Семинар Секрет "Удивительный квадрат"

Аннотация исследовательской работы на тему
«Удивительный квадрат»
выполнила Налецкая Ангелина, 5 кл,
научный руководитель Молдагалиева Д.А., учитель математики МОУ сш №16
id_s249

Для участников семинара от Молдагалиевой Д.А.: Данной работой я хотела показать,каким образом оформляется работа для участия в городском конкурсе "Первые шаги в науку" Обычно организаторы этого конкурса предъявляют требования к оформлению. Данная работа по итогам городского конкурса,в секции "Математика" заняла третье, призовое место.

Введение

При изучении математики часто приходится сталкиваться с огромными трудностями: решение задач на распознавание и на построение фигур на части и их преобразования. И это при отсутствии геометрического опыта. И тут нам поможет «Танграм». Чтобы сложить фигурку нужно проявить внимание и настойчивость, аккуратность и терпение.

Цель работы - ознакомиться со старинной игрой-головоломкой и научиться решать задачи на составление разнообразных фигур из квадрата.
В данной работе мы предлагаем несколько фигурок, которые придумали сами.

Задачи работы:

• Ознакомиться с историей возникновения игры.
• Познакомиться с правилами игры.
• Изложить математические факты, лежащие в основе складывания фигур.
• Решить задачи-головоломки, предложенные в разных источниках.
• Придумать несколько фигур самостоятельно.

Гипотеза исследования: Задачи, рассмотренные в работе, позволяют сформировать устойчивые навыки в решении задач на разбиение и складывание.
В данной работе, которую мы намерены продолжить в дальнейшем, будут представлены математические факты, положенные в основу этих занимательных фигурок (которые мы сами придумали), но для изложения некоторых из них требуются знания курса геометрии, изучаемые в 8-ом классе.
В представленной работе успешным оказалось решение задач-головоломок на составление разнообразных фигур из частей квадрата.

Из истории возникновения игры

Древние греки занимались геометрией, не только измеряя земельные и расстояния до кораблей в море. Они любили геометрические игры. Одна из них называлась «Стомахион». В этой игре надо было из 14 частей квадрата складывать различные фигуры. Этой игрой увлекались настолько, что сам великий ученый Архимед написал о ней сочинение. Похожей игрой развлекались и древние китайцы. Только они делили квадрат не на четырнадцать, а на 7 частей и называли свою игру «ЧИ-чао-тю» ( что означает «хитроумный узор из семи частей»).Эту игру называют «Танграм». Об увлекательности этой игры говорит то, что французский император Наполеон, который после военного поражения был сослан на остров Святой Елены, часами занимался там складыванием фигур танграма. Интересны и задачи, в которых складывают фигуры из частей, состоящих из нескольких квадратов. Такие части называют полимино.

Местом, где была изобретена игра, несомненно, является Китай. Дата создания - приблизительно 18 век. Первой известной древней книгой по танграму является «Собрание фигур из семи частей» (Китай 1803.). Издана она была на рисовой бумаге. Книги, изданные в Европе были отчасти оригинальны, а в своей основе имели китайские источники. Одним из поклонников был Эдгар А.По. Принадлежавший ему танграм сделан из слоновой кости и в настоящее время хранится в Нью-йоркской публичной библиотеке.Известный писатель и дипломат Роберт Ван Гулик в романе «Убивающие ногтями » построил весь сюжет книги вокруг танграма.

В своей книге «Математические развлечения» Дьюдени приводит вымышленную историю о том, как один американский корреспондент приобрел набор перламутровых танов китайской работы. К которому прилагалось отпечатанная на рисованной бумаге брошюра, содержавшая более 300-х фигур. Корреспондента заинтересовал таинственный иероглиф на титульном листе, но все китайцы, к которым он обращался с просьбой объяснить, что означает этот знак, не хотели или не могли ничем ему помочь. Он воспроизвел иероглиф в своей работе и обратился к читателям за помощью. Мы можем догадаться, что ответили Дьюдени его современники, но Рид, у которого была та же брошюра, без труда разгадал загадку. Иероглиф был просто надписью под танграмом, изображавшим двух человек. Надпись гласила – два человека лицом друг к другу пьют чай. Эта картинка свидетельствовала о больших возможностях, таящихся в игре танграм.

