Копилка знаменитых задач
Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.
Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224
Старинные финансовые задачи
Задачи приведены по книгам:
Я.И. Перельман. Живая математика. М., 2003., В. Курбатов. Как развить свое логическое мышление. М., 1997.
Задача 1.
В одном голландском банке к концу дня финансовых операций оказалась 81 золотая монета достоинством по 20 гульденов каждая. Кассиру сообщили, что одна монета фальшивая и она весит на 1 грамм меньше, чем настоящая. В распоряжении кассира весы, с помощью которых можно уравновешивать грузы без гирек. Сколько минимально ему потребуется взвешиваний, чтобы отыскать фальшивую монету?
Задача 2.
В Берендеевом царстве принята довольно сложная денежная система. Основной денежной единицей является берендеевская гривна. В обращении находятся золотые монеты достоинством 1, 2, 8 и 10 гривен. Монет более крупного достоинства не существует. Подданному Берендеева царства купцу Казначееву понадобилось снять со своего счета 25 гривен. Не желая до отказа набивать свой кошелек, он решил, что удобнее всего обойтись минимальным количеством монет, и обратился к банкиру с такой просьбой: - Не откажете ли вы мне в любезности выплатить 25 гривен монетами покрупнее. было бы лучше всего, если бы вы выплатили сумму монетами самого большого достоинства, какое только возможно. Может ли быть уверенность в том, что при таком раскладе число монет окажется наименьшим?
Задача 3.
Торговец купил товар за 7 рублей, продал за 8, потом снова купил за 9 и опять продал за 10. Какую прибыль он получил?
Задача 4.
Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого – одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?
Задача 5.
Двое отцов подарили сыновьям деньги. Один дал своему сыну 150 руб., другой своему 100 р. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 р. Чем это объяснить?
Задача 6.
Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей и, вверив старшей и самой смышленой из них десяток, поручила другой три десятка, а третьей полсотни. При этом она сказал им: - Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте. Но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлености, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали все яйца так, чтобы вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 коп. за десяток, а все 9 десятков – не меньше 90 коп. или 30 алтын.
Задача 7. Задача Бхаскары
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика была высота
Задача 8. Задача Диофанта
Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной ( то есть первой степенью), а гипотенуза есть сумма этого куба и его стороны. Найдите стороны треугольника
Задача 9. Паромщик
Паромщик многие годы зарабатывал на жизнь тем, что перевозил через реку людей, их скраб и животных. Платы он большой не взимал, поэтому люди охотно пользовались его услугами, но за всю жизнь так и не удалось ему скопить денег на новый большой паром. На его маленьком паромчике хватало места только для самого паромщика и еще чего-нибудь одного. Однажды ему нужно было переправить через реку волка, козу и капусту. Но вот неудача - волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже.
Объясните паромщику как в целости и сохранности переправить через реку капусту и животных? Ответ Сначала перевезти на другой берег козу, оставив волка с капустой. Затем перевезти капусту, а козу отвезти обратно. Оставив козу и переправив волка на берег, где лежит капуста, паромщик может спокойно вернуться и переправить козу.
Или можно изобразить так: 1) Коза,волк,капуста - 0; 2) Волк,капуста - Коза; 3) Волк - (капуста->) - Коза; 4) Волк - (<-коза) - Капуста; 5) Коза - Капуста,волк; 6) 0 - Капуста,волк,коза;
Задача 10. Мудрость мандарина
То, что здесь будет рассказано, произошло в Китае. Один из провинциальных китайских мандаринов, благодаря своему необыкновенному уму и способностям, а также и той популярности, которой он пользовался среди народа, возбудил сильную зависть к себе других знатных китайцев. Зависть скоро перешла в злейшую ненависть - интригам и козням не было конца. В результате, как это часто бывает, умный и добрый мандарин сначала впал в немилость императора, а потом, благодаря проискам врагов, был отдан под суд, причём судьями, конечно, оказались злейшие враги мандарина, которые в то время ничего не желали так сильно, как только его скорейшей смерти. Само собой разумеется, вынести смертный приговор ничего не стоило, но ... объявить его публично, в присутствии того народа, который так искренне был привязан к своему правителю - на это они не могли решиться.
А потому они заранее решили между собой, что на заседании, в день, назначенный для суда над мандарином, они объявят приговор приблизительно в такой форме: "Так как мы, товарищи подсудимого, не желаем брать на свою совесть ответственность перед великим Буддой за жизнь подсудимого, и так как, всё-таки, обвинения, предъявленные ему, остаются неопровергнутыми, а отчасти и доказанными, то мы, судьи, назначенные сюда по повелению самого императора, постановили предоставить самой судьбе решить участь подсудимого. В каждую из этих двух урн мы кладём по свёрнутой записке, на одной из которых написано слово "жизнь", а на другой - "смерть", и предоставляем подсудимому право самому вынуть любую из этих записок и тем самым назначить себе приговор".
Такова должна была быть внешняя сторона дела. На самом же деле коварные судьи решили на обеих записках написать слово "смерть" и, таким образом, участь несчастного мандарина была предрешена заранее.
По счастливой случайности адвокату, который был назначен защищать на суде мандарина, удалось узнать о коварном плане судей. Конечно, самое лучшее, что он мог бы теперь сделать - это вывести судей на чистую воду, уличив их во время суда в подлоге. Но ... для адвоката это было бы равносильно самоубийству, а потому он ограничился только тем, что накануне дня суда сообщил подсудимому о том, что ему удалось узнать.
