Копилка знаменитых задач продолжение 3

Версия 18:26, 25 октября 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Задачи участников ДООМ

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача №19 Задача Герона Александрийского

Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий- за 3 дня, а четвертый- за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все четыре источника вместе?

Решение

Производительность 1-го: 1/1, производительность 2-го: ½, производительность 3-го: 1/3, производительность 4-го: ¼. Общая производительность : 1+1/2+1/3+1/4 =(12+6+4+3)/12=25/12. Время наполнения бассейна всеми источниками вместе: 12/25дня.

Задача № 20 Задача Великого аль-Каши, Джемшид ибн Масуд, математика и астронома Самаркандской обсерватории Улугбека (1420-1430 гг.)

“Плата работнику за месяц, т. е. тридцать дней, десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?”

Решение:

10 динаров за 27 дней (3 дня • 9), т. е. за 9 платьев 10 динаров, значит, одно платье стоит динара

Задача №21 Задача из Бахшалийской рукописи Задача взята из рукописной арифметики, выполненной на березовой коре. Она найдена при раскопках в местечке Бахшали, расположенном в северо-западной части Индии. (7-8 век нашей эры)

Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

Решение.

По условию задачи составим два уравнения: n+5=x*x (1) , n-11=y*y (2)

Вычтем из (2)-(1)получим: 16=x*x-y*y или 16=(x-y)(x+y)

Откуда 1) x+y=8 и x-y =2

2) x+y=16 и x-y =1.

Решая 1) получим x=5,y=3, Следовательно, n=20

Решая 2) получим x=17/2, y=15/2 Следовательно, n=67,25

Задачи из книг, изданных в 18 веке (после «Арифметики» Л.Ф. Магницкого)

Задача №22 Смекалистый слуга

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение.

Из условия задачи следует, что удвоенное жалование слуги на 10 рублей больше его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги 10 руб, а постоялец вообще не имел денег.

Задача №23 «Богатство»

У приезжего молодца оценили «богатство» : модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета.

Спрашивается каждой вещи цена.

(вполтретья – в 2,5 раза).

Решение.

Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака с жилетом. Фрак по условию в 2,5 раза дороже жилета, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе. Жилет стоит: 35/3,5=10 полушек или 2,5 коп, а фрак: 10*2,5 = 25полушек или 6,25 копейки.

Задача №24 «С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжей в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается каждой вещи цена, с чем иностранка к россам привезена.

(Вполчетверта – в 3,5 раза).

Решение.

Все имущество мадам было оценено в 0,5*(4+0,5) алтынов, что составляет 27/4 копеек. «Чепец фигаро» по условию в 3,5 раза дешевле «фуро», и, следовательно, в 4,5 раза дешевле всего имущества. Поэтому чепец стоит 27/4/ 4,5 = 1,5 копейки, а стоимость «фуро» равна 1,5*3,5 = 21/4 копейки.

Задача №25 Три бочки

Хозяин имеет три бочки А, В, и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С – пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и еще добавить 4 ведра кваса.

Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки В в бочке А останется 2/5 ее содержимого, то вместимость бочки В равна 3/5 вместимости А. Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 5/9 ее содержимого, то вместимость С равна 4/9 вместимости А. Значит, вместимость бочек В и С3/5+4/9 = 47/45 = 1+2/45 вместимости А. Из условия задачи следует тогда, что 2/45 вместимости бочки А составляет4 ведра, откуда получаем, что вместимость А равна 90 ведер, вместимость В равна 90*3/5 = 54 ведра, вместимость С равна 90*4/9 = 40 ведер.

--"Жареные семечки" 08:26, 25 октября 2008 (SAMST)

--Bookworm ID 213 12:32, 25 октября 2008 (SAMST) Задача №15 (Из старинной книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, начало XVIII века). Купил некто трёх сукон 106 аршин, единого взял 12-ю больше перед другими, а другого 9-ю больше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было? Решение: 3 сукно – X аршин 2 сукно – x+9 аршин 1 сукно – 2x+21 аршин Составим уравнение: 4x+30=106 Решая уравнение, получим, что x= 19. Ответ: 19, 28,59.

