Учебное пособие "Системы счисления"

Задание

1. Каждый студент добавляет одно наименование системы счисления и пишет о нем небольшую вики-статью. В статье обязательно дать не менее 3 ссылок на Интернет-ресурсы, предоставившие информацию. В статье рассказать об истории возникновения данной системы счисления, правилах построения чисел, привести примеры записи различных чисел в выбранной системе счисления.

2. Для проверки знаний о системе счисления, составить небольшой тест при помощи сервиса http://master-test.net/.При создании теста предусмотреть вывод результатов тестирования и комментариев по неправильным ответам.

3. Каждому студенту необходимо пройти тестирование на знание всех систем счисления.

4. Оценить по одной статье. Для выставления оценок по критериям, необходимо:

• перейти в Гугл-документ;
• выбрать ссылку Редактирование (предварительно прислать адрес своего электронного ящика преподавателю, чтобы получить доступ к ресурсу;
• оценить статью, расположенную по соседству от Вашей статье и находящуюся ниже - автор первой статьи оценивает вторую, автор второй статьи - третью, и так далее.
• авторов самых лучших статей ждут небольшие призы!

5. Оставить комментарий в блоге.

Системы счисления

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел. Различают системы счисления непозиционные и позиционные.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называются непозиционными

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число, называются позиционными.

Непозиционные системы

1. Древнеегипетская десятичная система счисления

2. Система счисления майя

3. Римская система счисления

4. Вавилонская система счисления ещё одна статья Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная система счисления

5. Старославянская система счисления

6. Гармоническая система счисления Майя

7. Алфавитная система счисления

8. Система счисления Штерна-Броко

9. Греческая система счисления

10. Кириллическая система счисления

11. Древнегреческая аттическая пятеричная

12. Египетская система счисления

13.Система остаточных классов

Позиционные системы

1. Двоичная система счисления

2. Десятичная система счисления

3. ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА

4. Двенадцатеричная система счисления

5. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

6. Нега-позиционная система счисления

Представление чисел в троичных системах счисления

Сдвоенные комбинированные системы счисления

В сдвоенных (спаренных, комбинированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:

1. внутриразрядная система счисления с основанием a, числа которой используются для записи цифр и 2. приписная межразрядная система счисления с основанием b.

Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — \ a_k на k-тые степени числа b: , где

   * k — число от 0 до n-1, номер числового разряда,
   * n — число разрядов,
   * a — число, основание основной внутриразрядной системы счисления,
   * ak — целые числа из множества a, называемые цифрами,
   * b — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
   * bk — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом

При b=a образуются (a, a)-ичные системы счисления с произведением — akak и суммой , которые при a=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — bk — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений ak более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, ak могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как ak-тые ближе к аппаратной части и по ak- тым из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, а не по bk мы определяем и относим число x(a, b) к троичным системам кодирования, то есть большие основания считать a основным основанием системы счисления, b в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование (BCD), в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления — десятичная.

Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления

Целое число x в сдвоенной (спаренной) позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты bk, в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный bk.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:, где:

a=3 — 3-х элементное множество a={0,1,2} из которого берутся цифры ak, n — число элементов (цифр) в числе x3,b.

Дробное число записывается и представляется в виде: , где m — число разрядов дробной части сдвоенного (спаренного) позиционного числа справа от запятой,

при m=0 дробная часть отсутствует, число — целое,

при ak из троичного множества a={0,1,2} и b=1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1k=1,

при ak из двоичного множества a={0,1} и b=3 в сумме будут только целые степени — 3k,

при ak из троичного множества a={0,1,2} и b=3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, ak удовлетворяют неравенству 0<=ak<=(b-1)<b, т.е. 0<=ak<=2<3,

при ak из десятичного множества a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

Строенные комбинированные троичные системы счисления

В строенных (комтринированных) показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель (b/с):

В общем случае c≠3. При ak из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления. При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5. При других значениях a, b и c образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно. Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:

2 — (+1) ;

1 — (0) ;

0 — (-1) .

2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование

1 (Binary Coded Ternary, BCT representation):

2 — (1,0);

1 — (0,1);

0 — (0,0). 3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2

(Binary Coded Ternary, BCT representation):

2 — (1,1);

1 — (0,1);

0 — (0,0).

3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1:

2 — (1,0,0);

1 — (0,1,0);

0 — (0,0,1).

4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:

2 — (0,1,1);

1 — (1,0,1);

0 — (1,1,0).

5. Трёхразрядное единичное (унарное) трёхпроводное кодирование 3:

2 — (1,1,1);

1 — (0,1,1);

0 — (0,0,1).

6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:

2 — (0,0,0);

1 — (1,0,0);

0 — (1,1,0).

и др.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления. При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость 29 = 512 чисел, а троичный код имеет ёмкость 39 = 19683 числа, то есть в 39 / 29 = 38,4 раза больше. При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость 227 = 134217728 чисел, а троичный код имеет ёмкость 327 = 7625597484987 чисел, то есть в 327 / 227 = 56815,13 раз больше. При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость 281 = 2417851693229258349412352 числа, а троичный код имеет ёмкость 381 = 4,434e + 38 чисел, то есть в 381 / 281 = 183396897083556,95 раз больше.

Свойства

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему Джону фон Нейману.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа. Пример: десятичное целое число 4810,10 переведём в несимметричное троичное целое число: число = 4810,10 делим на 3, частное = 16, остаток a0 = 0 частное = 1610,10 делим на 3, частное = 5, остаток a1 = 1 частное = 510,10 делим на 3, частное = 1, остаток a2 = 2 частное = 110,10 делим на 3, частное = 0, остаток a3 = 1 Частное не больше нуля, деление закончено. Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 4810,10 = (a3a2a1a0)3,3 = 12103,3.

Симметричная троичная система счисления

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях». Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в XVII веке в 1612 г. Русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге в 1877 г. Позже этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, интересовался Д. И. Менделеев.

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров, в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой 1 (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой 1 (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц. Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления.

Свойства

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано пять ценных свойств:

• Естественность представления отрицательных чисел;
• Отсутствие проблемы округления.
• Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.(стр.34).
• Для изменения знака у представляемого числа нужно изменять знаки у всех его цифр. Это свойство увеличивает число операций при перемене знака (в несимметричных системах изменяется только один знаковый разряд), но повышает надёжность при сбоях в одном или более разрядах.
• При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
• По затратам числа знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, выполняются естественно с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

Округление

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Перевод чисел из десятичной системы в троичную

Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах [16][17]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.

Перевод в другие системы счисления

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

, где

- целая часть числа,

— дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения { 1, 0, −1 }.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

Практические применения

• Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
• Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.

Интернет-ресурсы:

Википедия

traditio

Virtual Laboratory Wiki