Система счисления Штерна-Броко

Версия 11:01, 20 сентября 2011

                      == Система счисления Штерна-Броко ==

Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.

Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.

Существует замечательный способ построения всех неотрицательных несократимых дробей m/n, где n и m — взаимно простые целые числа, т.е. не имеющие одинаковых простых сомножителей. Суть способа в том, чтобы начать с двух дробей 0/1 и 1/0, а затем повторить необходимое число раз следующую операцию: вставить (m+m')/(n+n') между двумя соседними дробями m/n и m'/n'.

Или немного научнее:

В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта дробей и стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:

Каждый узел дерева имеет вид (m+m')/(n+n'), где m/n — ближайший предок сверху слева, а m'/n' — сверху справа.

История

В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Также была похожая система счисления была известна еще древнегреческим математикам и была построениа в форме «дерева Калкина-Уилфа".

Свойства

 -Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы;
 -Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если p1 / q1 < p2 / q2 — дроби в двух соседних узлах дерева, то q1p2 − q2p1 = 1.

Система счисления Штерна — Броко

Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.