Система счисления Штерна-Броко
Burzon56 (обсуждение | вклад) |
Burzon56 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). | В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). | ||
| − | Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева | + | Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D1%84%D0%B0 Калкина-Уилфа]". |
| + | |||
| + | |||
| + | Свойства | ||
| + | |||
| + | * Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы; | ||
| + | * Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз. | ||
| + | |||
| + | Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если p1 / q1 < p2 / q2 — дроби в двух соседних узлах дерева, то q1p2 − q2p1 = 1. | ||
| + | |||
---- | ---- | ||
| Строка 22: | Строка 31: | ||
''Система счисления Штерна — Броко'' | ''Система счисления Штерна — Броко'' | ||
| − | Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7. | + | Можно воспользоваться символами '''L''' и '''R''' для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов '''«R»''' и '''«L»''' (''дроби 1/1 соответствует пустая строка''). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение '''LRRL''' соответствует дроби 5/7. |
Версия 10:52, 20 сентября 2011
Система счисления Штерна-Броко
Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.
Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.
В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта 
дробей 
и 
стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:
История
В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева Калкина-Уилфа".
Свойства
* Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы; * Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.
Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если p1 / q1 < p2 / q2 — дроби в двух соседних узлах дерева, то q1p2 − q2p1 = 1.
Система счисления Штерна — Броко
Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.
