Семинар ДООМ: Урок "Геометрия в ножницах"

Тема урока: «Геометрия в ножницах». Цель:  Проверить знания и умения учащихся по теоретическому материалу при применении комбинаторных задач;  развивать интерес и желание у учащихся решать геометрические задачи;  Прививать любовь к геометрии. Ход урока  Пусть властно по своей орбите  Нас ритм сегодняшний кружит –  Вернее будущее видит  Лишь тот, кто прошлым дорожит.

 Мы завершаем изучение темы: «Площадь фигур»  Немного истории История  Вычисление площадей в древности  Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.  Еще 4—5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах.  Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам:  равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить,  ими можно заполнить плоскость без пробелов.

 Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b, с, d применялась формула  S = a+c . b+d  2 2  т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближению площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым.  Для определения площади S равнобедренного треугольника ABC, в котором AB =AC , египтяне пользовались приближённой формулой: S= BC * AB  2  Совершая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной AB и высотой AD треугольника, иными словами, чем ближе вершина И (и С) к основанию D высоты из A. Вот почему приближённая формула S= BC * AB применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине. 2     Задание ученикам  Задача 15. Доказать, что египетская формула S = a+c . b+d для вычисления площади  2 2  четырёхугольника верна для прямоугольника.

Измерение площадей в Древней Греции  В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости,

       ограниченную той пли иной замкнутой лилией. Евклид не выражает
       результат измерения пло¬щади числом, а сравнивает площади разных
       фигур между собой. Например:

 Задача 16. «Параллело¬граммы (рис. 5), находящиеся на равных

       основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т. е. 
       равновели¬ки. Докажите!»

 3адача 17. «Если параллелограмм АВСD имеет с треу¬гольником BCE

       одно и то же основание ВС (рис 6) и находится между теми же 
       параллельными,  то параллелограмм будет вдвое больше треугольника. 
       Докажите!»

 Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами

       превращения одних фигур в другие, им равновеликие. 
       Так, в «Началах» решается задача о построении квадрата,
       равновеликого любому данному многоугольнику. При этом 
       Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые 
       выражают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры,
       Евклид получал геометрическим путём. Извлечение квадратного 
       корня из числа означало для Евклида построение стороны квадрата, 
       площадь которого равна площади данного многоугольника.

 Площади фигур вычисляются по формулам  Вспомним их Теоремы 1. Площадь треугольника 2. Площадь прямоугольника 3. Площадь трапеции 4. Площадь параллелограмма Площадь треугольника. Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Дано: Треугольник ABCD со основанием AD и высотой AH . Доказать:

Площадь прямоугольника ТЕОРЕМА: ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЕГО СМЕЖНЫХ СТОРОН

Дано: ABCD - прямоугольник AB = b; AD = a SABCD = S Доказать: S = ab Площадь трапеции. Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Дано: трапеция АВСD с основаниями а и b и высотой h . Доказать:

Площадь параллелограмма. Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту

Дано: ABCD-Параллелограмм С основанием AD и высотой BH Доказать: S = ah

При изучении темы: площади фигур. Мы заметили, что для вывода формул площадей многоугольников нужно пользоваться свойствами площадей и равновеликими фигурами. Решили познакомится с понятием равновеликие фигуры.

Проект: Равносоставленные многоугольники  Цель: узнать о задачах на разрезания равносоставленных многоугольников и их решений.

 Задача: выяснить что позволяет находить равностоставленность многоугольников. Равносоставленные фигуры - фигуры, которые можно разрезать на неодинаковое число соответственно равных частей. Равновеликие фигуры - плоские фигуры, имеющие равные площади. Теорема 1: Равносоставленные многоугольники – равновелики ,то есть имеют одинаковую площадь. Теорема 2: Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.

Перекраивание греческого креста в равновеликий (равносоставленный) квадрат. Равносоставнные фигуры.

Равносоставленные многоугольник

равносоставленный треугольник

Квадрат

равносоставленный шестиугольник

равносоставленный восьмиугольник  Задача :фермер решил разделить принадлежащий ему квадратный участок земли. Себе он оставил четвёртую часть земли. Его поле имело форму квадрата и занимало угол участка. Остальную землю он хотел разделить между четырьмя сыновьями так, чтобы участки сыновей были одинаковой формы и одинаковых размеров. Можно ли это сделать? 

 Решение. Начертим план участка (квадрат ABCD). Покажем на плане участок отца. Как разделить оставшийся участок на четыре равные части? Попробуем участки сделать такой же формы, которую имеет фигура NCDAMO. Оказывается, не так трудно разрезать фигуру NCDAMO на 4 части одинаковых по форме и размерам. 

