Семинар ДООМ : Конспект урока по теме: «Решение задач на проценты с помощью формулы "сложных процентов"

Версия 19:40, 18 октября 2008

Участник Рыскалкина Наталья Васильевна

Цель урока:

-повторить основные действия с процентам,

-научить решать задачи из вариантов ЕГЭ с помощью формулы «сложных процентов»,

-показать преимущество применения формулы «сложных процентов» по сравнению с традиционными способами решения задач на проценты.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Мы продолжаем подготовку к ЕГЭ, повторим тему: «Проценты». Научимся решать определённый тип задач на проценты с помощью новой формулы.

II. Повторение.

-Что называется процентом?

-Различные обозначения:

1%; 1/100 ; 0, 01

135%;135/100  ; 1, 35

P%; p/100 ; 0, 01p

- Назовите три основных действия с процентами?

1. Нахождение процентов от числа.
2. Нахождение числа по его процентам.
3. Нахождение процентного отношения чисел.

Устные задачи (тексты на доске):

1. Планируется, что на ЕГЭ с текстовой задачей В-9 должны справится 30 – 35% учащихся.

Сколько учащихся вашего класса должны правильно решить эту задачу?

- К какому типу задач относится эта задача? (Нахождение процентов от числа)

2. На решение текстовой задачи на экзамене отводится примерно 9 минут. Экзамен длится 4 часа. Какой процент времени уйдёт на решение задачи В-9? (Задача на нахождение процентного отношения чисел)

3. Сколько всего «сырых» баллов можно набрать на экзамене, если за правильное решение задачи В-9 начисляется 1 балл, что составляет примерно 2,7% всей работы? (Задача на нахождение числа по его процентам)

III. Решение задач (Тексты на доске)

1) Задача №1. Вклад, положенный в Сбербанк два года назад, достиг суммы равной 1312, 5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

- С чего начнём решение задачи? (Примем за Х руб.первоначальный размер вклада.)

- Зная первоначальный размер вклада и прирост вклада за год, что можно найти?

(Найдём размер вклада в конце первого года:

(Х + 0, 25Х – 1, 25Х) руб.)

- Зная, что вклад был положен на два года, что можно узнать?

(Размер вклада к концу второго года):

1, 25Х + 0, 25*1, 25Х – 1, 25Х(1 + 0, 25)- 1, 25Х (руб.), т.е.

1,25 Х = 1312,5

1,5625х = 1312,5

Х= 840

Мы получили, что 840 рублей было положено в Сбербанк первоначально.

Ответ: 840 руб.

2) Решим похожую задачу в общем виде. (Учитель с помощью учащихся)

- Пусть денежный вклад, равный Аор, через год возрастает на Р%. Тогда к концу первого года вклад станет равным:

А₁ = Ао + Ао*p/100 = Ао(1 + p/100)

Ещё через год:

А ₂ = Ао(1 + p/100 )+ Ао(1+p/100 )*p/100= Ао(1 +p/100)(1 + p/100 ) = Ао(1 + p/100 ) ²

А через n лет: Аn =Ао(1 + p/100)ⁿ

3) Запишем в справочник:

Аn = Ао(1 + p/100)n - формула «сложных процентов», где

Аn – размер вклада через n лет

Ао – первоначальный вклад

p – количество процентов

n – количество лет

4) Решим задачу №1 по формуле «сложных процентов».

Определите по тексту задачи чему равны Аn, n, p (Аn=1312,5; n=2; p=25)

Подставив известные величины в формулу «сложных процентов»найдите Ао (Вычисляют самостоятельно)

(1312,5 = Ао (1 + 25/100)²

1312,5 = Ао *( 5/4) ²

Ао =1312,5/1 * 16/25=52,5 * 16 = 840(руб.)

5) Задача №2. (задача из текстовых заданий ЕГЭ 2006, у каждого)

Для определения оптимального режима повышения цен социологии предложили фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причём такое, что бы через полгода (с 1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Рассматриваем готовое решение данной задачи на стр. 72 «Типовых тестовых заданий» ЕГЭ 2006, автор Корешкова Т.А.

- Нельзя ли решить эту задачу по формуле сложных процентов?

(1 магазин: Ао = а; р. = 2; n = 6 => Аn = а * (1 + 2/100 )⁶

2 магазин: Ао = а; р. = х; n = 3 = >

Аn = а * (1 + x/100) ³

По условию задачи:

а *(1 + 2/100 )⁶ = а * (1 + x/100)³ и т.д.

Ответ: 4,04)

Вывод: С помощью формулы «сложных процентов» данную задачу можно решить гораздо проще и быстрее.

IV. Самостоятельная работа (В двух вариантах. Тексты задач у каждого).

1 вариант.

1. Банк предлагает вклад «студенческий».По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и тоже число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 рублей. В течение двух лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

2. Дополнительная задача.

По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализуются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт 50000 руб.; который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

2 вариант.

1. Численность населения в городе 2 года подрят убывала на 5 % ежегодно. В результате число жителей составило 288800 человек. Сколько жителей было в городе первоначально?

2. Дополнительная задача. Если положить на вклад «Доходный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 10% от имеющейся суммы на вкладе. Вкладчик собирается положить деньги на этот вклад и два года подрят не пополнять его и не снимать него деньги. Сколько рублей надо положить вкладчику, чтобы через два года вложенная сумма увеличилась на 13 650 рублей?

V. Итоги урока.

Планируется, что 30 – 35% учащихся справятся с задачей В-9 на ЕГЭ. Но после сегодняшнего урока все учащиеся класса должны справиться с задачами на «сложные проценты» и решить задачу не за 9 минут, а гораздо быстрее.