Применение ТРКМ на элективном занятии по математике "Решение линейных уравнений в целых числах" в старших классах

Мои ученики 10-11 классов изучают алгебру и начала анализа по УМК под редакцией Мордковича на профильном уровне. Первая глава в 10 классе "Действительные числа" носит характер повторения и расширения. В учебнике освещены темы о делимости чисел, признаках делимости, о НОК и НОД, свойствах числовых неравенств и т.д. Задачник же содержит упражнения разных видов и типов по уровню сложности. Есть в нем и задания по теме " Решение уравнений в натуральных или целых числах". Но в учебнике нет ни одного разобранного примера, ни одного теоретического обоснования решения такого уравнения. Кроме этого, решая задачи на олимпиадах, опять же дети сталкиваются с этой же проблемой, как решать уравнения такого типа. Поэтому возникла потребность в рассмотрении вопроса разрешимости уравнения в целых числах. По желанию старшеклассников было проведено элективное занятие по теме "Линейные уравнения в целых числах".

До проведения этого занятия перед каждым учеником была поставлена задача: познакомиться с теоретическим материалом в срок с 12.11.2012 до 21.11.2012 г. и, используя этой предложенный организаторами конкурса материал, попытаться решить не которые задания конкурсного этапа.

22.11.2012 мною был проведен обзор решенных задач, даны консультации,анализ ошибок.

23.11.2012 элективное занятие началось с просмотра материала "Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах" и заполнения таблицы "Инсерт". Этот прием позволил мне выяснить, что ученики в основном знают признаки и свойства делимости, НОК и НОД, умеют находить НОД по определению. А вот нахождение НОД с использованием алгоритма Евклида, составление линейной композиции через 2 данных числа, их очень поразило и заинтересовало, а также у них появилось желание рассмотреть и другие способы решения уже нелинейных уравнений.

Следующим этапом было обсуждение шагов и заполнение блок-схемы для решения линейного уравнения в целых числах. Эта блок-схема помогла ребятам в дальнейшем выполнять самостоятельную работу.

Самостоятельная работа состояла из 6 заданий (3 вопроса по теории и 3 уравнения). Для проведения самостоятельной работы была применена google-форма, которая позволила собрать ответы учеников в одной таблице и моментально провести проверку решений (к ячейкам таблицы с ответами применено условное форматирование: клетка с правильным ответом заливается зелёным цветом).

При подведении итогов ребятами были сделаны выводы о решении неопределенных уравнений в целых числах вида ax+by=c:

1. применяется теория делимости;

2. существует алгоритм решения;

3. при любых взаимно-простых коэффициентах при неизвестных, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, в заданиях ЕГЭ, они развивают логическое мышление учеников, повышают уровень математической культуры. И поэтому эта тема для ребят была очень важна.