Учебное пособие "Системы счисления"
| Строка 46: | Строка 46: | ||
'''Из двоичной в восьмиричную:''' | '''Из двоичной в восьмиричную:''' | ||
| − | Пусть требуется перевести двоичное число | + | Пусть требуется перевести двоичное число 10101101100110110111100101011001011 в восьмеричную систему счисления. Для этого следует разбить это двоичное число на триады, начиная с младшего бита (МБ). |
Получим: | Получим: | ||
| − | + | 010 101 101 100 110 110 111 100 101 011 001 011 | |
Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе: | Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе: | ||
2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3. | 2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3. | ||
Таким образом, | Таким образом, | ||
| − | + | 101011011001101101111001010110010112=255466745313 | |
'''Из двоичной в шестнадцатеричную:''' | '''Из двоичной в шестнадцатеричную:''' | ||
При переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную поступаем таким же образом, но разбиение двоичного числа производим на тетрады. Для примера будем использовать то же двоичное число, что и при переводе в восьмеричную систему счисления: | При переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную поступаем таким же образом, но разбиение двоичного числа производим на тетрады. Для примера будем использовать то же двоичное число, что и при переводе в восьмеричную систему счисления: | ||
| − | + | 0101 0110 1100 1101 1011 1100 1010 1100 1011 | |
Заменяя двоичные тетрады на их шестнадцатеричные значения, получим искомое шестнадцатеричное число: | Заменяя двоичные тетрады на их шестнадцатеричные значения, получим искомое шестнадцатеричное число: | ||
| − | + | 10101101100110110111100101011001011=56CDBCACB | |
'''Из двоичной в десятичную:''' | '''Из двоичной в десятичную:''' | ||
| Строка 67: | Строка 67: | ||
Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную надо просуммировать числа, соответствующие двум в тех степенях, в которых в числе стоят единицы, например | Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную надо просуммировать числа, соответствующие двум в тех степенях, в которых в числе стоят единицы, например | ||
| − | + | 110101 это 1*25+ 1*24+ 0*23+ 1*22+ 0*21+1*20= 32 + 16 + 4 + 1 = 53 | |
| − | Таким образом, | + | Таким образом, 110101 = 53. |
'''Источники информации:''' | '''Источники информации:''' | ||
Версия 23:29, 6 сентября 2011
Системы счисления бывают непозиционные и позиционные.
К непозиционным системам относятся системы счисления разных народов:
1. Древнеегипетская система счисления Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.
2. Система счисления майя Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).
3.Римская система счисления Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 Например, II = 1 + 1 = 2 здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе. На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: VI = 6 Ссылка на источник:[1]
К позиционным системам относятся:
1) Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).
История
- Индийский математик Пингала (200 год до н. э.) разработал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления.
- Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией.
- В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам.
Правила перевода.
Из двоичной в восьмиричную:
Пусть требуется перевести двоичное число 10101101100110110111100101011001011 в восьмеричную систему счисления. Для этого следует разбить это двоичное число на триады, начиная с младшего бита (МБ). Получим: 010 101 101 100 110 110 111 100 101 011 001 011 Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе: 2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3.
Таким образом, 101011011001101101111001010110010112=255466745313
Из двоичной в шестнадцатеричную:
При переводе чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную поступаем таким же образом, но разбиение двоичного числа производим на тетрады. Для примера будем использовать то же двоичное число, что и при переводе в восьмеричную систему счисления: 0101 0110 1100 1101 1011 1100 1010 1100 1011
Заменяя двоичные тетрады на их шестнадцатеричные значения, получим искомое шестнадцатеричное число: 10101101100110110111100101011001011=56CDBCACB
Из двоичной в десятичную:
Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную надо просуммировать числа, соответствующие двум в тех степенях, в которых в числе стоят единицы, например
110101 это 1*25+ 1*24+ 0*23+ 1*22+ 0*21+1*20= 32 + 16 + 4 + 1 = 53 Таким образом, 110101 = 53.
Источники информации:
2) Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.
История
Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в древнем Египте. В другой великой цивилизации — вавилонской — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр. Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская» (арабские цифры).
Правила перевода
Из десятичной в двоичную:
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Десятичное число 22 перевести в двоичную систему счисления.
Файл:Ris15.gif
В итоге получаем двоичное число 10110.
Из десятичной в восьмеричную:
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Десятичное число 571 перевести в восьмеричную систему счисления.
Файл:Ris35.gif
В итоге получаем восьмеричное число 1073.
Из десятичной в шестнадцатеричную:
Чтобы перевести число из десятичной системы в шестнадцатеричную, надо последовательно делить его на 16, записывая остаток справа налево. Пример. переведем число 376990: 376990 : 16 = 23561 и остаток 14 (E); 23561 : 16 = 1472 и остаток 9; 1472 : 16 = 92 и остаток 0; 92 : 16 = 5 и остаток 12 (C); 5 : 16 = 0 и остаток 5. В итоге получаем шестнадцатеричное число 5C09E.
Источники информации:
Задание:
1. Каждый студент добавляет одно наименование системы счисления и пишет о нем небольшую вики-статью. В статье обязательно дать не менее 3 ссылок на Интернет-ресурсы, предоставившие информацию. В статье рассказать об истории возникновения данной системы счисления, правилах построения чисел, привести примеры записи различных чисел в выбранной системе счисления.
2. Для проверки знаний о системе счисления, составить небольшой тест при помощи сервиса http://master-test.net/.При создании теста предусмотреть вывод результатов тестирования и комментариев по неправильным ответам.
3. Каждому студенту необходимо пройти тестирование на знание всех систем счисления.
