Семинар ДООМ Применение функций острого угла при решении практических задач

Автор: Дунаева Светлана Евгеньевна, IDm 137 Город Событий

ДУНАЕВА СВЕТЛАНА ЕВГЕНЬЕВНА, учитель математики ГБОУ СОШ № 137 г.Санкт-Петербург

Книга - книгой, а мозгами двигай.
Расстояния считай и на практике
Свои знания применяй!

Приложение:

• Презентация к уроку
• Дополнительные задачи по теме

Тип урока:
урок-конференция

Цель урока:
Привитие интереса к предмету, активизация мыслительной деятельности, рассмотрение вопроса реализации учебных знаний с практической целью.

Подготовка к уроку:
на разных стенах классного кабинета развешены плакаты с высказываниями, определениями, историческими фактами из мира математики.

Примеры:

• Что, по преданию, завещал Архимед высечь на своем надгробном камне? (шар, вписанный в цилиндр)
• Назовите великого геометра и механика Дневней Греции, нашедшего значение числа пи.
• Циркуль – от лат. Circulus – «круг».
• Хорда от греч. «корде» - струна, тетина.
• Диаметр – от греч. «диаметрос» - поперечник, насквозь измеряющий
• Фигура, изобретенная в 1975г. преподавателем архитектуры из Будапешта (Кубик).

Оборудование:
компьютер, проектор.

Учитель:
Сегодня у нас состоится урок – конференция. Подумайте, какие знания и умения вы получаете за время учебы, умеете ли вы применять их при решении практических и нестандартных задач, помогает ли вам сообразительность и такой «инструмент» математики, как логическое мышление. Надеюсь, вы подготовились, прочитали дополнительную литературу, повторили основные формулы из курса геометрии. Звучит музыка.

Учитель:
Итак, мы начинаем.

1 этап.
Повторение.
Учитель предлагает повторить основные определения: прямоугольный треугольник, основные функции острого угла прямоугольного треугольника.

2 этап.
Выступление учащихся и совместное решение задач.

Выступление 1 – го ученика

Задача 1.
Пассажирский самолет, находящийся над пунктом А на высоте h=400 м, начал приземление на аэродром, расположенный в 2,5 км от пункта А. Как велик будет в среднем угол приземления самолета?

Решение:
Предположим, что точка приземления самолета В находится на одной горизонтальной плоскости с пунктом А. Из прямоугольного треугольника АВС находим тангенс искомого угла В: tg B = AC / AB = 400 м / 2500 м = 0,16. По таблице тангенсов находим, что угол В равен примерно 9 градусов. Ответ: 9 градусов.

Задача 2.
Допустим, что требуется определить высоту фабричной цилиндрической трубы, расположенной на горизонтальной площадке так, что к основанию трубы можно подойти.

Решение:

На некотором расстоянии АС=b м от основания трубы установим угломер и определим угол а между горизонталью и направлением на верхнюю точку В трубы. Применим к прямоугольному треугольнику АВС следствие установим, что
BC = AC tga
Учитывая высоту угломера АЕ = h м, получаем формулу для определения высоты трубы:
BD = h + b tga

По полученной формуле уч-ся самостоятельно просчитывают высоту, если входные данные были следующими: b= 40 м, h=1.5 м и угол а равен 30 градусам. Ответ: примерно 26 м.

Выступление 2–го ученика
Задача 3

Как на практике определить на какой высоте летит самолет, если наблюдатели находятся в пунктах А и В (см рис).

Решение:
Два наблюдателя устанавливают в горизонтальной плоскости угломерные приборы АА1 и ВВ1 так, чтобы плоскость измерительных приборов АА1ВВ1 пересекла трассу полета самолета (см рис). Далее приборами фиксируются по сигналу углы а и b. Затем измеряют расстояние между угломерными приборами АВ = с метров и высоту приборов АА1=ВВ1= h метров.

Из прямоугольных треугольников CDB и CDA получаем:

CD =DB tgb (*)

CD =DА tga

откуда DB tgb = DА tga.

Но DА= DB+ВА = DB+с, отсюда

DB tgb= (DB+с)tga

DB = (с tga)/(tgb – tga)

Подставив значение DB в равенство (*), получим

CD = (с tga tgb )/(tgb – tga)

Таким образом, искомая высота полета самолета

CD1 = CD+ DD1 = (с tga tgb)/(tgb – tga) + h, так как DD1= ВВ1 = АА1 = h.

Ребята самостоятельно применяют выделенную формулу для конкретного случая проведенных наблюдений и соответствующих измерений. Пусть результаты измерения оказались следующими:
H = 1,5 м, с= 93,5м, угол а примерно 39 градусов, угол b примерно 44 градуса. Ответ: примерно 479 метров.

Выступление 3–го ученика
«Определение расстояния между двумя пунктами, к которым нельзя подойти»

Задача 4
С берега моря видны два предмета А и В, находящиеся на острове (см рис). Как определить расстояние между этими предметами, не совершая поездки на остров?

Решение:
Это можем сделать таким образом: из точки С провесим на берегу моря прямую СМ и на ней с помощью угломера найдем точку D таким образом, чтобы угол СDВ был прямым.
Затем измерим углы СDА = а и DСВ = b, так же длину отрезка СD = а метров.

Если мысленно провести АЕ параллельную СD, то образуется прямоугольный треугольник АВЕ, в котором квадрат гипотенузы АВ равен сумме квадратов катетов АЕ и ВЕ.

АЕ = СD = а и ВЕ = ВD – АС.

Из прямоугольных треугольников находим АСD и ВСD находим:

ВD = а tgb АС = а tga, следовательно ВЕ = а (tgb - tga). Подставив значения АЕ и ВЕ в формулу нахождения квадрата гипотенузы имеем искомое расстояние:

AB = a (1+(tgb- tga)²)^1/2

Ребята самостоятельно применяют найденную формулу для конкретного случая проведенных наблюдений и соответствующих измерений.
Пусть результаты измерения оказались следующими:
а= 270 метров, угол а примерно 58 градусов, угол b примерно 74 градуса. Ответ: 576 метров.

3 этап.
Задача для самостоятельного решения в классе.
Проверка решения задачи у доски.

Задача 5.
В 800 м от места подъема самолета впереди расположены деревья высотой до 20 м. Под каким углом должен подниматься самолет, что бы не задеть деревьев?

Задача 6
На детали выфрезерован паз шириной а с углами х и 2х (см рис). Найти его глубину.

Домашнее задание:

• Профиль канавы имеет форму равнобокой трапеции, у которой нижнее основание равно 0,70 м, верхнее – 1,50 м и высота - 1,00 м. выразить в градусах кривизну канавы.

• Угол откоса кучи песка равен 31 градус. Какой высоты можно насыпать кучу песка, если диаметр основания равен 3,5 м?

Литература

1. Математика. № 41. 1998 г. Приложение к газете «Первое сентября».
2. В. С. Соломоник, П.Н. Милов. Сборник вопросов и задач по математике. Москва, 1973 г.
3. Гусев В.А, Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы: Книга для уч-ся. М: Просвещение, 1990 г.