Семинар ДООМ Практические приложения подобия треугольников

Дистанционный урок по математике

Автор: Сайфутдинова Елена Валерьевна Участник:Сайфутдинова Елена Валерьевна

Координатор команды Пифагорчики Участник:Пифагорчики ID 149

Уважаемые участники методического семинара, предлагаю Вашему вниманию разработку дистанционного урока по математике по теме «Практические приложения подобия треугольников», материалы которого могут быть использованы для проведения традиционных уроков в школе.

Преамбула

«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» – воскликнул средневековый философ Марсилио Сичино. Измерять самих себя мы не будем, а вот измерить высоту дерева, соседнего здания или какой-нибудь исторической достопримечательности, почему бы и нет?

Форма проведения

веб-форум

Продолжительность

2 дня

Требования к учащимся

Учащиеся должны знать:

• определение пропорциональных отрезков;
• определение подобных треугольников;
• определение подобных фигур;
• признаки подобия треугольников.

Учащиеся должны уметь:

применять данные понятия и признаки для решения простейших геометрических задач.

Аннотация урока

Подобие треугольников широко используется при решении самых разных прикладных задачах, а определения и формулировки свойств, теорем, которые получены самостоятельно экспериментальным путем, всегда запоминаются лучше и основательнее. В любой области знаний, а в геометрии особенно, очень важно смотреть и видеть, замечать различные особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Эти умения, которые вместе можно назвать «геометрическим зрением», необходимо постоянно тренировать и развивать. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет увидеть и содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнение), физикой (геометрическая оптика), историей (исторические справки о великих математиках древности).

Цели урока

Личностные:

• приобретение веры в себя, в свои потенциальные возможности;
• реализация творческих, креативных способностей личности.

Предметные:

• изучение понятия и свойства средней линии треугольника;
• развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, и применять их при решении практических задач;
• развитие геометрической зоркости.

Креативные:

• получение и обозначение новых геометрических объектов опытным путем;
• разработка и поиск новых методов решения известных задач.

Когнетивные:

• познание объектов окружающей реальности;
• изучение способов решения возникающих проблем;
• проведение практическо - исследовательской работы на местности.

Оргдеятельностные:

• овладение навыками самоорганизации учебной деятельности;
• организация коммуникаций для демонстрации и сравнения разработок учащихся по проблеме измерения расстояний до недоступной точки.

Программа

Учебный предмет и класс: Геометрия, 8-9 класс.

Раздел/тема: Подобие треугольников/ Применение подобия треугольников к доказательству теорем и решению прикладных задач.

Основная цель: Развитие навыков решения прикладных задач по теме «Подобие треугольников».

Главная проблема урока: Можно ли, не используя специальных измерительных приборов, вычислить расстояние до недоступной точки?

Круг реальных объектов действительности, предлагаемых учащимся при изучении: Высота здания, высота дерева, радиус земного шара.

Этапы урока по минутам:

• Модуль 1, Задание 1 – повторение (30 мин) Модуль 1
• Задание 2, Модуль 2 – изучение нового материала (30 мин) Модуль 2
• Задание 3 – геометрический тренинг (5 мин)
• Задание 4, Модуль 3 – решение прикладных задач (60 мин) Модуль 3
• Задание 5, Модуль 4 – дополнительная прикладная задача (30 мин) Модуль 4
• Задание 6 – итоговый контроль (20 мин)
• Задание 7 – рефлексия (5 мин)

Сценарий коммуникаций в форуме

Здравствуйте, дорогие ребята! Я рада приветствовать вас на дистанционном уроке «Практические приложения подобия треугольников». Понятие подобия является одним из важнейших в курсе геометрии. Нас везде окружают реальные предметы, дающие наглядное представление о подобных фигурах: географические карты, фотографии, модели автомобилей, кораблей, самолетов и т.д. Главная проблема урока: Можно ли, не используя специальных измерительных приборов, вычислить расстояние до недоступной точки? Как понятие подобия помогает решить эту проблему. По окончании урока вы научитесь применять подобие треугольников при доказательстве теорем и решении прикладных задач, а именно, определять расстояние до недоступной точки. А пока, в качестве разминки выполните Задание 1. Если у вас возникнут затруднения, то вы можете обратиться к Модулю 1. Модуль 1

Задание 1 «Понятие подобия»

Рисунок 1

Рисунок 2

а) На приведенных чертежах (Рисунок 1) изображены фигура А и фрагмент подобной ей фигуры А'. Проведи недостающие линии и дострой фигуру А'.

б) Сколько всего подобных треугольников изображено на чертежах (Рисунок 2)?

в) Методом подобия пользуются архитекторы, конструкторы, геодезисты, художники и многие другие специалисты. Перед тем как строить дом, завод или какое-нибудь другое сооружение, сначала создают его план – уменьшенное изображение будущего строения. Увеличивая фотоснимки, тоже получают подобные изображения. Составь свой расширенный список профессий которые в своей деятельности используют понятие подобия. Прокомментируй свою работу.

