Копилка знаменитых задач
Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.
В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!
Уважаемые участники олимпиады!
Весьма и весьма похвально ваше желание заработать наибольшее количество баллов и победить! НО! Давайте соревноваться честно!
Наши претензии:
Во-первых, по условиям конкурса сроки размещения задач с 24 октября по 17 ноября. Никто не говорил, что можно размещать работы раньше.
Во-вторых, размещение условий задач без решения (никто не сомневается - решение вы разместите, но – потом…) мы считаем «забиванием места» и воспринимаем такую позицию некорректной по отношению к другим участникам.
Итак, учитывая произошедшее и вышесказанное, мы, организаторы решили:
1. Очистить страницу.
2. Установить жесткие сроки проведения блиц-конкурса: с 11.00 (моск. время) 24 октября до 21.00 (моск. время) 17 ноября 2008 г.
3. Проявить беспрецедентную доброту и великодушие - провинившиеся команды (уже успевшие поместить задачи на страницу) штрафными баллами не наказывать, несмотря на то, что очень хочется.
Команда ШОУ «Модель»
ID_278
1. Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.) Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение: Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда х/4 + у = 7, (1)
х + у = 10, (2) х = 10 – у. (3) Подставляя (3) в (1), получаем (10 – у) /4 + у = 7,
у = 6. Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.
2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.) Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?
Решение: Пусть х – число пчел в рое. Тогда х = x / 2+ 8/9 х + 2. (1) Обозначив Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): х/2
через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
у + 16/9 у² + 2 = 2у², 2у² - 9у – 18 = 0, Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2. Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.
3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.) В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?
Решение: По теореме Пифагора:
х2 + 52 = (х+1)2 ,
х2 + 25 = х2 + 2х + 1, х = 12. Глубина пруда – 12 шагов.
4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.) Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?» Сколько учеников было у Пифагора?
Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,
Откуда х = 28. Итак, у Пифагора было 28 учеников.
5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?
Решение: Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда 3х + 2у + z = 36, 2х + 3у + z = 34, Х + 2у + 3z = 26, Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ . Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.
6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены
Решение: Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2. Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000. Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.
7. Диофант Александрийский (III в н.э.) По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.
Решение: Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда 200х = у², (1) 5х = у. (2) Подставляя (2) в (1), получаем 200х = 25х², 200 = 25х, х = 8. ____ Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и 1600 = 40.
8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3
И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.
9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»
Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок. Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок. 10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.
Решение: Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а, где n и a – некоторые целые числа. Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7
Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,… При n =5 х = 301, При n =12 х = 721, При n =19 х = 1141 и т.д. Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.
11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.
Решение: Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда х² + (10 – х)² = 58 х1 = 7 х2 = 3. Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.
12. Задача Ефима Войтяховского. На вопрос: который час? – ответствовано: прошедших часов от полуночи до сего времени равны остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.
Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = (12 – x),
x = 8- x, x + x =8, x =8,
x = 8 , x = ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.
13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане: Новой выдумки нарядное фуро (платье) И праздничный чепец а ла фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта ( раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына, Но настоящая им цена только сего половина. Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.
Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = x копеек. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение: X + y =13,5:2;
x + x = 6,75;
4,5 x = 6,75;
x = 6,75:4,5; x = 1,5. Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.
14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?
Решение: Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67. 100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение). Делаем второе предположение, что учеников было 32. Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89. 100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.
15. Старинная задача XVII века. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?
Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы. В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.
16. Задача Ахмеса. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?
Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.
--Школа11 12:07, 24 октября 2008 (SAMST)
Великолепная восьмерка ID-300
Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона
1 задача
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)
Решение
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
Ответ: за 64 часа
2 задача
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
Решение
Лев за час съест1/2 часть овцы,
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
Собака за час съест 1/6 часть овцы.
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.
3 задача
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?
Решение
Пусть бедных - x, тогда
3х-8=2х+3
х=11
Ответ: было 11 бедных.
Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)
1 задача
Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
Решение
7(х+10)/12=х+2
7х+70=12х+24
5х=46
х=9,2
Ответ: одежда стоит 9,2 флорина
2 задача
Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?
Решение
При решении задачи используем теорему Пифагора.
Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.
1252-1172=1936=442
Ответ: длина отступа равна 44 стопы.
3 задача
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
Решение
а14=а1+13d, a1=59-13*4=7
S14=(7+59)/2*14=462
Ответ: все чарки весят 462 лата
4 задача
Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
Решение
1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.
Пусть бочка стоит х руб.
8х+0,6=9х-1,6
х=2,2 руб.
до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны
5 задача
Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?
Решение
1-15=4/5 - остаток
4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку
4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки
16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка
16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке
1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.
10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка
(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка
(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка
6 задача
Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?
Решение
Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.
Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.
Ответ: 10 и 120 орехов.
Индусские задачи из Бхасхары
1 задача
Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?
Решение
Пусть х м - глубина пруда.
2 задача
На две партии разбившись
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась,
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение
Пусть было х обезьян.
(х/8)2+12=х
х2=768=64х
х2-64х+768=0
D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024
х<su>1</sub>=(64+32)/2=48
х2=64-32/2=16
Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.
Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)
Задача
Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
Решение
800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
1200*5:3=2000 - стоил дом.
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"
Задача
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.
Решение
Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.
5х+3(138-х)=540
5х+414-3х=540
2х=126
х=63(аршина) - синего
138-63=75(аршин) черного.
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. </font>
Старинные задачи
1 задача
Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.
Решение
Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.
2 задача
У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?
Решение
Он родился в високосный год 29 февраля.
3 задача
Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?
Решение
Пусть было х гусей. Составим уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Ответ: в стае 36 гусей.
4 задача
Роскошнолипа расцветала
Под ней червяк завелся малый.
Да вверх пополз во всю он мочь -
Четыре локтя делал в ночь.
Но днем со слепу поз обратно
Он на два локтя аккуратно
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
- Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты?
Решение
(4-2)8+4=20
Ответ: высота липы 20 локтей
5 задача
Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?
Решение
Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.
40:(45-40)=8 дней
Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.
6 задача
идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?
Решение
За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.
700:70=10 дней
Ответ: через 10 дней путники встретятся.
7 задача. (задача Бируни)
Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца
Решение
10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц
8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц
10/8=2,5/x
x=8*2,5/10
x=2
2*3=6
Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца
7 задача (Китай II век)
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Решение
1/7+1/9=16/63
1:16/63=63/16=3,9375
Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.
8 задача
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.
Решение
Пусть школу посещают х учеников,
1/2x+1/4x+1/7x+3=x
x=28
Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.
Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского
1 задача
Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?
Решение
Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.
х+(х+10)=12
2х=2
х=1(коп) - стоит пробка.
1+10=11 (коп) - Стоит бутылка
Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.
2 задача
Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?
Решение
1)Сколько всего было апельсинов?
(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)
2)Сколько взял первый покупатель?
63:2+0,5=32 (а)
3)Сколько взял второй покупатель?
(63-32):2+0,5=16 (а)
4)Сколько взял третий покупатель?
(63-32-16):2+0,5=8 (а)
5)Сколько взял червертый покупатель?
(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)
6)Сколько взял пятый покупатель?
(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)
7)Сколько взял шестой покупатель?
(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)
3 задача
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?
Решение
500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца
1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки
150:(260-250)=15 (Мин)
Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.
--Участник:Великолепая восьмёрка ID-300 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)
Смешарики ID 245 11:07, 24 октября 2008 (SAMST):
Задачи древнего востока
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)
Задача №1
Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?
Решение: Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда: (2/3)*(1/3)х=70 (2/9)х=70 х = 315 Ответ: во всем стаде 315 голов скота.
Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»
Задача № 2
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда: У – 1 = (x+y)/3 И, кроме того, Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2 Подставляя значение х в первое уравнение, получаем: ( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у 3у – 3 = 2у + 2 У = 5, х = 5 + 2 = 7 Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.
В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.
Задача № 3.
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду? Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.
Задача № 4. Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?
Решение: Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:
½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20
Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.
Задача № 5.
Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?
Решение: Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его: Х + 2х + 6х + 24х = 132 3х = 132 Х = 4 Ответ: 4 монеты.
Задача № 6.
Древнеиндийская задача.
Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?
Решение: Алгебраический способ. Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение: x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x x = 15
Способ подбора. НОК (3;5) = 15. Проверим число 15. 15/5+15/3+3(5-3)+1=15 Ответ: было 15 пчел.
Задача № 7
Пифагор Самосский ( около 580 -501 гг. до н.э.)
Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?
Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:
1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x Х = 28 Ответ: 28 учеников.
Задача № 8.
Герон Александрийский ( 1в. До н.э.)
Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?
Решение: Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн. x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1 12х + 6х + 4х + 3 = 12 25х = 12 Х = 12/25 Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.
Задача № 9.
Евклид (3 в. До н.э.)
Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.
Решение: Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом, Х + 1 = 2(х – 3) Х = 7 Груз мула равен 7, груз осла равен Х – 2 = 5 Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
Задача №10
Древнеримская задача (II век)
Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.
Задача №11
Суд Париса
Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.
Задача 12
Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит: “Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?
x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100 2x + 0,5x + 0,15x = 99 2,75x = 99 X = 36
Задача 13
Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.
Пусть x рублей было у человека; x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100 Умножим обе части уравнения на 12 24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200 47x + 1800 x = 38*14/47
-- Смешарики ID 245 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)
ID 213 Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца? Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.
Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре?
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар. Ответ: 144 пары.
Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц? Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга: (((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х Получаем, что: 15=х Ответ: 15 яиц
Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А? Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов: Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч. Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего: 59-3,5=55,5 Затем делим полученную разность на скорость сближения: 55,5:37/6=9ч Скорость В умножить на время: 9*8/3=24м Ответ: 24 мили
Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор» Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.? Решение: Черное сукно – х аршин Синее сукно – y аршин Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63. Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.
Задача № 6. Старинная задача (Китай) В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов? Решение: Кролики – х Фазаны – y Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23. Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век) Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки) Решение: 120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын Мужчины – х Женщины – y Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80. Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.
Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь. Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт? Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице. 8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6 5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0
Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.) Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности? Решение: Длина – а ладоней Ширина – b ладоней Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.
Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.) Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя? Решение: Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение: х+х+0,5х+0,25х+1=100 2,75х=99 х=36 Значит, в классе 36 учеников. Ответ: 36 учеников.
Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.) Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев? Решение: Всего – 204 гульдена Первый – х гульдена Второй – 4х гульдена Третий – 12х гульдена Составим и решим уравнение: х+4х+12х=204 17х=204 х=12 Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий. Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.) Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок? Решение: В венке – х цветков Посвящены Шиве – 1/3х цветков Посвящены Вишну – 1/5х цветков Посвящены Сурье – 1/6х цветков Посвящены Бхавани – 1/4х цветков Почитаемому праведнику – 6 цветков Составим и решим уравнение: х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6 Решая уравнение, получаем х = 120 Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок. Ответ: 120 цветков Задача № 13. Жизнь Диофанта История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, Сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – Покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем Прекрасного первенца сына, коему рок Половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?
Решение: Возраст Диофанта – х Прекрасное детство – х/6 Покрылся пухом тогда подбородок – х/12 Бездетный брак – х/7 Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5 Прожил сын – х/2 По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4 Решая уравнение, получаем х=84 Ответ: 84 года.
Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года. Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней? Решение: х – число дней. Составим уравнение: (х-1)/6+3=х/5 Решив уравнение, получим, что х=85. Ответ: 85 дней. --Bookworm ID 213 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)