Казалось бы, обстоятельства сложились как нельзя плохо, и придумать что-нибудь для того, чтобы предотвратить неминуемую гибель подсудимого, было невозможно... Но, как уже было сказано, мандарин был очень умным человеком. Проведя всю ночь перед судом в размышлении и взвесив все обстоятельства, он нашёл, наконец, верное средство для того, чтобы спасти свою жизнь, даже не уличая судей в их замысле и не показывая виду, что он раскрыл их план.
Настал день суда. Публики было видимо-невидимо. Ещё бы! Судят ведь того, кто так много сделал для народа! Судьи объявили приговор в той форме, которая была приведена выше, опустили в каждую из двух урн по заранее приготовленной записке и с нетерпением ожидали известного им заранее приговора.
Подсудимый уверенно подошёл к судейскому столу, сунул без всякого колебания руку в одну из урн, вытащил оттуда свёрнутую записку и ...
Как вы думаете, что же он сделал? Ответ Подсудимый, не долго думая, отправил вынутую записку в рот и ... проглотил её. На удивлённые возгласы судей он спокойно ответил: - Моя судьба - теперь внутри меня! Если же вы хотите знать, ка-кова она, то не угодно ли взять оставшуюся записку и посмотреть, что там написано. Если вы увидите там "жизнь", то я готов к смерти; если же там написано "смерть", то я имею право вернуться к преж-ней своей жизни! Судьи, придя в себя от изумления, поняли, что они одурачены и что все их планы пошли прахом. И лишь для того, чтобы не выдать себя с головой всем присутствующим, один из них вынул из урны ос-тавшуюся записку и упавшим голосом прочитал (вы уже знаете, что) - Смерть! Неистовый восторг публики был ответом на это страшное слово, которое на этот раз должно быть понимаемо как "жизнь". Так иногда человек, способный правильно мыслить и учитывать не только те шансы, которые за него, но и те, которые всецело против него, может найти выход из безвыходного, казалось бы, положения.
Задача 11. Бочонок
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
Решение
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один" бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Задача 12. В жаркий день
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой те бочонок кваса.
Решение
Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.
Задача 13. На охоте
Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидала зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков?
(В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.)
Решение
Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков но собака за 5 скачков из 6 пробежит то же расстояние, что заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 скачкам собаки, то собака догонит зайца через 40*6 = 240 скачков.
Задача 14. Собака и заяц
Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака — за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?
Решение
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшится на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то собака догонит зайца через 150:10=15 минут.
Задача 15. На мельнице
На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?
Ответ
Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из 3-х жерновов увеличивает время помола зерна. Поскольку за сутки все 3 жернова вместе могут смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна, а надо смолоть 81 четверть, то жернова должны работать 12 часов и за это время на первом жернове надо смолоть 30 четвертей, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.
Задача 16. Воз сена
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
Решение
Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съест 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съест 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12 + 6 + 4 = 22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22 = 6/11 (шесть одинадцатых) месяца.
Задача 17. Двенадцать человек
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
Решение
Давайте подумаем, как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Попробуем мысленно распределить хлеба между ними. Сначала дадим всем по половине хлеба. При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами после чего каждый из них будет нести по два хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Пятому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти. У каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12—5 — 6=1, Следовательно, хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.
Задача о фазанах
Эта задача взята из китайского математического трактата "Арифметика в девяти главах"("Киу-Чанг"), начало составления которого относится за II в. до нашей эры.
ЗАДАЧА:
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.
ОТВЕТ: 12 кроликов и 23 фазана.
Задача о глубине озера
Задача взята из китайского трактата "Начала искусства вычисления", напечатанного в 1593г. и содержащего ряд статей и задач по арифметике, алгебре и геометрии, причем некоторые вопросы заимствованы из трактата "Арифметика в девяти главах".
ЗАДАЧА: В середине квадратного озера со стороной 10 фунтов растет тросник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тросник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
ОТВЕТ: Глубина озера - 12 футов.
Задача о прямоугольном треугольнике
Задача взята из того же трактата.
ЗАДАЧА: Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.
--"Жареные семечки" 17:00, 20 октября 2008 (SAMST)
Участник:Великолепная восьмёрка ID-300
Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона
1 задача
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)
Решение:
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
Ответ: за 64 часа
2 задача
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
3 задача
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?
Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)
1 задача
Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
2 задача
Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?
3 задача
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
--Участник:Великолепная восьмёрка ID-300 17:58, 20 октября 2008 (SAMST)
Участник:ЗВЕЗДА ID 248
Задачи Древнего Востока
№1
Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий - в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый - в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было да¬но 132 монеты. Сколько монет дал первый?
Решение:
Пусть х - число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
х + 2х+6х+24х = 132
Зх = 132
х = 4
Ответ: 4 монеты.
№2
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и к полученному числу приба¬вить последовательно одну треть, одну вторую и одну четвертую часть первоначального числа, то получится 68. Какое это число?
№3 Древнеиндийская задача
Есть кадамба цветок. На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?
№4
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей се¬ла на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько го¬лубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
№5
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы вый¬ти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго страж¬ника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?
№6
Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: «Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада, сред¬ний - 1/4, а младший - 1/5». Когда араб умер, сыновья хотели раз¬делить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье ми¬мо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем де¬ло, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцов¬скому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину ста¬да, т.е. 10 верблюдов, среднему - 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему - 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. «Сколько верблюдов вы разобрали?» - спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». «Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мул¬ла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуж¬дался ли кто-нибудь из них?
ЗВЕЗДА ID 248 18:55, 20 октября 2008 (SAMST)