- Указать точные даты возникновения основных понятий математики в древнейшие времена невозможно. Еще до возникновения письменности у первобытных народов стали складываться некоторые представления о числах и фигурах. И все же за каждым математическим понятием, обозначением, доказательством «стоят» люди. Например, доказательство первых теорем приписывают Фалесу Милетскому, а понятие «координата» впервые ввел в употребление Г.В.Лейбниц. Сейчас вам предлагается выполнить «Исследовательскую работу» на предмет введения в геометрию нового понятия, и доказательство его свойств.

Задание 2 «Исследовательская работа»

План работы

• 1 этап. Приготовь макет треугольника. Для этого вырежи из бумаги произвольный треугольник.
• 2 этап. Найди середины любых двух сторон твоего треугольника. Как это можно сделать, не прибегая к измерительным приборам?
• 3 этап. На модели проведи отрезок соединяющий середины двух сторон твоего треугольника. Какое название ты бы мог придумать такому отрезку? Что в нем особенного? Сколько таких отрезков можно построить для одного треугольника?
• 4 этап. Сравни длину получившегося отрезка с длиной третьей стороны треугольника. Что еще интересного ты заметил?
• 5 этап. По результатам 4 этапа задания сформулируй и докажи теорему о свойствах отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника.

После выполнения этого задания вы сравните полученные результаты с культурно-историческим аналогом описанном в модуле 2.

Модуль 2

Задание 3 «Геометрический тренинг»

Рисунок 3

В любой области знаний, а в геометрии особенно, очень важно смотреть и видеть, замечать различные особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Эти умения, которые вместе можно назвать «геометрическим зрением», необходимо постоянно тренировать и развивать. Внимательно посмотри на рисунок 3 и среди геометрических фигур найди спрятанную звезду. Удачи!

Задание 4 «Измерение высоты здания»

Вы никогда не задавались вопросом: как люди в глубокой древности измерили радиус Земли и высоту египетских пирамид? А можно ли самим, без специальных технических средств измерить высоту дерева, соседней «высотки» или измерить ширину реки?

«Фараона многое в тебе восхищает, Фалес; но особенно ему понравилось, как измерил ты высоту пирамиды, не приложив никакого труда и не пользуясь никаким орудием. Ты поставил посох там, где кончалась тень от пирамиды, так, что солнечный луч, касаясь их вершин, образовал два треугольника; и ты показал, что как длина одной тени относится к длине другой тени, так и высота пирамиды относится к высоте посоха» Плутарх «Пир семи мудрецов». В чем состоят затруднения решения подобных задач? Сделай чертеж и составь к нему краткий комментарий. Какой способ определения высоты пирамиды мог бы предложить ты? Измерь своим оригинальным способом высоту своей школы, дома в котором ты живешь или какой-нибудь достопримечательности вашего города (населенного пункта).

Познакомьтесь, как подобную задачу в глубокой древности решил Фалес, а также познакомьтесь с другими методами решения аналогичных задач. Модуль 3

Проанализируйте свои результаты.

Задание 5 «Радиус Земли»

Известный греческий математик, астроном и философ Эратосфен, живший в III веке до н.э., впервые в истории науки сумел измерить радиус Земли. Никаких кругосветных путешествий он для этого не совершал. Воспользовался же он следующими фактами. 22 июня, в день летнего солнцестояния (когда Солнце поднимается выше всего над горизонтом) в городе Александрия Египетская, где жил Эратосфен, тень от вертикального столба была в 8 раз меньше высоты этого столба. В этот же день в городе Сиене, находившемся на 4400 стадиев (800 км) южнее, Солнце стояло в зените, и вертикальный столб не отбрасывал тени. Пользуясь этими данными, определи величину радиуса Земли. Попытайся все необходимые рассуждения и геометрические построения сделать самостоятельно. Как еще можно было бы вычислить радиус Земли?

В случае затруднения обратись к модулю 4. Модуль 4

Задание 6 «Итоговый тест»

Рисунок 4

Рисунок 5

Задачи для теста

1. Диаметр глобуса равен 40 см; диаметр Земли – 12000 км. Определи расстояние от Новосибирска до Москвы, если на глобусе эти города разделены расстоянием 10 см.
2. Высота Эйфелевой башни в Париже равен 300 м. Определи, какого роста человечков надо вылепить из пластилина, чтобы они были соразмерны макету высотой 150 см. Рост человека для простоты считай равным 2 м.
3. Составь задачи по схемам на рисунках 4, 5 и реши их.
4. Над центром круговой площадки радиусом 6 м на высоте 10 м над землей висит фонарь. Площадка окружена забором, отбрасывающим кольцевую тень шириной 4 м. Определи высоту забора.
5. Обезьяна, рост которой равен 1 м, поднимается вверх по канату, находящемуся между

расположенной на уровне земли лампой и вертикальной стеной. Конец каната касается земли в 4 м от лампы и в 12 м от стены. Определи размер тени от обезьяны на стене в тот момент, когда она: а) стоит на земле; б) поднялась на высоту собственного роста; в) поднялась на два своих роста; г) поднялась на три своих роста.

Пришло время посмотреть, как вы усвоили материал данного урока. Кто не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый всем нам с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного, и вы убедились, что свойство подобия треугольников помогает решить немало практических задач. Подводя итоги урока, выполните Задание 7. Домашнее Задание 8.