Задача №16, (Задача Л.Ф. Магницкого). Некий человек на вопрос о том, сколько он имеет денег, ответил: аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавиться из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег. Решение:Обозначим за x сумму денег то получим уравнение: x+x+1/2x+3/4x+2/3x-50=100 Решая уравнение получим, что x=38 14/47 рублей.

Задача № 17. Задача Л. Н. Толстого. Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача. «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Если бы работала вся артель скосила бы большой луг за ½+0,5/2=3/4 дня. Тогда вся артель скосила бы малый луг за 3/8 дня. Целая артель скосила бы малый луг за 6/8 дня. Пол-артели за полдня выкосили ½:6/8=2/3 малого луга. Значит, осталось скосить 1/3 малого луга. Вся артель скосила бы одну треть малого луга: (3/8)*(1/3)=1/8 дня. Если один человек выполнил работу, которую артель выполнила за 1/8 дня, то в артели 8 человек. Ответ: 8 человек.

Задача № 18. Задача Л. Н. Толстого: У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого? Решение: Обозначим за х число овец у одного мужика. Тогда получим уравнение: 40=х+х+6 Получим, что х=17. Ответ: У одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

Задача № 19. Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2,3,4,5,6 остаток 1. К тому же делящееся на 7. Решение: наименьшее число делящееся на 2,3,4,5,6 это число 60. Чтобы оно давало остаток 1 нужно прибавлять 1. Составим уравнение 60х+1=7у В результате подбора получим, что х=5, а у =43. Ответ: это число 301.

Задача № 20. Задача Ньютона: Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Каков был первоначальный капитал? Решение: Обозначим за х первоначальный капитал, тогда составим уравнение: (((х-100)*4/3-100)*4/3-100)*4/3=2х Получим, что х=1760 рублей.

Задача № 21. Задача Л. Н. Толстого: Трудовые будни. Трое рабочих роют яму. Они работают по очереди, причем каждый работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они вырыли яму. Во сколько раз быстрее они закончили бы работу, если бы работали одновременно? Решение. Пусть каждый из них работал одновременно а, b и с часов. Следовательно, работа была закончена за а + b + с часов. Представим себе, что все это время они работают вместе. Сколько всего ям они выкопают? За первые а часов первый рабочий выкопает свою долю от "общей" ямы, а двое других за это время выкопают пол-ямы. За следующие b часов второй сделает свою часть работы, а остальные выкопают еще пол-ямы. Наконец, третий (за с часов) доделает свою часть работы, и остальные выкопают еще пол-ямы. Итого будет выкопано 2,5 ямы. Поэтому, втроем они выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее. Ответ. Втроем рабочие выкопали бы яму в 2,5 раза быстрее. --Bookworm ID 213 12:32, 25 октября 2008 (SAMST)

МОЗГИ ID 215

Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ

 Бокал вина 

Однажды вечером, когда все сидели за столом, аббат попросил брата Бенджамина загадать причитающуюся с него загадку.

— Честно говоря, — признался брат Бенджамин, — я не силен в придумывании загадок, отец мой, и тебе это хорошо известно. Но я давно ломаю голову над одним вопросом, который, я надеюсь, вы мне поможете разрешить. Дело вот в чем. Я наполняю бокал вином из бутылки, которая содержит одну пинту этого благородного напитка, и выливаю его вон в тот кувшин, содержащий одну пинту воды. Теперь я наполняю бокал смесью из кувшина и выливаю его обратно в бутылку с вином. Прошу вас, скажите, чего я больше взял: вина из бу¬тылки или воды из кувшина?

Я узнал, что между монахами из-за этой небольшой задачки разгорелся самый ожесточенный из всех когда-либо вспыхивавших здесь споров. Один монах в пылу словесной битвы заявил своему коллеге, что у того «в черепе вина больше, чем ума», а другой более чем шум¬но старался доказать, что все зависит от формы бокала и возраста вина. Но тут в спор вмешался сам аббат, по¬казав, насколько просто решается задача, и восстановил у всех сидевших за столом доброе расположение духа.

Решение: Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине — 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались 3/4 пинты вина, а в кувшине — 1 пинта воды, смешанная с 1/4 пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась 1/5 содержимого кувшина, то есть 1/5 одной пинты воды, смешанной с 1/5 одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены 4/5 четверти пинты (то есть 1/5 пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество (1/5 пинты) воды.

