Копилка знаменитых задач продолжение 5

Версия 15:27, 30 октября 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Задачи участников ДООМ

Bookworm ID 213 15:04, 29 октября 2008 (UZT) Задача № 24. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 1. Два путешественника садятся на поезда, идущие в противоположных направлениях по одному и тому же замкнутому маршруту и отправляющихся в одно и то же время. Поезда отходят от станции отправления каждые 15 минут в обоих направлениях. Поезд, идущий на восток, возвращается через 3 часа, поезд, идущий на запад, - через 2. Сколько поездов встретит каждый из путешественников в пути (поезда, которые отбывают со станции отправления и прибывают на нее одновременно с поездом, которым следует путешественник, встречными не считаются)? Решение: С момента отправления до возвращения в исходный пункт у одних поездов проходит 180 минут, у других – 120. Возьмем наименьшее общее кратное 180 и 120 ( оно равно 360) и разделим весь маршрут на 360 частей ( будем называть каждую часть просто единицей). Тогда поезда, идущие в одном направлении, будут следовать со скоростью 2 единицы в минуту, а интервал между ними будет составлять 30 единиц. Поезда, идущие в другом направлении, будут следовать со скоростью в 3 единицы в минуту, а интервал между ними будет равен 45 единиц. В момент отправления восточного поезда расстояние между ним и первым встречным поездом составляет 45 единиц. Восточный поезд проходит 2/5 этого расстояния, встречный – остальные 3/5 после чего они встречаются в 18 единицах от станции отправления. Все последующие поезда восточный поезд встречает на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. В момент отправления западного поезда первый встречный поезд находится от него на расстоянии 30 единиц. Западный поезд проходит 3/5 этого расстояния, встречный – остальные 2/5, после чего они встречаются на расстоянии 18 единиц от станции отправления. Каждая последующая встреча западного поезда с восточным происходит на расстоянии 18 единиц от места предыдущей встречи. Следовательно, если вдоль всего замкнутого маршрута мы расставим 19 столбов, разделив его те самым на 20 частей по 18 единиц в каждой, то поезда будут встречаться у каждого столба. При этом в первом случае ( Задача 25) каждый путешественник, вернувшись на станцию отправления, пройдет мимо 19 столбов, а значит, встретит 19 поездов. Ответ: 19 поездов.

Задача №25. Задача Л. Кэррола: Узелок 3: Задача 2. Путешественники следуют по тому же маршруту, что и раньше(Задача №25), но начинают считать встречные поезда лишь с момента встречи их поездов. Сколько поездов встретятся каждому путешественнику? Решение: Во втором случае (Задача №26) путешественник, едущий на восток, начинает считать поезда лишь после того, как он проедет 2/5 всего пути, то есть доедет до восьмого столба, и таким образом успевает сосчитать лишь 12 столбов ( или, что то же самое, поездов). Его конкурент сосчитает лишь до 8. Встреча их поездов проходит в конце 2/5 от 3 часов, или 3/5 от 2 часов, то есть спустя 72 минуты после отправления. Ответ: путешественник, следующий встречным поездом, встретит 12 поездов, его напарник – 8.

Задача № 26. Задача Л. Кэррола: Узелок 4. Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 131/2 фунтов, третий и четвертый 111/2 фунтов, четвертый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок. Решение: Сумма результатов всех пяти взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес всех остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес третьего мешка равен 21 фунту. Следовательно, третий мешок весит 7 фунтов. Из результатов второго и четвертого мешков: второй мешок весит 61/2 фунтов, четвертый - 41/2.Наконец, из результатов первого и четвертого взвешиваний получаем для первого и пятого мешков 51/2 фунтов 31/2 фунта. Ответ: 51/2 , 61/2, 7, 41/2 и 31/2 фунта.

Задача №27. Задача Л. Кэррола: Узелок 7. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов. Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит; 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов. Решение: пусть x – стоимость (в пенсах) одного стакана лимонада, y – стоимость бутерброда и z – бисквита. Тогда по условию задачи, x + 3y + 7z = 14 и x + 4y +10z = 17 Требуется вычислить, чему равны x + y + z и 2x + 3y + 5z. Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, получим y + 3z = 3. Подставляя y = 3 – 3z в первое уравнение, найдем: x – 2z = 5, или, что то же, x = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения для у и х в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) + (3 – 3z) + z = 8, а второе – в 2(5 + 2z) + 3(3 – 3z) + 5z = 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго – 1 шиллинг 7 пенсов. Ответ: 1) 8 пенсов; 2) 1 шиллинг 7 пенсов.

Задача № 28. Старинная задача: Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен? Решение: Пусть х – цейлонского чая, у фунтов индийского чая. Составим уравнение: 5х+8у=6(х+у) Решив уравнение, получим: х=2у. Вывод: цейлонского чая взять 2 части, индийского 1 часть Ответ: 2/3 цейлонского чая, 1/3 индийского чая.

