Копилка знаменитых задач продолжение 3

Версия 13:24, 25 октября 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Задачи участников ДООМ

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача №19 Задача Герона Александрийского

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼. Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12. Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения: n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)

Задача №22 Смекалистый слуга

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

Задача №23 «Богатство»

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе. Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

Задача №25 Три бочки

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--"Жареные семечки" 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)

--Bookworm ID 213 12:32, 25 октября 2008 (SAMST) Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века). Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было? Решение: 3 сукно – X аршин 2 сукно – x+9 аршин 1 сукно – 2x+21 аршин Составим уравнение: 4x+30=106 Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого). Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег. Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение: x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100 Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого. Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача. «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек. Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого? Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение: 40=х+х+6 Получим, что х=17. Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7. Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у В результате подбора получим, что х=5, а у =43. Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал? Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение: (((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни. Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму. Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно? Решение. Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов. Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов. Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают? За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы. Итого будет выкопано 2,5 ямы. Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее. Ответ. Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее. --Bookworm ID 213 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)