Эксцентричная торговка. 

Миссис Коуви, что содержит небольшую птицеферму в Сери,— одна из самых эксцентричных женщин, какую я когда-либо встречал. Ее манера вести дела всегда оригинальна, но порой она повергает вас в совершенное недоумение. Однажды она объясняла нескольким своим ближайшим друзьям, как она распорядилась дневным поступлением яиц. Очевидно, идею миссис Коуви почерпнула из хорошо известной старой головоломки, но, поскольку она прибегла к усовершенствованию, я, не колеблясь, представляю головоломку читателям.

Женщина сказала, что она повезла в этот день на рынок некоторое количество яиц. Она продала половину из них одному покупателю и дала ему сверх того еще пол-яйца. Затем она продала треть остатка и дала треть яйца сверх того. Далее она продала четверть остатка и отдала сверх того четверть яйца. Наконец, она избавилась от пятой части остатка и дала сверх того пятую часть яйца. После этого все оставшиеся яйца она разделила поровну между своими тринадцатью друзьями. И, как это ни странно звучит, при всех этих операциях она не повредила ни одного яйца. Головоломка состоит в том, чтобы определить наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви повезла на рынок. Можете ли вы сказать, сколько их было?

Решение

Наименьшее возможное число яиц, которое миссис Коуви могла взять с собой на рынок, равно 719. После того как она продала половину этого числа и отдала сверх того пол-яйца, у не оставалось 359 яиц; после второй операции осталось 239 яиц; после третьей — 179, а после четвертой — 143 яйца. Это количество она смогла разделить поровну между своими 13 друзьями, дав каждому из них по 11 яиц. При всех этих операциях она не повредила ни одного яйца.

Головоломка с примулой. 

Выберите название цветка, какое вы сочтете подходящим, содержащее восемь букв. Коснитесь одной из примул карандашом и перепрыгните через один из соседних цветков на следующий, на котором напишите первую букву названия. Затем коснитесь другого свободного цветка, снова перепрыгните через один в своем направлении и выпишите вторую букву названия. Продолжайте действовать подобным образом (беря буквы в их правильном порядке) до тех пор, пока не выпишете все буквы и исходное слово можно будет прочитать, двигаясь по кругу. Вы всегда должны касаться свободного цветка, но цветок, через который вы перепрыгиваете, может быть как свободным, так и занятым. Вместо цветка можно выбрать название дерева. Разрешается использовать лишь английские слова.

Решение

Два слова, дающие решение нашей головоломки, — это ВLUEBELL (колокольчик) и РЕАRТRЕЕ (грушевое дерево). Расположите буквы следующим образом: ВЗ—1, L6 — 8, U5 — 3, Е4 —6, В7 — 5, Е2 —4, L9 — 7, L9 — 2. Это означает, что вы берете В, прыгаете с 3 на 1 и выписываете букву В на месте 1 и т. д. Второе слово можно выписать в том же порядке. Решение зависит от выбора слова, у которого вторая буква совпадает с восьмой, а четвертая — с шестой, поскольку эти буквы можно менять местами, не нарушая соответствующее слово. Слово МАR1Т1МА (морская гвоздика) тоже подошло бы, если бы оно было словом английского языка.

Круглый стол. 

Семеро друзей, Адаме, Брукс, Кейтер, Добсон, Эдвард, Фрай и Грин, проводили вместе пятнадцать дней на побережье. В отеле они завтракали за круглым столом, за которым никого, кроме них, не было. Друзья решили, что ни один из них не будет сидеть дважды между одними и теми же двумя соседями. Поскольку, как можно установить, при этом условии существует ровно пятнадцать расположений, то план был вполне приемлем. Но сможет ли читатель указать расположение друзей за каждым завтраком? Владельца отеля попросили нарисовать соответствующую схему, однако он с этим не справился.

Решение

90. Вот как следует расположить семь человек:

А Б К Д Э Ф Г

А К Д Б Г Э Ф

А Д Б К Ф Г Э

А Г Б Ф Э К Д

А Ф К Э Г Д Б

А Э Д Г Ф Б К

А К Э Б Г Ф Д

А Д Г К Ф Э Б

А Б Ф Д Э Г К

А Э Ф Д К Г

А Г Э Б Д Ф

А Ф Г К Б Э Д

А Э Б Ф К Д Г

А Г К Э Д Б Ф

А Ф Д Г Б К Э

Разумеется за круглым столом А будет соседом человека, указанного в конце строки.

