Семинар ДООМ "Эйлер-великий математик"

«Эйлер – великий математик»

Марина Владимировна Лесных ГРАФ 109 (урок в 9-ом классе)

Цели: – познакомить с биографией Эйлера; – показать способ решения логических задач с помощью кругов Эйлера; – учить анализировать, развивать нестандартность мышления.

Ход урока

1. Биография Эйлера. 2. История появления теории графов. 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 4. Задачи для самостоятельного решения.

1. Биография Эйлера.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской ака¬демии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил боль¬шие возможности для создания и из¬дания своих трудов. Он работал с ув¬лечением и вскоре стал, по едино¬душному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поража¬ет своим объемом и разносторон¬ностью. В списке его трудов бо¬лее 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 то¬ма. Среди его работ- первые учеб¬ники по дифференциальному и ин¬тегральному исчислению. В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского матема¬тика П. Ферма. Эйлер много работает в области математического анализа. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области ис¬следований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку-топологию. Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ре¬бер (Р) и граней (Г) выпуклого мно¬гогранника: В -Р + Г = 2. Даже основные результаты науч¬ной деятельности Эйлера трудно пе¬речислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с много¬численными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, ар¬тиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение меха¬ники вместо геометрического изложе¬ния Ньютона, строит механику твер¬дого тела, а не только материальной точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных дос¬тижений Эйлера связано с астроно¬мией и небесной механикой. Он по¬строил точную теорию движения Лу¬ны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной по¬терей зрения. Но он продолжал тво¬рить так же интенсивно, как в мо¬лодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наибо¬лее громоздкие вычисления. Для многих поколений математи¬ков Эйлер был учителем. Под его математическим руководствам, кни¬гам по механике и физике училось несколько поколений. Основное со¬держание этих книг вошло и в со¬временные учебники.

2. История появления теории графов.

Теория графов — тот редкий раздел математики, о котором доподлинно известно, когда он родился и кто был его осново¬положником. Родилась теория графов в Санкт-Петербурге. Ее создателем является Л. Эйлер, который в 1736 году опубликовал решение задачи о Кенигсбергских мостах. Суть задачи состоит в следующем. Город Кенигсберг был построен в месте слияния двух рек на их берегах и на двух островах. В нем было семь мостов, которые соединяли острова между собой и с береговыми частями города. Мог ли любой житель города выйти из дома, пройти по всем семи мостам в точности по одному разу и вер¬нуться домой?

На рис. 1. плана города а, 6, с, d — части суши. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого гра¬фа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер (на графе, изображенном на рисунке справа, части суши изобра¬жены точками — вершинами графа, а связи между ними — линиями произвольной конфигурации, называемыми ребрами или дугами).

Рис. 1. План города Кенигсберга и граф к задаче о Кенигсбергских мостах

С тех пор поток задач с применением графов нарастал по¬добно снежной лавине. Наряду с многочисленными головоломка¬ми и играми, на графах рассматривались важные практические проблемы, многие из которых требовали тонких математических методов. Уже в середине XIX века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей.

3. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задачи, которые можно решить с помощью кругов Эйлера нельзя решить иначе. Этот способ решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер. Этот метод прост, если в нем разобраться.

Задача

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение:

Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.

4. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

На 3 курсе факультета обучается 81 студент. Многие из них выбрали одинаковые дисциплины, посещают одни и те же лекции и хорошо знают друг друга. 43 студента посещают лекции по философии, 32 - по логике и 41 - по естествознанию. Философию и логику выбрали 11 человек. Философию и естествознание посещает 21 студент, а логику и естествознание - 16. 4 человека выбрали только философию и логику. Сколько студентов посещают лекции: 1) по всем трём предметам, 2)только по философии и естествознанию, 3)только по логике и естествознанию, 4)только по философии, 5)только по естествознанию, 6)только по логике, 7)не выбрали ни одну из этих дисциплин.

Задача 2. (Задача приписываемая Эйлеру)

Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил свое завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1 000 рублей и 1/8 часть остатка; следующий 2 000 рублей и 1/8 нового остатка; 3 сын- 3 000 рублей и 1/8 третьего остатка и т.д.» Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

Литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1985.-352 стр. 2. Макоха А. Н., Сахнюк П. А., Червяков Н. И. Дискретная математика: пособие для студентов. М., Физматлит, 2005.-368стр. 3. Германович П.Ю. Вопросы и задачи на соображение: пособие для средней школы. Ленинград, учпедгиз, 1956.-92стр.