Система остаточных классов
Автор-составитель: Русачкова Елена
Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей 
с произведением 
так, что каждому целому числу x из отрезка [0,M − 1] ставится в соответствие набор вычетов 
При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка [0,M − 1].
В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M − 1].
Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям 
Перевод чисел из СОК в десятичную систему счисления
Формула перевода имеет вид:
A = a1*B1+a2*B2+…+an*Bn-r*P, где a1, …, an
— представление числа А в СОК с основаниями p
1, p2, …, pn;
P = p1* p2* …* pn;
r = 0,1,2,… (целые числа), причём r выбирают так, чтобы разность между левой и правой частью выражения была меньше P;
Bi = (P/pi)*ki, где ki = 1, 2, …, pi
, причём
ki
выбирается таким, чтобы остаток от деления
Bi/pi
был равен 1.
Пример:
А = (2,4,6) в системе с основаниями: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7.
P = p1*p2*p3 = 3*5*7 = 105.
B1 = 105/3*k1 = 35*2 =70;
B2 = 105/5*k2 = 21*1 =21;
B3 = 105/7*k3 = 15*1 =15;
A = 2*70+4*21+6*15 — r*105;
A = 314 — r*105 = 104, где r=2.