Перед вами два квадрата, один из которых уже разделен на четыре одинаковых треугольника. Как при помощи этих треугольников и маленького квадрата сложить один большой квадрат? Ничего больше разрезать не требуется.

Ответ:

У одной из сестер, было пять кусков материи, из которых она, используя все эти куски и не разрезая их более, сшила крест. Как она это сделала?

Ответ:

Задача: Фермер завещал принадлежавшие ему 400 акров земли и пять домов своим пятерым сыновьям. По завещанию земля делилась так: - старшему сыну - 200 акров; - второму сыну - 100 акров; - третьему сыну - 50 акров; - младшим сыновьям-близнецам - каждому по 25 акров. При этом все наделы должны иметь одинаковую форму и на каждом из них должен стоять дом. Удалось ли сыновьям выполнить волю отца?

Ответ: Старшему половину всего участка. Второму половину от оставшегося. Третьему половину от оставшегося. Младшим по половине от оставшегося. Каждый получает участок треугольной формы

Вывод: Равносоставленность позволяет находить множество решений задач и доказательств теорем. Благодаря свойствам равносоставленности стало возможным применение задач на разрезание. А они, в свою очередь, позволяют сократить и упростить ход решений и доказательств, особенно, если речь идет о площадях.

 Мастера староитальянской школы живописи (например Бел¬лини) на портретах изображали геометра с циркулем в руке; со¬временные живописцы для наглядности должны будут вложить в руки геометра ножницы, ибо геометрия наших дней в значительной мере накрывается топологией. При этом математик бу¬дет похож на портного, чем на чертежника, но это не зазорно для работников математического цеха, потому что портные все¬гда изображались в национальном фольклоре существами до¬гадливыми и смышлеными.  Именно эти качества - догадливость и смышленость - будут присутствовать у нас на уроке при решении геометрических за¬дач, в которых нужно кроить, резать и клеить. А для обоснова¬ния вы должны применить свои познания в геометрии. Я думаю, всем будет интересно сегодня на уроке.

 Работать мы будем в группах (5 групп по 5 человек).  Каждая группа предлагает свою задачу, а затем показывает правильное решение (предварительно выслушав решение каж¬дой из 4 групп).

Задача №1

Параллелограмм из треугольников.

 Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезали: 1-й по одной из диагоналей, а 2-й по другой.  Доказать, что из полученных треугольников можно сложить параллелограмм.

Решение

Задача №2  Сложить треугольник.  Три одинаковых треугольника разрезаны но разноименным медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.

Решение

Задача №3

 Параллелограмм из четырехугольников.  Бумажный выпуклый четырехугольник разрезали на четыре части по отрезкам, соединяющим середины его противоположных сторон. Докажите, что из этих частей можно сложить па¬раллелограмм.

Задача №4  Углы в четырехугольнике.  В четырехугольнике АВСD сумма углов АBD и BDC равняется 180°. А стороны AD и ВС равны. Докажите, что углы при вершинах А и С такого четырехугольника равны.

 Решение.  Разрежем четырехугольник АВСD по диагонали ВD и, повернув треугольник ВСD, вновь приложим его к диагонали ВD. Получился равнобедренный треугольник АСD (АD = СD), поэтому угол А=С.

Задача №5  В два слоя.  На листе бумаги размером 3x4 сделали надрезы так, что он (лист) при этом не распался, но им стало возможно оклеить кубик 1 х 1 х 1 в два слоя. Как это сделали?

 Решение.  Разрежем лист 3x4, как показано на рисунке, жирными ли¬ниями и, перегнув бумагу в нужных местах, положим заштрихо¬ванные прямоугольники на белые. В результате получим двух¬слойную развертку куба.

Дополнительно

 1) Постройте прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого сумма катетов в 2 раза больше гипотенузы.  (Построить такой треугольник нельзя, так как по условию задачи каждый его катет равен гипотенузе.)  2) Сколько раз отрезок КР уложится на кривой КОР?  (Ни разу, уложить отрезок на кривой никогда не удастся.)

 3) Можно ли посадить 100 деревьев на участке треугольной формы, если расстояние между соседними деревьями не должно превышать 2,5 м?

 (Нельзя, так как такой треугольник не существует.)

 - Мы сегодня на уроке повторили свойства четырехугольни¬ков и треугольников.  Таких задач много. Попробуйте сами составить хотя бы по одной такой задаче (или поищите).  А урок мы закончим стихотворением «Геометрия трав».  Подмечайте математику вокруг себя - в быту и природе. Для наблюдательного человека даже простые срезы растений - красивые геометрические фигуры.

 Пусть властно по своей орбите  Нас ритм сегодняшний кружит -  Вернее будущее видит  Лишь тот, кто прошлым дорожит.