Применение ТРКМ на элективном занятии по математике "Решение линейных уравнений в целых числах" в старших классах

Мои ученики 10-11 классов изучают алгебру и начала анализа по УМК под редакцией Мордковича А.Г. на профильном уровне. Первая глава в 10 классе "Действительные числа" носит характер повторения и расширения. В учебнике освещены темы о делимости чисел, признаках делимости, о НОК и НОД, свойствах числовых неравенств и т.д. Задачник же содержит упражнения разных видов и типов по уровню сложности. Есть в нем и задания по теме " Решение уравнений в натуральных или целых числах". Но в учебнике нет ни одного разобранного примера, ни одного теоретического обоснования решения такого уравнения. Кроме этого, решая задачи на олимпиадах, опять же дети сталкиваются с этой же проблемой, как решать уравнения такого типа. Поэтому возникла потребность в рассмотрении вопроса разрешимости уравнения в целых числах. По желанию старшеклассников было проведено элективное занятие по теме "Линейные уравнения в целых числах".

До проведения этого занятия перед каждым учеником была поставлена задача: познакомиться с теоретическим материалом в срок с 12.11.2012 до 21.11.2012 г. и, используя этот предложенный организаторами конкурса материал, попытаться решить некоторые задания конкурсного этапа.

22.11.2012 мною был проведен обзор решенных задач, даны консультации и проанализированы ошибки учеников.

23.11.2012 элективное занятие началось с просмотра поста в блоге, где приведен был материал "Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах". Затем ученикам было предложено заполнить таблицу "Инсерт". Этот прием позволил мне выяснить, что ученики в основном знают признаки и свойства делимости, НОК и НОД, умеют находить НОД по определению. А вот нахождение НОД с использованием алгоритма Евклида, составление линейной композиции через 2 данных числа, их очень поразило и заинтересовало, а также у них появилось желание рассмотреть и другие способы решения уже нелинейных уравнений.

Следующим этапом было обсуждение шагов и заполнение блок-схемы для решения линейного уравнения в целых числах. Эта блок-схема помогла ребятам в дальнейшем выполнять самостоятельную работу.

Самостоятельная работа состояла из 6 заданий (3 вопроса по теории и 3 уравнения). Для проведения самостоятельной работы была применена google-форма, которая позволила собрать ответы учеников в одной таблице и моментально провести проверку решений (к ячейкам таблицы с ответами применено условное форматирование: клетка с правильным ответом заливается зелёным цветом).

Подведении итогов проходило в виде дискуссии. Ребятами были сделаны выводы о решении неопределенных уравнений в целых числах вида ax+by=c:

1. применяется теория делимости;

2. существует алгоритм решения;

3. при любых взаимно-простых коэффициентах при неизвестных, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, в заданиях ЕГЭ, они развивают логическое мышление учеников, повышают уровень математической культуры. И поэтому эта тема для ребят была очень важна.