ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА

Версия 14:57, 21 сентября 2011

Автор-составитель: Ерещенко Александр

Двоично-десятичная система счисления. Десятичные цифры от 0 до 9 заменяются представляющими их двоичными тетрадами: 0=0000, 1=0001, 2=0010, 3=0011, 4=0100, 5=0101, 6=0110, 7=0111, 8=1000 и 9=1001. Такая запись очень часто используется как промежуточный этап перевода числа из десятичной системы в двоичную или обратно. Так как 10 не является точной степенью 2, то используются не все 16 тетрад, а алгоритмы арифметических операций над многозначными числами здесь более сложны, чем в основных системах счисления. И тем не менее, двоично-десятичная система счисления применяется даже на этом уровне во многих микрокалькуляторах и некоторых компьютерах (в частности, «Ямаха» стандарта MSX).

Поскольку человеку наиболее привычны представление и арифметика в десятичной системе счисления, а для компьютера - двоичное представление и двоичная арифметика, была введена компромиссная система двоично-десятичной записи чисел. Такая система чаще всего применяется там, где существует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода. (электронные часы, калькуляторы, АОНы, и т.д.). В таких устройсвах не всегда целесообразно предусматривать универсальный микрокод перевода двоичных чисел в десятичные и обратно по причине небольшого объема программной памяти.

Принцип построения этой системы достаточно прост: каждая десятичная цифра преобразуется прямо в свой десятичный эквивалент из 4 бит, например: 369110=0011 0110 1001 0001DEC:

Десятичное число 3 6 9 1 Двоично-десятичное число 0011 0110 1001 0001

Преобразуем двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 в его десятичный эквивалент. Каждая группа из 4 бит преобразуется в её десятичный эквивалент. Получим 1000 0000 0111 0010DEC = 807210:

Двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 Десятичное число 8 0 7 2

Микропроцессоры используют чистые двоичные числа, однако понимают и команды преобразования в двоично-десятичную запись. Полученные двоично-десятичные числа легко представимы в десятичной записи, более понятной людям.

Преобразование двоичных чисел в двоично-десятичные

Арифметико-логическое устройство AVR-микроконтроллеров (как и других микропроцессоров) выполняет элементарные арифметические и логические операции над числами, представленными в двоичном коде. В двоичном коде считываются результаты преобразования АЦП, в двоичном коде (в формате целых чисел или чисел с плавающей точкой) удобно выполнять обработку результатов измерения. Однако, когда окончательный результат отображается на индикаторе, он должен быть преобразован в десятичный формат, удобный для восприятия человеком.

В данном разделе рассматриваются программы преобразования двоичных чисел в двоично-десятичные.

1. Форматы представления десятичных чисел

В настоящее время распространены два формата представления десятичных чисел в микропроцессорах - упакованный двоично-десятичный код (BCD-Binary-Coded Decimal) и неупакованный десятичный код [1].

Упакованный BCD-код - это такое представление десятичного числа, когда каждая десятичная цифра представляется 4-х битным двоичным позиционным кодом 8-4-2-1. При этом байт содержит две десятичные цифры. Младшая десятичная цифра занимает правую тетраду (биты 3 : 0), старшая - левую тетраду (биты 7 : 4). Многоразрядные BCD-числа занимают несколько смежных байт. Если число является знаковым, то для представления знака в BCD-формате отводится старшая тетрада старшего байта. Для кодирования знака можно использовать шесть двоичных кодовых комбинаций, которые не используются для представления десятичных цифр. Это коды 1010-1111 (A-F в шестнадцатеричном представлении). Обычно для кодирования знака плюс применяют код 1100 (С), а для знака минус - 1101 (D).

Неупакованный десятичный код является подмножеством международной таблицы кодирования символов ASCII (Таблица 1). Видно, что для хранения неупакованных десятичных чисел требуется в два раза больше памяти, так как каждая цифра представляется 8-битным кодом. Таблица 1: ASCII-коды десятичных цифр

2. Преобразование целых 16-битных чисел в двоично-десятичные числа

На сайте www.atmel.com предлагается программа "bin2bcd16" для преобразования целых 16-битных двоичных чисел в двоично-десятичные упакованные числа. В данной статье рассматривается программа "bin16bcd5" (см. Приложение, Программа 1), написанная Терешкиным А. В. согласно алгоритму, изложенному в [1], и выполняющая ту же задачу. Последняя программа по быстродействию, длине кода и количеству используемых регистров оказалась более эффективной, чем первая.

Алгоритм программы "bin16bcd5" заключается в следующем. Предположим, что имеется целое беззнаковое 16-битное число (диапазон от 0 до 65535). Очевидно, что необходимо найти 5 десятичных цифр. Способ преобразования заключается в том, чтобы, вычитая из исходного числа число 10000, сначала определить десятичную цифру десятков тысяч. Затем находится цифра тысяч последовательным вычитанием числа 1000 и т. д. Вычитание каждый раз производится до получения отрицательной разности с подсчетом числа вычитаний. При переходе к определению каждого следующего десятичного разряда в регистрах исходного числа восстанавливается последняя положительная разность. После того, как будет найдена десятичная цифра десятков, в регистрах исходного числа останется десятичная цифра единиц.

