Семинар ДООМ Использование графиков при решении текстовых задач

Использование графиков равномерного движения при решении текстовых задач по алгебре Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное рас-стояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недо¬статок можно устранить, применяя графиче¬ское представление движения, известное уча¬щимся из курса физики. Отметим, что при решении задач на равно¬мерное движение полезны соотношения:

 S1 :  S2 =t1 : t2 – если скорости равны;

V1  : V2 =t1 : t2 – если равны пройденные расстояния; S1 : S2 = V1  : V2 – если равны промежутки времени; Кроме того, известно, что тангенс угла наклона прямой x=х0 +Vt к оси Ot численно равен скорости тела. Рассмотрим решение нескольких задач, ис¬пользуя график равномерного движения.

Задача 1 Из двух насе¬ленных пунктов А и В одновременно навстре¬чу друг другу выходят два туриста. При встре¬че оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, пер¬вый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А — через 2 ч 30 мин. Найдите рас¬стояние АВ и скорость каждого туриста. Решение. Построим графики движения туристов (рис. 1). По условию задачи PR - PK =2, KC=1,6, RD=2,5; Нужно найти АВ, PR/АR, KP/ВК. Из подобия треугольников(ΔBKP ~ ΔDRP; ΔCKP~ΔARP) следует что КС:АR=КР: PR=ВК: RD но ВК=АR поэтому КС:АR= АR: RD или АR* АR=1,6*2,5; АR=2. Затем,1,6:2=PК: PК+2. Откуда PК=8 км, АВ=18км, v1 = 5км/ч, v2= 4 км/ч.

                                                                                         Рис. 1                     Рис. 2                                                                                                                                                                                                                                  

Задача 2. Математик шел домой по берегу ручья против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках палку и шляпу. В некото¬рый момент он бросил в ручей шляпу, перепу¬тав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через не¬которое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плыву¬щую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел против течения с перво¬начальной скоростью. Через 10 мин он встре¬тил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы домой, если бы не пе¬репутал палку со шляпой? Решение. Построим графики движения математика, палки и шляпы (рис. 2; сплош¬ная линия соответствует движению матема¬тика, штриховая - движению шляпы и палки). В момент В математик бросил шляпу, в мо¬мент С бросил палку и побежал назад, в мо¬мент D выудил шляпу, в момент Е встретил палку. Потерянное время состоит из CD (за

которое математик бежал назад от момента, когда заметил ошибку,  до того,  как выудил шляпу) и DF (за которое он вернулся назад). По условию задачи

vматем: vручья =ВР/АВ :РВ/ВD=3/2; vматем: v1 матем =КС/АС:КС/СD= СD/АС=1/2 DE = BC=10; требуется определить CF. Пусть CD=x, тогда DF=AC=2x, АВ =2х+10. . Имеем: (х+10) : (2х-10)=3/2. т.е. х=12,5мин; CF = CD + DF = x + 2Х = 37,5 мин. Ответ: математик потерял 37,5 мин

Задача 3. Из А в В со ско¬ростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходив¬ший в час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного тури¬ста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.

Ре ш е н и е. Построим графики движения двух туристов и велосипедиста, предположив, что велосипедист сначала догоняет второго туриста (рис. 4). По условию задачи AC=CD = l, СС'=4, DD' = 5, EF = -1/6; надо найти РЕ /DЕ. Пусть DE=x.. Имеем РЕ: DF= РЕ: KF, причем РЕ = 5{1 + х), KF = 4 (2 1/6 + х), откуда Х:( х+ 1/6)= 5{1 + х): 4(2 1/6 + х), получаем:6х2-17х+5=0, откуда х1=1/3 ч; х2= 2,5 ч; v1 = 20км/ч, v2= 7 км/ч.

          Рис. 4	            Рис. 5

Рассмотрим теперь случай, когда велосипе¬дист сначала догоняет первого туриста (рис 5). Имеем DE: DF= РЕ: KF, или Х:( х+ 1/6)= 4(2 + х): 5(1 1/6+х). Решив уравнение получим х= 3,2, v=6,5 км/ч. Возникают вопросы: как истолковать два ответа в первом случае? Почему во втором случае только один ответ? И здесь нам на по¬мощь приходит график. Оказывается, велоси¬педист может ехать со скоростью 20 км/ч, до-гнать второго туриста и через 10 мин догнать первого (рис, 6). Но он может ехать медленнее, со скоростью 7 км/ч, и догнать, второго туриста позже, затем, также через 10 мин, догнать первого туриста.

