Доказательство от противного

Урок можно начать с рассказа учителя.

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто пользуются способом доказательства, который называете» AUIW_ противного.

Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Разведчики получили задание: выяснить, на¬ходится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки докладывает: если бы в селе была танковая колонна, го тогда бы были следы гусениц, а их мы не обнаружили. Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие — следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет.

Пример 2. Врач после осмотра больного ребенка говорит: «У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет». Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме. Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»— и вывешивается таблица (табл. 5).

Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи.

Предлагаются задачи. 1. Дано: а\\b прямые с и а пересекаются. 2. Докажите: прямые с и b пересекаются. Доказательство. 1) Предположим, что b\\с. 2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b. 3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых. 4) Вывод: значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые бис пересекаются.

2. Дано: A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите: точка С не лежит между точками А и В. Доказательство. 1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В. 2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА 3) Это противоречит условию: АВ  АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см. 4) Вывод: точка С не лежит между точками А и В. 3. Дано: АВ — полупрямая, С  АВ, АС < АВ. Докажите: точка В не лежит между точками А и С. Доказательство. 1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С. 2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB<AC. 3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ. 4) Вывод: точка В не лежит между точками А и С. Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения уча¬щимися сущности способа доказательства от противного, а также с целью экономии времени при решении задач можно использо¬вать карточки-подсказки, которые сделаны из плотной бумаги и вставлены в полиэтиленовые мешочки. Ученик должен на поли¬этиленовой пленке заполнить пропущенные места. Записи на пленке легко стираются, и поэтому карточки можно использовать неоднократно. Карточка имеет вид: Задание на дом: п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...». 1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK— 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой. 2. Докажите, что если  (ab) = 100°,  (be) — 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab). 3. Докажите теорему 1.1 способом от противного.