Первоначально я сформулировал эту задачу для 6 человек и 10 дней. Разумеется, легко видеть, что максимальное число расположений для n человек равно (n-1)(n-2)/2. Эрнст Бергольт первым обнаружил сравнительно простой метод решения для всех случаев, где n равно простому числу +1. Затем я указал способ построения решения для 10 человек, опираясь на который, Е. Д. Бьюли нашел общий метод для любых четных чисел. Нечетные числа, однако, оказались крайне трудными, и единственными нечетными числами, с которыми удалось справиться, были 7 (приведен выше), 5, 9, 17 и 33, причем четыре последних равны некой степени 2 плюс 1. Наконец, хотя и не без больших трудностей, я нашел некий тонкий метод решения для всех случаев и выписал схемы для всех чисел до 25 включительно. Для случая 11 решение получил также У. Нэш. Быть может, читатель испытает свои способности в случае 13. Он обнаружит, что это необычайно крепкий орешек.

Пять банок с чаем. 

Зачастую об обычном счете говорят как об одной из простейших операций, но иногда, как я сейчас покажу, это бывает далеко не так просто. Порой работу удается уменьшить с помощью небольших трюков; порой же практически невозможно выполнить нужные вычисления, если у вас нет воистину светлой головы. Покупая двенадцать почтовых марок и увидев блок из трех рядов по четыре марки, всякий ученик почти инстинктивно скажет: «Четырежды три — двенадцать», тогда как его маленький брат будет пересчитывать их подряд: 1, 2, 3 и т. д. Если маме этого ребенка придется сложить все числа от 1 до 50, то она, вероятно, выпишет длинный столбик из пятидесяти чисел, тогда как ее муж, более привычный к арифметическим операциям, сразу же заметит, что, складывая числа на противоположных концах, он получит 25 пар по 51; следовательно, 25 X 51 = 1275. Однако его смышленый двадцатилетний сын, быть может, пойдет еще дальше и скажет: «Зачем умножать на 25? Надо просто добавить к 51 два нуля и разделить на 4!».

У торговца чаем было пять банок кубической формы, которые стояли в ряд на прилавке, как вы видите на рисунке. Каждая коробка на каждой из шести сторон имела рисунок, так что всего было 30 рисунков. Но один из рисунков первой коробки повторялся на четвертой, а два других рисунка четвертой коробки повторялись на третьей. Следовательно, имелось лишь 27 различных рисунков. Владелец всегда держал первую коробку в одном конце ряда и никогда не ставил бок о бок третью и пятую коробки. Один покупатель, узнав об этом, подумал, что будет хорошей головоломкой выяснить, сколькими способами коробки можно разместить на прилавке так, чтобы при этом порядок пяти рисунков на лицевой стороне не повторялся. Оказалось, что это довольно крепкий орешек. Сумеете ли вы найти ответ, не запутавшись окончательно? Разумеется, два одинаковых рисунка могут оказаться одновременно на лицевой стороне, ибо весь вопрос заключается в их порядке.

Решение

Существует 12 способов расположения коробок без учета рисунков. Если бы все 13 рисунков были различны, то ответ оказался бы равен 93312. Но поскольку в некоторых случаях коробки можно переставлять, не меняя расположения рисунков, число способов уменьшается на 1728, и, следовательно, коробки в соответствии с условиями можно расположить 91 584 способами. Я предоставляю моим читателям выяснить самостоятельно, как получаются эти числа.

--МОЗГИ 215 16:53, 25 октября 2008 (SAMST)

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Старинные задачи на переливания

Задача №26 Четыре бочки.

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости.

Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого. Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

Решение.

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

Задача №27 Сколько останется воды?

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока.

Сколько в ведре после этого останется воды?

Решение.

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

Задача №28 Можно ли отлить половину сока?

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Решение.

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока. После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1). Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство: 99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1) Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четна, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

--"Жареные семечки" 19:26, 25 октября 2008 (SAMST)