Семинар ДООМ "Математическое исследование "Кенигсбергские мосты"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым или уникурсальным.

Задание:

1. a) Отметь на листе бумаги произвольную точку А.

b) Не отрывая карандаша от бумаги, проведи произвольную кривую так, чтобы она начиналась и заканчивалась в точке А.

c) Точки пересечения построенной линии и точку А примем за вершины графа. Ясно, что полученный граф является уникурсальным.

d) Определи, сколько раз при этом заходили в вершину и выходили из нее (причем по другому ребру).

e) Сосчитай сколько раз необходимо зайти в каждую из вершин (число «входов»), и сколько раз выйти из нее по другому ребру (число «выходов»), чтобы пройти по каждому ребру и вернуться в исходную вершину.

f) Определи степени вершин полученного графа и их вид (четные или нечетные).

g) Повтори несколько раз. Сделай вывод

h) Проверь свою гипотезу на примере (В первом случае: вершины графа – вершины звезды, во втором – точки пересечения ребер)

2. a) Отметь на листе бумаги произвольные точки А и В.

b) Не отрывая карандаша от бумаги, проведи произвольную кривую так, чтобы она начиналась в точке А и заканчивалась в точке В.

c) Точки пересечения построенной линии и точки А, В примем за вершины графа. Ясно, что полученный граф является уникурсальным.

d) Определи степени вершин полученного графа и их вид (четные или нечетные).

e) Какую степень должны иметь эти две вершины? Что можно сказать о числе «входов» и числе «выходов» для каждой вершины.

f) Какую степень должны иметь остальные вершины?

g) Сделай вывод и проверь на примере (вершины графа – точки пересечения ребер)

h) Повтори несколько раз. Сделай вывод

3. Построй граф, соответствующий задаче о кенигсбергских мостах. Берега обозначь буквами А и В, острова – С и D. Ребрами графа будут мосты, соеди-няющие соответствующие участки берегов и островов. Объясни, каким образом Эйлер мог показать, что эта задача не имеет решения.