Задача № 29: Задача Л. Н. Толстого Карамель: по какой цене следует продавать смесь двух сортов карамели, если цена одного сорта - 100 рублей за килограмм, второго - 150 рублей за килограмм, а вес конфет одного сорта в три раза больше, чем другого? Решение: Пусть 3х кг - карамели одного сорта, тогда их общая стоимость 450х руб., а вес 4х кг. Продавать их следует по цене 450х/(4х) руб., то есть по 112 руб. 50 коп. за 1 кг. Ответ: смесь двух сортов карамели следует продавать по 112 руб. 50 коп. за 1 кг.

Задача № 30: Задача Л. Н. Толстого: На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить его за один день, а стадо из 37 слонов за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро 1 слон? Решение: Пусть V л - объем озера, С л воды в день слон выпивает, К л воды в день попадает в озеро из ключа. Тогда выполняются два равенства: 183С = V + К ; 37 · 5С = V + 5К . Откуда С = 2К ; V = 365К . Пусть один слон выпивает озеро за t дней. Тогда tС = V + tК , 2К t = 365К , откуда t = 365 . Ответ: Один слон выпьет озеро за 365 дней. --Bookworm ID 213 15:04, 29 октября 2008 (UZT)

--Сталкера задач ID 219

Задачи из Англии

Задача № 8. Один чудак решил прогуляться пешком из Англии во Францию — по туннелю под Ла-Маншем. Двумя часами позже навстречу ему из Франции по тому же туннелю отправился автобус, который двигался вдесятеро быстрее пешехода. И кто из них оказался дальше от Англии, когда они повстречались?
Решение: Автобус, конечно, едет быстрее пешехода. Но все равно: когда они встретятся, они окажутся на совершенно одинаковом расстоянии от Англии – т.е. просто в одном и том же месте.

Задача № 9. Американские монеты в 10 и 20 центов чеканят из одного металла. Что дороже: килограмм десяти-центовиков или полкило двадцатицентовых монет?
Решение: Ничуть не одинаково! Так могло бы оказаться только в одном случае: если бы та монета, что вдвое дороже, весила бы вдвое легче. А впрочем, совершенно неважно, какая у них точно разница в весе: ведь килограмм чего-нибудь всего дороже, чем полкило чего-то того же самого.

Задача № 10. Часы на башне Большого Бена пробили шесть. От первого удара до последнего прошло ровно 30 секунд. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полночь?
Решение: Вовсе не 1 минута! Ведь между шестью ударами промежутков было только пять. И каждый длился 30:5=6 секунд. Между 12 ударами – 11 промежутков по 6 секунд: 11 * 6 = 66 секунд, или 1 мин 6 сек.

Задача № 11. А если ты живешь в шести- этажном доме, ты, конечно, ходишь по лестнице — кто же строит лифты всего на шесть этажей? Вот и сообрази: во сколько раз путь на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж? Разумеется, лестничные про¬леты в твоем доме одинаковые — то есть в каж¬дом одно и то же число ступенек. Какое имен¬но — неважно: можешь выбрать то, которое тебе особенно понравится.
Решение: первый этаж находится на уровне земли. Поэтому до третьего этажа – два лестничных пролета, а до шестого – пять. Поэтому лестница до шестого этажа в 2,5 раза длиннее, чем до третьего.

Задача № 12. Три пчелы одновременно взлетели с полочки своего улья. Окажутся ли они снова в одной плос¬кости до того, как вернутся обратно в улей?
Решение: А из нее и не вылетали никогда: через три точки всегда проходит какая-нибудь одна плоскость.

--Сталкера задач ID 219 17:43, 29 октября 2008 (UZT)

ID 278, Шоу "модель"

Задача1. Алкуин (около 800г.)Однажды король и Алкуин отдыхали вместе после охоты, и Алкуин в шутку предложил королю прикинуть, за сколько прыжков его гончая настигнет зайца, если первоначально их разделяет расстояние 150 футов, заяц с каждым прыжком удаляется от собаки на 7 футов, а собака бежит быстрее зайца и с каждым прыжком приближается к нему на 9 футов. Что ответил король Алкуину?

Решение:С каждым прыжком гончая уменьшает расстояние, отделяющее её от зайца и первоначально составляющее 150 футов, на 2 фута:9-7=2, 150/2=75. Гончая догонит зайца за 75 прыжков.

Задача 2.Адам Рис (1492 - 1559).Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше денег, чем третий. Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из трёх подмастерьев?

Решение: Пусть x - сумма денег, внесённая на покупку дома третьим подмастерьем. По условию задачи 12x+4x+x=204, откуда x=12. Третий внёс 12 гульденов, второй - 48, первый - 144 гульдена.