Программа "bin16ASCII5" (см. Приложение, Программа 2) преобразует целое двоичное 16-битное число в десятичное неупакованное число. При этом используется тот же алгоритм.

3. Преобразование двоичной дроби в двоично-десятичную дробь

Двоичная дробь, по определению, представляется следующим выражением:

0.A-1A-2 ... A-m = A-1*2-1 + A-2*2-2 + ... A-m*2-m

Из этого представления следует алгоритм преобразования (Рис. 2), который содержит m шагов. На каждом шаге к двоично-десятичному результату прибавляется очередная двоичная цифра и весь результат делится на 2.

На Рис. 3 изображены двоичный регистр, который содержит исходную двоичную дробь и регистр двоично-десятичного упакованного результата. Для наглядности у обоих регистров также показаны разряд единиц и положение точки, которые в памяти микропроцессора никак не представлены, но положение которых всегда строго оговорено. Количество циклов рассматриваемого алгоритма равно количеству бит двоичной дроби. Разрядность двоично-десятичного регистра определяется требуемой точностью вычислений.

Рис. 2: Алгоритм преобразования двоичной дроби в BCD-дробь Рис. 2: Алгоритм преобразования двоичной дроби в BCD-дробь

Из алгоритма (Рис. 2) понятно, что на каждом шаге необходимо путем сдвига содержимого двоичного регистра выделить очередную двоичную цифру A-i.

Сложить эту цифру с двоично-десятичным числом означает, что ее нужно поместить в разряд единиц двоично-десятичного числа, откуда при последующем делении на два цифра A-i сдвинется в старший разряд старшей тетрады десятичной дроби. При программировании мы можем представлять, что разрядом единиц десятичной дроби является бит переноса С.

Рис. 3: Двоичный и десятичный регистры

При делении на два двоично-десятичного упакованного числа, так же как и при делении двоичного числа, его сдвигают вправо на один разряд. При этом на два делится каждая тетрада, то есть каждая десятичная цифра. При делении четной десятичной цифры в соответствующем разряде снова получается десятичная цифра, и никакой коррекции не требуется. При делении на 2 нечетной десятичной цифры остаток, равный 5, должен быть добавлен к более младшему десятичному разряду, но на самом деле при двоичном сдвиге в более младшую тетраду добавляется число 8 (вес старшего разряда тетрады). Поэтому требуется коррекция результата, которая заключается в вычитании числа 3 из содержимого тех тетрад, которые после сдвига вправо имеют установленные старшие разряды.

4. Преобразование чисел с плавающей точкой в двоично-десятичные числа

Представление чисел с плавающей точкой имеет следующий вид:

± M * 2 ± П

где М - двоичная мантисса числа, П - двоичный порядок числа.

Такое представление часто используется и в десятичной системе счисления для представления очень больших или очень малых чисел. Мантисса и порядок представляют собой целые знаковые числа. Знак мантиссы является знаком всего числа. Порядок показывает истинное положение точки вместо того, которое она занимает в изображении мантиссы. Двоичное число с плавающей точкой отличается от привычного нам десятичного тем, что точка является двоичной, то есть порядок показывает на количество двоичных (а не десятичных) разрядов, на которое необходимо переместить эту точку влево или вправо.

Нормализованным представлением числа с плавающей точкой называют такое представление, когда мантисса является правильной дробью, и старшая ее цифра отличается от нуля. Но для двоичного числа требование того, что старшая цифра отличается от нуля означает, что эта цифра равна 1. Если старшая цифра точно известна, то ее можно не хранить в памяти.

Предлагаемая в данной статье программа использует формат чисел с плавающей точкой С-компилятора ICCA90 фирмы IAR для AVR-микроконтроллеров. Этот формат имеет следующий вид:

Рис. 4: Формат чисел с плавающей точкой, используемый С-компилятором ICCA90 фирмы IAR Рис. 4: Формат чисел с плавающей точкой, используемый С-компилятором ICCA90 фирмы IAR

При этом вещественное число определяется согласно формуле:

(-1) S * 2 (П-127) * 1.M

Диапазон чисел, которые могут быть представлены данным способом, составляет:

от ±1,18 * 10 -38 до ±3,39 * 10 +38.

На индикатор обычно требуется выводить вещественные числа не в столь широком диапазоне, и для отображения числа имеется строго определенное количество разрядов. Например, на индикаторе, изображенном на рис. 5, можно отобразить 6 значащих разрядов и десятичную точку. Здесь десятичная точка тоже является плавающей. Очевидно, что наибольшим по модулю числом, которое можно отобразить на данном индикаторе является число "999999." Если результат превышает это значение, то можно перейти к другим единицам. Например, вместо значка "mV" зажигают значок "V" и при этом выводимое число делят на 1000.

Рис. 5: Расположение знакомест на индикаторе