Формулы сокращенного умножения

Версия 16:03, 24 февраля 2012

Основные законы действий над числами были известны ещё в глубокой древности и принимались как очевидные на основе многовековой человеческой практики. Но с развитием алгебры появилась и постепенно развивалась потребность в доказательстве тех или иных свойств.

В своей седьмой книге «Начал» Евклид доказывает переместительный (коммутативный) закон умножения ab=ba. Во второй книге он доказывает геометрическим методом распределительный (дистрибутивный ) закон умножения:a(b+c+d+…)=ab+ac+ad+… В дальнейшем попытка доказательства законов действий была предпринята многими учёными, в том числе Г.Ф.Лейбницем в XVIIв., Л. Эйлером, Л. Бертраном и А.М.Лежандром в XVIIIв.

Строгое же обоснование правил и законов арифметических действий было сформулировано лишь во второй половине XIXв. Тогда же были введены термины «коммутативный», или переместительный и «дистрибутивный», или распределительный, которые встречаются впервые в 1814г. У француза Сервау, а также «ассоциативный», или сочетательный, введённый в 1843г. Английским математиком В.Р.Гамильтоном.

Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что формулы сокращённого умножения были известны около 4000лет назад. Их знали, кроме вавилонян, и другие народы древности, конечно, не в нашем символическом виде, а словесно или в геометрической форме, как у древних греков.

Вторая книга «Начал» Евклида содержит ряд алгебраических тождеств, сформулированных и доказанных геометрически. Вавилоняне называли произведение ab «прямоугольником», a2 – «квадратом», но на ряду с этим они употребляли и числа, арифметические выражения, в то время как греки старались всё переводить на геометрический язык.

В настоящее время при разложении многочленов на множители и других преобразованиях часто применяются скобки. Круглые скобки появились в XVв. В трудах Штифеля, Тартальи и др. В конце того же века появляются и фигурные скобки в книгах Виета. Однако в течении почти всего XVIIв. Употреблялись не скобки, а горизонтальная черта, проводимая над выражением. Подлежащим включению в скобки. Так поступали Декарт, Гарриот и др. Ньютон пользовался даже несколькими надписанными друг над другом чертами.

Широкое применение скобок получили лишь в первой половине XVIIIв. Благодаря Лейбницу и больней степени-Эйлеру. Само название «скобки»произошло от введённого Эйлером немецкого термина Klammer-скобки.

Долгое время запись умножения не содержала знака между множителями. Такая запись стала встречаться у Диофанта при употреблении числового коэффициента, а также в индийской Бахшалийской рукописи. Косой крест х начал употребляться как знак умножения с 1631г. В XIV-XVIвв.он применялся как подсобный знак при решении самых разнообразных задач. Чтобы не смешивать косой крест с буквой x , которой обычно обозначают неизвестное, Лейбниц в конце XVIIв. Стал обозначать умножение при помощи точки.

Первая русская книга по алгебре была написана инженером Н.Е.Муравьёвым и напечатана в 1752г. В типографии Петербургской Академии наук. Однако в учебной алгебраической литературе XVIIIв. Первое место занимала «Универсальная арифметика» Леонарда Эйлера, написанная в Петербурге в 1767г. И там же вышедшая в свет на русском языке в 1768г., а на немецком- в 1770г.

Книга Эйлера сыграла большую роль в развитии математического образования не только в России, но и за рубежом. Она была переведена на шесть европейских языков и в XVIII-XIXвв. Переиздавалась по 30 раз. По образцу «Универсальной арифметики» составлялись впоследствии все учебники элементарной алгебры.