Задача 3.Иоганн Бутеев (1549г.)Если стоимость 9 яблок, уменьшенная на стоимость 1 груши, составляет 13 динаров, а стоимость 15 груш, уменьшенная на стоимость 1 яблока, составляет 6 динаров, то сколько стоит 1 груша и 1 яблоко?

Решение: Пусть x - стоимость 1 яблока, а y - стоимость 1 груши в динарах. Тогда 9x-y=13, 15y-x=6. Решив систему уравнений, получаем x=1,5 y=0,5. Итак, 1 яблоко стоит 1,5 динара, 1 груша - 0,5 динара.

Задача 4.(Из греческой антологии). Скажи мне знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? - Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании и,кроме того, есть ещё три женщины.

Решение:Задача сводится к уравнению x/2 + x/4 +x/7 +3 = x, решая которое, получим x=28. Следовательно, школу посещают 28 человек.

Задача 5.(Из греческой антологии). Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. "Чего ты жалуешься? - ответил ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей." Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

Решение: Пусть x - поклажа ослицы, y - поклажа мула.Составляем систему уравнений y + 1 =2*(x-1); y - 1 = x + 1 или 2*x - y =3; y - x = 2. Откуда получаем x = 5, y = 7.

Участник: Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" 20:55, 29 октября 2008 (UZT)

Участник:Модные переменные_ID_222

Два пастуха

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Пётр ему отвечает: "Нет! Лучше ты мнеотдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"

Сколько же было у каждого овец?

Решение

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, т.к. поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-то ещё, то у него будет всё-таки больше овец, чем у Петра на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на 2 овцы больше, чем у Петра. У Петра, как мы нашли, на 2 овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётротдаст, скажем, одну овцу не Ивану, а кому-то ещё, то тогда у Ивана будет на 3 овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. тогда у него будет на 4 овцы больше, чем осталось у Петра. Но в задаче говорится, что у Ивана в этом случае6 буде ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Значит, у Петра останется 4 овцы, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится 8 овец.Значит первоначально у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец. --Модные переменные ID 222 23:02, 29 октября 2008 (UZT)

Участник:Модные переменные_ID_222

Кто на ком женат?

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих 6 человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии.

Решение

Если кто-то из мужчин купил х предметов, то он заплатил х*х копеек, а если женщина купила y предметов, то она заплатила y*y копеек. Составим уравнение: х*х - у*у = 48, тогда (х-у)(х+у)=48. Учитывая условие задачи, можем 48 разложить следующим образом: 48=2*24=4*12=6*8.

Значит возможны 3 варианта: 1) х1 - у1 = 2, х1 + у1 = 24; 2) х2 - у2 = 4, х2 + у2 = 12; 3) х3 - у3 = 6, х3 + у3 = 8.

Решив 3 системы, получим: х1 = 13, у1 = 11; х2 = 8, у2 = 4; х3 = 7, у3 = 1.

Т.к. Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр - на 7 предметов больше Марии, то получаются такие пары: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.

Ответ: Иван и Анна, Пётр и Екатерина, Алексей и Мария.--Модные переменные ID 222 23:42, 29 октября 2008 (UZT)

ID_278 Команда Шоу "модель" Задача1.Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Решение:Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 31 полушку. Следовательно. за половину гусей заплачено 48*31=1488 полушек. За вторую половину гусей - 48*(24-1)=1104 полушки, т.е. за всех гусей 1488+1104=2592 полушек, что составляет 2592/4=648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.

Задача 2.Задача из саринных рукописей Л.Ф.Магницкого. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго - 85 рублей, сложившись без третьего - 80 рублей, сложившись без четрёртого - 75 рублей. Сколько у кого денег?

Решение:Второй, третий, четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получим 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца.Эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого - 20 рублей, у третьего - 30 рублей. Тогда у четрёртого - 35 рублей.

Задача 3.Иэ греческой антологии. -Хроноса (бог времени) вестник, скажи, какая часть дня миновала? -Дважды две трети того, что прошло, остаётся. (У древних греков день длился 12 часов.)

Решение:Задача сводится к решению уравнения 4x/3+x=12, откуда x=36/7 дня.

Задача 4.Задача Метродора. Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; в двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим - перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой и умер, пржив для науки. скажи мне, сколько лет достигнув, смерть восприял Диофант?

РешениеЗадача уравнение x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x. Решая уравнение, получим x=84. Следовательно, Диофант умер в 84 года.

Задача 5.Задача Китая из трактата "Девять отделов искусства счёта". 5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоит отдельно вол и баран?

РешениеРешение сводится к составлению системы уравнений 5x+2y=11, 2x+8y=8. Получим, что x=2,y=0,5. Следовательно вол стоит 2 таэля, а баран 0,5 таэля.

Участник:Шоу "модель" ID_278--Шоу "модель" ID 278 16:24, 30 октября 2008 (UZT)