступили так: на 100 сольдо было куплено 250 свиней; их разделили на два равных стада по 125 свиней в каждом; далее отдавали из первого стада по 2 и из второго по 3 за один сольдо, за 120 свиней первого стада получили 60 сольдо, за 120 свиней второго стада - 40 сольдо и по 5 свиней каждого стада остаются в качестве прибыли.

--"Жареные семечки" 10:01, 4 ноября 2008 (UZT)

Материал из ТолВИКИ. Перейти к: навигация, поиск

Команда:Шоу "модель" ID_278

Задача из трактата "девять отделов искусства счёта"(Китай).Из трёх бочек риса одинаковой ёмкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третьей - 1 го. Воры показали: 1 - й, что он остыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, 2 - й, что он пользовался деревянным башмаком, а 3 - й - миской, причём они соответственно брали из второй и третьей бочек.Ёмкость лопаты - 1 шинг 9 го, башмака - 1 шинг 7 го, миски - 1 шинг 2 го. Сколько похитил каждый вор?

Решение: Известно, что10 го=1 шингу, 10 шингов=1 тау, 10 тау=1 ши. Эта задача на неопределённое уравнение, которое решается в целых числах. Пусть x - число отсыпаний риса лопатой, y - башмаком, z - миской. Тогда получаем систему уравнений 19x+1=17y+14=12z+1. Откуда получается 19x=12z, x=12z/19. Так как x,y,z - целые числа, можно положить z=19t. Получаем неопределённое уравнение 17y+13=228t. Взяв для t наименьшее целое значение, при котором y будет целым, т. е.t=14, получим x=168, y=187, z=266. Значит перый вор похитил 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го, второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го, третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

Задача из трактата "Математика в девяти книгах" (Китай).Имеется амбар. Ширина 3 чжана, длина 4 чжана 5 чи;наполняющее его просо составляет 10000 ху. Какова высота амбара?

Решение:10000 ху=27000 чи кубических, 30*45=1350чи, 27000/1350=20 чи высота амбара.Справка: 1 чжан=10 чи. Участник:Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" 19:16, 5 ноября 2008 (UZT)

Команда:Шоу "модель" ID_278 Задача Сридхары(Индия).Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчёлка, летающая взад и вперёд, привлечённая ароматом жасмина и пандануса. Спрашивается, сколько всего пчёл.

Решение:Задача приводит к уравнению x/5+x/3+3*(x/3-x/5)+1=x. Решая это уравнение, получим x=15. Всего было 15 пчёл.

Задача из "Арифметики" Магницкого. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь.

Решение: Человек выпевает в день 1/14 кади, а вместе с женою - 1/10 кади. Следовательно, жена выпивает в день 1/10-1/14=1/35 кади. Таким образом, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

Задача из рассказа А.П.Чехова "Репетитор". Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а чёрное - 3 рубля.

Решение: Решение сводится к системе уравнений 5x+3y=540, x+y=138. Получаем: x=63, y=75.

Задача из "Арифметики" Магницкого. Дочь спрашивала отца о числе своих лет; ей ответствовано: "Теперь твои лета составляют 2/5 моих лет, а за 4 года перед сим лета твои равнялись 1/3 настоящих моих лет." Спрашиваются лета каждого.

Решение: так как в настоящий момент возраст дочери составляет 2/5 от возраста отца, а 4 года тому назад он составлял 1/3 настоящего возраста отца, то эти 4 года равны 2/5-1/3=1/15 возраста отца. Поэтому возраст отца равен 4*15=60 лет, возраст дочери 60*2/5=24 года.

Задача французского математика Жака Озанама. Трое хотят купить домза 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - одну четверть. Сколько даст каждый?

Решение: 1/2+1/3+1/4=13/12 составляет 26 000. Отсюда, 1/12 составляет 2 000. Следовательно, первый даст 12 000, второй - 8000, а третий - 6 000 ливров. Участник:Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" 20:58, 5 ноября 2008 (UZT)

 ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА.

Это - тоже старинная задача; встречается в сочинениях XVШ века. Она имеет сказочное содержание. Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствие человека «никто никого не ел». Человек все-таки перевёз свой груз через реку. Как он это сделал?

РЕШЕНИЕ:

Волк не ест капусту, следовательно, начинать переправу надо с козы, так как волка и капусту можно оставить на берегу без человека. Переправив козу на другой берег человек возвращается, берёт в лодку капусту и также перевозит её на другой берег, где её оставляет, но зато берет в лодку козу и везёт её обратно - на первый берег. Здесь он козу оставляет и перевозит волка. Капусту он оставляет с волком, а сам возвращается за козой, перевозит её, и переправа оканчивается благополучно.

 ВО ВРЕМЯ ПРИЛИВА.

Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень покоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см. Через сколько времени покроется водой третья ступенька верёвочной лесенки?

РЕШЕНИЕ: Когда задача касается какого-либо физического явления, то непременно следует учитывать все его стороны, чтобы не попасть впросак. Так и здесь. Никакие расчёты не приведут к истинному результату, если не принять во внимание, что вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница, так что в действительности вода никогда не покроет третьей ступеньки.

 СКОЛЬКО МНЕ ЛЕТ?

Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?

РЕШЕНИЕ:23 года. Разность между годами отца и сына равна 23годам; следовательно, сыну надо иметь 23 года, чтобы отец был вдвое старше его.

 СКОЛЬКО ИХ?  

У мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?

РЕШЕНИЕ: 4 брата и 3 сестры.

 ГОД-ПЕРЕВЁРТЫШ.

Есть ли в XX столетии такой год, что если его записать цифрами, а бумажку повернуть верхним краем вниз, то число, образовавшееся на повёрнутой бумажке, будет выражать тот же год?

РЕШЕНИЕ: 1961 год. Единица при поворачивании бумажки остается единицей, 6 превращается в 9,а 9 – в 6.

--Максимум ID 251 10:09, 6 ноября 2008 (UZT)