Правила Игры

1. При складывании фигурок использовать все частей-танов.
2. Таны нельзя накладывать друг на друга.

Чтобы разрезать квадрат для этой игры надо шесть из полученных частей (треугольники и квадрат) покрасить с одной стороны в черный цвет, а седьмую- с обеих сторон, чтобы ее можно было бы при желании переворачивать на другую сторону. При этом в каждой фигуре должны быть использованы все 7 частей танграма. Поскольку все фигуры состоят из одинаковых частей, они имеют одинаковую площадь. В процессе игры, постоянно сравнивая построенную фигуру с заданной, сравнивая углы и соотношения длин отрезков, можно передвигать и поворачивать фигуры.

Математические факты, лежащие в основе складывания фигур

Большинство задач этого параграфа являются задачами на разрезание. В результате, казалось бы, обычного разрезания происходит исчезновение линий или клеток, в чем можно легко убедиться на практике. Однако эти исчезновения не имеют ничего общего с фокусами в обыденном понимании; они имеют четкое геометрическое и алгебраическое объяснение.

Исчезновение линии. На полоске бумаги начертим 13 параллельных линий на одинаковом расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать на обыкновенной бумаге в клеточку. Проведем линию, проходящую через верхнюю точку первой линии и низ последней из них. Разрежем бумагу по этой линии. Сдвинем верхнюю полоску бумаги относительно нижней влево на расстояние ширины между соседними линиями так, чтобы вертикальные линии совместились. Посчитаем количество вертикальных линий. Их стало 12. Куда исчезла одна линия?

Ответ: Если сопоставить длины палочек на первом и втором рисунках, то можно обнаружить, что палочки на втором рисунке на 1/12 длиннее палочек первого рисунка. Исчезнувшая 13 палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в 12 остальных, удлинив каждую из них на 1/12 своей длины. Когда сдвигаем обе части картона, то приставляем отсеченный отрезок каждой палочки ( начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на 1/12, то каждая палочка должна удлиниться на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13 палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

Исчезновение клетки. Разделив клетчатые( чтобы явление было более наглядным) прямоугольник и квадрат на одинаковые части, можно убедиться, что эти фигуры совпадают из набора одних фигур. Однако квадрат состоит из 64 клеток. А прямоугольник из 65. Итак, при разрезании прямоугольника на 2 трапециии 2 прямоугольных треугольника и наложении на квадрат наблюдается исчезновение(или, наоборот возникновение, если рассмотреть обратное преобразование) одной клетки. Рассматриваемая задача не сводится к предыдущей, так как при исчезновении одной клетки остальные клетки явно своих размеров не изменяют. Куда же все-таки 1 клеточка при разрезании прямоугольника и составлении из его частей квадрата?

В представленной работе приводим только рисунок, т.к. доказательство этого математического факта возможно только при изучении систематического курса геометрии. Я учусь в 5 классе. Поэтому не могу такую задачу пока решить. Это будет сделано в дальнейшем после изучения геометрии.

Исчезновение 2 клеток. Клеточный прямоугольник 5×13 разрезали, как в предыдущей задаче. Переложим прямоугольные трапеции и треугольники так, чтобы исчезли сразу 2 клетки. Куда исчезнут эти 2 клетки? Описанная задача тоже очень интересна. Но привести доказательство сейчас невозможно. Это будет сделано позже.

Возникновение 2 клеток. Возьмем прямоугольник со сторонами 11 и 13 и площадью 11×13=143.Разрежем его по диагонали и два полученных треугольника сдвинем по общей гипотенузе на одну клеточку. Полученная фигура будет похожа на квадрат со стороной 1 см и площадью 0,5. Полная площадь квадрата и двух малых треугольников 144+2×0,5=145. Таким образом, в данном парадоксе. Словно из ничего возникли уже 2 клеточки. Как объяснить появление ( или исчезновение, если задачу рассматривать с конца) двух новых клеточек?

Мне очень понравились эти задачи, поэтому я решила включить их в работу.