	Рис. 6

Во втором случае (штриховая линия на рис. 6) догнать сначала первого туриста вело-сипедист может только после того, как второй турист обгонит первого. Но после этого собы¬тия расстояние между туристами увеличивает¬ся и ни при какой другой скорости, отличной от найденной (л;6,5 км/ч), догнать за 10 мин второго туриста велосипедист не сможет. Ответ: 20 км/ч, или 7 км/ч, или 6,5км/ч.

Задача 4. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал 1/4 пути между А и В, из В в А выехал мо¬тоциклист, который, прибыв в А, не задержи¬ваясь, повернул обратно и одновременно с ве¬лосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипе¬дистом равно времени движения мотоцикли¬ста из А в В. Считая, что скорости мотоцик¬листа при движении изА в Ви изВвА раз¬личны, найти, во сколько раз скорость мото¬циклиста при движении из А в В больше скорости велосипедиста.

Решение. Построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста (рис. 7). По условию DP=1/4 АВ (отсюда АР = 1/4АТ); PK=LT; требуется найти QT/LT:QT/FT=АТ/LT

 Рис. 7

Докажем (от противного), что мотоциклист прошел до первой встречи с велосипедистом 1/2 АВ, т. е. FC= 1/2АВ. Допустим, что FC<1/2АВ, тогда СК>1/2АВ. Время РК, за которое мотоциклист прошел расстояние FC, равно времени РК, за которое велосипедист прошел МС. Так как DP = 1/4AB, а СК> 1/2 АВ, то МС >1/4AB, следовательно, ве¬лосипедист потратит больше времени на про¬хождение МС, чем на DP. Таким образом,

  PK>AР=1/4 AT.

Очевидно, CК>CF, следовательно, время KL, необходимое мотоциклисту для прохож-дения расстояния СК, больше времени РК, затраченного на прохождение FC. Таким об¬разом, имеем: KL>PK>AP=1/4AT. Зна¬чит, на LT (время, за которое мотоциклист пройдет расстояние АВ) остается меньше 1/4AT. Отсюда РК не равно LT (РК >1/4 AT, LT< 1/4AT) что противоречит условию за¬дачи. Аналогично устанавливаем, что FC не мо¬жет быть больше1/2 АВ. Таким образом, до¬казано, что FC = 1/2 АВ, тогда АР=РК= KL=LT =1/4АТ и искомое отношение AT: LT=4 Ответ: скорость мотоциклиста при движе¬нии от А к В в 4 раза больше скорости ве-лосипедиста. В приведенных примерах использование гра¬фиков приводит к простым и красивым ре¬шениям. Кроме того, этот способ является прекрасным средством реализации межпред¬метных связей между алгеброй, геометрией и физикой. Строя график зависимости пройден¬ного расстояния от времени (при равномер¬ном движении), учащиеся вспоминают, что эта зависимость выражается линейной функцией, повторяют физический смысл углового коэф¬фициента прямой, используют при решении текстовых алгебраических задач равенство и подобие треугольников. При этом знания, по¬лученные на уроках по разным предметам, объединяются, становятся более осознанны¬ми, действенными. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым со¬держанием, конкретизируются в ходе позна¬вательной деятельности учащихся. Нередко, используя графики, можно уви¬деть «скрытые» свойства рассматриваемых величин: шляпа и палка (задача 2) проплыли равные расстояния (PB = LN, см. рис. 2), на встречу с палкой математик затратил столько же минут, сколько и на удаление от шляпы (BC=DE; эти выводы являются очевидными следствиями того факта, что прямые, изобра¬жающие графики движений с одинаковыми скоростями, параллельны); мотоциклист (за¬дача 5) встретил первый раз велосипедиста на 1/2 пути, скорость мотоциклиста до первой встречи в два раза больше, чем скорость ве¬лосипедиста, и др. Кроме того, следует учитывать индивидуаль¬ные особенности учащихся. Алгебраические решения ближе тем, кто любит формулы, их преобразования; решения с использованием графиков привлекают тех, кто нуждается в со¬держательных образах, кто любит геометрию, физику. Очевидно, что использование описанно¬го метода требует определенных навыков гра¬фического представления условий задачи. Они могут быть сформированы совместными уси¬лиями учителей физики и математики. Затраченные усилия быстро оку¬пятся. Литература 1. Алгебра7 под ред. С.А.Теляковского. М.Просвещение. 1985г. 2. Квант. 1970. №6,стр. 47-88 3. Энциклопедический словарь юного математика. М. Педагогика. 1985г.