Семинар ДООМ Неравенство треугольника в примерах

Версия 17:01, 26 октября 2009

Неравенство треугольника в примерах

Участник: Коннова Елена

Руководитель команд ДООМ 2009 IDm 083 и Великие математики IDm 082

Неравенство треугольника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), иногда как теорема.

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Пусть дан треугольник ΔABC. Тогда | AC | ≤ | AB | + | BC |, причём равенство | AC | = | AB | + | BC | достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка B лежит строго между A и C, на отрезке АС.

рис1

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Далее выводится теорема, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Затем методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. Из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника является неравенство: | AC | - | AB | ≥ | BC |

Неравенство треугольника для трехгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Задача 1: a, b, c – стороны треугольника. a = 3,17, b = 0,75, c – целое число. Найти c. 

РЕШЕНИЕ. Из неравенства треугольника c < a+b, с<3,17+0,75, с< 3,92; но из обратного неравенства треугольника c>a-b, т.е. с> 3,17-0,75, c>2,42. Т.к. с - целое число, оно равно 3.

Задача 2: Доказать, что в четырехугольнике диагональ меньше половины периметра.

Р0. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника BD<BC+CD, BC<BA+AD, тогда 2BD<BC+CD+DA+AB, 2BD<PABCD.

рис2.

Задача 3: Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Из неравенства треугольника AB<AD+DB, BD<BC+CD, отсюда AB<AD+BC+CD.

Задача 4: М и Р – точки внутри многоугольника. Доказать, что расстояние между ними
меньше половины периметра многоугольника.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Продлим отрезок МР до пересечения со сторонами четырехугольника – К и Т.

рис.3

КТ>РМ. Т.к. в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных (задача 3), то КТ<КD+DC+CT, KT<KA+AB+BT, получаем 2KT<PABCD и РМ < KT < 0.5PABCD.

Аналогично доказывается для случая, когда прямая АВ пересекает соседние стороны четырехугольника или проходит через вершину.

Задача 5: Есть 7 реек длиннее 9 см, но короче 1 м. Доказать, что из трех из них можно составить
треугольник. 

РЕШЕНИЕ. Предположим, что треугольник составить нельзя. Берем 2 самых коротких, их длина больше 9 см. Следующим должен быть больше 9 + 9 = 18 см, иначе можно составить треугольник. Четвертый больше 18 + 9 = 27, пятый больше 27 + 18 = 45, шестой больше 45 + 27 = 72, и последний будет больше 72 + 45 = 112, что больше метра. Получили противоречие. Значит, из трех из них можно составить треугольник.

Задача 6. На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрали точку D, 
а на продолжении AC за вершину C – точку E , причём AD=CE . Докажите, что BD+BE > AB+BC .

Решение.

рис.4

На продолжении стороны AB за точку A отложим отрезок AF , равный AB . Треугольник ADF равен треугольнику CEB по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF = BE . Применив неравенство треугольника к треугольнику FDB , получим, что AB+BC = BF < BD+DF = BD + BE, что и требовалось доказать.

Литература: Словари и энциклопедии на Академике [1] wiki.iteach.ru/images/4/4a/БаженовЗадачи.doc Задача по геометрии из коллекции задач Р.К. Гордина [2].