Решение задач – головоломок

Задачи на разрезания считаются одними из самых увлекательных головоломок в занимательной математике. Многие из задач на разрезание правильных фигур очень красивы. Так как наглядно демонстрируют четкие связи между формами и размерами этих фигур, обусловленные их симметрией.

В этих задачах требуется разрезать данную плоскую фигуру на части, из которых можно сложить другую, уже заданную плоскую фигуру так, чтобы обе фигуры были равносоставленными, то есть состояли из не перекрывающихся частей без свободных промежутков. При этом очень важно, чтобы число частей было как можно можно меньше, так как строго доказано, что любой многоугольник можно, разрезав на конечное число частей, преобразовать в любой другой многоугольник, равновеликий исходному.(т.е. многоугольники должны иметь равные площади.)

Задача №1. Из семи частей квадрата №1 составьте:

1. Три одинакоых квадрата.
2. Прямоугольник.
3. Параллелограмм(широкий.
4. Параллелограмм(узкий.
5. Трапецию.

Задача №2. Из восьми частей квадрата №2 составьте:

1. Параллелограмм.
2. Три квадрата.
3. Из частей квадрата а) и в) составить прямоугольник и другой квадрат.
4. Три параллелограмма.

Задача №3. Из квадрата №3 составьте равнобедренный треугольник.

Задача №4. Из квадрата №4 составьте прямоугольный треугольник.

Задача №5. Из квадрата №5 составьте правильный шестиугольник.

Задача №6. Из квадрата №6 составьте правильный пятиугольник.

Задача №7. Даны 9 квадратов со сторонами, равными 1,4,7,8,9,10,14,15,18 единицам. Составьте из них прямоугольник.

Задача №8. Даны 11 квадратов со сторонами равными 1,4,7,8,9,10,14,15,18 единицам. Составить из них квадрат.

Задача №9. Из прямоугольных треугольников квадрата №8 последовательно ромб, прямоугольник, параллелограмм, трапецию.</b>

Задача №10. Из квадрата №9 составьте равносторонний треугольник, а затем прямоугольник.

Задача №11. Из квадрата №10 составьте два равносторонних треугольника.

Задача №12. Из квадрата №12 составьте три равносторонних треугольника.

Доказательство того, что исходная и полученные фигуры имеют равные площади, я пока привести не могу, т.к.учусь в 5 классе. Но я собираюсь вернуться к этой работе позже. И тогда буду доказывать равенство полученных фигур. Сейчас я только могу доказать, что данные фигуры имеют равные площади потому, что они равносоставлены, т.е.состоят из равных фигур.

Познакомившись с задачами-головоломками, я решила использовать некоторые квадраты для составления некоторых фигур. Я придумала их самостоятельно. Это фигурки (их можно увидеть в презентации):

• облако
• голубь
• петух
• дом
• елка
• кошка

Заключение (выводы)

В данной работе я делала следующее:

1. Ознакомилась с историей возникновения игры «Танграм».
2. Познакомилась с правилами игры.
3. Попыталась изложить математические факты, лежащие в основе складывания фигур. В процессе решения я познакомилась с задачами, в которых происходит исчезновение одной линии, одной клетки, двух клеток. Мне очень понравились такие задачи, поэтому я решила включить их в работу. Но в представленной работе приводится только рисунок, т.к. доказательство этого математического факта возможно только при изучении систематического курса геометрии. Я учусь в 5 классе, поэтому не могу такие задачи пока решить. Это будет сделано в дальнейшем после изучения геометрии.
4. Решала задачи-головоломки, предложенные в разных источниках. Таких задач очень много, я выбирала наиболее интересные для себя. В приложении такие задачи представлены вместе с ответами.
5. Познакомившись с задачами-головоломками, я решила использовать некоторые квадраты для составления различных фигурок. Я придумала несколько фигурок самостоятельно. Это фигурки:
   • облако
   • голубь
   • петух
   • дом
   • елка
   • кошка

Литература

1. Быльцов С.Ф. «Занимательная математика»-СПБ: Питер,2005.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики»: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы – М.: Просвещение, 1989.
3. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат.- Столетие, 1994