Нега-позиционная система счисления
Vnaumov (обсуждение | вклад) |
Vnaumov (обсуждение | вклад) |
||
Строка 62: | Строка 62: | ||
| 12 || 192 || 1100 || 11100 || 110 || 220 | | 12 || 192 || 1100 || 11100 || 110 || 220 | ||
|} | |} | ||
+ | |||
+ | == Перевод в нега-позиционные системы == | ||
+ | Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на <math>b = -r</math> (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если <math>a / b = c</math>, с остатком <math>d</math>, то <math>bc + d = a</math>. Пример перевода в нега-троичную систему: | ||
+ | :<math>\begin{align} | ||
+ | 146 & ~/~ -3 = & -48, & ~~~d = 2 \\ | ||
+ | -48 & ~/~ -3 = & 16, & ~~~d = 0 \\ | ||
+ | 16 & ~/~ -3 = & -5, & ~~~d = 1 \\ | ||
+ | -5 & ~/~ -3 = & 2, & ~~~d = 1 \\ | ||
+ | 2 & ~/~ -3 = & 0, & ~~~d = 2 \\ | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | Следовательно, нега-троичным представлением числа 146<sub>(10)</sub> является 21102<sub>(-3)</sub>. |
Версия 10:30, 28 сентября 2011
Н́ега-позици́онная сист́ема счисл́ения — это позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от 0, с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно. Часто число в нега-позиционной системе требует для записи на одну цифру больше, чем то же число в системе с положительным основанием. Арифметика над нега-позиционными числами существенно проще из-за отсутствия записи «отрицательных» чисел, что хорошо отражается на машинной реализации и позволяет ускорить вычислительные процессы. Обычно название нега-позиционной системы состоит из префикса нега- и названия соответствующей системы счисления с положительным основанием; например, нега-десятичная (b = —10), нега-троичная (b = —3), нега-двоичная (b = —2) и другие.
История
Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini», опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, вычисления корня, проверки делимости и преобразования систем счисления.
Представление в разных системах
Представления чисел от -12 до 12 в различных системах счисления:
Десятичное | Нега-десятичное | Двоичное | Нега-двоичное | Троичное | Нега-троичное |
---|---|---|---|---|---|
-12 | 28 | -1100 | 110100 | -110 | 1210 |
-11 | 29 | -1011 | 110101 | -102 | 1211 |
-10 | 10 | -1010 | 1010 | -101 | 1212 |
-9 | 11 | -1001 | 1011 | -100 | 1200 |
-8 | 12 | -1000 | 1000 | -22 | 1201 |
-7 | 13 | -111 | 1001 | -21 | 1202 |
-6 | 14 | -110 | 1110 | -20 | 20 |
-5 | 15 | -101 | 1111 | -12 | 21 |
-4 | 16 | -100 | 1100 | -11 | 22 |
-3 | 17 | -11 | 1101 | -10 | 10 |
-2 | 18 | -10 | 10 | -2 | 11 |
-1 | 19 | -1 | 11 | -1 | 12 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 10 | 110 | 2 | 2 |
3 | 3 | 11 | 111 | 10 | 120 |
4 | 4 | 100 | 100 | 11 | 121 |
5 | 5 | 101 | 101 | 12 | 122 |
6 | 6 | 110 | 11010 | 20 | 110 |
7 | 7 | 111 | 11011 | 21 | 111 |
8 | 8 | 1000 | 11000 | 22 | 112 |
9 | 9 | 1001 | 11001 | 100 | 100 |
10 | 190 | 1010 | 11110 | 101 | 101 |
11 | 191 | 1011 | 11111 | 102 | 102 |
12 | 192 | 1100 | 11100 | 110 | 220 |
Перевод в нега-позиционные системы
Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на b = − r (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если a / b = c, с остатком d, то bc + d = a. Пример перевода в нега-троичную систему:
Следовательно, нега-троичным представлением числа 146(10) является 21102(-3).