Семинар ДООМ "Задача о выборах"

     Уважаемые коллеги, если в задаче № 3 конкурсного тура для 8-11 классов убрать условие: «каждая партия получила целое число мест в парламенте», то она превратится в задачу с неопределенным условием, в которой придется провести исследование вариантов, при этом сами собой напрашиваются интересные выводы.

Задача №3 с измененным условием.

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т. е. если одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в x раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было). При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

Решение:

    Рассмотрим первый вариант развития событий. 

    Предположим, что все партии прошли в парламент, набрав 100% голосов избирателей. Тогда на 1% голосов избирателей приходится 1 место в парламенте. Значит,  Партия любителей математики, набравшая 25% голосов избирателей, получит ровно 25 мест.

    Рассмотрим второй вариант развития событий. 

    Предположим, что 10 партий не  прошли 5% барьер и набрали ровно по 5% голосов избирателей. Тогда они вместе набрали 50% голосов, следовательно, две оставшиеся партии, тоже набрали 50% голосов. Получаем  50%  - 100 мест в парламенте, 1% - 2 места.   Партия любителей математики получит в этом случае 50 мест, что в два раза больше, чем в первом варианте развития событий. 

     Таким образом, чем меньше процентов голосов избирателей пройдет в парламент, тем больше мест придется на 1%, тем больше мест получат партии – лидеры.

    Рассмотрим третий вариант развития событий.

     Пусть не все партии прошли в парламент, при этом исключим второй вариант развития событий, тогда Партии – лидеры набрали более 50% голосов.

    Пусть х мест (х - натуральное число) в парламенте получила Партия любителей математики, что составляет 25%, тогда все прошедшие в парламент партии, набрали вместе В% (В > 50%, В<100%) получают  100 мест. Найдем х.

    Выразим количество мест, которое приходится  на 1% двумя способами, и приравняем полученные выражения.

100/В=х/25, имеем х= (25*100)/В – целое число.

2500=5*5*5*5*2*2.

    Это число может делиться нацело на следующие числа: В=5,10,20,25,50,100,125,250,500,625 и т.д. 

    Среди полученных чисел нет таких, которые удовлетворяли бы ограничениям  на В.   Пришли к противоречию.  Значит, все партии набрали более 5% или 10 партий набрали ровно по 5% голосов избирателей.