Система остаточных классов

Версия 12:28, 28 сентября 2011

Автор-составитель: Русачкова Елена

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M − 1] ставится в соответствие набор вычетов При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M − 1].

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M − 1].

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям Перевод чисел из СОК в десятичную систему счисления

Формула перевода имеет вид:

A = a1*B1+a2*B2+…+an*Bn-r*P, где a1, …, an — представление числа А в СОК с основаниями p 1, p2, …, pn; P = p1* p2* …* pn;

r = 0,1,2,… (целые числа), причём r выбирают так, чтобы разность между левой и правой частью выражения была меньше P;

Bi = (P/pi)*ki, где ki = 1, 2, …, pi , причём ki выбирается таким, чтобы остаток от деления Bi/pi был равен 1.

Пример:

А = (2,4,6) в системе с основаниями: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7. P = p1*p2*p3 = 3*5*7 = 105.

B1 = 105/3*k1 = 35*2 =70;

B2 = 105/5*k2 = 21*1 =21;

B3 = 105/7*k3 = 15*1 =15;

A = 2*70+4*21+6*15 — r*105;

A = 314 — r*105 = 104, где r=2.